ARMA模型介绍
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
旳无条
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ARIMA模型旳概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
(1
2
1
1≤j≤22q ... q2 )
0 j>q
j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程旳一种特征
如下图：
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ARMA模型旳辨认
MA（2）过程
yt =0.5ut-1 0.3ut2 ut
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ARMA模型旳辨认
⑵ AR(p)过程旳偏自有关函数
j p 时，偏自有关函数旳取值不为0 j>q 时，偏自有关函数旳取值为0 AR(p)过程旳偏自有关函数p阶截尾 如下图：
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ARMA模型旳预测
二. 基于MA过程旳预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期旳记忆力
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ARMA模型旳预测
三. 基于ARMA过程旳预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
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五、实例：ARMA模型在金融数 据中旳应用
数据： 1991年1月到2023年1月旳我国货币供
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ARIMA模型旳概念
2.MA（q）过程旳特征
1. E(Yt)=u
2.
var(Yt)
(1
2
arma模型原理
arma模型原理
ARMA模型（AutoRegressive Moving Average Model）是一种时间序列分析模型，它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）。
ARMA 模型的原理是，对于一个时间序列，在保持平稳性的前提下，通过自回归和移动平均两个方面来描述序列的特征。
具体来说，AR表示当前时间点的值与前面若干个时间点的值有关，而MA表示当前时间点的值与前面若干个时间点的噪声有关。
因此，ARMA模型可以很好地捕捉时间序列数据的趋势和周期性。
在实际应用中，ARMA模型通常用于预测未来的时间序列值和分析时间序列的特征。
在ARMA模型中，参数估计和模型检验是重要的步骤，需要一定的统计学知识和技能。
常用的估计方法包括最大似然估计和贝叶斯估计，而模型检验可以通过残差分析和模型诊断来进行。
总之，ARMA模型是一种经典的时间序列模型，它结合了自回归模型和移动平均模型，可以用于预测未来的时间序列值和分析时间序列的特征。
在实际应用中需要谨慎使用，需要考虑时间序列数据的特征和背景知识，以及参数估计和模型检验的可靠性。
ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
arma模型的数学表达式
arma模型的数学表达式摘要：1.ARMA 模型的概述2.ARMA 模型的数学表达式3.ARMA 模型的应用正文：一、ARMA 模型的概述自回归滑动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列分析方法，主要用于拟合和预测具有线性趋势的时间序列数据。
ARMA 模型是由自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）组合而成的，可以同时对时间序列数据中的长期依赖关系和短期依赖关系进行建模。
二、ARMA 模型的数学表达式ARMA 模型的数学表达式分为两个部分：自回归部分（AR）和滑动平均部分（MA）。
1.自回归部分（AR）自回归模型主要描述时间序列数据中的长期依赖关系，其数学表达式为：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + ε_t其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，c 为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp 为自回归系数，ε_t 为误差项。
2.滑动平均部分（MA）滑动平均模型主要描述时间序列数据中的短期依赖关系，其数学表达式为：X_t = μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，μ为常数项，θ1、θ2、...、θq 为滑动平均系数，ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。
将自回归部分和滑动平均部分相结合，即可得到ARMA 模型的数学表达式：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，c、μ为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp、θ1、θ2、...、θq 分别为自回归系数和滑动平均系数，ε_t、ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。
三、ARMA 模型的应用ARMA 模型广泛应用于金融、经济学、气象学等领域的时间序列数据分析和预测。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型介绍及案例分析ARMAARIMA模型是一种时间序列分析方法，用于对具有自回归和移动平均特性的数据进行建模和预测。
这个模型是由自回归（AR）和移动平均（MA）两个组成部分构成的，对于非平稳的数据还需要加入差分（I）的过程，所以称为ARMAARIMA模型。
ARMA模型是根据时间序列的自相关和滑动平均性质来进行建模的。
自回归是指当前数据与历史数据之间的相关关系，移动平均则关注当前数据与滞后差分误差之间的关系。
ARMA模型的一般形式可以表示为：Y(t)=c+φ₁Y(t-1)+...+φₚY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-θₚε(t-q)其中，Y(t)表示当前的观测值，c是常数，φ₁...φₚ是自回归系数，ε(t)是白噪声误差项，θ₁...θₚ是滑动平均系数，p和q分别表示AR和MA的阶数。
对于非平稳的时间序列数据，需要进行差分操作，即I（积分）的过程，来将数据变为平稳的。
差分阶数常用d表示。
而ARIMA（自回归移动平均积分模型）则是对ARMA模型进行补充，主要针对非平稳时间序列数据。
ARIMA模型的一般形式可以表示为：ΔY(t)=c+φ₁ΔY(t-1)+...+φₚΔY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-θₚε(t-q)其中ΔY(t)表示差分后的序列，其他参数与ARMA模型类似。
下面以一个股票价格的时间序列数据为例进行ARMAARIMA模型的案例分析。
假设我们有一段时间内的股票价格数据，要通过ARMAARIMA模型对未来的股票价格进行预测。
首先，我们需要对数据进行平稳性检验，可以使用单位根检验（如ADF检验）来确定是否需要进行差分。
接下来，需要确定ARMA模型的阶数，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定。
根据图形的截尾和拖尾情况，可以估计出AR和MA的阶数。
然后，可以利用最大似然估计方法来估计模型参数，这可以通过软件来实现。
在估计参数之后，需要对模型进行检验，主要包括检查残差序列是否为白噪声，可以通过自相关图和偏自相关图进行检查。
ARMA模型
ARMA模型1.简单介绍ARMA模型是一类常用的随机时间序列预测模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，它的基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定规律性，可用数学模型近似描述。
2.分类ARMA模型具有三种基本类型：自回归(AR)模型，移动平均（MA）模型，自回归移动平均（ARMA）模型。
3.表达如果时间序列是它的前期值和随机项的线性函数，即表示为：就称为P阶自回归模型，记为AR（p）。
其中称为自回归系数，是待估参数。
随机项是相互独立的白噪声序列，服从均值为0，方差为的正态分布。
且一般假定的均值也为0。
AR模型的平稳性问题从数学表达式来看，我们首先记为k步滞后算子，即。
则上述模型可写为：我们令（），模型就被简化为。
AR（p）平稳的等价条件是的根都小于1，另一方面，从自相关系数和偏自相关系数的曲线图也能看出该模型是否平稳，AR（p）模型平稳等价于自相关系数拖尾，偏自相关系数p步截尾。
而如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即则称为q阶移动平均模型，记为MA(q)。
它是无条件平稳的，因为它的均值和方差均为常数，跟AR模型做同样的滞后和简化，如果的根都小于1，则MA模型是可逆的。
另一个可逆的等价条件就是自相关函数q步截尾，偏自相关函数拖尾。
基于此，ARMA（p,q）模型的数学表达就呼之欲出了：而ARMA（p,q）的平稳条件就是AR(p)的平稳条件，可逆条件就是MA（q）的可逆条件。
而关于ARMA，它的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的。
4.代入本题之前在问题分析中也介绍了，我们将日期统一化，以第一次发生地震的日期作单位1参考，将数据集中的地震发生时间转化成了一个时间序列。
如图ts所示，我们分析了这组时间序列发现它的一阶差分是平稳的。
由上图，可看出它的一阶差分后的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，故我们选择了ARMA(1,1)模型来做数据分析拟合。
ARMA模型介绍
ARMA模型介绍ARMA模型（Autoregressive Moving Average model）是时间序列分析中常用的一种模型，用于描述和预测随时间变化的数据。
ARMA模型结合了自回归（AR）和移动平均（MA）两种模型的特点，可以较好地描述时间序列数据的变化趋势。
ARMA模型的核心思想是：当前时刻的观测值可以通过历史观测值和随机误差的线性组合来表示。
具体地说，AR部分考虑了当前时刻和过去几个时刻的观测值之间的关系，而MA部分则考虑了当前时刻和过去几个时刻的随机误差之间的关系。
在AR模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型的阶数(p)表示过去几个时刻的观测值被考虑进来。
对于AR(p)模型，数学表达式如下：yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，φ1, φ2, ... ,φp表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
在MA模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的随机误差之间存在线性关系。
MA模型的阶数(q)表示过去几个时刻的随机误差被考虑进来。
对于MA(q)模型，数学表达式如下：yt = c + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-q其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，θ1, θ2, ... ,θq表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-qARMA模型可以用于时间序列的拟合和预测。
通过将模型与已有数据进行拟合，可以得到模型的参数估计值。
然后，利用这些参数估计值，可以预测未来的观测值。
ARMA模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列数据。
如何建立ARMA和ARMA模型如何进行模型的拟合与选择
如何建立ARMA和ARMA模型如何进行模型的拟合与选择如何建立ARMA模型及进行模型的拟合与选择ARMA模型（自回归滑动平均模型）是一种常用的时间序列模型，可以帮助我们对数据进行预测和分析。
本文将介绍如何建立ARMA模型以及进行模型的拟合与选择。
一、ARMA模型的介绍ARMA模型是一种线性平稳时间序列模型，由自回归部分（AR）和滑动平均部分（MA）组成。
AR部分使用过去时间点的观测值作为自变量进行预测，MA部分使用过去时间点的误差项作为自变量进行预测。
ARMA模型的最一般形式为ARMA(p, q)，其中p代表AR部分的阶数，q代表MA部分的阶数。
二、建立ARMA模型的步骤1. 检验时间序列的平稳性ARMA模型要求时间序列是平稳的，即均值和方差保持不变。
可以通过绘制时间序列的图形、计算移动平均和自相关函数等方法来检验平稳性。
若发现非平稳性，则需要进行差分处理，直到得到平稳序列。
2. 确定模型的阶数通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF），可以确定AR部分和MA部分的阶数。
ACF反映了序列与其滞后之间的关系，PACF则消除了中间滞后的干扰，更准确地显示滞后与序列之间的关系。
根据图形上截尾的特点，可以确定合适的阶数。
3. 估计模型参数利用最大似然估计或解方程组等方法，对ARMA模型进行参数估计。
最大似然估计是大多数情况下的首选方法，它通过最大化样本的对数似然函数，寻找最适合数据的参数估计值。
4. 模型检验和诊断对估计得到的模型进行检验和诊断，主要包括残差的自相关性检验、白噪声检验、模型拟合优度检验等。
如果模型不符合要求，需要重新调整模型的阶数或其他参数。
三、模型拟合与选择的方法1. 拟合优度准则模型的拟合优度准则可以用来衡量模型的优劣程度。
常见的拟合优度准则包括AIC（赤池信息准则）、BIC（贝叶斯信息准则）等。
这些准则基于模型的似然函数和模型参数的数量，从而在模型选择时提供一个客观的评估指标。
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➢ 如果Yt一 个Yt时1 间序1Y列t1有 .一.. 个 p单1位Yt根 p，1 那ut 么在回归模
型中可以仅包括Y。
共同学习，重在交流
➢ 一般形式的MA(q)M模型A可(q以)表模示型为
➢ 上述模Y型t 为uqt 阶移1u动t1平均2模ut型2 qutq
➢ MA(q)模型也不存在非平稳问题。
➢ 调整可决系数、AIC和SC准则都是模型选 择的重要标准。
共同学习，重在交流
➢ 赤池信息准A则IC：准AIC则=-和2L/Sn+C2k准/n，则其中L是
对数似然值，n是观测值数目，k是被估计 的参数个数。AIC准则要求其取值越小越好。 ➢ 施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时也 要求SC值越小越好。
共同学习，重在交流
➢ 如果自时间回序归列Y移t是它动的平当期均和模前期型的(随A机R误M差A项) 以及前期值的线性函数，即可表示为：
➢ Y则t 称该1Yt序1 列为2Yt（2 p,.q..） 阶pY自t 回p 归ut移动1u平t1均模型。qu记tq
为ARMA（p,q）
共同学习，重在交流
随机时间序列分析模型的识别
共同学习，重在交流
模型的识别
➢ AR（p）模型的识别。若序列的偏自相关函数在p以 后截尾，而且自相关系数是拖尾的，则此序列是自回 归AR（p）序列。
➢ MA（q）模型的识别。若序列的自相关函数在q以后 截尾，而且偏自相关系数是拖尾的，则此序列是移动 平均MA（q）序列。
➢ ARMA（p,q）模型的识别。若序列的自相关函数和 偏自相关系数都是拖尾的，则此序列是自回归移动平 均ARMA（p,q）序列。至于模型中p和q的识别，则 要从低阶开始逐步试探，直到定出合适的模型为止。
时间序列模型-ARMA模型
ARMA模型是一类常用的随机时间序 列分析模型，由博克斯(Box)和詹金斯 (Jenkins)创立，也称B-J方法。
其基本思想是：某些时间序列是依赖 于时间的一族时间变量，构成该时序的的单 个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的 变化确有一定的规律性，可以用相应的数学 模型近似描述。通过对该数学模型的分析和 研究，能够更本质地认识时间序列的结构和 特征，达到最小方差意义下的的最优预测。
共同学习，重在交流
AR、MA和ARMA模型的估计
➢ 经过模型识别，确定了时间序列模型的 结构和阶数后，需要对模型进行估计。
➢ 上述模型的估计方法较多，大体上分为 三类：最小二乘法、矩估计和利用自相 关系数的直接估计。
共同学习，重在交流
➢ 在E利VI用EWESV软I件E中W估S计估AR计MAA模R型M使A用模与型
移动平均模型（MA）：反映经济变量当前值与 当前及过去误差项的关系
两者结合的模型（ARMA）
➢ 习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来表 示对应的滞后时期。
共同学习，重在交流
➢ AR(p)模型是回归模A型R的(p一)种模形型式，其一般形式为：
➢ 另一种Yt 表 达1Y方t1 式 是2Y用t2差 .分.. 形式pYt： p ut
时间序列模型在上世纪80年代中期后得 到快速发展。
共同学习，重在交流
本章主要内容
➢ 时间序列模型的特点 ➢ AR、MA和ARMA模型的形式 ➢ AR、MA和ARMA模型的识别 ➢ AR、MA和ARMA模型的估计
共同学习，重在交流
时间序列分析模型的特点
➢ 时间序列分析通常并不需要建立在经济理论 所体现的经济关系基础之上，而是“让数据 自己说话”。Yt可由其自身的滞后值以及随 机误差项来解释，因此时间序列分析模型又 称乏理论（a-theoretic)模型。
共同学习，重在交流
➢ 考虑ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量经 过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模型。
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➢ MA（q）的偏自相关系数随着滞后期的增加，呈 现指数衰减，趋向于零，这称为偏自相关系数的 拖尾性。
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AR（p）的自相关函数（AC）和偏相关函 ➢ 根据自相关函数的数特（征P，AC可）见AR（p）序列
的自相关函数是非截尾序列，称为拖尾序 列。因此，自相关函数拖尾是AR（ p ）序 列的一个特征。 ➢ 根据偏自相关函数的特征，当k>p时， PACkk =0，也就是在p以后截尾。
➢ 从方法学角度看，时间序列分析主要基于统 计学，而不是经济学；
➢ 时间序列模型通常适用于做短期预测，即统 计序列过去的变化模式尚未发生根本变化的 期间；
➢ 长期预测则需要建立在经济行为基础之上。
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AR、MA和ARMA模型
自回归模型（AR）：反映经济变量的当前值与 其过去值的关系
OLS方法相同的步骤：
Quick → Estimate equation 在窗口中输入因变量，自变量为AR(p)和MA(q)，
以ARMA(1,2)为例：
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
参考AC或PAC确定滞后期 根据回归结果选择适合的估计结果
共同学习，重在交流
模型结果的分析
➢ ARMA模型估计对参数t检验其显著性水平 要求并不严格，更多的是考虑模型的整体 拟合效果。
➢ 对于AR、MA、ARMA模型，在进行参 数估计之前，需要进行模型的识别。识 别的基本任务是找出ARMA（p,q）、 AR（p）、MA（q）模型的阶。识别的 方法是利用时间序列样本的自相关函数 和偏自相关函数。
共同学习，重在交流
➢ 根据自相关M函A数（，q）当的k>自q时相，关y函t 与数y（t-kA不C相）关，这 种现象称为截尾，因此，当k>q时，自相关函数为 零是MA（q）的一个特征。也就是说，可以根据 自相关系数是否从某一点开始一直为零来判断MA （q）模型的阶。