ARMA模型介绍
ARMA相关模型及其应用
ARMA相关模型及其应用一、本文概述随着科技的快速发展和数据分析技术的不断进步，时间序列分析在金融、经济、工程等领域的应用日益广泛。
其中，自回归移动平均模型（ARMA模型）作为一种重要的时间序列分析工具，其理论和实践价值备受关注。
本文旨在深入探讨ARMA模型的基本理论、性质及其在实际问题中的应用，旨在为读者提供一个全面而深入的理解和应用ARMA模型的参考。
本文将简要介绍ARMA模型的基本概念、发展历程及其在时间序列分析中的地位。
随后，重点阐述ARMA模型的数学原理、参数估计方法以及模型的检验与优化。
在此基础上，本文将通过具体案例，展示ARMA模型在金融市场分析、经济预测、工程信号处理等领域的实际应用，并探讨其在实际应用中的优势与局限性。
本文旨在为研究者、学者和实践者提供一个关于ARMA模型及其应用的全面指南，帮助他们更好地理解和应用这一重要的时间序列分析工具。
通过案例分析，本文旨在为相关领域的学者和实践者提供新的思路和方法，推动ARMA模型在实际问题中的更广泛应用。
二、ARMA模型基础ARMA模型，全称为自回归移动平均模型（AutoRegressive Moving Average Model），是时间序列分析中的一种重要模型。
它结合了自回归模型（AR，AutoRegressive）和移动平均模型（MA，Moving Average）的特点，能够更全面地描述时间序列数据的动态变化特性。
ARMA模型的基本形式为ARMA(p, q)，其中p是自回归项的阶数，q是移动平均项的阶数。
模型的一般表达式为：_t = \varphi_1 _{t-1} + \varphi_2 _{t-2} + \cdots +\varphi_p _{t-p} + \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} +\theta_2 \epsilon_{t-2} + \cdots + \theta_q \epsilon_{t-q}) 其中，(_t)是时刻t的观察值，(\varphi_i)是自回归系数，(\epsilon_t)是时刻t的白噪声项，(\theta_i)是移动平均系数。
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
旳无条
7
ARIMA模型旳概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
(1
2
1
1≤j≤22q ... q2 )
0 j>q
j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程旳一种特征
如下图：
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ARMA模型旳辨认
MA（2）过程
yt =0.5ut-1 0.3ut2 ut
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ARMA模型旳辨认
⑵ AR(p)过程旳偏自有关函数
j p 时，偏自有关函数旳取值不为0 j>q 时，偏自有关函数旳取值为0 AR(p)过程旳偏自有关函数p阶截尾 如下图：
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ARMA模型旳预测
二. 基于MA过程旳预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期旳记忆力
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ARMA模型旳预测
三. 基于ARMA过程旳预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
34
五、实例：ARMA模型在金融数 据中旳应用
数据： 1991年1月到2023年1月旳我国货币供
3
ARIMA模型旳概念
2.MA（q）过程旳特征
1. E(Yt)=u
2.
var(Yt)
(1
2
arma模型原理
arma模型原理
ARMA模型（AutoRegressive Moving Average Model）是一种时间序列分析模型，它结合了自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）。
ARMA 模型的原理是，对于一个时间序列，在保持平稳性的前提下，通过自回归和移动平均两个方面来描述序列的特征。
具体来说，AR表示当前时间点的值与前面若干个时间点的值有关，而MA表示当前时间点的值与前面若干个时间点的噪声有关。
因此，ARMA模型可以很好地捕捉时间序列数据的趋势和周期性。
在实际应用中，ARMA模型通常用于预测未来的时间序列值和分析时间序列的特征。
在ARMA模型中，参数估计和模型检验是重要的步骤，需要一定的统计学知识和技能。
常用的估计方法包括最大似然估计和贝叶斯估计，而模型检验可以通过残差分析和模型诊断来进行。
总之，ARMA模型是一种经典的时间序列模型，它结合了自回归模型和移动平均模型，可以用于预测未来的时间序列值和分析时间序列的特征。
在实际应用中需要谨慎使用，需要考虑时间序列数据的特征和背景知识，以及参数估计和模型检验的可靠性。
ARMA模型
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2: 一般假定
X t 均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
记 Bk 为 k 步滞后算子, 即 Bk X t X tk , 则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
实际问题中, 常会遇到季节性和趋势性同时存在的情况, 这 时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别序列的季节性, 否则季节性会被强趋势性所掩盖, 以至判断错误.
包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型, 需进 行季节差分消除序列的季节性, 差分步长应与季节周期一致.
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
式【5】称为( p, q)阶的自回归移动平均模型, 记为ARMA ( p, q)
注1: 实参数 1,2 , , p 称为自回归系数, 1,2 , ,q 为移动平均系数,
都是模型的待估参数
注2: 【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3: 引入滞后算子，模型【5】可简记为
(B) Xt (B)ut
【6】
在实际中, 常见的时间序列多具有某种趋势, 但很多序列 通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除, 只需考察经过差分后序列 的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上, 序列重
复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额等 时间序列都具有明显的季节变化. 一般地, 月度资料的时间序列, 其季节周期为12个月；
Xt 1 v1B v2B2
ut
vjB
j
ut
j0
ARMA模型介绍知识分享
MA（q）的自相关函数（AC）
根据自相关函数，当k>q时，yt 与y t-k 不相关， 这种现象称为截尾，因此，当k>q时，自相关 函数为零是MA（q）的一个特征。也就是说， 可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为 零来判断MA（q）模型的阶。
MA（q）的偏自相关系数随着滞后期的增加， 呈现指数衰减，趋向于零，这称为偏自相关系 数的拖尾性。
Quick → Estimate equation 在窗口中输入因变量，自变量为AR(p)和
MA(q)，以ARMA(1,2)为例：
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
参考AC或PAC确定滞后期 根据回归结果选择适合的估计结果
模型结果的分析
ARMA模型估计对参数t检验其显著性水 平要求并不严格，更多的是考虑模型的 整体拟合效果。
调整可决系数、AIC和SC准则都是模型 选择的重要标准。
AIC准则和SC准则
赤池信息准则：AIC=-2L/n+2k/n，其中L 是对数似然值，n是观测值数目，k是被 估计的参数个数。AIC准则要求其取值 越小越好。
施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时 也要求SC值越小越好。
ARIMA模型
考虑ARIMA(p,d,q)模型 一个ARIMA(p,d,q)模型代表一个I(d)变量
经过d次差分后所做的AR(p)和MA(q)模 型。
结束语
谢谢大家聆听！！！
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Yt 1Yt1 2Yt2 ... pYt p ut 1ut1 qutq
则称该序列为（p,q）阶自回归移动平均模型。 记为ARMA（p,q）
随机时间序列分析模型的识别
对于AR、MA、ARMA模型，在进行 参数估计之前，需要进行模型的识别。 识别的基本任务是找出ARMA（p,q）、 AR（p）、MA（q）模型的阶。识别 的方法是利用时间序列样本的自相关 函数和偏自相关函数。
arma模型的数学表达式
arma模型的数学表达式摘要：1.ARMA 模型的概述2.ARMA 模型的数学表达式3.ARMA 模型的应用正文：一、ARMA 模型的概述自回归滑动平均模型（ARMA）是一种常用的时间序列分析方法，主要用于拟合和预测具有线性趋势的时间序列数据。
ARMA 模型是由自回归模型（AR）和滑动平均模型（MA）组合而成的，可以同时对时间序列数据中的长期依赖关系和短期依赖关系进行建模。
二、ARMA 模型的数学表达式ARMA 模型的数学表达式分为两个部分：自回归部分（AR）和滑动平均部分（MA）。
1.自回归部分（AR）自回归模型主要描述时间序列数据中的长期依赖关系，其数学表达式为：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + ε_t其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，c 为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp 为自回归系数，ε_t 为误差项。
2.滑动平均部分（MA）滑动平均模型主要描述时间序列数据中的短期依赖关系，其数学表达式为：X_t = μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，X_t 表示时间序列数据在t 时刻的取值，μ为常数项，θ1、θ2、...、θq 为滑动平均系数，ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。
将自回归部分和滑动平均部分相结合，即可得到ARMA 模型的数学表达式：X_t = c + Φ1X_{t-1} + Φ2X_{t-2} +...+ ΦpX_{t-p} + μ+ θ1ε_{t-1} + θ2ε_{t-2} +...+ θqε_{t-q}其中，c、μ为常数项，Φ1、Φ2、...、Φp、θ1、θ2、...、θq 分别为自回归系数和滑动平均系数，ε_t、ε_{t-1}、ε_{t-2}、...、ε_{t-q}为误差项。
三、ARMA 模型的应用ARMA 模型广泛应用于金融、经济学、气象学等领域的时间序列数据分析和预测。
ARMA模型基本架构及应用
ARMA模型基本架构及应用ARMA模型是一种经济时间序列分析方法，可以用于预测未来值的变动趋势。
ARMA模型基于两个组成部分，即自回归（AR）和移动平均（MA）。
自回归模型使用时间序列的过去值作为预测未来值的因素，而移动平均模型则使用时间序列的随机波动作为预测的基础。
Yt=c+φ1Yt-1+φ2Yt-2+…+φpYt-p+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q+εt在这个公式中，Yt表示时间序列的当前值，p表示自回归模型的阶数，q表示移动平均模型的阶数，c是一个常数，εt是一个随机扰动项。
AR部分表示时间序列变量的当前值与过去p个时间点的值之间的关系。
自回归模型常常用于表示时间序列存在的自相关性，即过去值对未来值的影响。
MA部分表示时间序列的当前值与过去q个随机波动的关系。
移动平均模型用于表示时间序列的随机性。
ARMA模型的应用非常广泛。
在经济学中，ARMA模型常用于分析股票价格、就业率、通货膨胀率等经济指标的时间序列数据。
通过建立ARMA模型，可以揭示时间序列数据中的规律和趋势，从而为决策提供有价值的信息。
ARMA模型还可以用于信号处理、气象预测、环境监测等领域。
例如，在信号处理中，ARMA模型可以用于预测随机信号的未来走势，以便进行故障检测和预防。
在气象预测中，ARMA模型可以用于预测未来一段时间内的气温、降雨量等天气指标。
除了ARMA模型，还有ARIMA模型、GARCH模型等时间序列分析方法，它们在处理特定的时间序列数据时具有一定的优势。
ARMA模型是这些方法中最简单和最基础的一种，但在实际应用中已经证明了其有效性和实用性。
总之，ARMA模型是一种用于分析时间序列数据的方法，可以用于预测未来值的变动趋势。
该模型采用了自回归和移动平均的思想，通过估计参数来确定时间序列数据中的规律和趋势。
ARMA模型在经济学、信号处理、气象预测等领域有广泛的应用，并且被证明是一种有效和实用的分析工具。
ARMA模型
ARMA模型1.简单介绍ARMA模型是一类常用的随机时间序列预测模型，是一种精度较高的时间序列短期预测方法，它的基本思想是：某些时间序列是依赖于时间t的一族随机变量，构成该时间序列的单个序列值虽然具有不确定性，但整个序列的变化却有一定规律性，可用数学模型近似描述。
2.分类ARMA模型具有三种基本类型：自回归(AR)模型，移动平均（MA）模型，自回归移动平均（ARMA）模型。
3.表达如果时间序列是它的前期值和随机项的线性函数，即表示为：就称为P阶自回归模型，记为AR（p）。
其中称为自回归系数，是待估参数。
随机项是相互独立的白噪声序列，服从均值为0，方差为的正态分布。
且一般假定的均值也为0。
AR模型的平稳性问题从数学表达式来看，我们首先记为k步滞后算子，即。
则上述模型可写为：我们令（），模型就被简化为。
AR（p）平稳的等价条件是的根都小于1，另一方面，从自相关系数和偏自相关系数的曲线图也能看出该模型是否平稳，AR（p）模型平稳等价于自相关系数拖尾，偏自相关系数p步截尾。
而如果时间序列是它的当期和前期的随机误差项的线性函数，即则称为q阶移动平均模型，记为MA(q)。
它是无条件平稳的，因为它的均值和方差均为常数，跟AR模型做同样的滞后和简化，如果的根都小于1，则MA模型是可逆的。
另一个可逆的等价条件就是自相关函数q步截尾，偏自相关函数拖尾。
基于此，ARMA（p,q）模型的数学表达就呼之欲出了：而ARMA（p,q）的平稳条件就是AR(p)的平稳条件，可逆条件就是MA（q）的可逆条件。
而关于ARMA，它的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的。
4.代入本题之前在问题分析中也介绍了，我们将日期统一化，以第一次发生地震的日期作单位1参考，将数据集中的地震发生时间转化成了一个时间序列。
如图ts所示，我们分析了这组时间序列发现它的一阶差分是平稳的。
由上图，可看出它的一阶差分后的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，故我们选择了ARMA(1,1)模型来做数据分析拟合。
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ARMA(1,2)为例：
GDP c AR(1) MA(1) MA(2)
– 参考AC或PAC确定滞后期 – 根据回归结果选择适合的估计结果
• A格R，M更A模多型的估是计考对虑参模数型t的检整验体其拟显合著模效性果型水。平结要果求的并不分严析
AR、MA和ARMA模型的估计
• 经过模型识别，确定了时间序列模型的结构和阶 数后，需要对模型进行估计。
• 上述模ห้องสมุดไป่ตู้的估计方法较多，大体上分为三类：最 小二乘法、矩估计和利用自相关系数的直接估计 。
• 在同的EV步IE骤W：S软件中利估用计AERVMIEA模W型S使估用计与AORLMS方A法模相型
• 根据自相关函数，当k>q时，yt 与y t-k 不相关，这种现 象称为截尾，因此，当kM>qA时（，q）自的相自关相函关数函为数零（是AMCA） （q）的一个特征。也就是说，可以根据自相关系数是 否从某一点开始一直为零来判断MA（q）模型的阶。
• MA（q）的偏自相关系数随着滞后期的增加，呈现指 数衰减，趋向于零，这称为偏自相关系数的拖尾性。
时间序列模型在上世纪80年代中期后得到快 速发展。
• 时间序列模型的特点 • AR、MA和ARMA模型的形式 • AR、MA和ARMA模型的识别 • AR、MA和ARMA模型的估计
本章主要内容
时间序列分析模型的特点
• 时间序列分析通常并不需要建立在经济理论所体 现的经济关系基础之上，而是“让数据自己说话 ”。Yt可由其自身的滞后值以及随机误差项来解 释，因此时间序列分析模型又称乏理论（atheoretic)模型。
时间序列模型-ARMA模型
ARMA模型是一类常用的随机时间序列分 析模型，由博克斯(Box)和詹金斯(Jenkins)创立 ，也称B-J方法。
其基本思想是：某些时间序列是依赖于时 间的一族时间变量，构成该时序的的单个序列 值虽然具有不确定性，但整个序列的变化确有 一定的规律性，可以用相应的数学模型近似描 述。通过对该数学模型的分析和研究，能够更 本质地认识时间序列的结构和特征，达到最小 方差意义下的的最优预测。
• MA（q）模型的识别。若序列的自相关函数在q以后截尾 ，而且偏自相关系数是拖尾的，则此序列是移动平均MA （q）序列。
• ARMA（p,q）模型的识别。若序列的自相关函数和偏自 相关系数都是拖尾的，则此序列是自回归移动平均ARMA （p,q）序列。至于模型中p和q的识别，则要从低阶开始 逐步试探，直到定出合适的模型为止。
• 根据AR自（相p关）函的数自的相特征关，函可数见（AARC（）p）和序偏列相的关自函相数关（
函数是非截尾序列，称为拖尾序列。因此，自相P关A函C） 数拖尾是AR（ p ）序列的一个特征。
• 根据偏自相关函数的特征，当k>p时，PACkk =0，也 就是在p以后截尾。
模型的识别
• AR（p）模型的识别。若序列的偏自相关函数在p以后截 尾，而且自相关系数是拖尾的，则此序列是自回归AR（p ）序列。
• 如果一个时间序列有一个单位根，那么在回归模型中
可以Yt仅包Y括t1Y。1Yt1 ... p1Yt p1 ut
• 一般形式的MA(q)模型可以表示为
MA(q)模型
• •
上MA述(q模)Y模型t 型为也uqt阶不移存1动u在t平非1 均平模稳2u型问t2题。
qut q
• 如前果期时 值间 的序 线列 性函Yt是数自它，的回即当可归期表移和示动前为期：平的均随模机误型差(A项R以M及A)
– 两者结合的模型（ARMA）
• 习惯上用AR(p)、MA(q)或ARMA(p,q)来表示对应的滞 后时期。
• AR(p)模型是回归模型的一种形式，其一般形式为：
AR(p)模型
• 另一种表达方式是用差分形式：
– 这种Yt模型1设Yt定1 形 式2可Yt以2 减 .少.. 多 重p共Yt线p性 ut
• 从方法学角度看，时间序列分析主要基于统计学 ，而不是经济学；
• 时间序列模型通常适用于做短期预测，即统计序 列过去的变化模式尚未发生根本变化的期间；
• 长期预测则需要建立在经济行为基础之上。
– 自回归模型（AR）：反映经A济R变、量M的当A前和值A与R其M过去A值模的型
关系
– 移动平均模型（MA）：反映经济变量当前值与当前及过去 误差项的关系
• 调整可决系数、AIC和SC准则都是模型选择的重要标 准。
• 赤，池n是信观息测准值则数：目A，ICk=是-2被L/n估+计2k的/nA，参IC其数准中个则L数是。和对AS数ICC似准准然则则值
要求其取值越小越好。
• 施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时也要求SC值 越小越好。
• •
考一虑个AARRIIMMAA((pp,,dd,,qq))模模型型代表一个I(d)变量A经R过IMd次A差模分型
后所做的AR(p)和MA(q)模型。
• Y则At R称M该1AY（序t1p列,q为）2Y（t2p,q.）.. 阶自pY回t p归移ut动平1u均t1模型。记q为utq
随机时间序列分析模型的识别
• 对于AR、MA、ARMA模型，在进行参数估计之 前，需要进行模型的识别。识别的基本任务是找 出ARMA（p,q）、AR（p）、MA（q）模型的阶 。识别的方法是利用时间序列样本的自相关函数 和偏自相关函数。