ARMA模型案例分析
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
的无条
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ARIMA模型的概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
1-1Z- 2Z2 -...- pZp 0
特征方程的根全部落在单位圆以外时， ARMA(p,q)是一个平稳过程。
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ARIMA模型的概念
3.ARMA(p, q)过程的特征
1）E(Yt)=
c
1 (1 2 ... p)
2）ARMA(p, q)过程的方差和协方差
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ARIMA模型的概念
四. AR、MA过程的相互转化
于滞后长度描图）。
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ARMA模型的识别
2. 自相关函数和偏自相关函数的概念
①自相关函数
过程Yt的第j阶自相关系数即 j j 0 ，
自相关函数记为ACF(j) 。 ②偏自相关函数
偏自相关系数 *j度量了消除中间滞后项影响
后两滞后变量之间的相关关系。偏自相关函数 记为PACF(j)
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ARMA模型的识别
结论一：平稳的AR(p)过程可以转化为一个MA(∞)过程， 可采用递归迭代法完成转化
结论二：特征方程根都落在单位圆外的 MA(q)过程具 有可逆性
平稳性和可逆性的概念在数学语言上是完全等价的， 所不同的是，前者是对AR过程而言的，而后者是对 MA过程而言的。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
（1） ARIMA( p, d, q) 模型 这里的 d 是对原时序进行逐期差分的阶数，差分的目的是为了让某些非平稳 （具有一定趋势的）序列变换为平稳的，通常来说 d 的取值一般为 0,1,2。 对于具有趋势性非平稳时序，不能直接建立 ARMA模型，只能对经过平稳化 处理，而后对新的平稳时序建立 ARMA( p, q) 模型。这里的平文化处理可以是差 分处理，也可以是对数变换，也可以是两者相结合，先对数变换再进行差分处理。 （2） ARIMA( p, d, q)(P, D,Q)s 模型 对于具有季节性的非平稳时序（如冰箱的销售量，羽绒服的销售量），也同 样需要进行季节差分，从而得到平稳时序。这里的 D 即为进行季节差分的阶数； P,Q 分别是季节性自回归阶数和季节性移动平均阶数；S 为季节周期的长度，如
Step3：绘制其时序图，观察其是否平稳。分析——预测——序列图
此时可以看出该曲线有明显上升趋势，为非平稳序列，需要进行差分平稳化。 同时，也可以绘制自相关图形（操作：分析——预测——自相关）来观察其 趋势，如下图。
由上面自相关系数图可知，随着延迟数目的增加，系数并没有显著的趋近于 0，且许多数值较大的系数落在了置信区间之外，说明该时间序列并非平稳的。
j 1
rk j
k 1 k 2,3,
偏自相关系数kk ，可看作自变量 k 的函数，即偏自相关函数， 1 kk 1。 它用以测量当剔除其他滞后期（ t 1, 2,3, , k 1）的干扰的条件下，Yt 与Ytk 之 间相关的程度。与自相关系数类似，同样可以采用偏自相关分析图来对模型进行
识别。
3.1 自相关函数
自相关是时间序列Y1,Y2, Yt 诸项之间的简单相关。它的含义与相关分析中变 量之间的简单相关一样，只不过它所涉及的是同一序列自身，因而称作自相关。 自相关程度的大小，用自相关系数 rk 度量。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型介绍及案例分析AR、MA和ARIMA是时间序列分析中常见的模型，用于分析和预测时间序列数据的特征和趋势。
下面将对这三种模型进行介绍，并提供一个案例分析来展示它们的应用。
自回归模型（AR）是一种基于过去的观测值来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值可以由过去的观测值的线性组合来表示。
AR模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项。
AR模型的关键是确定自回归阶数p和自回归系数ϕ。
移动平均模型（MA）是一种基于过去的误差项来预测未来观测值的模型。
它基于一个假设：未来的观测值的误差项可以由过去的误差项的线性组合来表示。
MA模型的一般形式可以表示为：y_t=c+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
MA模型的关键是确定移动平均阶数q和移动平均系数θ。
自回归移动平均模型（ARIMA）结合了AR和MA模型的特点，同时考虑了时间序列数据的趋势性。
ARIMA模型一般形式可以表示为：y_t=c+ϕ_1*y_(t-1)+ϕ_2*y_(t-2)+...+ϕ_p*y_(t-p)+ε_t+θ_1*ε_(t-1)+θ_2*ε_(t-2)+...+θ_q*ε_(t-q)其中，y_t表示时间t的观测值，c是常数项，ϕ_1至ϕ_p是自回归系数，p是自回归阶数，ε_t是误差项，θ_1至θ_q是移动平均系数，q是移动平均阶数。
ARIMA模型的关键是确定自回归阶数p、移动平均阶数q和相关系数ϕ和θ。
下面举一个电力消耗预测的案例来展示AR、MA和ARIMA模型的应用：假设有一段时间内的电力消耗数据，我们想要用AR、MA和ARIMA模型来预测未来一段时间内的电力消耗。
基于ARMA模型的公路货运量预测及分析
基于ARMA模型的公路货运量预测及分析【摘要】本研究基于ARMA模型对公路货运量进行预测和分析。
首先介绍了ARMA模型的基本原理和应用，然后详细讨论了公路货运量数据的收集和预处理方法。
接着利用ARMA模型对货运量进行预测，并对模型进行了分析和结果讨论。
通过对模型优缺点进行分析，揭示了ARMA模型在货运量预测中的优势和局限性。
最后总结了研究成果并展望了未来的研究方向。
通过本研究，可以为货物运输管理提供决策支持和参考，提高运输效率和减少成本。
ARMA模型在货运量预测中具有一定的应用前景，同时也需要进一步完善和改进，以提高预测准确性和实用性。
【关键词】ARMA模型, 公路货运量, 预测, 分析, 数据收集, 结果讨论, 优缺点分析, 研究总结, 未来研究方向, 研究背景, 研究意义1. 引言1.1 研究背景公路货运是国民经济发展中重要的组成部分，其运输效率直接影响着商品流通和经济发展。
对公路货运量的准确预测可以帮助政府和企业合理调配资源，提高运输效率，降低成本，推动经济的持续发展。
公路货运量受到多种因素的影响，如经济状况、货物需求、交通状况等，预测其变化较为复杂。
传统的预测方法往往依赖于统计分析或经验模型，但这些方法往往对复杂的时间序列数据预测效果不佳。
基于ARMA模型的公路货运量预测成为一种较为有效的方法。
ARMA模型结合了自回归（AR）和移动平均（MA）两种方法，能够较好地捕捉时间序列数据的特征，具有较强的预测能力。
本研究旨在基于ARMA模型对公路货运量进行预测，并对模型进行分析和优缺点评价。
通过对公路货运量数据的收集、预处理和建模，我们希望能够为公路货运行业提供准确的预测结果和决策支持，推动行业的发展和提升运输效率。
1.2 研究意义公路货运量在现代社会经济发展中扮演着重要角色，对国家经济发展和社会稳定起着至关重要的作用。
对公路货运量进行准确的预测和分析具有重要的实践意义和理论价值。
基于ARMA模型的公路货运量预测可以为政府相关部门提供决策支持和参考，帮助其更好地制定交通运输政策和规划，优化道路资源配置，提高运输效率，降低物流成本，推动经济的健康发展。
ARMA模型建模与预测案例分析
ARMA模型建模与预测案例分析实验二 ARMA模型建模与预测指导一、实验目的学会通过各种手段检验序列的平稳性;学会根据自相关系数和偏自相关系数来初步判断ARMA模型的阶数p和q，学会利用最小二乘法等方法对ARMA模型进行估计，学会利用信息准则对估计的ARMA模型进行诊断，以及掌握利用ARMA模型进行预测。
掌握在实证研究中如何运用Eviews软件进行ARMA模型的识别、诊断、估计和预测和相关具体操作。
二、基本概念宽平稳:序列的统计性质不随时间发生改变，只与时间间隔有关。
AR模型:AR模型也称为自回归模型。
它的预测方式是通过过去的观测值和现在的干扰值的线性组合预测，自回归模型的数学公式为:yyyy,，，，，,,,, tttptpt1122,,,,,y式中: 为自回归模型的阶数(i=1，2，，p)为模型的待定系数，为误差，为？pitt一个平稳时间序列。
MA模型:MA模型也称为滑动平均模型。
它的预测方式是通过过去的干扰值和现在的干扰值的线性组合预测。
滑动平均模型的数学公式为:y,,,,,,,,,,,, ttttqtq1122,,,,,y式中: 为模型的阶数; (j=1，2，，q)为模型的待定系数;为误差; 为平稳？qjtt时间序列。
ARMA模型:自回归模型和滑动平均模型的组合，便构成了用于描述平稳随机过程的自回归滑动平均模型ARMA，数学公式为:yyyy,，，，，,,,,,,,,,,,,,, tttptptttqtq11221122,,,,,,三、实验内容及要求1、实验内容:(1)根据时序图判断序列的平稳性;(2)观察相关图，初步确定移动平均阶数q和自回归阶数p;(3)运用经典B-J方法对某企业201个连续生产数据建立合适的ARMA()模型，并pq,能够利用此模型进行短期预测。
2、实验要求:(1)深刻理解平稳性的要求以及ARMA模型的建模思想;(2)如何通过观察自相关，偏自相关系数及其图形，利用最小二乘法，以及信息准则建立合适的ARMA模型;如何利用ARMA模型进行预测;(3)熟练掌握相关Eviews操作，读懂模型参数估计结果。
金融时序分析ARMA模型实验报告
一、平稳性判断：（1）时序图：该序列的时序图都表现出围绕其水平均值不断波动的过程，没有明显的趋势或周期性，粗略估计是平稳时间序列。
（2）序列相关图：自相关系数快速衰减到0，在虚线范围内波动，没有明显的波动、发散，判断为平稳序列。
（3）ADF检验:模型3与模型2的伴随概率为0，拒绝有单位根的原假设，说明序列是平稳的。
但模型3的时间趋势项的伴随概率为0.6437，不显著，故不选用。
而模型2的常数项的伴随概率为0，在显著性水平0.05情况下显著，因此模型2是最合适的模型，有常数项。
模型1的t检验的伴随概率为0.6128，不能拒绝有单位根的原假设，不选用。
综上所述，该序列是平稳的。
二、随机性检验观察自相关图最后两列可以看到，Q检验的伴随概率均小于0.05，拒绝没有自相关性的原假设，因此该序列不是白噪声序列，没有把信息都提取出来。
观察其AC，虽落入虚线内后没有再到虚线外，但不是由非0骤降到0，判断为拖尾。
观察PAC，结果与AC类似，因此AC、PAC都是拖尾，初步判断使用ARMA模型。
接下来将尝试使用AR（１）、AR（２）、MA（１）、MA（２）、ARMA（1，3）、ARMA（1，2）模型进行拟合。
三、模型估计与白噪声检验（１）AR（１）：该模型各项显著，故对其进行残差项白噪声检验，观察Q检验及其伴随概率，在显著性水平为0.05时，拒绝没有自相关性的原假设，不是白噪声序列。
（２）AR（2）：该模型各项显著，故对其进行残差项白噪声检验，观察Q检验及其伴随概率，在显著性水平为0.05时，阶数较小时拒绝没有自相关性的原假设，不是白噪声序列。
（３）MA（１）：该模型各项显著，故对其进行残差项白噪声检验，观察Q检验及其伴随概率，在显著性水平为0.05时，接受没有自相关性的原假设，是白噪声序列。
（４）MA（2）：该模型MA（２）项不显著，不选用。
（５）ARMA（1，3）：该模型各项显著，故对其进行残差项白噪声检验，观察Q检验及其伴随概率，在显著性水平为0.05时，接受没有自相关性的原假设，是白噪声序列。
ARMAARIMA模型介绍及案例分析
ARMAARIMA模型介绍及案例分析ARMAARIMA模型是一种时间序列分析方法，用于对具有自回归和移动平均特性的数据进行建模和预测。
这个模型是由自回归（AR）和移动平均（MA）两个组成部分构成的，对于非平稳的数据还需要加入差分（I）的过程，所以称为ARMAARIMA模型。
ARMA模型是根据时间序列的自相关和滑动平均性质来进行建模的。
自回归是指当前数据与历史数据之间的相关关系，移动平均则关注当前数据与滞后差分误差之间的关系。
ARMA模型的一般形式可以表示为：Y(t)=c+φ₁Y(t-1)+...+φₚY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-θₚε(t-q)其中，Y(t)表示当前的观测值，c是常数，φ₁...φₚ是自回归系数，ε(t)是白噪声误差项，θ₁...θₚ是滑动平均系数，p和q分别表示AR和MA的阶数。
对于非平稳的时间序列数据，需要进行差分操作，即I（积分）的过程，来将数据变为平稳的。
差分阶数常用d表示。
而ARIMA（自回归移动平均积分模型）则是对ARMA模型进行补充，主要针对非平稳时间序列数据。
ARIMA模型的一般形式可以表示为：ΔY(t)=c+φ₁ΔY(t-1)+...+φₚΔY(t-p)+ε(t)-θ₁ε(t-1)-...-θₚε(t-q)其中ΔY(t)表示差分后的序列，其他参数与ARMA模型类似。
下面以一个股票价格的时间序列数据为例进行ARMAARIMA模型的案例分析。
假设我们有一段时间内的股票价格数据，要通过ARMAARIMA模型对未来的股票价格进行预测。
首先，我们需要对数据进行平稳性检验，可以使用单位根检验（如ADF检验）来确定是否需要进行差分。
接下来，需要确定ARMA模型的阶数，可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来确定。
根据图形的截尾和拖尾情况，可以估计出AR和MA的阶数。
然后，可以利用最大似然估计方法来估计模型参数，这可以通过软件来实现。
在估计参数之后，需要对模型进行检验，主要包括检查残差序列是否为白噪声，可以通过自相关图和偏自相关图进行检查。
Arma模型步骤及案例分析
Arma模型步骤及案例分析ar:自回归auto-regression Arma modelma:移动平均moving average （Ɛ随机干扰random disturbing）步骤一．平稳性检验（单位根检验unit root test）原理：y=ay+Ɛ当回归系数a等于1时，y为单位根过程即y=-y+Ɛ单位根过程=不平稳过程（non-station）=随机漫步（醉步，random walk）注：与平稳过程对应的是平稳过程（猫步，station）案例采取1978年到2005年的居民消费数据在EViews中建立文件，录入数据，取名为XF注；通过file成功建立一个workfile后，点击proc,下拉菜单里面有个import,点击后选择read text-lotus-excel,然后就可以选择你要导入的excel文件了。
不过注意：该文件一定要用英文命名，而且存储路径最好也是英文的。
检验过程：1View→graph→line(视图→图表→曲线图)2view→unit root test→3（注：level为水平序列1st different为一阶差分2nd different为二阶差分；intercept为截距基数trend and intercet为趋势和基数，比较常用；Lag length为后置长度，一般选用自动选择）4出结果根据P值若prob*>a则换用1st差分，以此类推。
本案例中是取二阶差分(注：null hypothesis（原假设）H0：“arimo1”has a unit root H1:“arimo1”has not a unit root)步骤二.建模Quick→Estimate Equation（注：填写d（xf,2）ar(p)ma(q)p属于[0,3]）q[0,3]，此步骤中确定p，q取值是要点）1注：Schwarz criterion施瓦茨准则（最关键，越小越好）Akaike info criterion赤池信息准则（平均预测误差，越小越好）2在p，q的几个取值结果中，寻找SC最小的作为最优选择3View→representations结果为抽样模型步骤三.白噪声检验（W.N.Test纯粹随机性检验）View→Residual Tests→serial correlation LM test(序列相关的拉格朗日乘数检验)→lags to2OK1)注：H0：序列（残差序列，剩余数列，扰动序列）无关H1：序列相关2)“希望接受H0”本案例中，pro>a=0.05,接受H03)对于时间序列用W.N test对于截面数据用D.W test步骤四.预测（forecast）单击Forecast结果如下单击OK，结果是打开xff(本案例的预测变量)为。
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基于ARMA模型的
国内生产总值分析
班级：金融工程3班
学号：2012302350006
姓名：严珂
一、案例分析目的
经济运行过程从较长时间序列看，由于市场机制的作用，呈现一定的规律，这对预测提供了依据。
目前，预测经济运行时间序列的理论与方法较多，而ＡＲＭＡ模型在经济预测过程中既考虑了经济现象在时间序列上的依存性，又考虑了随机波动的干扰性，对经济运行短期趋势的预测准确率较高。
由于国内生产总值是指一个国家或地区所有常住单位在一定时期内生产活动的最终成果。
这个指标把国民经济全部活动的产出成果概括在一个极为简明的统计数字之中，为评价和衡量国家经济状况、经济增长趋势及社会财富的经济表现提供了一个最为综合的尺度，可以说，它是影响经济生活乃至社会生活的最重要的经济指标。
不仅能够在总体上度量国民产出和收入规模，也能够在整体上度量经济波动和经济周期状态，因此，对GDP进行精确的拟合和分析对分析一国的宏观经济发展趋势具有重要意义。
我国实行改革开放政策后，逐步走上了市场化的经济道路，在高效率的市场经济机制推动下，我国的GDP的产出规模呈现增长模式，说明我国经济产出能力的不断增强，规模的不断变大。
虽然经济的发展有着诸多不确定性，但是这并不影响在既定模式下对GDP产出规模的大概预测。
在近十年的经济发展中，我国GDP的规模平稳较快发展，尤其在当前经济形势没有大的危机的情况下，每年的GDP产出规模是一个可以进行较为精确预测的数据。
所以，在数据可以预测的情况下，如何以最为精确的方式预测到GDP产出规模是国家管理工作的基础和前提。
本案例拟选取1997年1月到2007年10月的国内生产总值的数据来构建ARMA模型，并利用该模型进行外推预测分析。
二、实验数据
我们以GDP为研究标的，在数据的选取上，我们选择了1994年3月至2013年12
月一共80个数据。
这20年是中国改革开放后发展迅速的20年，在这期间国内生产总值有显著的增长，以这段时间作为研究样本期间，也有利于得到相对稳定可靠的统计结果。
三、ARMA建模流程
具体的建模流程可以总结如下：
(1)序列的预处理，判断该序列是否为平稳非纯随机序列。
若为非平稳序列，对该序列行处理使其符合ARMA模型建模的条件，即处理后的序列是平稳序列。
在判断其季节性，若有则
(2)计算出观察值序列的样本自相关系数(Ac)和样本偏自相关系数(PAC)的值；
(3)根据样本自相关系数和偏自相关系数，并根据AIC和SC定滞后长度p、q，选择恰当的ARMA模型进行拟合；
(4)估计模型中的未知参数；
(5)检验模型的有效性。
即残差的白噪声检验，如果拟合模型通不过检验，转向步骤3，重新选择模型再拟合；如果通过，则可确定模型；
(6)利用拟合的模型，选择预测序列的将来走势。
四、实验过程
（一）判断序列的平稳性
由GDP的折线图可以看出，GDP有较强的非线性趋势性，可初步判断该序列是非平稳的。
同时GDP在每年的同时期出现相同的变动方式，表明还存在季节性。
（二）单位根检验
为了减少GDP的变动趋势及异方差性，先对数据做取对数处理，记为P，得到下图：
从图可看出P的趋势性还是很强，进一步进行单位根检验：View/unit root test，根据AIC 自动选择滞后阶数，因有趋势性选择Trend and intercept，得到如下结果：
可知T统计量大于临界值，即P=log(GDP)是一个非平稳的过程，我们再对其进行差分，记为Q，
再对Q进行单位根检验，由折线图可看出Q不具有趋势性，故在检验时选择intercept，得结果T统计量大于在1%的显著水平下临界值，而小于5%和10%显著水平下的临界值。
故再对Q进行差分并进行单位根检验，记为ddLGDP，结果如下：
T统计量在1%的显著水平下拒绝原假设，即GDP的二阶差分ddLGDP不存在单位根，是平稳序列。
（三）季节性分析
有上述结果可知二阶差分ddGDP不存在趋势性且平稳，观察其自相关表：
由结果可知，ddLGDP在滞后期为4、8、12等处的自相关系数显著地异于0，因此该序列以周期4呈季节性，因此进行季节性差分，记为sddLGDP，其自相关表如下：
由结果可知，自相关系数逐渐趋于0，下面对ssDLGDP建立SARMA模型。
(四）滞后阶数的初步决定
观察自相关表，ACF和PACF在滞后期1、4、8等处异于0。
拟选择SARMA4)0,1)(
0,1(、SARMA4)1,1)(
0,1(、SARMA4)0,1)(1,1(、SARMA4)1,1)(1,1(四个模型来拟合sddLGDP。
（五）ARMA模型的参数估计
以SARMA4)0,1)(
0,1(为例，分析该模型的估计及残差的检验。
回归结果如下：
下面进行残差检验，观察残差的自相关表：
由Q统计量的值可以看出，残差存在自相关性，即残差不满足白噪声的假设。
类似地，估计其他模型，各模型的AIC、SC、残差检验结果汇总如下：
AIC SC平稳性可逆性残差是否满
足白噪声JB统计量检验
SARMA
4
)0,1)(
0,1(
-4.517000-4.355108是是否正态分布
SARMA
4
)1,1)(
0,1(
-4.704894-4.510624是是是正态分布
SARMA
4
)0,1)(1,1(
-4.694497-4.500227是是否正态分布
SARMA
4
)1,1)(1,1(
-4.941241-4.779349是是否正态分布从各自相关和非自相关的图表可以看出，SARMA4)1,1)(
0,1(模型残差的相关系数全部落在随即区间，并且自相关和非自相关函数均呈现递减趋势。
由此我们可以认为，该残差序列是纯随机序列。
综合来看，选择SARMA4)1,1)(
0,1(对数据进行拟合是最优的。
（六）模型的预测
在SARMA4)1,1)(
0,1(估计方程窗口点击proc/forecast，选择动态估计，预测2013年四个季度的序列值，预测情况如下：
在本案例中，协方差误（covariance proportion=0.966464)大于方差误（variance proportion=0.031508），模型满足检验的要求因此预测效果较好。
实验感想：
1、数据的选择：最开始想选择比较微观的数据进行预测，比如某只股票的价格预测
2、数据的处理
3、残差检验SMA
4、Eviews操作。