2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 应用举例例题解析
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列定义在解题中的潜在功能
数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础学问考查的同时，更加重视对应用力气的考查.作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列始终是高考考查时重点，特殊是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关.这里我们感爱好的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特殊是证明通项为an )1(1-+=n a d )(11-=n nq a a 或前n 项和)),1((2nn n q a S bn an S -=+=首先要证明它是等差（比）数列，必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列. 例1.设等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）.（A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 解 若等差数列{}n a 前m 项、次m 项、又次m 项和分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3也成等差数列.事实上，2)(2)(312131m m m a a m a a m S S +++=++2)]()[31212m n m a a a a m +++=+.22)(22)22(22121S a a m a a m m m m m =+⋅=+=++所以S1，S2，S3成等差数列.由于30，70，S3m －100成等差数列，所以30+S3m －100=140，即S3m=210.故应选（C ）.例2.设｛an ｝是等差数列，n a n b )21(=，已知,821321=++b b b 81321=b b b ，求等差数列的通项公式. 解 ∵｛an ｝成等差数列，∴｛bn ｝成等比数列,∴22b =b1b3.由b1b2b3=81,得b2=21. 从而有b1+b3= 817,b1b3=41.∴b1,b3是方程x2－x 817+041=两根.解得81,231==b b 或811=b ，.23=b ∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2.故an=a1+(n －1)d=2n －3或an=5－2n.例3.一个数列｛an ｝,当n 为奇数时, an=5n+1;当n 为偶数时,an=22n ,求这个数列的前2m 项的和. 解:∵a1,a3,a5,…，a2m －1成等差数列，ma a a a 2642,,,, 成等比数列，∴S2m=)()(2421231m m a a a a a a +++++++-mm m m m a a a m 2522)(212121++=⋅++=--.例4.设数列,,,,,21 n a a a 前n 项和Sn 与an 的关系是1+=n n ka S （其中k 是与n 无关的常数，且k ≠1）.（1）试写出由n,k 表示的an 的表达式；（2）若1lim =∞→n S n ，求k 的取值范围.解：（1）当n=1时，由1111+==ka S a ,得);1(111≠-=k k a当n ≥2时，由111)1()1(----=+-+=-=n n n n n n n ka ka ka ka S S a ，得11-=-k ka a n n .若k=0，则an=1(n=1)或an=0(n ≥2).若k ≠0,则｛an ｝是首项为k -11，公比为1-k k 的等比数列，所以1)1(11--⋅-=n n k k k a . （2）∵0lim ,1lim =∴=∞→∞→n a n S n n ，∴1-k k ＜1，解得k ＜21.例5.已知数列｛an ｝的前n 项和的公式是)2(122n n S n +=π.（1）求证：｛an ｝是等差数列，并求出它的首项和公差；（2）记21sin sin sin ++⋅⋅=n n n n a a a b ，求证：对任意自然数n ，都有1)1(82--=n n b .证明：（1）当n=1时，411π==S a ；当n ≥2时，=-=-1n n n S S a -+)2(122n n π)]1()1(2[122-+-n n π=)14(12-n π.∴).14(12-=n a n π =--1n na a .3]1)1(4[12)14(12πππ=----n n ∴｛an ｝是首项为4π，公差为3π的等差数列.（2）只要证明｛bn ｝是首项为82,公比为－1的等比数列. 1211sin 127sin4sinsin sin sin 3211πππ⋅⋅=⋅⋅=a a a b。
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列创新题的基本类型及求解策略
数列创新题的基本类型及求解策略高考创新题，始终是高考试题中最为亮丽的风景线．这类问题着重考查观看发觉，类比转化以及运用数学学问，分析和解决数学问题的力气．当然数列创新题是高考创新题重点考查的一种类型．下举例谈谈数列创新题的基本类型及求解策略． 一、创新定义型例1．已知数列{}n a 满足1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），定义使123k a a a a ⋅⋅⋅⋅为整数的数叫做企盼数，则区间[1,2005]内全部的企盼数的和M =________．解：∵1log (2)n n a n +=+（n *∈N ），∴1232312......log 3log 4log (2)log (2)k k a a a a k k +=⋅⋅⋅+=+．要使2log (2)k +为正整数，可设1()22n k n ++=，即1()22n k n +=-（n *∈N ）．令11222005n +-≤≤⇒19n ≤≤（n *∈N ）．则区间[1,2005]内全部企盼数的和9912341011()(22)(22)(22)(22) (22)n n n M k n +====-=-+-+-++-∑∑29234102(21)(222.......2)2918205621-=+++++⨯=-=-，∴2056M =．评析：精确 理解企盼数的定义是求解关键．解题时应将阅读信息与所学学问结合起来，侧重考查信息加工力气．二、性质探求型例2．已知数列{}n a 满足31,2,3,4,5,67n n n n a a n +=⎧=⎨-⎩≥，则2005a =______．解：由3n n a a +=-，7n ≥知，63n n n a a a ++=-=．从而当n ≥6时，有6n n a a +=，于是知20053346111a a a ⨯+===．评析：本题主要通过对数列形式的挖掘得出数列特有的性质，从而达到化归转化解决问题的目的．其中性质探求是关键．三、学问关联型例3．设是椭圆22176x y +=的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3,)i P i =，使123,,,PF PF PF 组成公差为的等差数列，则的取值范围为_______．解析：由椭圆其次定义知eii iPF PP ='e i i iPF PP '⇒=，这些线段长度的最小值为右焦点到右顶点的距离即11FP =，最大值为右焦点到左顶点的距离即211PF =+，故若公差0d >，11(1)n d +=-+-，∴2121n d >+≥，∴1010d <≤．同理，若公差0d <，则可求得1010d -<≤． 评析： 本题很好地将数列与椭圆的有关性质结合在一起，形式新颖，内容深遂，有确定的难度，可见命题设计者的良苦认真．解决的关键是确定该数列的最大项、最小项，然后依据数列的通项公求出公差的取值范围． 四、类比联想型例4．若数列{}()n a n *∈N 是等差数列，则有数列123nn a a a a b n ++++=()n *∈N 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等比数列，且0n c >，则有数列n d =_______也是等比数列．解析：由已知“等差数列前n 项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n 项的几何平均值也应当是等比数列”不难得到3n nd c =也是等比数列．评析：本题只须由已知条件的特征从形式和结构上对比猜想不难挖掘问题的突破口． 五、规律发觉型例5．将自然数1,2,3,4,排成数陈（如右图），在处转第一个弯，在转其次个弯，在转第三个弯，…．，则第2005个转弯处的数为____________． 21―22 ―23―24―25－26| | 20 7 ― 8 ―9 ―10 27 | | | 19 6 1 ―2 11 …… | | | | 18 5 ― 4 ―3 12 | | 17―16 ―15―14 ―13解：观看由起每一个转弯时递增的数字可发觉为“1,1,2,2,3,3,4,4,”．故在第2005个转弯处的数为：12(1231002)10031006010++++++=．评析：本题求解的关键是对图表转弯处数字特征规律的发觉．具体解题时需要较强的观看力气及快速探求规律的力气．因此，它在高考中具有较强的选拔功能． 六、图表信息型例6．下表给出一个“等差数阵”：。
2021高考数学475道必考题型总结(全国卷新高考)
2021 年高考数学 必考题型总结
第一章 集合与常用逻辑用语
题型 1 集合元素的“三性” （详见《专题课-集合的概念与运算》）
例 1：设集合 A={2，3，a2-3a，a+
2
+7}，B={|a-2|，3}，已知 4∈A，且 4∉B，则 a 的取值集合为
a
.
题型 2 集合间的关系 （详见《专题课-集合的概念与运算》）
题型 6 单调性+奇偶性解不等式 （详见《专题课-函数的单调性、奇偶性》）
1
例 9：(1)已知偶函数 f(x)在区间[0，+∞)上单调递增，则满足 f (2 x 1) f 的 x 的取值范围是________.
3
(2)已知函数 f(x-2)为奇函数，f(-2)=0 且 f(x)在区间[-2，+∞)上单调递减，则 f(3-x)>0 的解集为
A.c<b<a
B.a<b<c
C.a<c<b
例 33：设 x，y，z 为正数，且 2x=3y=5z，则 （
A.2x<3y<5z
B.5z<2x<3y
D.c<a<b
）
C.3y<5z<2x
D.3y<2x<5z
（
）
梅花香自苦寒
题型 20 构造法解抽象函数 （详见《专题课-指数、对数、幂函数》）
1
例 34：已知函数 f(x)定义域为(0，+∞)，且满足 f(xy)=f(x)+f(y)， f 1, 如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y),则不等式
第二章 基本初等函数
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 斐波那契数列
斐波那契数列每一对兔子过了诞生第一个月之后，每个月生一对小兔子。
现把一对初生小兔子放在屋内，问一年后屋内有多少对兔子？这个数值称为黄金分割，它正好是方程x2+x-1=0 的一个根。
先不在这里考虑兔子能否长大，或是某些月份没有生小兔子一类的问题，完全只由数学角度去考虑这问题，意大利数学家斐波那契(Fibonacci)解了这个题目，其内容大约是这样的：在第一个月时，只有一对小兔子，过了一个月，那对兔子成熟了，在第三个月时便生下一对小兔子，这时有两对兔子。
再过多一个月，成熟的兔子再生一对小兔子，而另一对小兔子长大，有三对小兔子。
如此推算下去，我们便发觉一个规律：时间(月) 初生兔子(对) 成熟兔子(对) 兔子总数(对)1 1 0 12 0 1 13 1 1 24 1 2 35 2 3 56 3 5 8不难发觉，每个月成熟兔子的数目是上个月的兔子总数，而初生兔子的数目是上个月成熟兔子的数目，也即是两个月前的兔子总数，因此每个月的兔子总数刚好是上个月和两个月前的的兔子总数之和。
由此可得每个月的兔子总数是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 23, 377...，由此可知一年后有377 对兔子。
若把上述数列连续写下去，得到的数列便称为斐波那契数列，数列中每个数便是前两个数之和，而数列的最初两个数都是1。
若果设F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13... 则成立这个关系式：当n 大于1，Fn+2=Fn+1+ Fn，而F0=F1=1。
下面是一个奇异的式子： (1)Fn看似是无理数，但当n 是非负整数时，Fn都是整数，而且组成斐波那契数列，由于F0=F1=1，并且Fn+2=Fn+1+ Fn，这可用数学归纳法来证明。
利用斐波那契数列解决兔子数目的问题好像没有甚么用途，由于不能保证兔子真的每月只生一对小兔子一类的问题，但事实上这个数列的应用格外广泛。
2021新高考数学专题20 解三角形附参考答案2
方法技巧专题20 解三角形学生篇一、解三角形问题知识框架二、解三角形题型分析（一）三角形中的求值问题1．正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．2．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．1.例题【例1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( ) A ． 3 B ．2 C ．2 2 D ．3【例2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =（ ）A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π 【例3】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4a =，b =cos (2)cos c B a b C =-，则ABC ∆的面积为______．【例4】（2017·全国高考真题（理））△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、, 已知△ABC 的面积为23sin a A．(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【例5】如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长.[来源学+科+网Z+X+X+K]2.巩固提升综合练习【练习1】（2019·全国高考真题）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【练习2】（2018·全国高考真题）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【练习3】 在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【练习4】在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( ) A ．1 B ．2 C ． 3 D ．2【练习5】已知圆内接四边形ABCD 的边长AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积S ．【练习6】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ． (1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．（二）三角形中的最值或范围问题1.例题【例1】在△ABC 中，已知c ＝2，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋b 的取值范围为________． 【例2】已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（ ） A ．273B ．5C ．73D ．25【例3】已知△ABC 的外接圆半径为R ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋32c sin C ＝2R ，则△ABC 面积的最大值为( )A ．25B ．45C ．255D ．125【例4】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos Ccos cos cos 2ab Ac A B +=，ABC ∆的面积为3，则ABC ∆周长的最小值为______. 2.巩固提升综合练习【练习1】 设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,23)C ．(22,3)D ．(22,4)【练习2】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则当角B 取得最大值时，△ABC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．2＋ 2C ．3D ．3＋ 2解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法： 一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．【练习3】已知ABC ∆的面积为21+,且满足431tan tan A B+=，则边AC 的最小值为_______. 【练习4】在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．（三）解三角形的实际应用 必备知识：实际测量中的有关名称、术语名称 定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l 与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线l下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)南偏西60°指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角1.例题【例1】在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【例2】如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测出A ，B 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．【例3】某人在点C 测得塔顶A 在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进100米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为____________米．2.巩固提升综合练习【练习1】甲船在A 处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？【练习2】如图，一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这艘船航行的速度为( )A.1762海里/时 B ．346海里/时 C.1722海里/时 D ．342海里/时【练习3】某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比在B地晚217秒．在A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)三、课后自我检测1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则cb sin B ＝()A．32B．233C．33D． 32．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝23，b sin A＝a cos⎪⎭⎫⎝⎛+6πB则b＝() A．1 B. 2C. 3D. 53．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝32，tan B＝2tan A，则△ABC的面积为()A．2 B．3C．3 2 D．4 23．如图，在△ABC中，∠C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝22，则cos A等于()A．223B．24C ．64D ．634．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，则2ba的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，6) C ．(2，3)D ．(6，4)5．在中，角、、所对的边分别为，，，，，若三角形有两解，则的取值范围是_______.6．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________． 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC 至点D ，若BD＝2，则△ACD 面积的最大值为________．8．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________． 9．若满足3ABC π∠=， AC =3， ,BC m ABC =恰有一解，则实数m 的取值范围是______．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan A tan B ＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ． (1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．12．已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。
2021年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测：27 解三角形应用举例(解析版)
『高考复习·精推资源』『题型归纳·高效训练』第27讲解三角形应用举例（讲）思维导图知识梳理1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．3．方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角．(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．4．坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．题型归纳题型1 解三角形的实际应用【例1-1】（2020春•鼓楼区校级期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为( )A ．B ．80C ．160D ．【分析】根据题意画出图形，BCD ∆中利用正弦定理求出BD 的值，ACD ∆中利用等角对等边求出AD 的值，再在ABD ∆中由余弦定理求出AB 的值． 【解答】解：如图所示：BCD ∆中，80CD =，15BDC ∠=︒，12015135BCD ACB DCA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，30CBD ∴∠=︒，由正弦定理，得80sin135sin30BD =︒︒，解得BD = ACD ∆中，80CD =，15DCA ∠=︒， 13515150ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒， 15CAD ∴∠=︒，80AD CD ∴==，ABD ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-∠22280280cos135805=+-⨯⨯︒=⨯，AB ∴=A ，B 两点间的距离为，故选：D ．【例1-2】（2020春•威宁县期末）小华想测出操场上旗杆OA 的高度，在操场上选取了一条基线BC ，请从测得的数据①12BC m =，②B 处的仰角60︒，③C 处的仰角45︒，④cos BAC ∠=，⑤30BOC ∠=︒中选取合适的，计算出旗杆的高度为( )A ．B ．12mC ．D ．【分析】首先利用仰角和俯角的应用求出OB 和OC 的长，进一步利用余弦定理的应用求出OA 的长 【解答】解：选①②③⑤， 如图所示：则60ABO ∠=︒，45ACO ∠=︒， 设OA x =，则OA OC x ==，OB ．在BOC ∆中，利用余弦定理：222231223BC x x==+-，整理得：x =OA = 故选：D ．【例1-3】（2019秋•黄山期末）新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A 出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为18/v km h =，水流的速度的大小为24/v km h =，设1v 和2v 的夹角为(0180)θθ︒<<︒，北岸的点B 在A 的正北方向，游船正好抵达B 处时，cos (θ= )A B ． C ．12 D ．12-【分析】依题意可作出图形，利用图中的直角三角形可求得23πθ=，从而可得答案． 【解答】解：依题意，作图如下，设由A 到B 航行的时间为t ，则||4AC t =，||||8AD BC t ==， 在直角三角形ABC 中，41sin 82t ABC t ∠==， 所以6ABC π∠=， 所以2263πππθ=+=， 所以1cos 2θ=-，故选：D ．【跟踪训练1-1】（2020春•湖北期末）为了测量河对岸两地A 、B 之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD ，测得CD a =米，再测得90ACD ∠=︒，30BCD ∠=︒，45ADC ∠=︒，105CDB ∠=︒，据此计算A 、B 两地之间的距离是( )AB C ．1)a D【分析】先在直角三角ACD 中，求出AD ，然后在三角形BCD 中，利用正弦定理求出BD ，最后利用三角形ABD 中，利用余弦定理求出AB 的值．【解答】解：由已知，在三角形ACD 中，CD a =米，90ACD ∠=︒，45ADC ∠=︒，∴AD ． 又在三角形BCD 中，CD a =米，30BCD ∠=︒，105CDB ∠=︒，45B ∴∠=︒，由正弦定理得sin sin CD BD B BCD =∠，即sin 45sin30a BD=︒︒，∴BD =． 所以在ADB ∆中，1054560ADB ∠=︒-︒=︒，2222221132cos6022222AB AD BD AD BD a a a ∴=+-︒=+-⨯=，∴AB =． 故选：B ．【跟踪训练1-2】（2020春•德州期末）如图所示，为了测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 作为测量基点，从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒，75MAC ∠=︒，从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高500BC m =，则山高MN （单位：)m 为( )A ．750B．C ．850D．【分析】利用直角三角形求出AC ，由正弦定理求出AM ，再利用直角三角形求出MN 的值． 【解答】解：在Rt ABC ∆中，45CAB ∠=︒，500BC m =，所以AC =； 在AMC ∆中，75MAC ∠=︒，60MCA ∠=︒，从而45AMC ∠=︒， 由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=︒︒，因此AM ==；在Rt MNA ∆中，AM =，60MAN ∠=︒， 由sin 60MNAM=︒，得750MN m ==． 故选：A ．【跟踪训练1-3】（2020春•萍乡期末）俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖．萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生．迷信使然，建塔以辟邪镇邪．坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”．此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建．某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，。
2021年高考数学真题一题多解 - 新高考I卷解析
因此AO⊥平面BCD，
因为 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
因为 ，即 ，整理可得 ，
即 ，显然 ，故 .
因此，直线 与直线 的斜率之和为 .
【解法二】参数方程法：设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
代入双曲线可得
同理
因为
即两斜率和为零。
【思维方式】本题的两种方法;一种是代数法，另一种参数法。求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积.
答案：(1)详见解析(2)
【知识点】垂直位置关系、二面角的求法
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
【解法一】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点 双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 ；
（2）设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列要点讲解
数 列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前n 项.理解等差（比）数列的概念，把握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些学问来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，把握数学归纳法这一证题方法，把握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般状况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列全部项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式学问的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类争辩等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻生疏函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和力气的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新毁灭的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查规律推理力气，近两年在数列题中也加强了推理力气的考查。
（3）加强了数列与极限的综合考查题3.娴熟把握、机敏运用等差、等比数列的性质。
等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用格外广泛，且格外机敏，主动发觉题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁秀丽 .如243546225a a a a a a ++=，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有223355225a a a a ++=，即235()25a a +=. 4.对客观题，应留意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发觉，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列. ②机敏运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加精确 、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有机敏、简捷的解法5.在数列的学习中加强力气训练 数列问题对力气要求较高，特殊是运算力气、归纳猜想力气、转化力气、规律推理力气更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法机敏多变，而解答题更是考查力气的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理力气的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平常要加强对力气的培育。
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第 6 题. 如图，已知一艘船从 30 n mile/h 的速度往北偏东10 的 A 岛行驶，方案到达 A 岛后停留 10 min 后连
续驶往 B 岛，B 岛在 A 岛的北偏西 60 的方向上．船到达Ｃ处时是上午 10 时整，此时测得 B 岛在北偏西 30
的方向，经过 20 min 到达Ｄ处，测得 B 岛在北偏西 45 的方向，假如B一切正常的话，此船何时能到达 B 岛？
答案：在 △BCD 中， BCD 30 10 40 ,
60
45 A
BDC 180 ADB 180 45 10 125 ， CD 30 1 10
3 （n mile），
应用举例
第 1 题. 如图，一艘船以 32.2n mile/h 的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东 20 的方向，30 min 后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东 65 的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行平安区
域，这艘船可以连续沿正北方向航行吗？
65
S
北
B
西
东
C
答案：在△ABC 中， AB 700 km， ACB 180 21 35 124 ，
A 700 依据正弦定理， sin124
21
AC
sin 35
BC si7n0201km，
35
B
AC 700 sin 35 sin124 ，
Ｑ
γ
B
a
β
α
Ａ
ABP 180 + ，
BPA 180 - ABP
180 - 180 +
= -
．
在 △ABP 中，依据正弦定理，
AP AB sin ABP sin APB
sin
AP
180
+
sin
-
α sin - AP sin -
sin sin -
h AP sin
AC BC 依据正弦定理， sin ABC sin BAC ，
AC BC sin ABC 17.5 sin12 4.29
sin BAC
sin 58
（nmile）．
货轮到达Ｃ点时与灯塔的距离是约 4.29n mile．
第 5 题. 轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C，两艘轮船的航行方向之间的夹角为120 ，轮船 A 的航行
这个海岛的宽度．
8000m 答案：约 5821.71m．
27
39
第 8 题. 一架飞机从 A 地飞到 B 到，两地相距 700km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，
P
Q
就沿与原来的飞行方向成 21 角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成 35 夹角的方向连续飞
行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程 700km 远了多少？
sin110
sin15 sin 70
(n mile)．
假如这一切正常，此船从Ｃ开头到Ｂ所需要的时间为：
20 AD AB 60 10 30 6.84 21.65 60 86.98
3秒．所以此船约在 11 时 27 分到达Ｂ岛．
第 7 题. 一架飞机在海拔 8000m 的高度飞行，在空中测出前下方海岛两侧海岸俯角分别是 27 和39 ，计算
所以山高为
sin -
．
第 3 题. 测山上石油钻井的井架 BC 的高，从山
脚测得 AC 65.3 m，塔顶的仰角是 25 25 ．已
知山坡的倾斜角是17 38 ，求井架的高 BC ．
答案：在△ABC 中， AC 65.3 m，
BAC =25 25 17 38 7 47 ，
ABC 90 =90 17 38 72 22 ，
答案：在 △ABS 中， AB 32.2 0.5 16.1n mile， ABS 115 ，
20
AS
AB
依据正弦定理， sin ABS sin 65 20 ，
AS AB sin B AB sin ABS 2 16.1 sin115 2 南
sin 65 20
A
，
S 到直线 AB 的距离是
30
20 min 30
C
依据正弦定理，
CD
sin CBD
sin
BD BCD
，
sin
10 180 40
125
BD sin 40 ，
BD 10 sin 40 sin15 ．
在 △ABD 中，
ADB 45 10 55 ， BAD 180 60 10 110 ，
ABD 180 110 55 15 ．
依据正弦定理，
AC BC BC AC sin BAC 65.3sin 7 47 9.3m
sin ABC sin BAC
sin ABC
sin 72 22
井架的高约为 9.3m．
第 4 题. 如图，货轮在海上以 35n mile / h 的速度沿着方位角（从指北
方向顺时针转到目标方向线的水平角）为148 的方向航行．为了确定 船位，在 B 点观看灯塔 A 的方位角是126 ，航行半小时后到达Ｃ点，
依据正弦定理，
AD BD AB sin ABD sin BAD sin ADB ，
就是
AD BD AB sin15 sin110 sin 55 ，
AD BD sin15 10 sin 40 6.84
sin110
sin 70
（n mile）．
AB BD sin 55 10 sin 40 sin 55 21.65
126
B
A
78
C
观看灯塔 A 的方位角是 78 ．求货轮到达Ｃ点时与灯塔 A 的距离（精确到１ n mile）． 答案：在 △ABC 中， BC ＝ 35 0.5 17.5 n mile ， ABC 148 126 12 ，
ACB 78 180 148 110 ， BAC 180 110 12 58 ，
d AS sin 20 16.1 sin115 2 sin 20 7.06 （cm）．
所以这艘船可以连续沿正北方向航行．
第 2 题. 如图，在山脚测得出山顶的仰角为，沿倾斜角为 的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求
a sin a sin
h
证：山高
sin -aＰ ．
答案：在 △ABP 中， Ｃ