考研数学高等数学强化习题常数项级数

模块十三 常数项级数Ⅰ经典习题一．具体级数收敛性的判别1、判断下列级数的收敛性121ln n nn ∞=∑2)11n ∞=∑31n ∞=∑ 42211ln 1n n n ∞=+-∑5()()()2111...1nnn a a a a ∞=+++∑ 6()211212n n n ∞+=⎡⎤+-⎣⎦∑721nn n e∞-=∑ 8()101ln 1n n x dx ∞=+∑⎰2、判断下列级数的收敛性包括绝对收敛与条件收敛1()22ln 1nn nn ∞=-∑ 211nn ∞=-3()11111...2nn n∞=-+++∑4()2111nnnn a a∞=-+∑,1a >3、下列级数中不一定收敛的是A 12!n n n n n ∞=∑ B ()1111n n n n n -∞+=+∑ C()211,0,0n a b anbn c α∞=>>++∑D 1,01nn np p ∞=<<∑ 4、下列级数条件收敛的是A ()211nn k n n ∞=+-∑ B 1(2)sin 3nnn π∞=-∑ C()11nn ∞=-∑其中21n n a ∞=∑收敛. D 121nn n n ∞=-⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 5、对于常数0k>,级数1211(1)tan()n n kn n∞-=-+∑A 发散B 绝对收敛C 条件收敛D 收敛性与k 的取值有关 6、设a 为常数,则级数21sin()[).n na n ∞=∑ A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 收敛性与a 的取值有关7、判别级数111[ln]n n nn ∞=+-∑的敛散性,并证明1112lim 1.ln n n n →∞+++= 二．抽象级数收敛性的判别8、131sin (1)1nn n kxdx x ∞=-+∑⎰k 为常数 A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性有k 有关9、设()f x 是微分方程2(1)xy xy x e '+=+满足初始条件(0)0y =的特解, 则无穷级数1(1)()nf n-∑ A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性不定10、设函数()f x 在区间(0,1)内可导,且导函数()f x '有界：()f x M '≤,证明1级数111()()1n f f n n ∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑绝对收敛； 21lim ()n f n→∞存在．11、设函数()y y x =是微分方程'y x y =+当()01y =时的一个特解,试讨论级数1111n f n n ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑的收敛性. 12、设()f x 在[)1,+∞上单调增加,且()lim .x f x A →+∞= 1证明级数()()11n f n f n ∞=+-⎡⎤⎣⎦∑收敛,并求其和；2进一步设()f x 在[)1,+∞上二阶可导,且()0,f x ''<证明级数()1n f n ∞='∑收敛;13、设正项数列{}n a 单调下降,且()11nn n a ∞=-∑发散,证明111n n n a a ∞+=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.三．收敛性的讨论14、已知0(1,2,3)n u n >=,且1(1)n n n u ∞=-∑条件收敛,若设2123(1,2,3...)n n n u u n ν-=-=,则级数1nn ν∞=∑ .A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 收敛或发散取决于{}n u 的具体形式 15、下列选项中正确的是A 若lim 1nn na b →∞=,则1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑有相同敛散性 B 若正项级数1nn a∞=∑收敛,则必有lim1n →∞<C 若正项级数1n n a ∞=∑发散,则必有1n a n>D 正项级数1(0,0)nn n αβαβ∞=>>∑的敛散性与αβ、有关16、下列四个有关级数的论断 ①若级数1nn u∞=∑发散,则lim 0n n u →∞≠②若1lim1n n nu u +→∞<,则1n n u ∞=∑必收敛 ③若正项级数1nn u∞=∑收敛,则级数21nn u∞=∑必收敛④若0(1,2,3...)n u n >=且交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑条件收敛,则级数1n n u ∞=∑必发散正确的是A ①与②B ②与③C ③与④D ①与④ 17、若级数1nn a∞=∑收敛,则级数()()()()()11111112nn n n n n n n n n n A a B a a a C a a D ∞∞==∞∞++==-+∑∑∑∑收敛;收敛;收敛;收敛;18、设有两个数列{}{},,n n a b 若lim 0,n n a →∞=则()()()()111122112211n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A b a b B b a b C b a b D b a b ∞∞==∞∞==∞∞==∞∞==∑∑∑∑∑∑∑∑当收敛时，收敛;当发散时，发散;当收敛时，收敛;当发散时，发散;19、若级数2211,n nn n a b∞∞==∑∑均收敛,则级数1n nn a b∞=∑()()()()A B C D 条件收敛;绝对收敛;必发散;敛散性不能确定;20、,n n a b 符合下列哪一个条件,可由1nn a∞=∑发散推出1nn b∞=∑发散()()()()n nn n n nn nA a bB a bC a bD a b ≤≤≤≤21、若级数1nn a∞=∑收敛,1nn b∞=∑发散,则级数()()()()()211211n n n n n n n n n n A a b B a C b D a b ∞∞==∞∞==+∑∑∑∑收敛;必收敛;必发散;必发散;22、设()2121n n n aa ∞-=+∑收敛,则()()()()111lim 0;n n n n n n n n n A a B a C a D a a ∞∞==∞→∞==∑∑∑收敛;发散;当>0时,必收敛;23、正项级数1nn a∞=∑收敛是级数21nn a∞=∑收敛的()()()()A B C D 充要条件;充分条件;必要条件;即非充分条件，又非必要条件;24、如果级数()1nn n ab ∞=+∑收敛,则级数11,n n n n a b ∞∞==∑∑()()()()A B C D 都收敛;都发散;敛散性不同;同时收敛，同时发散;25、如果级数11,n nn n a b∞∞==∑∑都发散,则()()()()()()()1111;n n n n n n n n nn n n A a b B a b C a b D a b ∞∞==∞∞==-++∑∑∑∑必发散;发散;必发散必发散;26、已知级数1nn a∞=∑收敛,则下列级数中必收敛的是()()()()()()211212111;nn n n n n n n n k n n A B a C a a D a a k ∞∞==∞∞-+==--+∑∑∑;;,为正整数;27、下列命题成立的是()()()()11111111lim lim lim ,lim ,nn n n n n n nn n n n n nn n n n n n n n n n n n n n a A b a b a B a b b C a b a b D a b a b ∞∞→∞==∞∞→∞==∞∞→∞==∞∞→∞==∞∑∑∑∑∑∑∑∑若=0，则收敛时，收敛;若=，则发散时，发散;若=1，则中至少有一个发散;若=0，则中至少有一个收敛;28、设有命题1若正项级数1n n u ∞=∑满足11n n u u +<,则级数1n n u ∞=∑必收敛； 2若正项级数1nn u∞=∑收敛,则1n ≤；3若lim 1,nn na b →∞=,则级数11,n n n n a b ∞∞==∑∑同敛散； 4若数列{}n a 收敛,则级数()11n n n aa ∞+=-∑收敛;以上四个命题中正确的个数为()()()()1234A B C DⅡ参考答案一．具体级数收敛性的判别1. 1收敛;2发散; 3发散; 4 收敛; 5 收敛; 6收敛; 7 收敛; 8; 收敛2. 1条件收敛;2条件收敛; 3条件收敛; 4 绝对收敛; 3．C 4．A 5．C解析： 因为数列21tan()k nn ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭单调减少,且21lim tan()0n k n n →∞+=,故交错级数1211(1)tan()n n k n n ∞-=-+∑收敛.对于级数1221111(1)tan()tan()n n n k k n n n n ∞∞-==-+=+∑∑.由于2211tan()lim lim 111n n k kn n n n n n→∞→∞++==,而级数11n n∞=∑发散,故级数211tan()n k n n ∞=+∑发散,因此对任何常数k 级数1211(1)tan()n n kn n∞-=-+∑条件收敛.6．C解析：因为21sin()n na n ∞=∑收敛,1n ∞=∑,所以级数21sin()[n na n ∞=∑发散. 7．收敛解析： 因为23111111110ln ln(1)()23n n n n n n n n n +<-=-+=--+-232111232n n n =-+<因为2112n n ∞=∑收敛,所以111[ln ]n nn n ∞=+-∑收敛,设其和为A ．11111[ln ]1ln(1),()2nn k k S n A n kk n =+=-=+++-+→→∞∑故111ln(1)2lim lim 0.ln ln n n n A n n n →∞→∞+++-+==即111ln(1)2lim 0,ln ln n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦而ln(1)lim 1,ln n n n →∞+=所以 1112lim 1.ln n n n →∞+++=二．抽象级数收敛性的判别8．A解析： 由于1330n n 022sin sin 111lim lim lim 1122n nt kx ktdxa k x t t n t n n →∞→∞→++===⎰令 又211n n ∞=∑收敛,故1301sin 1n n kx dx x ∞=+∑⎰也收敛,也即1301sin (1)1n nn kx dx x ∞=-+∑⎰绝对收敛 故正确选项是A 9．B解析: 2(1)xy xy x e '+=+,两边再对x 微分,得2((1)2(1))xy y xy x x e '''++=+++ 把(0)0y =代入上面两个微分方程可得到(0)1,(0)3y y '''==由(0)1y '=可知, 存在0δ>,使得在(,)δδ-上, ()0f x '>,此时()f x 单调递增 所以有11()()1f f n n >+,由莱布尼茨定理知1(1)()n f n-∑收敛. 故有223()()2f x x x x ο=++ 又2211311()()(())21,11f n n n n n n nο++=→→∞,1n ∑发散, 所以1()f n ∑也发散,即有1(1)()n f n-∑条件收敛.10．解析：11111()()()()11n f f f n n n n ξ'-=-++ 2111(),(1)(1)n f M M n n n n nξ'=≤≤++由于211n n ∞=∑收敛,所以由比较判别法知,111()()1n f f n n ∞=-+∑收敛,即111()()1n f f n n ∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑绝对收敛． 2由级数111()()1n f f nn ∞=⎛⎫-⎪+⎝⎭∑收敛,则它的前n 项部分和 111()()1nn k S f f k k =⎛⎫=- ⎪+⎝⎭∑111111()()()()()()12231f f f f f f n n =-+-++-+1(1)(),1f f n =-+当n →∞时极限存在. 所以1lim ()(1)lim 1n n n f f S n →∞→∞=-+存在,即1lim ()n f n →∞存在,证毕．11．绝对收敛解析因为y y y x y '+=''+='1,所以.由1)0(=y 得2)0(,1)0(=''='y y ．根据泰勒公式,得()()22221111111100(0)1,2y y y y o o n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以,11111lim 2=--⎪⎭⎫⎝⎛∞→n n n y n ．而级数∑∞=121n n收敛,故由正项级数的比较审敛法知,级数∑∞=--⎪⎭⎫⎝⎛1111n n n y 收敛,故原级数绝对收敛.12. 略13. 略三．收敛性的讨论14．C解析：由交错级数1(1)nnn u∞=-∑条件收敛及0(1,2,...)n u n >=知1321lim()n n u u u -→∞++⋅⋅⋅+=+∞,1234212lim()n n n u u u u u u T -→∞-+-+⋅⋅⋅+-=,其中T 个常数.级数1nn v∞=∑的部分和1213211234212S 2()()n n n n n v v v u u u u u u u u u --=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-,所以,lim n n S →∞=+∞,即1nn ν∞=∑发散.故应选C15．D解析： 比较判别法仅适合正项级数,故排除选项A, 211n n ∞=∑收敛,但1n ∞==,排除选项B,211n n n∞=+∑发散,但有1n a n <,故排除选项 C.选项 D 中,当1β≠时,收敛性取决于β,1β=时,收敛性取决于α,故选D.16．C解析： 调和级数11n n ∞=∑发散,但1lim 0n n →∞=,故论断①未必成立；交错级数11(1)n n ∞-=-∑发散,但111lim 11n n n n n u u u u ++→∞=-⇒=-<,故论断②的结论未必成立；由正项级数1n n u ∞=∑收敛知lim 0n n u →∞=,从而存在自然数N ,当n N ≥时,01n u ≤≤成立20n n u u ⇒≤≤成立,由正项级数的比较判别法知论断③的结论总成立；由1(1)n n n u u -=-及交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑条件收敛知1nn u∞=∑发散,即论断④的结论总成立.应选C17．D 18．C19．B 20．D 21．D 22．D 23．B 24．D 25．D 26．D 27．C 28．B。