2021高考数学复习专题直线与圆、圆与圆的位置关系(文精练)

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第49讲直线与圆的位置关系(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

Δ＜0 d＞r
Δ＝0 d＝r
Δ＞0 d＜r
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆 x2＋y2＝r2 外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
12＋（－1）2 选 C.
4、过点(2，3)与圆(x－1)2＋y2＝1 相切的直线的方程为________________．
【答案】 x＝2 或 4x－3y＋1＝0
【解析】 ①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为 y＝k(x－2)＋3，由圆心(1，0)到切线的距离为半径 1，得 k＝4，所以切线方程为 4x－3y＋1＝0；②若切线的斜率不存在，则切线方程为 x＝2，符合题意，所以直
【解析】（2）由 ax－y＋2－a＝0 得直线 l 恒过点 M(1，2)．又因为点 M(1，2)在圆 C 的内部，当 MC 与 l
垂直时，弦长最短，所以 kMC·kl＝－1，所以2－1×a＝－1，解得 a＝2 . 1－3
（3）由题意，得圆心 C(3，1)，半径 r＝3 且∠ACB＝90°，则圆心 C 到直线 l：ax－y＋2－a＝0 的距离为
3 线方程为 4x－3y＋1＝0 或 x＝2.
5、直线 l：3x－y－6＝0 与圆 x2＋y2－2x－4y＝0 相交于 A，B 两点，则 AB＝________．
【答案】 10
【解析】由 x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径 r＝ 5，又圆

高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．已知点(,)P x y 是直线l ：40kx y -+=(0k >)上的动点，过点P 作圆C ：2220x y y =++的切线PA ，A 为切点，若||PA 最小为2时，圆M ：220x y my +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为（）A ．2-B ．2C ．4D 23．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（） A ．23-B ．13C ．43D ．24．已知直线10x my m -+-=被圆O ：224x y +=所截得的弦长为m =（）A ．1-B ．1C ．2D ．5．已知直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（）A ．4B ．C ．D ．36．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（） A ．9B ．8C ．6D ．107．已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（）A ．2B ．C ．2D ．18．设0r >，圆()()22213x y r -++=与圆2216x y +=的位置关系不可能是（） A ．相切B ．相交C ．内切或内含D ．外切或相离9．已知圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=交直线1y =-于A ，B 两点，则对于θ∈R ，线段AB 长度的最小值为（）A ．1B C D ．210．在同一平面直角坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()x a y b r -+-=（0ab ≠，0r >）的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．11．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定12．若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定二、填空题13．圆22230x y y ++-=被直线0x y k +-=分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则k =________.14．过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2240x y y +-=相交，则直线被圆截得的弦长为_____.15．过点()2,0与圆22 A: 230x y x +--+=相切的直线方程为__________.16．若直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，则mn 的取值范围是________．三、解答题17．已知以点()1,1A 为圆心的圆与直线1:220l x y ++=相切，过点()2,0B 的动直线l 与圆A 相交于M ､N 两点. （1）求圆A 的方程；（2）当4MN =时，求直线l 的方程.18．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若直线l 过点(2,0)-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．19．直线l ：y x =与圆C ：()()221316x y -+-=相交于A 、B 两点．（1）求平行于l 且与圆C 相切的直线方程；（2）求ABC 面积．20．已知圆C 过点()2,0R 、()4,2S -，且圆心C 在直线280x y --=上．（1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，O 为原点，()(),00A t t >，求tan POA ∠的最大值．21．已知圆C 的方程为226440x y x y ++-+=.（1）若直线:10l x y -+=与圆C 相交于M 、N 两点，求||MN 的长; （2）已知点()1,5P ，点Q 为圆C 上的动点，求||PQ 的最大值和最小值.22．已知直线:20l mx y m -+-=，C 的方程为22240x y x y +--=. （1）求证：l 与C 相交；（2）若l 与C 的交点为A 、B 两点，求OAB 的面积最大值.（O 为坐标原点）参考答案1．B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆的位置关系的判定方法，求得两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=，可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=，可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r，则圆心距为d AB == 又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+，可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条. 故选：B. 2．B 【分析】根据题意当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，进而可得2k =，再根据圆M 与圆C 外切可得0m >，根据圆M 与直线l 相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. m 的值.【详解】圆C 的圆心为(0,1)C -，半径为1，当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，此时点C 到直线l 的距离为d =，由勾股定理得22212+=，又0k >，解得2k =，圆M 的圆心为(0,)2mM ，半径为||2m ， ∵圆M 与圆C 外切，∴||1|(1)|22m m+=--，∴0m >，∵圆M 与直线l 相切，∴|4|2m m -+=2m =，故选:B 3．C 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】圆C 的标准方程为22(4)1x y -+=，半径1r =，当圆心(4,0)到直线2y kx =-的距离1d r ≤+时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，故有2d =≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值为43，故选：C. 4．A 【分析】由于直线过定点(1,1)--P，而||OP =OP 垂直，从而由斜率的关系列方程可求出m 【详解】∵直线10x my m -+-=过定点(1,1)--P ，连接OP，则||OP ∴直线10x my m -+-=与OP 垂直，11m=-， ∴1m =-，故选：A. 5．A 【分析】根据直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，则圆心在直线l 上，求得m ，由过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，利用勾股定理即可求得AB . 【详解】由方程224210x y x y +-++=得()()22214x y -++=，圆心为()2,1C -，因为直线l 是圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，所以1m =，所以A 点坐标为()2,1-，则AC =4AB =.故选：A ． 6．A 【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可．【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-，所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号．故选：A ． 7．C 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==所以这两圆的公共弦的弦长为222223222d .故选：C. 8．D 【分析】计算出两圆圆心距d ，并与两圆半径和作大小比较，由此可得出结论. 【详解】两圆的圆心距d 4r +，4r +，所以两圆不可能外切或相离．9．C 【分析】由题意圆C 的圆心C 在单位圆上，求出点C到直线1y =-的距离的最大值，根据圆的弦长AB =. 【详解】解：由圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=，知该圆的半径r =()cos ,sin C θθ在单位圆221x y +=上，∵原点O到直线1y =-12=，则点C 到直线1y =-的距离d 的最大值为13122+=，由AB =d 取最大值32时，线段AB故选：C ．10．D 【分析】根据直线的位置及圆心所在的象限判断参数a 、b 的符号，进而确定正确选项. 【详解】直线ax by ab +=在x ，y 轴上的截距分别为b 和a ，圆心横坐标为a ，纵坐标为b ． A ：由直线位置可得0b <，而由圆的位置可得0b >，不正确． B ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确． C ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确．D ：由直线位置可得0a >，0b <，而由圆的位置可得0a >，0b <，正确.11．A 【分析】求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径2r所以12121C C r r +=1>0k ≠）1，所以1221C C r r >-所以两圆相交．故选：A 12．A 【分析】由直线l 与圆C 相切可构造方程求得k；分别在2k =2k =过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系. 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C直线l 与圆C相切，=2k =由圆D 方程知其圆心()2,0D，半径r =∴圆心D 到直线l距离d =当2k =(()222233021d r+-=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当2k =(()222233021d r --=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；综上所述：圆D 与直线l 相交. 故选：A. 13．1或3- 【分析】由题意可知较短弧所对圆心角是90︒，此时圆心到直线0x y k +-==，再由点到直线的距离公式求解即可【详解】由题意知，圆的标准方程为()2214x y ++=，较短弧所对圆心角是90︒，所以圆心()0,1-到直线0x y k +-==1k =或3k =-.故答案为：1或3- 14．【分析】由已知求出直线方程，将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦长、弦心距和半径的关系求出弦长【详解】解：由题意得直线方程为tan60y x =︒0y -=，由2240x y y +-=，得22(2)4x y +-=，则圆心为(0,2)，半径为2，所以圆心(0,2)0y -=的距离为1d ==，所以所求弦长为=故答案为：15．x =2或)2y x =-. 【分析】分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论：斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出k ，即可求出直线方程.【详解】圆22 A: 230x y x +--+=化为标准方程：()(22 11x y -+=，所以当过点()2,0的直线斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；过点()2,0的直线斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，因为l 与圆A 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，1=，解得：k =，此时l：)2y x =-. 故答案为：x =2或)2y x =-. 16．(,1]-∞【分析】由题意得直线过圆心，进而得到2240m n +-=，所以mn 可转化为()2n n -，结合二次函数的值域即可求解.【详解】因为直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，所以直线经过圆心，又因为圆心为()2,1，则2240m n +-=，即2m n +=，因此2m n =-，所以()()2222111mn n n n n n =-=-+=--+≤，所以mn 的取值范围是(,1]-∞，故答案为：(,1]-∞.17．（1）()()22115x y -+-=；（2）2x =或0y =.【分析】（1）利用圆心到直线的距离求半径，即可得圆的方程；（2）首先考查直线斜率不存在的直线，判断是否满足4MN =，当直线的斜率存在时，设直线20kx y k --=，利用弦长公式求得斜率k ，即可得直线方程.【详解】解：（1）由题意可知，点A 到直线1l 的距离d =因为圆A 与直线1l 相切，则圆A 的半径r d ==所以，圆A 的标准方程为()()22115x y -+-=（2）①当直线l 的斜率不存在时因为直线l 的方程为2x =.所以圆心A 到直线l 的距离11d =.由（1）知圆的半径为r 4MN ==. 故2x =是符合题意的一条直线.②当直线l 的斜率存在时设直线l 的斜率为k ，则直线20kx y k --=圆心A 到直线l 的距离1d =因为22212MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以245+=，即()2211k k +=+，解得0k = 因此，直线l 的方程为0y =综上所述，直线l 的方程为2x =或0y =.18．（1）2x =-或3460x y -+=；（2．【分析】（1）根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；（2）根据题意，连接MC ，PC ，分析可得PMC △为直角三角形，即222||||||PM PC MC =-，设(,)P x y ，分析可得||MC ||||PM PO =，分析可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+，变形可得P 的轨迹方程，据此结合直线与圆的方程分析可得答案．【详解】解：（1）222430x y x y ++-+=可化为22(1)(2)2x y ++-=．当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求得直线l 与圆C 的交点为(2,1)A -，()23B -，，2AB =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心C 到直线l 的距离1d ，解得34k =．所以直线l 的方程为3460x y -+=，综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥．所以PMC △为直角三角形．所以222PM PC MC =-．设点P 为(,)x y ，由（1）知点C 为(1,2)-，MC =PM PO =，P 的轨迹方程为2430x y -+=．求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，代入点到直线的距离公式可求得PM 的最小值d =19．（1）20x y -++或20x y -+-=；（2）【分析】（1）设切线方程为y x b =+，由切线定义求得b ，进而求得结果；（2）作CD AB ⊥，由点到直线距离公式求得CD ，再由弦长公式求得AB ，进而求得面积.【详解】（1）设切线方程为y x b =+，则圆心(1,3)C 到切线的距离4d r ==，解得2b =±所以切线方程为20x y -++或20x y -+-=；（2）作CD AB ⊥，垂足为D ，CD ==，∴AB ==∴1122ABC S AB CD =⋅=⨯△20．（1）()2244x y -+=；（2 【分析】（1）根据垂径定理的逆定理可得弦RS 的垂直平分线过原点，又圆心C 在直线280x y --=上，联立直线方程即可得解；（2）根据题意知当OP 与圆相切时，tan POA ∠值最大，计算即可得解.【详解】（1）由20142RS k --==--，线段RS 中点坐标为(3,1)-，所以线段RS 的垂直平分线为4y x =-，即40x y --=，由28040x y x y --=⎧⎨--=⎩可得圆C 的圆心为(4,0)，易得半径2r ，所以圆C 的方程为22(4)4x y -+=；（2）由圆心在x 轴正半轴上，由()(),00A t t >，所以OA 在正半轴上，由090POA <∠<，故当OP 和圆相切时，即P 为切点时POA ∠最大，此时tan POA ∠最大，tanPOA ∠=. 21．（1）2；（2）最大值为8，最小值为3.【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线l 的距离，由勾股定理可得答案.（2）先求出PC 的长度，由圆的性质可得PC r PQ PC r -≤≤+，从而得到答案.【详解】解：（1）圆C 的一般式方程为()()22329x y ++-=，即圆心()C 3,2-，半径3r =，所以圆心C 到直线l ：10x y -+=的距离d ==所以弦长 2MN ==；（2）5PC ，又3r =，所以max 8PQ PC r =+=，min 2PQ PC r =-=，即PQ 的最大值为8，最小值为3.22．（1）证明见解析；（2）5【分析】（1）由题知直线l 过定点1,2，且为C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由题知2AB r ==l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =.【详解】解：（1）由题知直线():21l y m x -=-，C 的标准方程为()()22125x y -+-=，所以直线l 过定点1,2，为圆的圆心，所以直线过C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由（1）知直线:20l mx y m -+-=过圆C 的圆心，C 的半径为r =所以2AB r ==所以当O 到直线l 的距离最大时，OAB 的面积取最大值，故当直线l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =所以OAB 的面积最大值为11522AB OC =。

专题20 解决直线与圆问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(解析版)

1.直线l ：y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2－2a －4＝0恒有交点，则实数a 的取值范围是________．【答案】－1≤a ≤3【解析】圆方程为(x －a )2＋y 2＝2a ＋4，则a >－2，又直线l 过定点(0,1)，故只需点(0,1)在圆内或圆上，即－1≤a ≤3，综上，实数a 的取值范围是－1≤a ≤3.2.若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________．【答案】2－1<r <2＋1.3.若对圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )，|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x ，y 无关，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ≥6.【解析】设直线l 1：3x －4y ＋a ＝0，直线l 2：3x －4y －9＝0，则|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|＝5(dP －l 1＋dP －l 2)，因为|3x －4y ＋a |＋|3x －4y －9|的取值与x 无关，所以，圆M 恰完全在直线l 1和直线l 2所夹带状区域内，所以，直线l 1：3x －4y ＋a ＝0在圆M 的上方，dM －l 1＝|－1＋a |5＝a －15≥1，所以，a ≥6.4.已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)及圆上的点A (0，－r )，过点A 的直线l 交圆于另一点B ，交x 轴于点C ，若OC ＝BC ，则直线l 的斜率为________．【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y ＝kx －r ，与x 2＋y 2＝r 2联立解得B (2kr k 2＋1，(k 2－1)r k 2＋1)，而C (rk ，0)，由OC ＝BC 得(r k )2＝(2kr k 2＋1－r k )2＋[(k 2－1)r k 2＋1]2即k ＝±3.学&科网【考向分析】直线与圆的位置关系是高考常考的知识内容．对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题(如类似阿氏圆一类问题)，体现用代数方法研究几何问题的思想．对这类问题的考查，一般会涉及弦长、距离的计算、圆的切线及与点(直线、圆)的位置关系判定问题等，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键.（一）直线与圆基本问题盘点例1. 直线tx ＋y ＋3＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，若|OA →＋OB →|>|AB →|，则实数t 的范围________．【答案】－142<t <－52或52<t <142.变式1若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】18【解析】由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，所以a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝4.若等边△P AB 的一边AB 为圆C 一条弦，则PC 的最大值为________．【答案】4【解析】由△P AB 为等腰三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记AH ＝BH ＝x ，PH ＝y ，PC ＝t ，则CH ＝3x ，满足⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)t ＝3x ＋y求PC 的最小值．记直线l ：y ＝－3x ＋t ，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧x 2＋y 2＝4(x ，y >0)相切时，则t 取最大值，求得t max ＝4，即PC 的最大值为4.（二）圆与圆的位置关系应用例2. 设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________．【答案】12≤m ≤2＋ 2.变式1 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________．【答案】－13<c <13.【解析】圆半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c |13<1，解得：－13<c <13.变式2 已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，若过点P 存在直线m 与圆C 交于A 、B 两点，且点A 为PB 的中点，则点P 横坐标x 0的取值范围是________．【答案】－1≤x 0≤2.【解析】数形结合法：设P (x 0,1－y 0)，由题意可得|CP |≤3，即(x 0－2)2＋(－1－x 0)2≤3，解之得－1≤x 0≤2. （三）阿波罗尼斯圆问题梳理例3. 已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点．若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 横坐标的取值范围________．【答案】[1,5]．【解析】可判断出直线l 与圆M 相离，故点A 在圆外，由于圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则设直线AE ，AF 为过点 A 作圆M 的两条切线，切点分别为E ，F ，则∠EAF ≥∠MAN ＝60°，故∠MAC ≥30°且r ＝2，则CA ≤4，设A (a,6－a )，所以(a －1)2＋(5－a )2≤4，解得a ∈[1,5]．学科*网变式1 满足条件AB ＝2，AC ＝2BC 的△ABC 的面积的最大值是________．【答案】2 2.变式2 已知点A (－2,0)，B (4,0)，圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋b )2＝16，点P 是圆C 上任意一点，若P APB为定值，则b ＝________. 【答案】0【解析】设P (x ，y )，P APB＝k ，则(x ＋2)2＋y 2(x －4)2＋y2＝k ，整理得(1－k 2)x 2＋(1－k 2)y 2＋(4＋8k 2)x ＋4－16k 2＝0，又P 是圆C 上的任意一点，故k ≠1，圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋8x ＋2by ＋b 2＝0，因此2b ＝0，故4＋8k 21－k 2＝8，4－16k 21－k 2＝b 2，解得b ＝0.1．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．【答案】[－1,1]．【解析】如图，过点M 作⊙O 的切线，切点为N ，连结ON .M 点的纵坐标为1，MN 与⊙O 相切于点N ，设∠OMN ＝θ，则θ≥45°，即sin θ≥22，即ON OM ≥22.而ON ＝1，所以OM ≤ 2.因为M 为(x 0,1)，所以x 20＋1≤2，解得－1≤x 0≤1，所以x 0的取值范围为[－1,1]．2．已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝a 2和直线l ：3x ＋4y ＋3＝0，若圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则a 的取值范围________．【答案】⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝⎛⎭⎫－4，23.【解析】到直线l ：3x ＋4y ＋3＝0的点组成的轨迹为直线l 1：3x ＋4y －2＝0或直线l 2：3x ＋4y ＋8＝0，又圆C 圆心在直线y ＝x 上，且与两轴相切，由于圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，则直线l 1或l 2与圆C 相交，于是当a >0时，r ＝a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y －2＝0相交，则d ＝|7a －2|5<a ，得a ∈(16，1)，当a <0时，r ＝－a ，则圆C 与l 1：3x ＋4y ＋8＝0相交，则d ＝|7a ＋8|5<a ，则a ∈⎝⎛⎭⎫－4，23，综上a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫16，1∪⎝⎛⎭⎫－4，23.学科#网3．△ABC 中，BC ＝22，AB →·AC →＝1，则△ABC 面积的最大值为________．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 分别为x 轴，y 轴上一点，且AB ＝2，若点P (2，5)，则|AP →＋BP →＋OP →|的取值范围是________．【答案】[7,11]．【解析】＋＋＝3－(＋)，由于⊥，且AB ＝2，设＋＝，则点M 的轨迹为以O 为圆心半径r ＝2的圆，记3＝＝(6,35)，于是|＋＋|＝|－|＝MQ ，即圆上一点M 到定点Q (6,35)的距离，其取值范围是[OQ －r ，OQ ＋r ]，即[7,11]．1．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．【答案】2555.【解析】圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－(355)2＝2555.2．若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．【答案】0≤m ≤10.【解析】因为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，所以由题意得：|－3＋4×2－m |5≤1，化简得|m －5|≤5即0≤m ≤10.3．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．【答案】(x －1)2＋y 2＝2.【解析】由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1,0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 4.在平面直角坐标系xOy 中，A (2,0)，O 是坐标原点，若在直线x ＋y ＋m ＝0上总存在点P ，使得P A ＝3PO ，则实数m 的取值范围是________．【答案】1－6≤m ≤1＋ 6.5. 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN 的长．【答案】（1）(4－73，4＋73)（2）2【解析】(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为(4－73，4＋73)．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. ·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程是y ＝x ＋1.故圆心C在l 上，所以MN 的长为2.6. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．【答案】a ＝－1【解析】圆心C (1，a )，半径r ＝4，因为△ABC 为直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离d ＝2 2.7. 在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【答案】⎣⎡⎦⎤0，125.8. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．【答案】0≤k ≤43.【解析】将圆C 的方程整理为标准方程得：(x －4)2＋y 2＝1，所以圆心(4,0)，半径r ＝1，因为直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需圆C ′(x －4)2＋y 2＝4与y ＝kx －2有公共点，即|4k －2|k 2＋1≤2，解得：0≤k ≤43.9. 已知直线kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，若点M 在圆C 上，且有OM →＝OA →＋OB →(O为坐标原点)，则实数k ＝________. 【答案】0【解析】设AB 的中点为D ，有＝＋＝2，因为||＝2||＝2，所以||＝1，故|0－0＋1|k 2＋1＝1解得k ＝0. 学#科网10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2P A 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．【答案】－203<b <4.11. 已知A (0,1)，B (1,0)，C (t,0)，点D 是直线AC 上的动点，若AD ≤2BD 恒成立，则最小正整数t 的值为________．【答案】4【解析】由A (0,1)，C (t,0)，得l ：y ＝－1tx ＋1，D ⎝⎛⎭⎫x ，－1t x ＋1.又AD ≤2BD ，故x 2＋x 2t 2≤2(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫1－x t 2，化简得⎝⎛⎭⎫3＋3t 2x 2－⎝⎛⎭⎫8＋8t x ＋8≥0对任意x 恒成立，则⎝⎛⎭⎫8＋8t 2－4×8×⎝⎛⎭⎫3＋3t 2≤0，化简得t 2－4t ＋1≥0，解得t ≥2＋3或0<t ≤2－3，因此最小正整数t 的值为4.12.在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，D 在线段AC 上，AD ＝kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD ＝l 为定长，则△ABC 的面积最大值为________．【解析】如图，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy . 设A (x ，y )，y >0.因AD ＝kAC ＝kAB ，故AD 2＝k 2AB 2，于是(x －l )2＋y 2＝k 2(x 2＋y 2)．所以，y 2＝－(1－k 2)x 2＋2lx －l 21－k 2＝－(1－k 2)(x －l 1－k 2)2＋k 2l 21－k 21－k 2≤k 2l 2(1－k 2)2，于是，y max ＝kl 1－k 2，(S △ABD )max ＝kl 22(1－k 2)，所以，(S △ABC )max ＝1k (S △ABD )max ＝l 22(1－k 2).。

2-5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(原卷版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）考点一直线与圆的位置关系【例1】（1）（2021·遵义师范学院附属实验学校）圆22(3)(3)8x y-+-=与直线3460x y++=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定（2）．（2021·全国高二专题练习）直线():120l kx y k k R-++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A的直线l与曲线22231x y有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦D．,33⎛-⎝⎭（4）（2021·浙江高二期末）已知曲线y=与直线10kx y k-+-=有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【一隅三反】1．（2021·江苏南京市·高二期末）直线10x +=与圆()2211x y -+=的位置关系是（） A ．直线过圆心B ．相切C ．相离D ．相交2．（2021·四川成都市）若圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则 a 的值为（）A ．1BC ．2D ．3．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关4．（2021·全国高二专题练习）若直线0x y b +-=0y +=有公共点，则b 的取值范围是（）A ．[-B ．[C ．[1,1]-D ．[5．（2021·河北保定市·高二期末）（多选）已知圆22:(1)(1)169C x y -+-=，直线:450,l kx y k k R --+=∈．则下列选项正确的是（）A ．直线l 恒过定点B ．直线l 与圆C 的位置可能相交、相切和相离 C ．直线l 被圆C 截得的最短弦长为12D ．直线l 被圆C 截得的最短弦长对应的k 值为34- 考点二直线与圆的弦长【例2】（1）（2021·四川成都市）直线1y x =-被圆22220x y y ++-=截得的弦长为（）A ．1B ．2C D ．（2）．（2021·浙江高二期末）已知直线:0l kx y k -+-=被圆224x y +=截得的弦长为点(),m n 是直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【一隅三反】1．（2021·安徽省泗县第一中学）直线40x y -+=被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长为（）AB ．C ．D ．2．（2021·浙江高二期末）已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是（） A ．43130x y +-= B ．34150x y +-=C ．34150x y +-=或1x =D ．43130x y +-=或1x =3．（2021·贵溪市实验中学高二期末）直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为（）A ．B ．2C D ．与k 的取值有关4．（2021·天水市第一中学高二期中）已知直线0x ay a +-=和圆220x y x +-=的交点为A ，B ，且1AB =，则实数a 的值为（） A ．2B ．1C ．12D ．1-5．（2021·全国高二课时练习）若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（） A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝06．（2021·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆22:4850C x y x y +-+-=，直线:20l mx y m --=. （1）证明：直线l 与圆C 相交.（2）设l 与圆C 交于,M N 两点，若MN =，求直线l 的倾斜角及其方程.考点三圆上的点到直线距离【例3】（1）（2021·福建三明市·高二期末）圆()2222x y -+=上动点到直线20x y ++=的距离的最小值为（）A B ．C ．D ．（2）（2021·四川巴中市·（文））圆22(1)(1)4x y ++-=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【一隅三反】1．（2021·六安市裕安区新安中学）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为（） A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·全国高二课时练习）已知点M 是直线3420x y +-=上的动点，点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点，则||MN 的最小值为 A ．45B ．1C ．95D ．1353．（2021·全国高二专题练习）在圆()2224x y -+=上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则a 的取值范围为__________．考点四圆与圆的位置关系【例4】（1）（2021·浙江高二期末）圆221:(1)1C x y -+=与圆222:(4)(4)17C x y -+-=的位置关系为（） A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离（2）（2021·北京高二期末）已知圆1O 的方程为22()()4x a y b -+-=，圆2O 的方程为22(1)1x y b +-+=，其中,a b ∈R ．那么这两个圆的位置关系不可能为（） A ．外离 B ．外切 C ．内含 D ．内切【一隅三反】1．（2021·全国高二专题练习）圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．（2021·江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含3．（2021·全国高二（文））已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆2C ：22430x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含4．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞5．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞ D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞ 考点五圆与圆相交弦【例5】（1）（2021·湖南湘潭市）已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B两点，则两圆的公共弦AB =A ．B ．CD ．2（2）（2021·天津市南仓中学高二期末）已知圆221:4C x y +=和圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为2，则实数a 的值为（）A ．3BC ．2D【一隅三反】1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆O ：229x y +=与圆1O ：()()222316x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（）A ．6B ．5C ．13D ．132．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（）A ．12||2C C =B ．直线AB 的方程是14x =C ．12AC AC ⊥D ．||2AB =3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1+考点六切线及切线长【例6-1】（2021·浙江高二单元测试）由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（）A ．1BC ．D ．3【例6-2】（1）（2021·全国）经过点M 的圆2210x y +=的切线方程是（）A ．100x -=B 2100y -+=C ．100x -+=D ．2100x +-=（2）（2021·重庆字水中学高二期末）（多选）过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ，则直线l 的方程为（）A ．3460x y +-=B ．4380x y +-=C ．20x -=D ．20x +=（3）（2021·全国）过点(2,2)-作圆224x y +=的切线，若切点为A 、B ，则直线AB 的方程是（） A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【例6-3】（2021·四川眉山市·高二期末（文））圆221:1C x y +=与圆222:870C x y y +-+=公切线的条数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例6-4】（2021·全国高二课时练习）已知P （x ，y ）是直线kx +y +3=0（k >0）上一动点，PA ，PB 是圆C ：2x +2y -2y =0的两条切线，.A 、B 是切点，若四边形PACB k 的值为（）A BC ．D ．【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆22:(2)(8)4C x y ++-=引切线，则切线长的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．22．（2021·西安市铁一中学高二期末（理））由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为A B C ．D 3．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二期末（文））若从坐标原点O 向圆22:12270C x y x +-+=作两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为（）A ．32B ．3C ．2D ．4．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）过坐标原点O 作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的两条切线，切点为A ，B ．直线AB 被圆截得弦AB 的长度为（）A B C D5．（2021·浙江高二期末）过点()2,1作圆224x y +=的切线，切线的方程为（）A ．34100x y +-=B ．3420x y --=C ．2x =或3420x y --=D ．2x =或34100x y +-=6．（2021·全国高二课时练习）经过点()2,1M -作圆225x y +=的切线，则切线的方程为A ．250x y --=B 50y ++=C 5y +=D ．250x y ++=7．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））若圆22(1)(3)4x y -+-=与圆22(2)(1)5x y a +++=+有且仅有三条公切线，则a =（）A ．-4B ．-1C ．4D ．119．（2021·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试（文））已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（）A ．2BC ．D ．4 考点七实际生活运用【例7】（2021·上海高二专题练习）如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【一隅三反】1．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A．B．C．D．2．（2021·上海高二专题练习）有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的2倍﹐已知A､B两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系（1）求A、B两地的售货区域的分界线的方程﹔（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.考点八综合运用【例8】（2021·全国高二课时练习）已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的最短弦长并求此时直线l 的方程；（3）已知点(,)P x y 在圆C 上，求22xy +的最大值.2（2021·浙江高二单元测试）已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0).（1）求实数k 的取值范围；（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值.3．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））已知圆O ：228x y +=，()1,2M -是圆O 内一点，()4,0P 是圆O 外一点．（1）AB 是圆O 中过点M 最长的弦，CD 是圆O 中过点M 最短的弦，求四边形ACBD 的面积；（2）过点P 作直线l 交圆于E 、F 两点，求OEF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．。

21直线与圆圆与圆的位置关系专题复习讲义-高考数学一轮复习专题讲义(学生版)

目录直线与圆、圆与圆的位置关系 (2)【课前诊断】 (2)【知识点一：直线与圆位置关系】 (3)【典型例题】 (5)考点一：直线与圆位置关系的判定 (5)考点二：圆的切线方程 (6)考点三：直线与圆相交弦 (7)【知识点二：圆与圆的位置关系】 (8)【典型例题】 (9)考点一：圆与圆的位置关系 (9)考点二：圆与圆的公共弦 (9)考点三：圆与圆的公切线问题 (10)【小试牛刀】 (10)【巩固练习——基础篇】 (11)【巩固练习——提高篇】 (12)直线与圆、圆与圆的位置关系【课前诊断】成绩（满分10）：完成情况：优/中/差1．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝1162．圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝03．若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．4．已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为__________．5. 圆的方程是，则圆心的坐标是（）A. B. C.D.6. 圆上的点到原点的最大距离是( ) A. B.D.107. 过点与且圆心在直线上的圆的方程为（）A.B.C.D.8. 两圆和的连心线方程为（）A. B. C. D.1)(2)(2)(4)0x x y y -++-+=（11)-（，11)2-（，1,2)-（1,1)2--（223)(1)25x y ++-=（5-11)A -（，1,1)B -（20x y +-=223)(1)4x y -++=（221)(1)4x y -+-=（22+3)(1)4x y +-=（22+1)(1)4x y ++=（22460x y x y +-+=2260x y x +-=30x y ++=250x y --=390x y --=4370x y -+=【知识点一：直线与圆位置关系】1：直线与圆的位置关系由平面几何知，直线与圆有三种位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断一览表位置关系相交相切相离公共点个数 2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离22||++=+Aa Bb C d A Bd r < d r = d r >代数法：由()()2220++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩Ax By C x a y b r消元得到一元二次方程的判别式∆0∆> 0∆= 0∆<图形2.圆的切线方程的问题（1）过圆上一点的切线方程：与圆相切于点的切线方程是；与圆相切于点的切线方程是：；与圆相切于点的切线方程是；222x y r +=()11x y ，211x x y y r +=222x y r +=()cos sin r r θθ，cos sin 0x y r θθ+-=()()222x a y b r -+-=()11x y ，()()()()211x a x a y b y b r --+--=（2）过圆外一点的切线方程：设是圆外一点，求过点的圆的切线方程. 当两条切线斜率都存在时，设切线方程是，即，求出待定系数k ，就可写出切线方程.当有一条切线斜率不存在时，斜率不存在的切线方程为，切线斜率存在的切线方程的求法同上.3. 直线与圆相交的弦长的求法（1）几何法如图所示，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，线段AB 的长即为l 与圆相交的弦长. 设弦心距为d ，半径为r ，弦为AB ，则有（2）代数法直线l 与圆交于，直线l 的斜率存在，设为k ，则联立直线方程和圆的方程得方程组.方法一：解方程组得点A 、B 的坐标，再由两点间的距离公式求弦长. 方法二：消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系可得弦长，其中k 为直线的斜率且k≠0.特别地，当k=0时，可直接利用计算；当k 不存在时，可直接利用计算. 温馨提示①几何法构造了直角三角形，计算量小，非常适合求直线与圓相交的弦长.②代数法是方程思想在解析几何中的重要体现，也是解析几何的实质，即用代数法研究几何问题.()000P x y ，()()222x a y b r -+-=0P ()00y y k x x -=-000kx y kx y --+=r =0x x =AB =()()1122A x y B x y ，，，AB 1212AB x y =-=-12AB x x =-12AB y y =-【典型例题】考点一：直线与圆位置关系的判定例1.直线与圆的位置关系为A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离例2. 已知直线方程，圆的方程当为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．例3.已知(,)M a b 在圆外，则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是A.相切B.相交C.相离D.不确定练习1. 当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？1y x =+221x y +=10mx y m ---=224210.x y x y -+=+-m 22:1O x y +=k 2y kx =-222x y +=考点二：圆的切线方程例1. 求经过点（1，7）且与圆相切的直线方程.例2.圆，在点处的切线方程为A. B. C.D.练习1.过点作圆的切线，求此切线的方程．练习2. 已知圆的方程为x 2 + y 2 = 25，则过点(－3，4)的圆的切线方程为.练习3. 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．(1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．2225x y +=2240x y x +-=P 20x +-=40x +-=+40x -=+20x -=3(4)-A ，22()(31)1x y --+=________考点三：直线与圆相交弦例1.直线l 经过点P （5，5）并且与圆相交截得的弦长为l 的方程.例2.求直线被圆截得的弦长．例3.圆截得的劣弧所对的圆心角的大小为.例4.过点的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为 A.B. C.D.练习1过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为B.2D.练习2.直线得的劣弧所对的圆心角为. 练习3. 过圆内的点作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程 A. B. C.D.22:25O x y +=l ：3+60x y -=C ：22240x y y --=+224x y +=0y +-=________3π()21，222420x y x y +-+=350x y --=350x y +-=31=0x y --310x y +-=0602240x y y +-=y =224x y +=________222440x y x y +-+-=(3,0)M 30x y +-=30x y --=430x y +-=430x y --=【知识点二：圆与圆的位置关系】由平面几何知，圆与圆有五种位置关系（由远及近）：外离，外切，相交，内切，内含.设两圆222111()()x a y b r -+-=与222222()()x a y b r -+-=的圆心距为d ，我们可以得到：221212()()d a a b b =-+-12r r >）：位置关系关系式图示外离12d r r >+外切12d r r =+相交1212r r d r r -<<+内切12d r r =-内含120d r r ≤<-【典型例题】考点一：圆与圆的位置关系例1 圆与的位置关系是A.相离B.外切C.内切D.相交例2 若圆与圆相交，则的取值范围是A. B. C.D. 或练习1. 圆与圆的位置关系是A.外离B.相交C.内切D.外切练习2. 如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________．考点二：圆与圆的公共弦例1 两圆和的公共弦所在直线的方程是____________．例2. 若圆与圆的公共弦长为，.练习1. 求经过两圆22640x y x和226280x y y的交点且圆心在直线40xy 上的圆的方程．222x y +=22430x y y +++=2221:240C x y mx m +-+-=2222:24480C x y x my m ++-+-=m 12255m -<<-1205m -<<1225m -<<12255m -<<-02m <<()222(2)1x y ++-=22(2)(5)16x y -+-=2260x y x +-=224x y +=23x =224x y +=22260(0)x y ay a ++-=>a =________1考点三：圆与圆的公切线问题例1.两相交圆的公切线有且仅有A.1条B.2条C.3条D.4条练习1. 到点A (－1,2)，B (3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．【小试牛刀】1．两圆和的位置关系是( )（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）外离2．圆截直线所得弦长是( )（A（B（C ）（D3. 圆与直线相切，正实数b 的值为( )（A ）（B ）1（C ）（D ）34.过圆内的点作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最短，则直线l 的方程是( ) （A ）（B ）（C ）（D ）5.★★已知圆，直线，则直线与的位置关系是（）（A ）一定相离（B ）一定相切（C ）相交且一定不过圆心（D ）相交且可能过圆心6.★过点的直线l 被圆，则直线l 的斜率为________．7.★上的点到直线的距离的最大值为________．2210x y +-=221:4240C x y x y +-+-=221:4460C x y x y +-++=50x y --=122430x y y +-+=+b=0y +121-222440x y x y +-+-=(3,0)M 30x y +-=30x y --=430x y +-=430x y --=22:21C x y x +-=(1)1y k x =-+l C (1,2)--222210x y x y +--+=2216x y +=3x y -=1.若直线与圆相切，则的值为（A ）（B ）（C ）（D ）2.圆：和：的位置关系是（A ）外切（B ）内切（C ）相交（D ）相离3.直线和圆的关系是（A ）相离（B ）相切或相交（C ）相交（D ）相切 4．过点(2,1)的直线中，被圆截得的弦为最短的直线的方程为（A ）（B ）（C ）（D ）5．两圆和的公切线有且仅有（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条6.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.7.设是圆上的点，则M 点到直线的最短距离是.8.过点与圆相切的切线方程为.9.圆与圆的公共弦所在的直线方程为.10．★★当m 为何值时，直线与圆相交、相切、相离？y x b =+222x y +=b 4±2±±1C 224x y +=2C 2268240x y x y +-+-=:1(1)l y k x -=-2220x y y +-=22240x y x y +-+=350x y --=350x y +-=310x y --=310x y --=221:2220C x y x y +++-=222:4210C x y x y +--+=0602240x y x +-=________M 22(5)(3)9x y -+-=3420x y +-=________(3,2)P -22(2)(1)25x y ++-=________2240x y y +-=2268240x y x y +-+-=________10mx y m ---=224210x y x y +--+=1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为()A．0.5 h B．1 hC．1.5 h D．2 h2．若圆22221x y by b外离，则,a b满足的条件是22x y ax a和222________．3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为a＝________. 4．已知点(1,)A a，圆O：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A的圆O的切线只有一条，求实数a的值及切线方程；(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O截得的弦长为a的值．。

高考数学专题《直线与圆的位置关系》习题含答案解析

专题9.2 直线与圆的位置关系1．（福建高考真题（理））直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离d =..所以1122OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时,OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A.2.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.3．（2021·全国高二单元测试）已知直线l 与直线1y x =+垂直，且与圆221x y +=相切，切点位于第一象限，则直线l 的方程是（）．A．0x y +=B ．10x y ++=C ．10x y +-=D．0x y +=【答案】A 【分析】根据垂直关系，设设直线l 的方程为()00x y c c ++=<，利用直线与圆相切得到参数值即可.【详解】由题意，设直线l 的方程为()00x y c c ++=<．练基础圆心()0,0到直线0x y c ++=1，得c =c =，故直线l 的方程为0x y +=．故选：A4．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A 【分析】求出圆心C 的轨迹方程后，根据圆心M 到原点O 的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥5==，所以||514OC ≥-=，当且仅当C 在线段OM 上时取得等号，故选：A.5.【多选题】（2021·吉林白城市·白城一中高二月考）若直线0x y m ++=上存在点P ，过点P 可作圆O ：221x y +=的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，且60APB ∠=︒，则实数m 的取值可以为（）A ．3B ．C ．1D ．-【答案】BCD 【分析】先由题意判断点P 在圆224x y +=上，再联立直线方程使判别式0∆≥解得参数范围，即得结果.【详解】点P 在直线0x y m ++=上，60APB ∠=︒，则30APO OPB ∠=∠=︒，由图可知，Rt OPB V 中，22OP OB ==，即点P 在圆224x y +=上，故联立方程224x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，得222240x mx m ++-=，有判别式0∆≥，即()2244240m m -⨯-≥，解得m -≤≤A 错误，BCD 正确.故选：BCD.6．（2022·江苏高三专题练习）已知大圆1O 与小圆2O 相交于(2,1)A ，(1,2)B 两点，且两圆都与两坐标轴相切，则12O O =____【答案】【分析】由题意可知大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，进而设圆的圆心为(,)(0)a a a >，待定系数得5a =或1a =，再结合两点间的距离求解即可.【详解】由题知，大圆1O 与小圆2O 都在第一象限，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为(,)(0)a a a >，其方程为222()()x a y a a -+-=，将点(1,2)或(2,1)代入，解得5a =或1a =，所以221:(5)(5)25O x y -+-=，222:(1)(1)1O x y -+-=，可得1(5,5)O ，2(1,1)O ，所以12||O O ==故答案为：7．（江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d 即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.（2018·全国高考真题（文））直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．【答案】【解析】根据题意，圆的方程可化为22(1)4x y ++=，所以圆的圆心为(0,1)-，且半径是2，根据点到直线的距离公式可以求得d ==，结合圆中的特殊三角形，可知AB ==，故答案为.9．（2021·湖南高考真题）过圆2240x y x +-=的圆心且与直线20x y +=垂直的直线方程为___________【答案】220x y --=【分析】根据圆的方程求出圆心坐标，再根据两直线垂直斜率乘积为1-求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得所求直线的方程.【详解】由2240x y x +-=可得()2224x y -+=，所以圆心为()2,0，由20x y +=可得2y x =-，所以直线20x y +=的斜率为2-，所以与直线20x y +=垂直的直线的斜率为12，所以所求直线的方程为：()1022y x -=-，即220x y --=，故答案为：220x y --=.10.（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．【解析】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.1．（2020·全国高考真题（理））若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（）A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +==两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+.练提升故选：D.2.【多选题】（2021·全国高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142xy+=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 4=>，所以，点P 到直线AB 42-<，410<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，=，4MP =CD 选项正确.故选：ACD.3．【多选题】（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆22:230A x y x +--=，则下列说法正确的是（）A ．圆A 的半径为4B ．圆A 截y 轴所得的弦长为C ．圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为1D ．圆A 与圆22:88230B x y x y +--+=相离【答案】BC 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程即可得半径可判断A ；利用几何法求出弦长可判断B ；求出圆心A 到直线的距离再减去半径可判断C ；求出圆B 的圆心和半径，比较圆心距与半径之和的大小可判断D ，进而可得正确选项.【详解】对于A ：由22230x y x +--=可得()2214x y -+=，所以A 的半径为2r =，故选项A 不正确；对于B ：圆心为()1,0到y 轴的距离为1d =，所以圆A 截y 轴所得的弦长为==B 正确；对于C ：圆心()1,0到直线34120x y -+=3，所以圆A 上的点到直线34120x y -+=的最小距离为3321r -=-=，故选项C 正确；对于D ：由2288230x y x y +--+=可得()()22449x y -+-=，所以圆心()4,4B ，半径3R =，因为5AB r R ===+，所以两圆相外切，故选项D 不正确；故选：BC.4．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的取值范围是_______.【答案】403k ≤≤【分析】求出圆C 的圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离小于或等于两圆的半径之和即可求解.【详解】由228150x y x +-+=可得22(4)1x y -+=，因此圆C 的圆心为(4,0)C ，半径为1，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需点(4,0)C 到直线2y kx =-的距离112d =≤+=，即22(21)1k k -≤+，所以2340k k -≤，解得403k ≤≤，所以k 的取值范围是403k ≤≤，故答案为：403k ≤≤.5．（2021·富川瑶族自治县高级中学高一期中（理））直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．【答案】60 【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为所以，圆心()0,0O 到直线20kx y -+=的距离1d ==，1=，解得)0k k =>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tan θ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k =+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．6．（2021·昆明市·云南师大附中高三月考（文））已知圆O : x 2+y 2=4，以A (1,为切点作圆O 的切线l 1，点B 是直线l 1上异于点A 的一个动点，过点B 作直线l 1的垂线l 2，若l 2与圆O 交于D ， E 两点，则V AED 面积的最大值为_______.【答案】2【分析】由切线性质得2//OA l ，O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，因此ADEODE S S =!!，设O 到2l 距离为d ，把面积用d 表示，然后利用导数可得最大值．【详解】根据题意可得图，1OA l ⊥，所以2//OA l ，因此O 到直线2l 的距离等于A 到2l 的距离，ADEODE S S =!!，过点(00)O ，作直线2l 的垂线，垂足为F ，记||(20)OF d d =>>，则弦||DE =角形ADE 的面积为S ，所以12S d =g g ，将S 视为d 的函数，则S '=+ 1(2)2d d -当0d <<时，0S '>，函数()S d 2d <<时，0S '<，函数()S d 单调递减，所以函数()S d 有最大值，当d =max ()2S d =，故AED V 面积的最大值为2．故答案为：2．7．（2021·全国高三专题练习）已知ABC V 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量(2,0)OB →=，(2,2)OC →=，,CA α→=)α，则AOB ∠的取值范围是________【答案】5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先求出点A 的轨迹是以(2,2)C . 过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，得到MOB NOB θ∠∠…….所以15BOM ∠=︒，75BON ∠=︒，即得解.【详解】由题得||CA →=所以点A 的轨迹是以(2,2)C .过原点O 作此圆的切线，切点分别为M 、N ，如图所示，连接CM ，CN ，则向量OA →与OB →的夹角θ的范围是MOB NOB θ∠∠…….由图可知45COB ∠=︒.∵||OC →=1||||||2CM CN OC →→→==知30COM CON ∠=∠=︒，∴453015BOM ∠=︒-︒=︒，453075BON ∠=︒+︒=︒.∴1575θ︒︒…….故AOB ∠的取值范围为{}1575θθ︒≤≤︒丨.故答案为：{}π5π15751212θθ⎡⎤︒≤≤︒⎢⎥⎣⎦丨或，8．（2021·全国高三专题练习）已知x 、y R ∈，2223x x y -+=时，求x y +的最大值与最小值．【答案】最小值是1，最大值是1+【分析】根据2223x x y -+=表示圆()2214x y -+=，设x y b +=表示关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形，然后由直线与圆的位置关系求解.【详解】2223x x y -+=的图形是圆()2214x y -+=，既是轴对称图形，又是中心对称图形．设x y b +=，由式子x y +的对称性得知x y b +=的图形是关于原点、x 轴、y 轴均对称的正方形．如图所示：当b 变化时，图形是一个正方形系，每个正方形四个顶点均在坐标轴上，问题转化为正方形系中的正方形与圆有公共点时，求b 的最值问题．当1b <时，正方形与圆没有公共点；当1b =时，正方形与圆相交于点()1,0-，若令直线y x b =-+与圆()2214x y -+=相切，2，解得1b =±所以当1b =+当1b >+故x y +的最小值是1，最大值是1+．9．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中）已知ABC V 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M （1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）22(1)1y x +-=；（2）2；（3）163.【分析】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M （2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC V 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d又因为直线截圆M21+=，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离d ，解得2k =（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---，同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BCt t k t t --+==+-- ，所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC V 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=V .10．（2021·新疆乌鲁木齐市·乌市八中高二期末（文））已知直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方（1）求圆C 的方程；（2）过点()1,0M 的直线与圆C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分ANB ∠？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N .【分析】（1）设出圆心坐标(),0C a ，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，由此求解出a 的值（注意范围），则圆C 的方程可求；（2）当直线AB 的斜率不存在时，直接根据位置关系分析即可，当直线AB 的斜率存在时，设出直线方程并联立圆的方程，由此可得,A B 坐标的韦达定理形式，根据AN BN k k =-结合韦达定理可求点N 的坐标.【详解】解：（1）设圆心(),0C a ，∵圆心C 在l 的上方，∴4100a +>，即52a >-，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴平分ANB ∠，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由224(1)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得，()22221240k x k x k +-+-=，所以212221k x x k +=+，212241k x x k -=+若x 轴平分ANB ∠，则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x tx t--+=--，整理得：()()12122120x x t x x t -+++=，即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，当点()4,0N ，能使得ANM BNM ∠=∠总成立．1．（2021·山东高考真题）“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（）A ．充分没必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要条件【答案】C 【分析】由直线与圆相切的等价条件，易判断【详解】由于“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，因此充分性成立；“直线与圆相切”⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”，故必要性成立；可得“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件故选：C2．（2021·北京高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m = A ．±1B．C．D ．2±【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为()0,0，半径为2，则圆心到直线的距离d =则弦长为||MN =则当0k =时，弦长|MN取得最小值为2=，解得m =故选：C.3.（2020·全国高考真题（理））已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）练真题A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D 【解析】圆的方程可化为()()22114x y -+-=，点M 到直线l的距离为2d >，所以直线l 与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,A P B M 四点共圆，且AB MP ⊥，所以14442PAM PM AB S PA AM PA ⋅==⨯⨯⨯=V，而PA =，当直线MP l ⊥时，min MP =，min 1PA =，此时PM AB ⋅最小．∴()1:112MP y x -=-即1122y x =+，由1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩解得，10x y =-⎧⎨=⎩．所以以MP 为直径的圆的方程为()()()1110x x y y -++-=，即2210x y y +--=，两圆的方程相减可得：210x y ++=，即为直线AB 的方程．故选：D.4．【多选题】（2021·全国高考真题）已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】ABD 【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.【详解】圆心()0,0C 到直线l的距离d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以d =则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以d =则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以d =则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以d =l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.5.（2021·山东高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x my m +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，那么短轴长等于______．【答案】【分析】由于22670x my m +--=是圆，可得1m =，通过圆心和半径计算,,a b c ，即得解【详解】由于22670x my m +--=是圆，1m ∴=即：圆22670x y x +--=其中圆心为()3,0，半径为4那么椭圆的长轴长为8，即3c =，4a =，b ==那么短轴长为故答案为：6．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．【答案】(x -1)2+y 2=4.【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1，以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.。

高中数学-直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系精讲精练

高中数学-直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系精讲精练典题精讲例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P 、Q ，且OP⊥OQ(O 为原点)，求圆的方程.图2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解. 解法一:设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2). 由⎩⎨⎧=+-++=-+,06,03222c y x y x y x消去x,得(3-2y)2+y 2+(3-2y)-6y+c=0，即5y 2-20y+12+c=0.由韦达定理，得y 1+y 2=4，y 1y 2=512c+. 如图2.3(3.4)3所示， ∵OP⊥OQ， ∴2211x y x y •=-1，即123232211-=-•-y y y y .解得9-6(y 1+y 2)+5y 1y 2=0. ∴9-6×4+5×512c+=0，解得c=3. 从而所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.解法二:设过圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P 、Q 的圆的方程为x 2+y 2+x-6y+c+λ(x+2y-3)=0，即x 2+y 2+(1+λ)x-(2λ-6)y+c-3λ=0. ∵OP⊥OQ，故该圆过原点,c-3λ=0,① 且圆心(21λ+-，262--λ)在直线x+2y-3=0上, 21λ+-+2·(262--λ)-3=0.②由①②求得λ=1，c=3.故所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.变式训练1若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则这个圆的方程为_________________.思路解析:若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=1. 答案：1变式训练2(2006重庆高考,文3)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=3 思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径r=22435)1(423++-⨯-⨯=3，故选C.答案：C例2已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9. (1)求证:无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交.(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小?并求出该最小值.思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.(1)证法一:设圆心C(3，4)到动直线l 的距离为d ，则 d=21)25(21)2()3(|4)2(3)3(|222++=++++•+-•+m m m m m m ≤2.∴当m=25-时，d max =2＜3(半径). 故动直线l 总与圆C 相交.证法二:直线l 变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0. 令⎩⎨⎧=-=+-,023,01y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,2y x如图2-3-(3,4)-4所示，故动直线l 恒过定点A(2，3).图2-3-(3,4)-4而|AC|=32)43()32(22<=-+-，∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交. (2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小. 由(1)知,当m=25-时，弦长最小. ∴最小值为72)2(3222=-.解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小， ∴过点A 且垂直AC 的直线被圆C 所截弦长最小. ∴k l =11-=-ACk .∴,123-=++m m 解得m=25-.此时弦长为72)2(92||32222=-=-AC . 故当m=25-时，直线被圆C 所截弦长最小，最小值为72. 绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小. 解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.变式训练3设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A.±2 B.±2 C.±22 D.±4 思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y=x+a ，圆心(0，0)到直线的距离等于半径2， ∴22||=a .∴a 的值为±2，选B. 答案：B例3已知P(x,y)在圆C:x 2+y 2-6x-4y+12=0上， (1)求x-y 的最大及最小值；(2)求x 2+y 2的最大及最小值；(3)求|PA|2+|PB|2的范围，其中A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意. (1)解：设x-y=m ，则P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在⊙C 上,⊙C 的圆心坐标为(3,2), ∴l 与⊙C 有公共点. ⊙C 的圆心坐标为(3,2),∴圆心到直线l 的距离d=11|23|+--m ≤1，|1-m|≤2，得1-2≤m≤2+1.∴x -y 的最大值为2+1,最小值为1-2.(2)解法一:x 2+y 2=(x-0)2+(y-0)2=(22)0()0(-+-y x =|OP|2.由平面几何知识，连结直线OC 交⊙C 于A 、B. 当P 与A 重合时，|OP|min =|OA|=|OC|-1=13-1; 当P 与B 重合时，|OP|max =|OB|=|OC|+1=13+1. 从而，14-213≤x 2+y 2≤14+213.解法二:设x 2+y 2=r 2(r ＞0)，因此P 在⊙O 上，又在⊙C 上，图2-3-(3,4)-5即⊙O 与⊙C 有公共点，由图2-3-(3,4)-5可知，当⊙O 与⊙C 外切时，r 最小. 此时|OC|=r+1=13, ∴r min =13-1.当⊙O 与⊙C 内切时，r 最大. 此时，|OC|=|r-1|=13， ∴r max =13+1.∴14-213≤x 2+y 2≤14+213.(3)解：可化归为(2),|PA|2+|PB|2=222222))1(())1((y x y x +-+++ =x 2+2x+1+y 2+x 2-2x+1+y 2=2(x 2+y 2)+2.由(2)14-132≤x 2+y 2≤14+132， ∴30-134≤|PA|2+|PB|2≤30+134.绿色通道：本题是坐标法的逆向应用,即用几何法研究代数问题——最值.变式训练4圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.26D.25思路解析：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2，2)，半径为23，圆心到直线x+y-14=0的距离为23522|1422|>=-+，所以直线与圆的位置关系是相离.因此圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=26，选C.答案:C例4已知圆C:x 2+y 2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R ). (1)求证:不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程. 思路分析:(1)直线l 是过一个定点的直线，若此定点在圆内，则此直线l 必与圆C 相交.(2)当过定点的直线与圆心的距离最短，即此直线垂直于定点与圆心的连线时，被圆截得的弦最短.(1)证明:把直线l 的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+,072,04y x y x解得⎩⎨⎧==.1,3y x∴直线l 总过定点(3，1).圆C 的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25.∴圆C 的圆心为(1，2)，半径为5，定点(3，1)到圆心(1，2)的距离为5)21()13(22=-+-＜5.∴点(3，1)在圆C 内.∴过点(3，1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交.图2-3-(3,4)-6(2)解：当直线l 过定点M(3，1)且垂直于过点M 的圆心的半径时，l 被圆截得的弦长|AB|最短.(如图2-3-(3,4)-6) |AB|=254202])21()13[(2522222==-+--=-CM BC .此时，k AB =CMk 1-=2.∴直线AB 的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为54，此时直线l 的方程为2x-y-5=0. 绿色通道：充分考虑圆的几何性质，数形结合,如果对于第(2)问用纯代数的方法来解决,会很复杂.变式训练5(2006高考全国卷Ⅰ，文7)从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) A.21B.53C.23D.0思路解析:圆x 2-2x+y 2-2y+1=0的圆心为M(1，1)，半径为1，从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为tanθ=34411212=-•，该角的余弦值等于53，选B. 答案：B 问题探究问题1过一点作圆的切线,求切线方程.现利用点斜式,求出斜率值只有一个,那么该点在圆上吗？利用点斜式求直线方程,会产生漏解吗？如果漏解,会漏掉什么样的解？导思：根据不同条件求圆的切线,主要有以下题型:(1)已知切点,求切线方程.可根据切线垂直于过切点的半径直接写出切线的方程.注意只有一条.(2)已知圆外一点,求圆的切线方程.切记有两条. (3)已知切线的斜率求圆的切线方程. 求圆的切线方程常用的三种方法: (1)设切点用切线公式法; (2)设切线斜率用判别式法;(3)设切线斜率,用圆心到切线的距离等于半径法.探究：利用点斜式求直线方程时,很重要的一点就是注意点斜式不能表示斜率不存在的直线的方程,即倾斜角为2π的直线的方程.如果没有考虑到这一点就贸然运用点斜式方程就有可能产生漏解,忽略倾斜角为2π的直线的方程而造成错误.对于题中所给问题,先要判断此点与圆的位置关系,如果点在圆外,则过此点应该有两条圆的切线,现在只解出一个斜率,则说明遗漏了倾斜角为2π的切线方程;如果点在圆上,则应该有一条切线,现解出一个斜率,则正是所求切线的斜率;如果点在圆内,则不应该有切线,不可能解出正确的斜率值.问题2将两个相交的非同心圆的方程x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢？导思：可以通过设出两圆的交点(x 1,y 1)、(x 2,y 2),将(x 1,y 1)代入两圆方程相减得到 (D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+F 1-F 2=0,将(x 2,y 2)代入两圆方程相减得到(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+F 1-F 2=0,点(x1,y1)、(x2,y2)满足(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,故该方程为公共弦所在直线的方程.探究：两圆相减得一直线方程,它当然经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.。

专题直线与圆的位置关系(真题测试)- 2023年高考数学一轮复习知识点讲解(原卷版)

专题9.2 直线与圆的位置关系（真题测试）一、单选题1．（2022·北京·高考真题）若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （） A ．12 B ．12- C ．1 D ．1-2．（2021·北京·高考真题）已知直线y kx m =+（m 为常数）与圆224x y +=交于点M N ，，当k 变化时，若||MN 的最小值为2，则m =A ．±1B ．2±C ．3±D ．2±3．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A ．4B ．5C ．6D ．74．（2020·全国·高考真题（文））已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2023·全国·高三专题练习）过点（7，-2）且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是（）A ．()()22515x y -++=B ．()()225113x y -+-= C ．()()224413x y -++= D ．()()221652x y -++= 6．（2018·全国·高考真题（理））直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是( )A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦D ．2232⎡⎤⎣⎦7．（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +12 8．（2023·全国·高三专题练习）已知圆C ：224210x y x y +--+=，点P 是直线4y =上的动点，过P 作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 的最小值为（）A 25B 45C 25D 5二、多选题9．（2022·山东青岛·二模）已知22:60C x y x +-=，则下述正确的是（）A ．圆C 的半径3r =B ．点(1,22在圆C 的内部C ．直线:330l x +=与圆C 相切D ．圆()22:14C x y '++=与圆C 相交10．（2021·全国·高考真题）已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =11．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）已知O 为坐标原点，圆M ：()()22cos sin 1x y θθ-+-=，则下列结论正确的是（）A ．圆M 与圆224x y +=内切B ．直线cos sin 0x y αα+=与圆M 相离C ．圆M 上到直线2x y +=1的点最多两个D ．过直线32x y +=P 作圆M 的切线，切点为A ，B ，则四边形PAMB 面积的312．（2022·全国·模拟预测）已知点P 在圆224O x y +=：上，点()30A ，，()04B ，，则（） A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225 B ．满足AP BP ⊥的点P 有3个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是210三、填空题13．（2019·浙江·高考真题）已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.14.（2021·天津·高考真题）3y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．15．（2022·全国·高考真题（文））设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．16．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．四、解答题17.（2023·全国·高三专题练习）已知三点(2,0),(1,3),(2,2)A B C 在圆C 上，直线:360l x y +-=，(1)求圆C 的方程;(2)判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长．18．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知动圆E 过定点()2,0P ，且y 轴被圆E 所截得的弦长恒为4．(1)求圆心E 的轨迹方程．(2)过点P 的直线l 与E 的轨迹交于A ，B 两点，()2,0M -，证明：点P 到直线AM ，BM 的距离相等．19．（2022·辽宁·高三期中）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．(1)求线段AB 的垂直平分线方程；(2)求圆C 的标准方程；(3)若过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M N 、两点，且23MN =l 的方程． 20．（2023·全国·高三专题练习）已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．21．（2021·河北·沧县中学高三阶段练习）已知圆M 的方程为22315222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (1)求过点39,22⎛⎫ ⎪⎝⎭N 与圆M 相切的直线l 的方程； (2)过点(1,1)P 作两条相异直线分别与圆M 相交于A ，B 两点，若直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，且120k k +=，试判断直线AB 的斜率是否为定值，并说明理由．22．（2016·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=求实数t 的取值范围.。

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专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2020·福建省厦门市科技中学模拟)直线kx －2y ＋1＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定2．(2020·江西省鹰潭市一中模拟)若直线x ＝5与圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则a ＝( ) A ．13B ．5C ．－5D ．－133．(2020·山东省日照市实验中学模拟)与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条4．(2020·河南省卫辉一中模拟)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π65．(2020·湖北省武汉市四中模拟)已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB→＝2，则k ＝( )A ．2B ．± 2C ．±2D.26．(2020·湖南省邵阳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定7．(2020·广东省深圳市松岗中学模拟)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]8．(2020·重庆市合川中学模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－149．(2020·四川省攀枝花市三中模拟)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .10．(2020·湖北荆州中学模拟)过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为．11．(2020·云南昆明第三中学模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为．12．(2020·贵州凯里一中模拟)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于M ，N ，点P 在圆C 上，且△MPN ＝π3，则实数a ＝ .13．(2020·浙江温州中学模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．14．(2020·吉林省实验中学模拟)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若△APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标． 15．(2020·湖南浏阳一中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC △BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．(2020·山西康杰中学模拟)如图所示，圆C ：x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0.(1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B .问：是否存在实数a ，使得△ANM ＝△BNM ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2020·福建省厦门市科技中学模拟)直线kx －2y ＋1＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定【答案】A【解析】直线kx －2y ＋1＝0恒过定点⎝⎛⎭⎫0，12，且0＋⎝⎛⎭⎫12－12＜1，所以点⎝⎛⎭⎫0，12在圆内，故直线和圆恒相交，故选A. 2．(2020·江西省鹰潭市一中模拟)若直线x ＝5与圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则a ＝( ) A ．13 B ．5 C ．－5 D ．－13【答案】B【解析】圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9－a .其圆心坐标为(3,0)，半径r ＝9－a (a ＜9)．由直线x ＝5和圆x 2＋y 2－6x ＋a ＝0相切，则圆的半径r ＝5－3＝2，即9－a ＝2.解得a ＝5，故选B.3．(2020·山东省日照市实验中学模拟)与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】A【解析】两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.4．(2020·河南省卫辉一中模拟)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6 【答案】A【解析】由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A. 5．(2020·湖北省武汉市四中模拟)已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，则k ＝( )A ．2B ．± 2C ．±2 D.2【答案】B【解析】圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，设OA →与OB →的夹角为θ，则 2×2×cos θ＝2，解得cos θ＝12，θ＝π3，△圆心到直线l 的距离为2cos π6＝3，可得|－3|1＋k 2＝3，解得k ＝± 2. 6．(2020·湖南省邵阳模拟)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】由题意知a 2＋b 2＞1，圆心O (0,0)到直线ax ＋by －1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，因此直线和圆相交，故选B.7．(2020·广东省深圳市松岗中学模拟)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]【答案】A【解析】由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6.故选A.8．(2020·重庆市合川中学模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14【答案】B【解析】圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.9．(2020·四川省攀枝花市三中模拟)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ .【答案】22【解析】由题意知圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－(2)2＝2 2.10．(2020·湖北荆州中学模拟)过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为．【答案】－53【解析】因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)，所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0，圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.11．(2020·云南昆明第三中学模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为．【答案】4π【解析】圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.12．(2020·贵州凯里一中模拟)已知直线l ：x －3y －a ＝0与圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝4交于M ，N ，点P 在圆C 上，且△MPN ＝π3，则实数a ＝ .【答案】4或8【解析】由△MPN ＝π3可得△MCN ＝2△MPN ＝2π3，在△MCN 中，CM ＝CN ＝2，△CMN ＝△CNM ＝π6.则圆心C (3，－3)到直线l 的距离d ＝2sin π6＝1，即|3－3×(－3)－a |1＋3＝1，解得a ＝4或a ＝8.13．(2020·浙江温州中学模拟)设O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P ，Q ，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．【解析】(1)x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，所以曲线是以(－1,3)为圆心，3为半径的圆．由已知得直线过圆心，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.(2)设直线PQ ：y ＝－x ＋b ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，y ＝－x ＋b ，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12.又OP →·OQ →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2x 1x 2－b (x 1＋x 2)＋b 2＝0，将x 1＋x 2＝b －4，x 1x 2＝b 2－6b ＋12代入上式得b 2－2b ＋1＝0，所以b ＝1，所以直线PQ 的方程为y ＝－x ＋1.14．(2020·吉林省实验中学模拟)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线P A ，PB ，切点为A ，B .(1)若△APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．【解析】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a,2a )，则a 2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，△点P 的坐标为(2,4)或⎝⎛⎭⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝85，y ＝165，△该圆必经过定点(0,4)和⎝⎛⎭⎫85，165.15．(2020·湖南浏阳一中模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC △BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．【解析】(1)不能出现AC △BC 的情况．理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC △BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．16．(2020·山西康杰中学模拟)如图所示，圆C ：x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0.(1)若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；(2)已知a ＞1，圆C 与x 轴相交于两点M ，N (点M 在点N 的左侧)．过点M 任作一条直线与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B .问：是否存在实数a ，使得△ANM ＝△BNM ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2－(1＋a )x ＋y 2－ay ＋a ＝0，得x 2－(1＋a )x ＋a ＝0，由题意得Δ＝(1＋a )2－4a ＝(a －1)2＝0，解得a ＝1，故所求圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2－y ＋1＝0. (2)令y ＝0，得x 2－(1＋a )x ＋a ＝0，即(x －1)(x －a )＝0，所以M (1,0)，N (a,0)．假设存在实数a ，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 2＋y 2＝4，得 (1＋k 2)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 21＋k 2，x 1x 2＝k 2－41＋k 2.因为△ANM ＝△BNM ，所以y 1x 1－a ＋y 2x 2－a＝0. 因为y 1x 1－a ＋y 2x 2－a第 11 页共 11 页＝k [(x 1－1)(x 2－a )＋(x 2－1)(x 1－a )](x 1－a )(x 2－a )，而(x 1－1)(x 2－a )＋(x 2－1)(x 1－a )＝2x 1x 2－(a ＋1)(x 2＋x 1)＋2a ＝2·k 2－41＋k 2－(a ＋1)·2k 21＋k 2＋2a ＝2a －81＋k 2，所以2a －81＋k 2＝0，解得a ＝4. 当直线AB 与x 轴垂直时，也成立．故存在实数a ＝4，使得△ANM ＝△BNM .。