证明矩阵相似的五种方法
矩阵的相似与相合
2
a 2 0
2 0.
3 1 b 0 0 c
a b 1, 2(ab 2) 4.
解得
a 0, b 1.
或
a 1, b 0.
25
二、方阵可对角化的条件
定理2 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似(即 A 能对角 化)的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征 向量. 证: 必要性。
假设存在可逆阵 P, 使 P1AP 为对角阵, 把 P 用其列向量表示为 P ( p1, p2, , pn )， 则由P可逆知 r(P)=n, 因此P 的各列线性无关。
当 2 3 1 时, 解方程 (I A)x 0. 由
~ 2 1 0
I
A
4
2
0
1 0 1
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
8
1
得基础解系
p2
2 1
,
所以 kp2(k 0) 是对应于 2 3 1 的
全部特征向量.
9
2 1 1
例2.
A
0 4
2 1
0 3
,
求 A 的特征值与所有的特征向量.
4 6
0
I A 3 5 0 ( 1)2( 2)
3
6 1
所以 A 的全部特征值为 1 2 1, 3 2.
30
将 1 2 1 代入 ( I A)x 0 得方程组
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0,
3 x1 6 x2 0.
2
0
解之得基础解系
App
则Aii(i 1, 2, , p)所有特征值恰为A的全部特征值.
定理1 p1, p2 ,
1, 2 ,
线代第五章(3)相似矩阵及对称矩阵的对角化
则
1 此时 Λ = 0 0
0 3 0
0 0 , 2
亦有 P-1AP = Λ .
23
例 2 设
0 0 1 A = 1 1 x , 1 0 0
4
故
|B - λE| = |P-1AP - λP-1EP| = |P-1| |A - λE| |P| = |A - λE| .
证毕
推论 若 n 阶方阵 A 与对角矩阵
Λ = diag(λ1 , λ2 , ··· , λn)
相似，则 λ1 , λ2 , ··· , λn 即是 A 的 n 个特征值. 个特征值. 相似，
第 三 节
主要内容
相似矩阵的概念
相似矩阵
相似矩阵的性质 矩阵对角化的步骤
1
一、相似矩阵的概念
阶方阵, 定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆 矩阵, 矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算 P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵. 的相似变换矩阵.
8
定理 4 n 阶方阵 A 相似于对角矩阵 Λ 的充
要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量 个线性无关的特征向量. 证 必要性 设有可逆矩阵 P , 使得 P-1AP = Λ , 其中 Λ =diag (λ 1 , λ 2 , ··· , λn ). 将矩阵 P 按列分块, 按列分块 令 P = ( p1 , p2 , ··· , pn ), 则由 P-1AP = Λ , AP = PΛ , 即
21
此时
相似矩阵的基本知识点
相似矩阵的基本知识点：
首先了解相似矩阵的由来，因为一个线性变换在不同基下矩阵就不同，我们就要考虑它们之间是不是有联系，这就引入了相似矩阵的概念。
定义（定理）：设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,.....,21和n ηηη,.......,21下的矩阵分别为A 和B ，从n εεε,.....,21到n ηηη,.......,21的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=。
我们就称矩阵A 和矩阵B 是相似的。
相似是矩阵间的一种关系，具有三种特性：
1． 反身性：即A 与它自身是相似的。
2． 对称性：即A 与B 相似，则称B 与A 相似。
传递性：即A 与B 相似，B 与C 相似，则称A 与C 相似 练习：
1如何来证相似矩阵有相同的特征多项式？
证明：设A 与B 相似，则有可逆矩阵P ，使得
B AP P =-1 于是A E P A E P AP P E B E -=-=-=---λλλλ11。
这表明线性变换关于不同基的矩阵可以不同。
但这些矩阵有相同的特征多项式)(λf ，故)(λf 是由线性变换确定的。
由此称)(λf 为线性变换的特征多项式。
2相似矩阵有相同的特征多项式
证明：设A B ，即有可逆矩阵X ，使得1B X
A X -=，于是 ()111E
B E X
A X X E a X X E A X E A λλλλλ----=-=-=-=-
3一个线性变换在不同基之下的矩阵相似。
证明矩阵相似的五种方法
证明矩阵相似的五种方法矩阵是线性代数中重要的概念之一，相似矩阵则是矩阵理论中的一个重要概念。
相似矩阵是指两个矩阵之间可以通过一定的变换关系相互转化，具有相同的特征值和特征向量。
在实际应用中，相似矩阵具有很多重要的应用，如矩阵对角化、线性变换等。
本文将介绍证明矩阵相似的五种方法。
一、定义法定义法是最基础的证明方法。
根据相似矩阵的定义，如果矩阵A和B相似，则存在一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1。
证明矩阵A 和B相似，只需要找到一个可逆矩阵P，使得A=PBP^-1即可。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[5 6; 7 8]。
首先，求出矩阵A的特征值和特征向量，得到λ1=5，λ2=-1，v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]。
由于矩阵A有两个不同的特征值，因此A可以对角化为A=PDP^-1，其中D是A的特征值构成的对角矩阵，P是由A的特征向量组成的矩阵。
令P=[v1 v2]，则P^-1=[1/5 -1/15; -2/5 1/15]。
将A和P代入A=PDP^-1中，得到B=P^-1AP=D=[5 0; 0 -1]。
因此，A和B相似。
二、特征值法特征值法是证明矩阵相似的另一种常用方法。
根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征值。
因此，可以通过求解两个矩阵的特征值来证明它们相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
求解矩阵A和B的特征值，得到A的特征值为λ1=5，λ2=-1，B的特征值为λ1'=5，λ2'=-1。
由于A和B具有相同的特征值，因此它们相似。
三、特征向量法特征向量法是证明矩阵相似的另一种常用方法。
根据相似矩阵的定义，如果A和B相似，则它们有相同的特征向量。
因此，可以通过求解两个矩阵的特征向量来证明它们相似。
例如，证明矩阵A和B相似，其中A=[1 2; 3 4]，B=[2 1; 4 3]。
求解矩阵A和B的特征向量，得到A的特征向量为v1=[2; 1]，v2=[-1; 3]，B的特征向量为v1'=[1; 2]，v2'=[-2; 1]。
矩阵相似的条件
Q0 = D0 ， Q1 = D1 + AQ0 ， Q2 = D2 + AQ1 ，
…………
Qk = Dk + AQk-1 ， …………
Qm-1 = Dm-1 + AQm-2 ， U0 = Dm + AQm-1 .
就行了. 用完全相同的办法可以求得 R() 和 V0 .
证毕
二、矩阵相似的条件
定理 7 设 A, B 是数域 P 上两个 n n 矩阵.
= R() ( E - A ) + V0E，- A = P0( E(6-)B ) Q0 ，
证毕(1)
U-1() - (则EA- 与B) BR(相)似，.
矩阵 A 的特征矩阵 E - A 的不变因子以后就 简称为 A 的不变因子. 因为两个 - 矩阵等价的充
分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理 7 即得
U-1() - (E - B) R()
是一个数字矩阵(后一种情况下应是零矩阵)，记作 T，即
T = U-1() - (E - B) R()，
T (E - A) = (E - B) V0 .
(7)
现在我们来证明 T 是可逆的.
由
T = U-1() - (E - B) R()，
得
E = U()T + U() (E - B) R()
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本 本单若 若内请 请结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节 节击想 想本 本容单 单若 若束内请 请返结节 节已想击想本本容单单若回束内请返结节 节已想击想本本容单单若回束内 内请返结 结节 节已击 击想 想本本容单 单若回束内 内结请返结结堂节已击想击按本本容单若回束内 内结请返结结堂节已击击想按本本容 容单若回束 束内 内结请返 返结 结堂节已击 击想按本容 容束单回束束课内结返返结钮堂节已击想按本容 容束单回束束课内结返返结钮堂节已 已击想按本 本容 容束单回 回束 束课内结返 返结钮堂已 已击按本本,容束回回束课.内结!返结钮堂已 已击按本本,容束回回束课.内结 结!返结钮堂 堂已 已击按 按本 本,容束回 回束课.结 结!返钮堂堂已按按本,容束回束课.结 结!返钮堂堂已按按本,容束 束回束课 课.结 结!返钮 钮堂 堂已按 按本,束 束回课课.结!钮钮堂已按本,束束回课课.结!钮钮堂已按本,,束束回课 课..结!!钮 钮堂按,,束课..结!!钮堂按,,束课..结!!钮堂按,,束课..!!钮,束课.!钮,束课.!钮,.!,.!,.!
03第三节相似矩阵
03第三节相似矩阵第三节相似矩阵分布图⽰★相似矩阵与相似变换的概念★例1 ★相似矩阵的性质★例2 ★相似矩阵的特征值与特征向量★矩阵与对⾓矩阵相似的条件★例3★例4★矩阵可对⾓化的条件★矩阵对⾓化的步骤★例5★例6★利⽤矩阵对⾓化计算矩阵多项式★矩阵对⾓化在微分⽅程组中的应⽤★例7 ★约当形矩阵的概念★例8 ★例9★例10★内容⼩结★课堂练习★习题4-3内容要点⼀、相似矩阵的概念定义1 设B A ,都是n 阶矩阵, 若存在可逆矩阵P ,使BAP P=-1,则称B 是A 的相似矩阵, 并称矩阵A 与B 相似.记为B A ~.对A 进⾏运算AP P 1-称为对A 进⾏相似变换, 称可逆矩阵P 为相似变换矩阵. 矩阵的相似关系是⼀种等价关系，满⾜:(1) 反⾝性: 对任意n 阶矩阵A ,有A A 与相似; (2) 对称性: 若B A 与相似, 则B 与A 相似;(3) 传递性: 若A 与B 相似, 则B 与C 相似, 则A 与C 相似. 两个常⽤运算表达式： (1) ))((111BP P AP P ABP P ---=;(2) BP lP AP kP P lB kA P 111)(---+=+, 其中l k ,为任意实数.⼆、相似矩阵的性质定理1 若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从⽽A 与B 的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质: (1) 相似矩阵的秩相等;(2) 相似矩阵的⾏列式相等;(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似.三、矩阵与对⾓矩阵相似的条件定理2=Λn λλλ21相似的充分必要条件为矩阵A 有n 个线性⽆关的特征向量.注: 定理的证明过程实际上已经给出了把⽅阵对⾓化的⽅法.推论1 若n 阶矩阵A 有n 个相异的特征值n λλλ,,,21 ,则A 与对⾓矩阵=Λn λλλ21 相似.对于n 阶⽅阵A ,若存在可逆矩阵P , 使Λ=-AP P 1为对⾓阵, 则称⽅阵A 可对⾓化. 定理3 n 阶矩阵A 可对⾓化的充要条件是对应于A 的每个特征值的线性⽆关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数. 即设i λ是矩阵A 的i n 重特征值, 则A 与Λ相似),,2,1()(n i n n E A r i i =-=-?λ。
有关矩阵相似与行列式因子
1、证明：多项式矩阵的第一种初等变换可以通过连续施行有限次第二种初等 变换与第三种初等变换来实现。
证明:多项式矩阵的第一种初等变换[ ] j i , ，可以通过继续施行有限次第二种初等变换 ( ) [ ]( ) 0 ¹ a a i 与第三种初等变换 ( ) ( ) [ ] l j j i + 来实现（其中 ( ) l j 为l 的多项式）。
证明：取任意 n m ´ 多项式矩阵 ( ) l A 来证明 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷øö çç ç çç ç ç ç ç è æ = l l l l l l l l l l l l l mn m m jn j j in i i n a a a a a a a a a a a aA L M M M M L M M M ML M M M M L 2 1 2 1 2 11 12 11 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷ ÷÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöçç ç ççç ç ççè æ + + + ¾ ¾ ® ¾ +l l l l l l l l l l l l l l l mn m m jn j j jn in j i j i n r r a a a a a a a a a a a a a a a j i LMM M M L M M M M L M M M M L 2 1 2 1 2 2 1 1 1 12 11 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ÷÷ ÷÷÷÷÷ ÷÷øöçç ç ççç ç ççè æ - - - + + + ¾ ¾ ® ¾ - l l l l l l l l l l l l l l l mn m m in i i jn in j i j i n r r a a a a a aa a a a a a a a a ij LMM M M L M M M M L M M M M L 2 1 2 1 2 2 1 1 1 12 11( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ÷÷÷ ÷ ÷ ÷÷÷ ÷øö çç ç çç ç ç ç ç è æ ¾ ¾ ® ¾ - · + l l l l l l l l l l l l mn m m in i i jn j j n r r r a a a a a a a a a a a a j j i L M M M M L M M M ML M M M M L 2 1 2 1 2 1 1 12 11 1 所以命题得以证明。
矩阵的相似和相合2.
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵， 本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 定理1 定理1 对称实矩阵的特征值为实数. 对称实矩阵的特征值为实数. 证明 设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ3单位化, 令ηi = ( i = 1,2,3) 得 ξi
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . − 1 2 0 1 2
λ −3
−1
，所以特征值为5，2，2
1 (1,1,1)T 3
1 1 (−1,1, 0)T , β3 = (−1, 0,1)T 2 2
λ −3
当 λ =5
时，有特征向量
α1 =
α2 =
当
λ=2
时，有特征向量
α2 =
正交单位化得
1 1 (−1,1, 0)T , α 3 = (1,1, −2)T 2 6
所以
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角 化的方法
根据上述结论， 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵， 为对角矩阵，其具体步骤为 其具体步骤为： 1. 求A的特征值; 2.
由( λi I − A ) x = 0, 求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
2014-10-23 zeng, Shanghai University, linear algebra
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明矩阵相似的五种方法
矩阵相似是线性代数中一个重要的概念，它描述的是两个矩阵之间存在某种相似性质，即它们可以通过某种变换相互转换。
在实际应用中，矩阵相似常常用于求解线性方程组、矩阵特征值和特征向量等问题。
本文将介绍五种证明矩阵相似的方法，希望对读者有所帮助。
方法一：矩阵相似的定义
矩阵相似的定义是指存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B 满足B=PAP^-1。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是找到一个可逆矩阵P，使得它们满足这个等式。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]
我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到：
P = [v1 v2 v3] = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]
因此，我们可以验证B=PAP^-1，即：
B = PAP^-1 = [-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1][1
2 3; 4 5 6; 7 8 9][-0.82 0.41 -0.41; 0.41 0.82 -0.41; 0 0 1]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]
因此，A和B是相似的。
方法二：矩阵的特征值和特征向量
矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的特征值和特征向量。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的特征值和特征向量，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]
我们可以通过计算它们的特征值和特征向量来证明它们相似。
假设A的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 0], v2=[0.41 0.82 0], v3=[-0.41 -0.41 1]，B的特征值为λ1=0，λ2=4.79，λ3=-0.79，对应的特征向量分别为v1=[-0.82 0.41 -0.41], v2=[0.41 0.82 -0.41], v3=[-0.41 -0.41 1]，则可得到它们具有相同的特征值和特征向量，因此A和B是相似的。
方法三：矩阵的行列式和迹
矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的行列式和迹。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的行列式和迹，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]
我们可以通过计算它们的行列式和迹来证明它们相似。
假设A的行列式为det(A)=0，迹为tr(A)=15，B的行列式为det(B)=0，迹为tr(B)=-3，则可得到它们具有相同的行列式和迹，因此A和B是相似的。
方法四：矩阵的幂
矩阵相似的另一个重要性质是它们具有相同的幂。
因此，证明两个矩阵相似的方法之一就是计算它们的幂，并比较它们是否相同。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]
我们可以通过计算它们的幂来证明它们相似。
假设A的2次幂为A^2=[30 36 42; 66 81 96; 102 126 150]，B的2次幂为B^2=[0 1 0;
0 0 1; -2 -4 -6]，则可得到它们具有相同的幂，因此A和B是相似的。
方法五：矩阵的分解
矩阵相似的另一个重要性质是它们可以通过矩阵的分解来证明。
例如，如果矩阵A可以分解为A=QDQ^-1，其中Q是可逆矩阵，D是对角矩阵，则它们是相似的。
同样地，如果矩阵A可以分解为A=LU，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，则它们也是相似的。
例如，假设A和B是两个3×3的矩阵，它们分别为：
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
B = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]
我们可以通过矩阵的分解来证明它们相似。
假设A可以分解为
A=QDQ^-1，其中Q是可逆矩阵，D是对角矩阵，则可得到：
D = [13.93 0 0; 0 -0.93 0; 0 0 0]
Q = [0.26 -0.84 -0.49; 0.53 -0.25 0.81; 0.81 0.48 -0.33] 因此，我们可以验证B=QDQ^-1，即：
B = QDQ^-1 = [0.26 -0.84 -0.49; 0.53 -0.25 0.81; 0.81 0.48 -0.33][13.93 0 0; 0 -0.93 0; 0 0 0][0.26 -0.84 -0.49; 0.53 -0.25 0.81; 0.81 0.48 -0.33]^-1 = [0 1 0; 0 0 1; -1 -2 -3]
因此，A和B是相似的。
总结
本文介绍了证明矩阵相似的五种方法，包括矩阵相似的定义、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的行列式和迹、矩阵的幂和矩阵的分解。
在实际应用中，这些方法可以帮助我们更好地理解矩阵相似的概念，从而更加灵活地解决相关问题。