相似三角形的应用-2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)
2022年浙江省中考数学复习课件：第20课 相似三角形的应用
相似三角形的拓展应用 例 2.(2020·金华丽水)如图，在△ABC 中，AB＝4 2 ，∠B＝45°，∠C＝60°. (1)求 BC 边上的高线长． (2)点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF，沿 EF 将△AEF 折叠得到 △PEF. ①如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求∠AEP 的度数． ②如图 3，连结 AP，当 PF⊥AC 时，求 AP 的长．
【解析】过 N 点作 ND⊥PQ 于 D， 可得△ABC∽△QDN，∴BACB ＝QDDN ， 又∵AB＝2，BC＝1.6，PM＝1.2，NM＝0.8， ∴12.6 ＝Q1.D2 ，∴QD＝1.5.∴PQ＝QD＋DP＝QD＋NM＝1.5＋0.8＝2.3(米). 答：木杆 PQ 的长度为 2.3 米． 反思：实际背景中，寻找相似的图形，转化为方程解决．
∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60－x，
60－x ∴ 60
＝12x0
，解得：x＝40，
∴AN＝60－x＝60－40＝20.
【考点剖析】 相似三角形的实际应用 例 1.(2021·河北)图 1 是装了液体的高脚杯示意图(数据如图)，用去一部分液体
后如图 2 所示，此时液面 AB＝(C )
A．1 cm
B．2 cm
C．3 cm
D．4 cm
跟踪训练 1．(2021·四川)《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如 图所示，在井口 A 处立一根垂直于井口的木杆 AB，从木杆的顶端 B 观察井水水 岸 D，视线 BD 与井口的直径 AC 交于点 E，如果测得 AB＝1 米，AC＝1.6 米，AE ＝0.4 米，求 CD 的长．
A．2∶3
B．3∶2
C．4∶9
D．9∶4
4_4 相似三角形【2022通用版中考数学一轮复习精讲精练】(解析版)
模块四 三角形 第四讲 相似三角形知识梳理 夯实基础知识点1：比例线段及比例性质1. 比例线段对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段a ，b 的比与另两条线段c ，d 的比相等，即::a b c d =，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
2. 比例性质①比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=；②反比定理：a c b db d ac =⇔=；③更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；④合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； ⑤分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； ⑥合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； ⑦等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．3. 比例中项 若a bb c=或a:b=b:c ，b 叫作a ，c 的比例中项.4. 黄金分割把一条线段（AB ）分割成两条线段，使其中较长线段（AC ）是原线段AB 与较短线段（BC ）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割.即BC AB AC ⋅=2，AB AB AC 618.0215≈-=；一条线段的黄金分割点有两个。
23l l ，且BC =时，有EF =。
23l l 时，有DE EF=，知识点3：相似三角形的性质1.相似三角形对应角，对应边。
2.相似三角形对应线段（边，高，中线，角平分线）的比等于。
3.相似三角形周长比等于4.相似三角形面积比等于知识点4：相似三角形的判定图示当DE∥BC时, △ADE∽△ABC.2.判定三角形相似的思路1.常见的相似模型（1）平行线型（2）斜交型（3）一线三等角型知识点5：相似多边形1.定义两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,边对应成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形,相似多边形对应边的比叫做相似比.2.性质(1)相似多边形的对应角相等,对应边成比例;(2)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.直击中考胜券在握1．（2021·福建）如图，面积为1的等边三角形ABC中，,,D E F分别是AB，BC，CA的中点，则DEF的面积是（）A．1B．12C．13D．14【答案】D 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14．【详解】∵,,D E F分别是AB，BC，CA的中点,且∵ABC是等边三角形,∵∵ADF∵∵DBE∵∵FEC∵∵DFE,∵∵DEF的面积是14．故选D．【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．2.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意得：AB ==AC 2BC =、A1，与∵ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；B1，∵对应边成比例，符合题意；C，3∵ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意；D2，与∵ABC 的三边对应边不成比例关系，不符合题意； 故选B ． 【点晴】此题主要考查相似三角形的判定和勾股定理，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 3．（2020·贵州省铜仁中考）已知△FHB△△EAD ，它们的周长分别为30和15，且FH ＝6，则EA 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．4 D ．5【答案】A 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答． 【详解】解：∵∵FHB 和∵EAD 的周长分别为30和15， ∵∵FHB 和∵EAD 的周长比为2：1， ∵∵FHB∵∵EAD ， ∵2FHEA =， 即6EA＝2， 解得，EA ＝3， 故选：A ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质进行解题． 4．（2021·四川省遂宁中考）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 2【答案】B 【分析】由三角形的中位线定理可得DE =12BC ，DE ∵BC ，可证∵ADE ∵∵ABC ，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点， ∵DE =12BC ，DE ∵BC ，∵∵ADE ∵∵ABC ， ∵21()4ADE ABC S DE S BC ∆∆==， ∵S ∵ADE =3， ∵S ∵ABC =12，∵四边形BDEC 的面积=12-3=9(cm 2)， 故选：B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．5．如图，已知直线a △b △c ，若AB ＝9，BC ＝6，DF ＝10，则DE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B 【分析】直接根据平行线分线段成比例定理得到DE ABDF AC=，然后根据比例的性质可计算出DE 的长． 【详解】 解：////a b c ，∴DE AB DF AC=，即96109DE，6DE ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，熟悉相关性质是解题的关键．6．（2021·绍兴中考）如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是（ ）A ．2mB ．3mC ．3m 2D ．10m 3【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可． 【详解】解：由题可知，CAB CPO ∽， ∵AB ACOP CP =, ∵353 4.5AB =+， ∵()2AB m =， 故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．7．（2021·巴中中考）如图，ABC中，点D、E分别在AB、AC上，且12AD AEDB EC，下列结论正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．ADE与ABC的面积比为1：3C．ADE与ABC的周长比为1：2D．DE//BC【答案】D【分析】根据相似三角形的判定与性质进行逐一判断即可．【详解】解：∵12 AD AEDB EC，∵AD：AB=AE：AC=1：3，∵∵A=∵A，∵∵ADE∵∵ABC，∵DE：BC=1：3，故A错误；∵∵ADE∵∵ABC，∵∵ADE与∵ABC的面积比为1：9，周长的比为1：3，故B和C错误；∵∵ADE∵∵ABC，∵∵ADE=∵B，∵DE∵BC．故D正确．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．8．如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，依此类推，若各种开本的矩形都相似，那么ADAB等于（ ）A ．0.618BCD ．2【答案】C 【分析】根据矩形ABCD 的面积是矩形ABFE 面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出ADAB的值． 【详解】解：∵矩形ABCD 的面积是矩形ABFE 面积的2倍，各种开本的矩形都相似， ∵（AD AB）2=2，∵ADAB故选：C ． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形面积的比等于相似比的平方．9．（2020·牡丹江市中考）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，10BC =，点E 在BC 边上，DF AE ⊥，垂足为F ．若6DF =，则线段EF 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【分析】证明∵AFD∵∵EBA ，得到AF AD DFBE AE AB==，求出AF ，即可求出AE ，从而可得EF. 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形， ∵AB=CD=3，BC=AD=10，AD∵BC ， ∵∵AEB=∵DAF ， ∵∵AFD∵∵EBA ， ∵AF AD DFBE AE AB==， ∵DF=6，8=， ∵81063BE AE ==， ∵AE=5， ∵EF=AF -AE=8-5=3. 故选B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法.10．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①12DE BC =；②12DOE COB S S ∆∆=；③AD OE AB OB =；④13ODE ADCS S ∆∆=，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由BE 、CD 是∵ABC 的中线， 可得1,2DE BC =即12DE BC =，从而可判断①；由DE 是∵ABC 的中位线，可得∵DOE ∵∵COB ，从而可判断②；由∵ADE ∵∵ABC 与∵DOE ∵∵COB ，利用相似三角形的性质可判断③；由∵ABC 的中线BE 与CD 交于点O ．可得点O 是∵ABC 的重心，根据重心性质，BO ＝2OE ，∵ABC 中BC 上的高＝∵BOC 中BC 上的高的3倍，且∵ABC 与∵BOC 同底（BC ），可得3ABCBOCSS=，由②和③知，13,44ODECOBADEBOCSS SS ==，从而可判断④．【详解】解：①∵BE 、CD 是∵ABC 的中线，即D 、E 是AB 和AC 的中点，∵DE 是∵ABC 的中位线， ∵1,2DE BC = 即12DE BC =， 故①正确；②∵DE 是∵ABC 的中位线，∵DE∥BC ，∵∵DOE ∵∵COB ， ∵221124DOE COB S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△， 故②错误；③∵DE∥BC ，∵∵ADE ∵∵ABC ， ∵AD DE AB BC=， ∵∵DOE ∵∵COB ，OE DE OB BC ∴=， ∵AD OE AB OB=， 故③正确；④∵∵ABC 的中线BE 与CD 交于点O ，∵点O 是∵ABC 的重心，根据重心性质，BO ＝2OE ，∵ABC 中BC 上的高＝3∵BOC 中BC 上的高，且∵ABC 与∵BOC 同底（BC ），∵3ABC BOC S S =，由②和③知，14ODE COB S S =，1=2AD DE AB BC =， ∵221124DAE BAC S AD SAB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵34ADE BOC SS =， ∵13ODEADE SS =． 故④正确．综上，①③④正确．故选C．【点睛】本题考查的三角形的中线与三角形的中位线的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用以上知识解决三角形的面积问题是解题的关键．11．（2021·湖南省湘潭市中考）如图，在ABC中，点D，E分别为边AB，AC上的点，试添加一个条件：_____，使得ADE与ABC相似．（任意写出一个满足条件的即可）【答案】AD AE AB AC=【分析】根据相似三角形的判定方法：两边成比例，夹角相等解题．【详解】解：根据题意，添加条件AD AE AB AC=，=A A∠∠∴ADE~ABC故答案为：AD AE AB AC=．【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．（2021·云南中考）如图，在ABC中，点D，E分别是,BC AC的中点，AD与BE相交于点F，若6BF=，则BE的长是______．【答案】9【分析】根据中位线定理得到DE =12AB ，DE ∵AB ，从而证明∵DEF ∵∵ABF ，得到12DE EF AB BF ==，求出EF ，可得BE ．【详解】解：∵点D ，E 分别为BC 和AC 中点，∵DE =12AB ，DE ∵AB ，∵∵DEF ∵∵ABF ， ∵12DE EF AB BF ==， ∵BF =6，∵EF =3，∵BE =6+3=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明∵DEF ∵∵ABF ．13．（2021·山东烟台中考）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB ，从木杆的顶端B 观察井水水岸D ，视线BD 与井口的直径AC 交于点E ，如果测得1AB =米， 1.6AC =米，0.4AE =米，那么CD 为____________米．【答案】3由已知可知CD 与AB 平行，所以可利用DEC BEA △△解决．【详解】解： 1.60.4 1.2CE AC AE =-=-=（米），AB AC DC AC ∵⊥，⊥，∵AB ∵DC ．DEC BEA ∴△△． DC EC BA EA=∴． 1 1.230.4BA EC DC EA ⨯===∴（米）． 故答案为：3【点睛】本题考查了相似三角形的应用的知识点，熟知相似三角形的判定与性质是解题的基础；善于从实际问题中发现问题、解决问题是关键．14．（2021·广西百色中考）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，△B ＝72°，△ACB 的平分线CD 交AB 于点D ，则点D 是线段AB 的黄金分割点．若AC ＝2，则BD ＝______．【答案】3【分析】先根据AB =AC ，∵B =72°求出∵A 的度数，再根据CD 是∵CAB 的角平分线得到∵A =∵ACD ，即AD =CD ，再根据大角对大边得到AD >BD ，最后利用黄金分割公式计算求解即可.【详解】解：∵AB =AC ，∵B =72°∵∵ACB =∵B =72°∵∵A =180°-∵B -∵ACB =36°∵CD 是∵CAB 的角平分线∵∵ACD =∵BCD =1362ACB =∠ ∵∵A =∵ACD在∵ABC 与∵CBD 中∵A =∵BCD =36°，∵B =∵B∵∵ABC ∵∵CBD ∵AB BC BC BD= 在三角形CDB 中，∵B =72°，∵BCD =36°∵∵CDB =72°∵∵CDB =∵B =72°∵AD =CD =BC ∵AB AD AD BD= 即2·AD BD AB =∵D 点为AB 的黄金分割点在三角形CDB 中，∵B =72°，∵BCD =36°∵CD >BD （大角对大边）∵AD >BD∵D 是AB 的黄金分割点，AD >BD∵1AD ==∵3BD AB AD =-=故答案为：3【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，黄金分割点，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.15．如图所示，在平行四边形ABCD 中，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使:1:3DE AD =，连结EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S △△等于_________．【答案】4：9【分析】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．【详解】解：∵DE :AD =1:3，设DE =x ，AD =3x ，在∵ABCD 中，∵AD =BC =3x ，∵点F 为BC 的中点，∵CF =32x ， ∵DE ∵BC ，∵∵DEG ∵∵CFG ， ∵2224()()39DEG CFG S DF S CF ∆∆===， 故答案为：4：9．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．16．如图，有－块形状为Rt ABC 的斜板余料．已知90A ∠=︒，6AB cm =，8AC cm =，要把它加工成一个形状为DEFG 的工件，使GF 在BC 上，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，且5DE cm =，则DEFG 的面积为______2cm ．【答案】212cm【分析】作AH BC ⊥交BC 于H 点，交DE 于I 点，根据90,6,8A AB cm AC cm 可得BC 10cm =，根据5DE cm =可知DE 是ABC 中线，得12AI IH AH ，利用三角形面积1122ABC S AC AB BC AH ，可得245AH =，11225IH AH ，则根据DEFG S DE IH ，计算可得结果．【详解】如图示，作AH BC ⊥交BC 于H 点，交DE 于I 点，∵90,6,8A AB cm AC cm∵BC 10cm =∵5DE cm =，//DE BC ，∵DE 是ABC 中线，∵12AIIH AH ， 又∵1122ABC S AC AB BC AH ，即有6810AH ， ∵245AH =， ∵1124122255IHAH ， ∵2125125DEFG S DE IH cm ，故答案为：12【点睛】本题考查了三角形中位线的应用，勾股定理，三角形的面积和平行四边形的面积，熟悉相关性质定理是解题的关键．中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．17．如图，在ABC ∆中，120BC =，高60AD =，正方形EFGH 一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为___．【答案】20．【分析】设正方形EFGH 的边长EF EH x ==，易证四边形EHDN 是矩形，则DN x =，根据正方形的性质得出//EF BC ，推出AEF ABC ∆∆∽，根据相似三角形的性质计算即可得解．【详解】解：设正方形EFGH 的边长EF EH x ==，四边形EFGH 是正方形，90HEF EHG ∴∠=∠=︒，//EF BC ，AEF ABC ∴∆∆∽， AD 是ABC ∆的高，90HDN ∴∠=︒，∴四边形EHDN 是矩形，DN EH x ∴==，AEF ABC ∆∆∽， ∴AN EF AD BC=（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， 120BC =，60AD =，60AN x ∴=-， ∴6060120x x -=， 解得：40x =，60604020AN x ∴=-=-=．故答案为20．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．18．（2021·湖北随州中考）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，OD 平分AOC ∠交AC 于点G ，OD OA =，BD 分别与AC ，OC 交于点E ，F ，连接AD ，CD ，则OG BC 的值为______；若CE CF =，则CF OF的值为______．【答案】12【分析】（1）根据条件，证明AOD COD ≅△△，从而推断90OGA ∠=，进一步通过角度等量，证明AOG ABC △△，代入推断即可.（2）通过OA OD OC OB ===，可知,,,A B C D 四点共圆，通过角度转化，证明ODF CBF △△，代入推断即可.【详解】解：（1）∵90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点∵OA OC =又∵OD 平分AOC ∠∵AOD COD ∠=∠又∵OD OD =∵AOD COD ≅△△∵AD CD =∵OD AC ⊥∵90OGA ∠=在AOG 与ABC 中GAO BAC ∠=∠,90OGA BCA ∠=∠=∵AOG ABC △△12OG AO BC AB == （2∵OA OD OC OB ===∵,,,A B C D 四点共圆，如下图：∵CE CF =∵CEF CFE ∠=∠又∵CFE BFO ∠=∠∵CEF BFO ∠=∠∵AOD COD ≅△△∵AD CD =∵AD CD =∵OBF CBE ∠=∠∵90BFO OBF CEF CBE ∠+∠=∠+∠=即90BOC ∠=∵OB OC =∵BC ===∵90OGA BCA ∠=∠=∵ODB FBC ∠=∠∵OFD CFB ∠=∠∵ODF CBF △△∵CF BC OF OD==故答案为：12【点睛】本题考查三角形的相似，三角形的全等以及圆的相关知识点，根据图形找见相关的等量关系是解题的关键．19．（2021·玉林中考）如图，在ABC 中，D 在AC 上，//DE BC ，//DF AB ．（1）求证：DFC △△AED ；（2）若13CD AC =，求DFC AED S S △△的值． 【答案】（1）见详解；（2）14DFC AED S S = 【分析】（1）由题意易得,DFC ABC AED ABC ∽∽，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得23AD AC =，然后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可得14,99DFC ABC AED ABC S S S S ==，然后问题可求解．【详解】（1）证明：∵//DE BC ，//DF AB ，∵,DFC ABC AED ABC ∽∽，∵DFC AED ∽；（2）解：由（1）可知,DFC ABC AED ABC ∽∽，∵13CD AC =， ∵23AD AC =， ∵2214,99DFC AED ABC ABC S S CD AD SCA S AC ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵14,99DFC ABC AED ABC SS S S ==， ∵14DFCAED S S =． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20．如图，在△ADC 中，点B是边DC 上的一点，△DAB=△C ，23AD DC =．若△ADC 的面积为18cm ，求△ABC 的面积．【答案】10【解析】试题分析：根据相似三角形的判定定理得到∵ADC∵∵BAD ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到结论．试题解析：∵∵DAB=∵C ，∵D=∵D ， ∵∵ADC∵∵BAD ， ∵ 2224()()39BDA ADC S AD S DC ∆∆===， ∵∵ADC 的面积为18cm 2 ，∵∵BDA 的面积为8cm 2 ，∵∵ABC 的面积=∵ADC 的面积﹣∵BDA 的面积=10cm 221．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，△AED=△B ，射线AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD DF AC CG=．（1）求证：△ADF△△ACG ；（2）若12AD AC =，求AF FG的值． 【答案】（1）见解析 （2）11.【解析】（1）欲证明∵ADF∵∵ACG ，由可知，只要证明∵ADF=∵C 即可． （2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：∵∵AED=∵B ，∵DAE=∵DAE ，∵∵ADF=∵C ，∵，∵∵ADF∵∵ACG ．（2）解：∵∵ADF∵∵ACG ，∵， 又∵，∵，∵1．22．如图，在ABC 与DEC 中，已知△ACB =△DCE =90°，AC =6，BC =3，CD =5，CE =2.5，连接AD ，BE ．（1）求证：ACD △BCE ；（2）若△BCE =45°，求ACD 的面积．【答案】（1）见解析；（2 【分析】 （1）根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明；（2）过点D 作DG AC ⊥交于点G ，由45ACD BCE ∠=∠=︒得，CGD △是等腰直角三角形，即可求出DG ，由三角形面积公式即可得出答案．【详解】（1）90ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，6AC =，3BC =，5CD =， 2.5CE =，21AC CD BC CE ∴==， ACD BCE ；（2）如图，过点D 作DG AC ⊥交于点G ，ACD BCE ，45ACD BCE ∴∠=∠=︒， CGD 是等腰直角三角形，CG DG ∴=，在Rt CGD 中，2225CG DG +=，解得：DG =11622ACD S AC DG ∴=⨯⨯=⨯= 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质与三角形的面积，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．23．（2021·湖北省黄冈中考）如图，在ABC 和DEC 中，A D ∠=∠，BCE ACD ∠=∠．（1）求证：ABC DEC △△；（2）若:4:9ABC DEC S S =，6BC =，求EC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【分析】（1）先根据角的和差可得ACB DCE ∠=∠，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得．【详解】证明：（1）BCE ACD ∠=∠，BCE ACE ACD ACE ∴∠+∠=∠+∠，即ACB DCE ∠=∠，在ABC 和DEC 中，ACB DCE A D∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ABC DEC ~∴；（2）由（1）已证：ABC DEC △△，2ABC DEC C C S SB E ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， :4:9ABC DEC S S=，6BC =， 2649EC ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭， 解得9EC =或9EC =-（不符题意，舍去），则EC 的长为9．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．24．（2020·浙江省杭州中考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE△AC，EF△AB．（1）求证：△BDE△△EFC．（2）设12 AFFC=，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）①BE＝4；②45【分析】（1）由平行线的性质得出∵DEB＝∵FCE，∵DBE＝∵FEC，即可得出结论；（2）①由平行线的性质得出BEEC＝AFFC＝12，即可得出结果；②先求出FCAC＝23，易证∵EFC∵∵BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．【详解】（1）证明：∵DE∵AC，∵∵DEB＝∵FCE，∵EF∵AB，∵∵DBE＝∵FEC，∵∵BDE∵∵EFC；（2）解：①∵EF∵AB，∵BEEC＝AFFC＝12，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∵12BEBE-＝12，解得：BE＝4；②∵AF FC ＝12， ∵FC AC ＝23， ∵EF ∵AB ，∵∵EFC ∵∵BAC ， ∵EFC ABC S S ＝（FC AC）2＝（23）2＝49， ∵S ∵ABC ＝94S ∵EFC ＝94×20＝45． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理与性质．25．（2021·上海中考）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时， ①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，求AD BC的值； （2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．【答案】（1）①见解析；②23；（2）13【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，DAC DCA OBC OCB ∠=∠=∠=∠，由此可得DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒，作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．根据30所对直角边是斜边的一半可知CH m =，由此可得AD BC的值． （2）①当点E 在AD 上时，可得四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，在Rt ACE 和Rt DCE 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-求解即可．②当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m =；由EOC ECB ∽得EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+，解出x 的值即可．【详解】（1）①由AD CD =，得12∠=∠．由//AD BC ，得13∠=∠．因为BO 是Rt ABC △斜边上的中线，所以OB OC =．所以34∠=∠．所以1234∠=∠=∠=∠．所以DAC OBC ∽．②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒． 作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．在Rt DCH △中，60,2DCH DC m ∠=︒=，所以CH m =．所以3BC BH CH m =+=． 所以2233AD m BC m ==． （2）①如图5，当点E 在AD 上时，由//,AD BC O 是AC 的中点，可得OB OE =， 所以四边形ABCE 是平行四边形．又因为90ABC ∠=︒，所以四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2AE x ． 已知3OE =，所以6AC =．在Rt ACE 和Rt DCE 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-．解得1x =1x = 舍去负值）．②如图6，当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2CE x =-． 设OB OC m ==，已知3OE =，那么3EB m =+．一方面，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m=，另一方面，由24BEC ∠=∠∠，是公共角，得EOC ECB ∽． 所以EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+． 等量代换，得32232x x x m m -==-+．由322x x m =-，得226x x m -=． 将226x x m -=代入3223x x m -=-+，整理，得26100x x --=．解得3x =，或3x =．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．26．（2021·安徽中考）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF//AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证ABE AEB ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，即可得AB AE =，DE DC =；再证四边形AFCD 是平行四边形即可得AF CD =，所以AF DE =，根据SAS 即可证得ABF EAD △≌△；（2）证明EBF EAB ∽△△，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长BM 、ED 交于点G ．易证ABE DCE ∽，可得AB AE BE DC DE CE==；设1CE =，BE x =，DC DE a ==，由此可得AB AE ax ==，AF CD a ==；再证明MAB MDG △≌△，根据全等三角形的性质可得DG AB ax ==．证明FAB FEG △∽△，根据相似三角形的性质可得FA AB FE EG =，即(1)(1)a ax a x a x =-+，解方程求得x 的值，继而求得BE EC的值． 【详解】（1）证明：//AE CD ，AEB DCE ∴∠=∠；//DE AB ，ABE DEC ∴∠=∠，12∠=∠，ABC BCD ∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，AB AE =∴，DE DC =，//AF CD ，//AD CF ，∴四边形AFCD 是平行四边形AF CD ∴=AF DE ∴=在ABF 与EAD 中．12AB EA AF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF EAD SAS ∴△≌△（2）ABF EAD △≌△， BF AD ∴=，在AFCD □中，AD CF =， BF CF ∴=，FBC FCB ∴∠=∠， 又2FCB ∠=∠，21∠=∠， 1FBC ∴∠=∠，在EBF △与EAB 中． 1EBF BEF AEB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， EBF EAB ∴△∽△； EB EF EA EB∴=； 9AB =，9AE ∴=；5CD =，5AF ∴=；4EF ∴=，49EB EB∴=， 6BE ∴=或6-（舍）；（3）延长BM 、ED 交于点G ．ABE 与DCE 均为等腰三角形，ABC DCE ∠=∠， ABE DCE ∴△∽△，AB AE BE DC DE CE∴==， 设1CE =，BE x =，DC DE a ==，则AB AE ax ==，AF CD a ==，(1)EF a x ∴=-，//AB DG ，3G ∴∠=∠；在MAB △与MDG 中，345G MA MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAB MDG AAS ∴△≌△；DG AB ax ∴==．(1)EG a x ∴=+；//AB EG ，FAB FEG ∴△∽△，FA AB FE EG ∴=， (1)(1)a ax a x a x ∴=-+， (1)1x x x -∴=+，2210x x ∴--=，2(1)2x ∴-=，1x ∴=11x ∴=，21x =，1BE EC∴= 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．。
2022年浙教初中数学九上《相似三角形的性质及应用》PPT课件
C
3、练习：见课本P148的做一做部分T2
A B
善于合作
1、已知线段a，用直尺和圆规画一条线段AB， 使它等于已知线段a。
a
１、 已知线段a（如图所示），用直尺和
圆规画出一条线段，使它等于已知线段a．
画法：
a
1. 任意画一条射线AC.
2. 用圆规量取已知线段a
的长度．
AaB
C
3. 在射线AC上截取AB=a.
探究：
如图，立方体纸盒P处粘有一粒
P
糖，A处有一只蚂蚁沿着纸
盒表面爬向糖粒。你能帮助
蚂蚁找到一条最短的路线吗？
请在图上画出这条最短路线， A 并说明理由。
P
线段的基本性质：
两点之间线段最短
A
1. 作业本（2）
四.教材分析: 1、学生通过自学能初步掌握用度量法和 叠合法来比较线段长度的大小。（拟设计2个善于自学 题引导自学，3个勤于巩固练习题）。 2、学生自学不能准确掌握的作一条线段等于已知线段。
“两点之间线段最短”学生不难理解，重要的是应用。
（拟设计2个合作交流，4个勤于巩固题。） 3、拟设计1个拓展提升的题目进行培优训练。
C
D
E
F
M
N
①A
B AB＞CD
②A
B AB=EF
③A
B AB＜MN
勤于巩固1：
1、线段比较的方法有两种分别是：
（1）
（2）
。
2、如图，(1)请用刻度尺量出它们的长度。 AB= cm；AC= cm ；BC= cm
（2）从数值上看，它们的关系如何，用“=”、“>”或“<”
填空
AB AC;AC BC;BC AB
中考专题复习相似三角形课件浙教版
中考专题复习相似三角形课件浙教版一、教学内容本节课将深入探讨浙教版初中数学九年级下册第5章“相似三角形”的相关内容，具体包括第1节至第3节的内容。
通过复习，学生将掌握相似三角形的判定方法、性质以及在实际问题中的应用。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义、判定方法和性质。
2. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、逻辑思维能力和团队合作能力。
三、教学难点与重点重点：相似三角形的判定方法、性质及运用。
难点：在实际问题中灵活运用相似三角形的性质解决问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板。
2. 学具：练习本、铅笔、直尺、量角器。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示实际生活中相似三角形的例子，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2. 知识回顾与梳理（10分钟）引导学生回顾相似三角形的定义、判定方法和性质，对知识进行梳理。
3. 例题讲解（15分钟）讲解典型例题，分析解题思路和方法，强调相似三角形性质的应用。
4. 随堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5. 小组讨论与展示（15分钟）学生分组讨论，共同解决实际问题。
每组选代表进行展示，分享解题过程和答案。
7. 课堂小结（5分钟）学生对本节课的学习内容进行回顾，巩固记忆。
六、板书设计1. 相似三角形的判定方法2. 相似三角形的性质3. 实际问题中的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）已知：三角形ABC与三角形DEF相似，AB=4cm，AC=6cm，BC=8cm，DE=3cm，求DF的长度。
（2）如图，AB//CD，AB=6cm，CD=8cm，AE=4cm，求EC的长度。
2. 答案：（1）DF=6cm（2）EC=5cm八、课后反思及拓展延伸1. 关注学生对相似三角形判定方法和性质的理解。
2. 注重培养学生的观察能力和逻辑思维能力。
3. 加强课后作业的布置与批改，及时了解学生的学习情况。
相似三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)
考点14 相似三角形【命题趋势】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。
而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。
需要考生在复习的时候给予加倍的重视！ 【中考考查重点】 一、比例线段 二、相似三角形的性质 三、相似三角形的判定 四、相似三角形的基本图形考向一：比例线段一．比例的性质1.基本性质：bc ad d c b a =⇔=::；2.比例中项：b a c b c c a ⋅=⇔=2::，此时，c 为a 、b 的比例中项； 二．比例线段1.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段简称比例线段；2.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 3.平行线分线段成比例的基本性质： 如图：AB ∥CD ∥EF ⇔DE BD CF AC =【同步练习】 1．已知＝，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．2．线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：C．3．如图，直线a，b，c截直线e和f，a∥b∥c，，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．【解答】解：∵a∥b∥c，，∴＝，∴，，，故选项A正确，符合题意，选项B、D不正确，不符合题意；连接AF，交BE于H，∵BE∥CF，∴△ABH∽△ACF，∴，，∴选项C不正确，不符合题意；故选：A．4．若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据等比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．5．若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出＝，将AE＝6代入，求出AC＝14，那么EC＝AC﹣AE＝8．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝6，∴＝，解得：AC ＝14，∴EC ＝AC ﹣AE ＝14﹣6＝8． 故答案是：8．考向二：相似三角形的性质相似三角形的性质相似 三角 形的 性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相似三角形的周长之比等于相似比 相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比【方法提炼】【同步练习】1．如图，已知△ABE ∽△CDE ，AD 、BC 相交于点E ，△ABE 与△CDE 的周长之比是，若AE ＝2、BE ＝1，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】首先利用周长之比求得相似比，然后根据AE 的长求得CE 的长，从而求得BC 的长． 【解答】解：∵△ABE ∽△CDE ，△ABE 与△CDE 的周长之比是， ∴AE ：CE ＝2：5， ∵AE ＝2， ∴CE ＝5，相似三角形性质的主要应用方向： ➢ 求角的度数 ➢ 求或证明比值关系 ➢ 证线段等积式 ➢ 求面积或面积比相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．2．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，故选：B．4．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）A．∠B＝∠C′B．S△ABC＝2S△A′B'C'C．AC＝4A'C'D．A'B′＝6【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC＝＝4，AC＝2A'C'，A'B'＝AB＝＝6．故A、B、C错误，D正确；故选：D．5．若D为△ABC中AB边上一点，且DE∥BC交AC于E，AB＝6，BC＝8，AC＝10，若△ADE与△ABC 的相似比为，则AE ＝．【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据AC＝10以及△ADE与△ABC的相似比为，即可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的相似比为，∴＝，∵AC＝10，∴AE＝5．故答案为：5．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C` ∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角 （2）有一对等角，找⎩⎨⎧该角的两边对应成比例另一对等角 （3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找⎩⎨⎧例直角边、斜边对应成比一对锐角相等 （5）等腰三角形，找⎩⎨⎧底边和腰长对应成比例一对底角相等 【同步练习】1．如图，在△ABC 纸片中，∠A ＝76°，∠B ＝34°．将△ABC 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（ ） A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：图①中，∠B ＝∠B ，∠A ＝∠BDE ＝76°，所以△BDE 和△ABC 相似；图②中，∠B ＝∠B ，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD 和△ABC 相似；判定方法3·“SAS ”∵````C B BCB A AB =，∠B=∠B ∴△ABC ∽△A ，B ，C ， 判定方法4·“SSS ”∵``````C A ACC B BC B A AB == ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：C．2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．AB2＝AD•AC【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，在下列四个条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC 中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25B．0.5C．0.75D．1【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：由题意得：∠DPC＝∠EPB，①∠B＝∠C，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE∽△CPD，②∵∠ADB＝∠AEC，∴∠PDC ＝∠PEB ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ③∵AD ：AC ＝AE ：AB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADB ∽△AEC ， ∴∠B ＝∠C ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ，④PE ：PD ＝PB ：PC ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ∴在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是：1， 故选：D ．4．如图，在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝15，D 为BC 上一点，且BD ＝BC ，在AB 边上取一点E ，使以B ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BE＝ ．【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．【解答】解：∵△BDE ∽△BCA 或△BDE ∽△BAC ， ∴或，∵BD ＝BC ，BC ＝15， ∴BD ＝5， ∵AB ＝12， ∴或， 解得：BE ＝4或． 故答案为：4或．考向四：相似三角形的基本图形 一、A 字图及其变型“斜A 型”当∠ADE=∠ACB 时 △ADE ∽△ACB 性质：BCDEAB AE AC AD ==当DE ∥BC 时 △ADE ∽△ABC 性质：BCDEACAE ABAD ==①当∠A=∠C 时 △AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CDAB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用： 如图可得：△PAB ∽△PCD二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）当AB ∥CD 时 △AOB ∽△DOC性质：OCOBOD OA CD AB ==当∠ABD=∠ACB 时 △ABD ∽△ACB 性质：ACAD AB •=2 PC PA PB •=2其中： ∠A 是公共角 AB 是公共边 BD 与BC 是对应边异侧型五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E逆时针A、B、C逆时针连结BD、CE①△ABD∽△ACE②△AOB∽△HOC③旋转角相等④A、B、C、H四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E顺时针A、B、C逆时针A、D、E`逆时针作△ADE关于AD对称的△ADE`性质同上①②③【同步练习】1．如图，已知，DE∥BC，AD：DB＝1：2，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．S△ADE：S四边形BDEC＝1：4【分析】利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴A选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴B选项的结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴C选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．设S△ADE＝k，则S△ABC＝9k，∴S四边形BDEC＝S△ABC﹣S△ADE＝8k，∴．∴D选项的结论错误．综上所述，正确的结论是B，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【分析】由矩形的性质可求出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，证明△EFB∽△FGC，由相似三角形的性质得出，求出CG＝4，同理可得出△DAE∽△EBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案．【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明△DCF∽△DEC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，设DE与BC交于点F，由旋转可知：CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E，∵DE垂直平分BC，∴DF⊥BC，DC＝DB，CF＝BF＝BC＝EC，∴∠DCB＝∠B＝∠E，∵∠DCB+∠FDC＝90°，∴∠E+∠FDC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴△DCF∽△DEC，∴＝＝，∴＝．故选：B．4．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是（）A．B．AC2＝AD•AB C．∠B＝∠ACD D．∠ADC＝∠ACB【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；当，即AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．故选：A．5．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为．【分析】利用平行线的性质判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．1．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】设＝k（k≠0），得出a＝13k，b＝5k，再代入要求的式子进行计算即可求出答案．【解答】解：设＝k（k≠0），则a＝13k，b＝5k，∴＝＝；故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（）A．2B．C．D．4【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题．【解答】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为ABCEF，记BE＝m，AB＝b，则利用托勒密定理有：，可得：，即，∴b＝，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：25【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AB的中点，F为AD的中点，∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，∴，∵AE＝BE，∴AF＝BG＝BC，∴＝∵AD∥BC，∴△AFO∽△CGO，∴＝（）2＝，即S△AOF：S△COG＝1：9，故选：B．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．5．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB 的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△P AB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝3，∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝12．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝4，则S△ADF的值为（）A．6B．10C．15D．【分析】因为四边形ABCD是平行边形，所以AD∥BC，则△AEF∽△ABC，得＝＝，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积为25，而△CDA≌△ABC，则△CDA的面积为25，根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出△ADF的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行边形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵3AE＝2EB，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∵S△AEF＝4，∴S△ABC＝＝＝25，∴CD＝AB，AD＝BC，AC＝CA，∴△CDA≌△ABC（SSS），∴S△CDA＝S△ABC＝25，∴S△ADF＝S△CDA＝×25＝10，∴S△ADF的值为10，故选：B．7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．【分析】由平行四边形的对边相等可求得BC＝AD，BC∥AD，易证得△BEF∽△DAF，则，根据比例的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；∵＝，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，∴，∴＝＝．故答案为：．8．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF、AC．（1）线段DF的长为；（2）若AC交DF于点M，则＝．【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根据题意，画出下图：∵AB＝6，AD＝8，BE＝＝4，∴AE＝，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝24，∴DF＝＝．（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示：∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴，∴KE＝5，∴CK＝KE+EC＝9，∵AD∥CK，∴＝．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．【分析】（1）证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，可证明△BDE∽△CAD即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；（3）可得出∠BDE＝∠BAD，则cos∠BDE＝cos∠BAD＝．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．10．已知：四边形ABCD中，AC＝AB＝20，点E为BC边上一点，BE≥CE，且DE＝DC，∠AED＝∠B，AC、DE相交于点F，cos∠B＝．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若BE＝18，求EF的长；（3）若∠DAE＝90°，求CE的长．【分析】（1）正确作出辅助线，找到对等关系，即可证明△ABE∽△ECF；（2）找到包含有要求解的边长有关系的三角形，利用勾股定理，求出AE的边长，再利用相似三角形，找到对应关系，即可求出EF的长；（3）在直角三角形内，根据给定的余弦值，找到对应边长，即可求出CE的长．【解答】（1）证明：如图所示：过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝20，∴∠AED＝∠B，∴∠1+∠2＝180°﹣∠AED，∵∠3+∠2＝180°﹣∠B，∴∠1＝∠3，∴△ABE∽△ECF；（2）解：由（1）知，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BH＝16，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝16，∴BC＝32，∵BE＝18，∴EC＝14，在△ABH中，AH＝，HE＝BE﹣BH＝18﹣16＝2，∴AE＝，∵△ABE∽△ECF，∴，即，∴EF＝．（3）解：若∠DAE＝90°，则∠BAE＝90°，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BE＝25，∴CE＝BC﹣BE＝32﹣25＝7．1.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，F A，EB均与地面垂直，测得F A＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB＝∠ABF，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证△ABF≌△BAN，可得BN＝AF，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案为：40；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tan N＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵点H是CD的中点，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案为：12.5．2.（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝3，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．3.（2021·浙江杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．4.（2021·浙江金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO ＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB ＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB ＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BOC＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，而OA∥MN，∴∠AOM＝∠OMN，∴tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴（3n）2+（8n）2＝（）2，解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝，Rt△BOC中，BC＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，则＝，解得x＝4，∴此时OB＝4；②若＝，则＝，解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝•（8+x），Rt△BOC中，BC＝＝•，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，∴OB＝1，综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+或4﹣或9或1；1．（2021•瓯海区模拟）若＝，则的值是（）A．3B．C．D．2【分析】根据比例的性质求出b＝2a，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝，∴b＝2a，∴＝＝＝，故选：C．2．（2021•下城区校级四模）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．【解答】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．3．（2021•温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（）A．3：5B．1：3C．5：3D．2：3【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故选：A．4．（2021•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF 交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG＝＝．由此可解决此问题．【解答】解：作CH⊥DF于点H，如图所示．在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，又∠BAE+∠GAD＝90°，∴∠ADF+∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．∴∠ADG＝∠HDC．在△AGD和△DHC中，，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．又CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG＝．又tan∠ADF＝＝，∴AF＝AB．即F为AB中点，∴AF：FB＝1：1．故选：A．5．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝2，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵＝2，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：B．6．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2B．C．D．4【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．7．（2021•宁波模拟）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，A选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴＝，B选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；故选：D．8．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）A．3B．C．2D．【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故选：B．9．（2021•拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99（cm），设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈8，经检验y≈8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．10．（2021•金东区校级模拟）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、C（2，﹣3），分别过A、C作AB、CD垂直于x轴于B、D．设P是x轴上的点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标是．【分析】需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，则（x﹣2）：3＝4：（x+2），解得x＝4，∴点P的坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）＝4：3，解得：x＝14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（x+2）：（2﹣x），解得：x＝，∴点P的坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），∴x＝14，∴点P的坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，∴x＝4，∴点P的坐标为（4，0）；∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．故答案为：（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．11．（2021•宁波模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠ACB，G是线段OD上一点，∠DGC﹣∠DCG＝90°，tan∠DCG＝，则的值为．【分析】由锐角三角函数可设GF＝a，CF＝2a，由“AAS”可证△GCE≌△GCF，可得CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，通过证明△GFD∽△CED，可求DC＝a，DE＝a，通过证明△DCO∽△ACD，可得，由勾股定理可求OE，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于E，过G作GF⊥CD于F，∵∠DGC＝∠CEG+∠GCE＝90°+∠GCE，∴∠DGC﹣∠GCE＝90°，又∵∠DGC﹣∠DCG＝90°，∴∠GCD＝∠ECG，∵tan∠DCG＝＝，∴设GF＝a，CF＝2a，在△GCE和GCF中，，∴△GCE≌△GCF（AAS），∴CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，∵∠GDF＝∠EDC，∠GFD＝∠CED＝90°，∴△GFD∽△CED，∴，∴＝＝，∴DF＝a，DG＝a，∴DC＝a，DE＝a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO，BO＝DO，∴∠ABD＝∠BDC，∠DAC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠BDC＝∠DAC，又∵∠ACD＝∠DCO，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝2OC2，∴OC2＝a2＝a2，∴OE＝＝a，∴OD＝DE+OE＝a＝OB，∴＝，故答案为：．12．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BF A；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠F AB＝90°，∠FBA+∠F AB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠F AB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠F AB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BF A中，∴△ADE≌△BF A（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，∵AE＝AB，∴＝＝＝；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以＝．13．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．14．（2021•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，E是边AD的中点，CE与BD交于点P，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在线段CP上．（1）求证：△EBC是等边三角形．（2）求的值．【分析】（1）根据矩形的性质证明△ABE≌△DCE（SAS），可得EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，进而可以解决问题；（2）证明△PDE∽△PBC，可得＝＝，所以＝，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵E是边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDA＝90°，AB＝CD，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，∴∠AEB＝∠FEB＝∠CED＝60°，∴△EBC是等边三角形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，。
考点11 三角形与全等三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)(解析版)
考点11 三角形与全等三角形【命题趋势】三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础，全等三角形也是几何问题中证明线段相等或者角相等的常用关系。
所以，在中考中，考察的几率也是比较大。
但是因为该考点与其他几何考点的融入性特别多，所以不会再过多的单独考察，很多城市基本都是融合考察，不再单独出题。
【中考考查重点】一、三角形的三边关系二、三角形的内角和定理及其外角定理三、三角形中的重要线段四、全等三角形的性质与判定考向一：三角形的三边关系三角形三边关系的定理及其推论1．若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故选：C．2．三个数3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为．【分析】由三个数的大小关系初步确定a的取值范围a＜﹣2；再由三角形三边关系得到3+（1﹣a）＞1﹣2a，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵3，1﹣a，1﹣2a在数轴上从左到右依次排列，∴3＜1﹣a＜1﹣2a，∴a＜﹣2，∵这三个数为边长能构成三角形，∴3+（1﹣a）＞1﹣2a，∴a＞﹣3，∴﹣3＜a＜﹣2，故答案为﹣3＜a＜﹣2．考向二：三角形的内角和定理及其外角定理角的定义、性质及其他相关：三角形内角和定理三角形的内角和等于180°三角形外角的推论三角形的一个外角=和它不相邻的两个内角的和【方法提炼】➢三角形内角和与外角定理是几何图形求解角度时常用的等量关系；即使是其他多边形，也常转化为三角形求角度【同步练习】1．在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，则∠C等于（）A．32°B．36°C．40°D．128°【分析】由三角形的内角和定理可得：∠A+∠B+∠C＝180°，再结合所给的条件，可得5∠C＝160°，从而可求解．【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，20°+4∠C+∠C＝180°，5∠C＝160°，∠C＝32°．故选：A．2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B 的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】利用平角的定义可得∠ADE＝20°，再根据平行线的性质知∠A＝∠ADE＝20°，再由内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．故选：D．3．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为度．【分析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60或10；4．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（）A．60°B．70°C．75°D．85°【分析】由三角形的内角和定理，可得∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，所以∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C），由此解答即可．【解答】解：∵∠1＝180﹣（∠B+∠ADB），∠ADB＝∠A+∠C，∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C）＝180°﹣（25°+35°+50°）＝180°﹣110°＝70°，故选：B．5．满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5B．∠A：∠B：∠C＝2：3：5C．∠A+∠B＝∠CD．一个外角等于和它相邻的一个内角【解答】解：A．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝75°＜90°，∴满足条件的三角形为锐角三角形，选项A符合题意；B．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项B不符合题意；C．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴三角形中最大角∠C ＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项C不符合题意；D．∵一个外角等于和它相邻的一个内角，∴该内角＝×180°＝90°，∴满足条件的三角形为直角三角形，选项D不符合题意．故选：A．考向三：三角形中重要的线一．三角形的分类按角分类锐角三角形（三个内角都是锐角）直角三角形（有一个内角是直角）钝角三角形（有一个内角是钝角）按边分类非等边三角形（三边均不相等）等腰三角形普通等腰三角形（有两边长相等）等边三角形（三边长均相等）二．三角形中的重要线段∠CAD ∠BACEC=½BC∠AFC=90°½BC【方法提炼】三角形中“三线”的常见作用及其辅助线：（一）.中线常见“用途”：平分线段、平分面积；辅助线类型：倍长中线造全等—→延伸：倍长中线类模型；（二）高线常见“用途”：求面积（等积法）、求角度（余角）；辅助线类型：见特殊角做⊥，构特殊直角△、见等腰做底边上高线，构三线合一；（三）角平分线常见“用途”：得角相等（定义）、得线段相等（性质）、SAS证全等、知2得1等；辅助线类型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰；（四）中垂线常见“用途”：平分线段、得90°、证全等、求新形成三角形周长等；辅助线类型：连接两点由△的三线组成的几个“心”：△三边中线交点—→重心—→性质：△的重心到一中线中点的距离=重心到这条中线定点距离的一半；△三条角平分线交点—→内心—→性质：△的内心到△三边的距离（垂线段）相等；△三边中垂线交点—→外心—→性质：△的外心到△三个顶点的距离（连接）相等；【同步练习】1．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，则S△ABD＝S△ACD＝12，再求出S△EBD＝6，S△ECD＝6，然后利用F点为CE的中点得到S△BEF＝S△EBC．【解答】解：∵D点为BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×24＝12，∵E点为AD的中点，∴S△EBD＝S△ABD＝6，S△ECD＝S△ACD＝6，∴S△EBC＝S△EBD+S△ECD＝6+6＝12，∵F点为CE的中点，∴S△BEF＝S△EBC＝×12＝6．故选：C．2．下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．【解答】解：三角形具有稳定性．故选：A．3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）A．8B．7.5C．15D．无法确定【分析】过D点作DE⊥BC于E，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DA＝3，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DE⊥BC于E，如图，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝×5×3＝7.5．故选：B．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB 的长为．【分析】先根据D是BC的中点得出CD＝DB＝BC＝3，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AD＝2CD＝6，进而求出AD+DB的长．【解答】解：∵D是BC的中点，BC＝6，∴CD＝DB＝BC＝3．∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAD＝30°，∴AD＝2CD＝6，∴AD+DB＝6+3＝9．故答案为：9．5．如图，BD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，BD交AE于F，若∠BAC＝44°，∠C＝80°，求∠BEF和∠AFD的度数．【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵BD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝44°，∠C＝80°，∴∠ADB＝90°，∠BAE＝∠EAD＝22°，∴∠CBA＝180°﹣44°﹣80°＝56°，∴∠BEF＝180°﹣22°﹣56°＝102°，∠AFD＝180°﹣90°﹣22°＝68°．考向四：全等三角形的性质和判定一．全等三角形的性质性质对应边相等，对应角相等推论全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应边上的高线相等，对应角的角平分线相等所有三角形SSS 、SAS 、ASA 、AAS直角三角形HL【方法提炼】➢证三角形全等的基本步骤：①准备条件；②罗列条件；③得出结论。
中考专题复习相似三角形课件浙教版
中考专题复习相似三角形课件浙教版教学内容：1. 相似三角形的定义与性质；2. 相似三角形的判定方法；3. 相似三角形的应用。
教学目标：1. 学生能够掌握相似三角形的定义与性质，了解相似三角形的判定方法，并能够运用相似三角形解决实际问题；2. 学生能够通过自主学习、合作探讨，提高分析和解决问题的能力；3. 培养学生的数学思维，提高学生的数学素养。
教学难点与重点：难点：相似三角形的判定方法及应用；重点：相似三角形的性质和判定方法。
教具与学具准备：教具：多媒体课件、黑板、粉笔；学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
教学过程：一、实践情景引入（5分钟）教师通过展示一组实际问题，引导学生关注相似三角形的应用，激发学生的学习兴趣。
例1：在三角形ABC中，AB=8cm，BC=12cm，AC=10cm。
若三角形DEF是三角形ABC的相似三角形，求DE、DF的长度。
二、自主学习（5分钟）学生自主学习教材中关于相似三角形的内容，了解相似三角形的定义、性质和判定方法。
三、合作探讨（15分钟）四、教师讲解（15分钟）教师根据学生的讨论结果，进行讲解，强调相似三角形的性质和判定方法，解答学生的疑问。
五、随堂练习（10分钟）学生独立完成练习题，巩固所学知识。
练习1：判断下列三角形是否相似，并说明理由。
1. 三角形ABC与三角形DEF，其中AB=DE，BC=DF；2. 三角形ABC与三角形EFG，其中AC=EF，BC=FG；3. 三角形ABC与三角形A'B'C'，其中∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。
六、板书设计（5分钟）教师根据讲解内容，设计板书，突出相似三角形的性质和判定方法。
七、作业设计（5分钟）1. 教材课后练习第1题：判断下列三角形是否相似，并说明理由。
2. 教材课后练习第2题：已知三角形ABC中，AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm。
若三角形DEF是三角形ABC的相似三角形，求DE、DF的长度。
浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第28讲图形的相似第2课时相似形的应用讲解篇
第2课时相似形的应用相似形的应用考试内容考试要求几何图形的证明与计算常见问题证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等b相似三角形在实际生活中的应用建模思想建立相似三角形模型常见题目类型(1)利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解；(2)测量底部可以达到的物体的高度；(3)测量底部不可以达到的物体的高度；(4)测量不可以达到的河的宽度．考试内容考试要求基本思想1.建模思想：相似三角形在实际生活中应用广泛，故建立相似三角形模型解决问题；2．分类讨论：由于三角形相似的对应关系不明确，常常分情况讨论．b1．(2017·绍兴模拟)如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB ∥CD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是____________________m.2．(2016·衢州模拟)如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.1米，BP＝1.9米，PD＝19米，那么该古城墙CD的高度是____________________米．3．(2016·新昌模拟)如图1，小红家阳台上放置了一个可折叠的晒衣架，如图2是晒衣架的侧面示意图，经测量：OC＝OD＝126cm，OA＝OB＝56cm，且AB＝32cm，则此时C，D 两点间的距离是____________________cm.4．(2017·湖州模拟)如图，AB是斜靠在墙壁上的固定爬梯，梯脚B到墙脚C的距离为1.6m，梯上一点D到墙面的距离为1.4m，BD长0.5m，则梯子的长为( )A．3.5m B．4m C．4.5m D．5m【问题】如图，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝6，AD＝2.(1)若AB∥CD，则BC的长为________；(2)当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？(3)通过(1)、(2)解答的体验，你认为相似三角形的应用要注意哪些问题？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理相似三角形在实际问题中的应用，即如何建立相似三角形模型；复习几何图形中如何寻找相似三角形或构建相似三角形，从而解决问题．类型一利用相似解决实际生活问题例1如图，铁道口的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长8m.当短臂外端A下降0.5m时，长臂外端B升高( )A．2m B．4m C．4.5m D．8m【解后感悟】此题是相似三角形在实际生活中的运用，通过实际问题构建相似三角形．1．(2015·新疆)如图，李明打网球，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则网球的击球的高度h为m.2．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别是10米、20米的梯形空地上种植花木(如图所示)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/米2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．类型二利用相似测量物体的高(长)度例2如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE ＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于( )A．60m B．40m C．30m D．20m【解后感悟】考查相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例．3．(1)(2015·吉林)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB ＝2m，BC＝14cm，则楼高CD为m.(2)(2015·天水)如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是米．4．如图是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整地拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？类型三相似三角形中一个常见的模型例3如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝7，∠B＝∠C＝60°，P为BC边上一点(不与B，C重合)，过点P作∠APE＝∠B，PE交CD于E.(1)求证：△APB∽△PEC；(2)若CE＝3，求BP的长．【解后感悟】如图是基本图形，若B，C，D在同一直线上，且∠ABC＝∠ACE＝∠CDE＝α，则有△ABC∽△CDE，∴ac＝bd()ad＝bc；此题通过基本图形与四边形、相似三角形以及等边三角形的结合，揭示基本数量关系，利用方程思想求解．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．5．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．类型四与相似三角形有关的综合问题例4(2016·金华)在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为( )【解后感悟】本题运用相似三角形的判定和性质、线段垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型．例5(2016·陕西)如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连结AF并延长交BC的延长线于点G.求证：(1)FC＝FG；(2)AB2＝BC·BG.【解后感悟】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题(2)的关键．6．(1)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝20°.动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝100°.设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )(2)如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点停止，动点E从C点出发到A点停止．点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间t为s.7．(2017·杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC 上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于____________________．【实际应用题】某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B(点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸)．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB＝1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE＝9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB＝1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？【方法与对策】这是实际应用性问题，通过题意，构造几何图形，揭示基本图形是相似三角形，这样把实际问题建模为相似三角形的问题，从而求解．这种设置是中考命题的方向．【忽视三角形相似的对应关系】如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在AB上，且AE＝3，点F在AC上，连结EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝________.参考答案第2课时相似形的应用【考题体验】1．1 2.11 3.72 4.B【解析】(1)∵AB∥CD ，∵∠BAC ＝∠ACD ，又∵∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∴Rt △ABC∽Rt △CAD ，∴AC CD ＝BC AD .在Rt △ADC 中，∵AC ＝6，AD ＝2，∴CD ＝AC 2－AD 2＝ 2.∴BC ＝2×62＝2 3. (2)要使这两个直角三角形相似，有AC AD ＝AB AC 或AC CD ＝AB AC ，∴AB ＝AC 2AD ＝（6）22＝3，或AB ＝AC 2CD ＝（6）22＝3 2.故当AB 的长为3或32时，这两个直角三角形相似． (3)证明线段的数量关系，求线段的长度，图形的面积大小等问题时，要想到相似三角形的应用；投影、平行线、标杆等问题以及测量物体的高度、宽度都需要构建相似三角形．当相似三角形对应边不明确时，需要分类讨论．【例题精析】例1 设长臂端点升高x 米，则0.5x ＝18，∴x ＝4.故选B .例2 B例3 (1)∵∠B＝∠C，而∠APB＋∠EPC＝180°－∠APE，∠APB ＋∠PAB＝180°－∠B，又∠APE＝∠B，∴∠PAB ＝∠EPC，∴△APB ∽△PEC. (2)过A 作AF⊥BC 于F ，过D 作DH⊥BC 于H 则△ABF≌△DCH，∵AD ＝3，BC ＝7，∴BF ＝CH ＝2，在Rt △AFB 中，∠AFB ＝90°，AB ＝BFcos B ＝2cos B ＝212＝4，∵△APB ∽△PEC ，∴AB CP ＝BP CE ，∴47－BP ＝BP3，∴BP ＝3或4. 例4 ∵DH 垂直平分AC ，∴DA ＝DC ，AH ＝HC ＝2，∴∠DAC ＝∠DCH ，∵CD ∥AB ，∴∠DCA ＝∠BAC，∴∠DAH ＝∠BAC，∵∠DHA ＝∠B＝90°，∴△DAH ∽△CAB ，∴AD AC ＝AH AB ，∴y 4＝2x ，∴y ＝8x，∵AB ＜AC ，∴x ＜4，∴图象是D .故选D .例5 (1)∵EF∥BC，AB ⊥BG ，∴EF ⊥AD ，∵E 是AD 的中点，∴FA ＝FD ，∴∠FAD ＝∠D，∵GB ⊥AB ，∴∠GAB ＋∠G＝∠D＋∠DCB＝90°，∴∠DCB ＝∠G，∵∠DCB ＝∠GC F ，∴∠GCF ＝∠G，∴FC ＝FG ； (2)连结AC ，如图所示：∵AB⊥BG，∴AC 是⊙O 的直径，∵FD 是⊙O 的切线，切点为C ，∴∠DCB ＝∠CAB，∵∠DCB ＝∠G，∴∠CAB ＝∠G，∵∠CBA ＝∠GBA＝90°，∴△ABC ∽△GBA ，∴AB GB ＝BC AB ，∴AB 2＝BC·BG.1．1.42.梯形ABCD 中AD∥BC，∴∠DAM ＝∠BCM，∠ADM ＝∠CBM，∴△DAM ∽△BCM ，∵AD ＝10，BC ＝20∴S △AMD S △BMC ＝(1020)2＝14，∵S △AMD ＝500÷10＝50m 2，∴S △BMC ＝4×50＝200m 2.还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500元＜2000元，所以资金不够用．3. (1)12 (2)84. 根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MN AB ＝LC LD .(1)∵像高MN 是35mm ，焦距是50mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9m ，∴3550＝4.9LD ，解得：LD ＝7，∴拍摄点距离景物7米； (2)拍摄高度是2m 的景物，拍摄点离景物有4m ，像高不变，∴35LC ＝24，解得：LC ＝70，∴相机的焦距应调整为70mm .5. ∵四边形ABCD 是矩形，AB ＝6.∴∠A＝∠D＝90°，DC ＝AB ＝6.又∵AE＝9，∴在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE ＝AE 2＋AB 2＝92＋62＝313.∵△ABE ∽△DEF ，∴AB DE ＝BEEF，即62＝313EF .∴EF ＝3133＝13. 6.(1)A (2)3或4.8 7.78 【热点题型】【分析与解】根据题意∠BAD＝∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形△BAD 和△BCE 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．由题意得，∠BAD ＝∠BCE，∵∠ABD ＝∠CBE＝90°，∴△BAD ∽△BCE ，∴BD BE ＝AB CB ，即BD 9.6＝1.71.2，解得BD ＝13.6米．答：河宽BD 是13.6米．【错误警示】答案：2或4.5. 分情况讨论，①当△ABC∽△AEF 时，AB AE ＝AC AF ，∴93＝6AF ，∴AF ＝2；②当△ABC∽△AFE 时，AB AF ＝AC AE ，∴9AF ＝63，∴AF ＝4.5.浙江省中考数学总复习第五章基本图形(二)第28讲图形的相似第2课时相似形的应用讲解篇11 /11。
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考点15 相似三角形的应用【命题趋势】相似三角形的应用在中考中主要考察热点有：8字图、A字图等简单相似模型。
出题类型可以是选择填空这类小题，也可以是18~19这类解答题，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。
【中考考查重点】一、相似三角形在实际生活中的应用二、位似图形三、相似三角形与函数综合考向一：相似三角形在实际生活中的应用相似三角形在实际生活中的应用：（一）建模思想：建立相似三角形的模型（二）常见题目类型：1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解2.测量底部可以到达的物体的高度3.测量底部不可以到达的物体的高度4.测量河的宽度【同步练习】1．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子BC长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子DE长为（）A．1米B．2米C．3米D．4米【分析】依据△CBF∽△CAP，即可得到AP＝8，再依据△EDG∽△EAP，即可得到DE 长．【解答】解：由FB∥AP可得，△CBF∽△CAP，∴＝，即＝，解得AP＝8，由GD∥AP可得，△EDG∽△EAP，∴＝，即＝，解得ED＝2，故选：B．2．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为（）A．2米B．3米C．米D．米【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴＝，∴＝，∴CD＝3米，故选：B．3．在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ的长度为．【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．【解答】解：设木竿PQ长为xm，依题意得＝，解得x＝1.6，答：木竿PQ长度为1.6m，故答案为：1.6m．4．如图，有一块三角形余料，它的边BC＝100m，高线AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一边EF在BC上，其余两个顶点D、G分别在边AB、AC上，设矩形DEFG的一边长DE＝xm，矩形DEFG的面积为S．（1）矩形DEFG的另一边长DG是多少？（用关于x的代数式表示）（2）求S关于x的函数表达式和自变量x的取值范围．（3）当x为多少时，矩形DEFG的面积S有最大值？最大值是多少？【分析】（1）利用矩形的性质，DG∥EF，利用同位角相等，证△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性质求解即可；（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面积的关系式．（3）利用配方法求出最大值即可．【解答】解：（1）∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，∴＝，∴＝，∴DG＝（80﹣x）（m）；（2）矩形面积S＝x•（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，∵﹣＜0，∴x＝40时，S的值最大，最大值为2000．答：当x＝40时，S的值最大，最大值为2000m2．考向二：位似图形位似图形满足的条件：①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）【同步练习】1．如图，BC∥ED，下列说法不正确的是（）A．AE：AD是相似比B．点A是两个三角形的位似中心C．B与D、C与E是对应位似点D．两个三角形是位似图形【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可．【解答】解：A、当BC∥ED时，△AED∽△ACB，AE：AC是相似比，本选项说法不正确，符合题意；B、点A是两个三角形的位似中心，本选项说法正确，不符合题意；C、B与D、C与E是对应位似点，本选项说法正确，不符合题意；D、两个三角形是位似图形，本选项说法正确，不符合题意；故选：A．2．如图，已知△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且△ABC和△ADE的周长比为2：1，则△ABC和△ADE的位似比是（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1【分析】利用位似的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△ADE是以点A为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△ADE，位似比等于相似比，∵△ABC和△ADE的周长比为2：1，∴△ABC和△ADE的相似比为2：1，∴△ABC和△ADE的位似比是2：1．故选：D．3．如图，在网格图中，以O为位似中心，把△ABC缩小到原来的，则点A的对应点为（）A．D点B．E点C．D点或G点D．D点或F点【分析】作射线AO，根据位似变换的概念判断即可．【解答】解：作射线AO，由图可知，点D和点G都在射线AO上，且＝，＝，则点A的对应点为D点或G点，故选：C．4．如图，在7×4方格纸中，点A，B，C都在格点上，用无刻度直尺作图．（1）在图1中的线段AC上找一个点E，使AE＝AC；（2）在图2中作一个格点△CDE，使△CDE与△ABC相似．【分析】（1）构造相似比为的相似三角形即可解决问题；（2）利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB＝90°，从而解决问题．【解答】解：（1）如图，构造相似比为的相似三角形，则点E即为所求；（2）如图，∵BC2＝5，AC2＝20，AB2＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，AC＝2BC，∴△CDE即为所求．5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（2，1），B （1，3），C（4，1），若△A1B1C1与△ABC是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，且A1的坐标为（4，2）．（1）请在所给平面直角坐标系第一象限内画出△A1B1C1；（2）分别写出点B1、C1的坐标．【分析】（1）（2）利用点A和点A1的坐标特征确定位似比为2，然后把点B、C的横纵坐标都乘以2得到点B1、C1的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1；（2）点B1的坐标为（2，6），点C1的坐标为（8，2）．考向三：相似三角形与函数综合【方法提炼】【同步练习】1．（2021•无棣县二模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③B．②③C．①③④D．②④【分析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E 时点Q到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．【解答】解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，相似三角形与函数的综合重点是利用相似三角形的性质，设置参数，构建对应函数模型，再利用函数的性质求解后续问题在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PB sin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．2．（2020•达州）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P 为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接P A，过点P作PE⊥P A交射线CD于点E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：（1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明．（2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值：当BC＝6cm时，得表1：BP/cm…12345…CE/cm…0.83 1.33 1.50 1.330.83…当BC＝8cm时，得表2：BP/cm…1234567…CE/cm… 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17…这说明，点P在线段BC上运动时，要保证点E总在线段CD上，BC的长度应有一定的限制．①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，的长度为自变量，的长度为因变量；②设BC＝mcm，当点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．（2）①根据函数的定义判断即可．②设BP＝xcm，CE＝ycm．利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求出y的最大值即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∴∠APB+∠EPC＝90°，∵∠EPC+∠PEC＝90°，∴∠APB＝∠PEC，∴△ABP∽△PCE．（2）解：①根据函数的定义，我们可以确定，在BP和CE的长度这两个变量中，BP的长度为自变量，EC的长度为因变量，故答案为：BP，EC．②设BP＝xcm，CE＝ycm．∵△ABP∽△PCE，∴＝，∴＝，∴y＝﹣x2+mx＝﹣（x﹣m）2+，∵﹣＜0，∴x＝m时，y有最大值，∵点E在线段CD上，CD＝2cm，∴≤2，∴m≤4，∴0＜m≤4．1．如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大的“”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“”字高度为（）A．121.17mm B．43.62mm C．29.08mm D．4.36mm【分析】直接利用平行线分线段成比例定理列比例式，代入可得结论．【解答】解：由题意得：CB∥DF，，∵AD＝3m，AB＝5m，BC＝72.7mm，，∴DF＝43.62（mm），故选：B．2．如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．3．国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件分别求出矩形的长与宽的比，即可得到结论．【解答】解：A、＝，B、＝，C、＝，D、＝，∵＝＝≠，∴B选项不符合标准，故选：B．4．如图，△ABC与△A′B′C′位似，位似中心为点O，，△ABC的面积为9，则△A′B′C′面积为（）A．B．6C．4D．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：根据题意知，△ABC∽△A′B′C′，∵，∴△ABC的面积：△A′B′C′面积＝9：4．又∵△ABC的面积为9，∴△A′B′C′面积为4．故选：C．5．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：AA′＝2：5，则△ABC与△A′B′C′的周长比为（）A．2：3B．4：3C．2：9D．4：9【分析】根据题意求出OA：OA′＝2：3，根据相似三角形的性质求出AC：A′C′，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝2：5，∴OA：OA′＝2：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝2：3，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为2：3，故选：A．6．小明的身高为1.6m，某一时刻他在阳光下的影子长为2m，与他邻近的一棵树的影长为10m，则这棵树的高为m．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个问题物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：设这棵树的高度为xm，根据相同时刻的物高与影长成比例，则可列比例为：，解得：x＝8．故答案为：8．7．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体AB的高为6cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为8cm、6cm，则实像CD的高度为cm．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD，∴，∴，∴CD＝4.5，答：实像CD的高度为4.5cm，故答案为：4.5．8．小丽想利用所学知识测量旗杆AB的高度，如图，小丽在自家窗边看见旗杆和住宅楼之间有一棵大树DE，小丽通过调整自己的位置，发现半蹲于窗边，眼睛位于C处时，恰好看到旗杆顶端A、大树顶端D在一条直线上，小丽用测距仪测得眼睛到大树和旗杆的水平距离CH、CG分别为7米、28米，眼睛到地面的距离CF为3.5米，已知大树DE的高度为7米，CG∥BF交AB于点G，AB⊥BF于点B，DE⊥BF于点E，交CG于点H，CF⊥BF于点F．求旗杆AB的高度．【分析】根据相似三角形的判定与性质得出比例式求解即可．【解答】解：由题意知BG＝HE＝CF＝3.5米，∴DH＝DE﹣CF＝7﹣3.5＝3.5（米），∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴AG∥DH，∴△CDH∽△CAG，∴＝，即，∴AG＝14米，∴AB＝AG+GB＝14+3.5＝17.5（米），∴旗杆AB的高度为17.5米．9．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）求证：△APQ∽△ABC；（2）若这个矩形的边PN：PQ＝1：2，则这个矩形的长、宽各是多少？【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥PQ，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可．（2）设宽为xmm，则长为2xmm，同（1）列出比例关系求解即可．【解答】解：（1）∵四边形PNQM为矩形，∴MN∥PQ，即PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC；（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵四边形PNMQ为矩形，∴PQ∥BC，∵AD⊥BC，∴PQ⊥AD，∵PN：PQ＝1：2，∴PQ为长，PN为宽，∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴＝，由题意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm，∴＝，解得x＝，2x＝．即长为mm，宽为mm．答：矩形的长mm，宽为mm．10．（2022•禅城区校级模拟）如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝1，BC＝2，点E是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），点F是线段BA延长线的一动点，连接DE，EF，DF，EF交AD于点G，设BE，AF＝y，已知y与x之间的函数关系式如图②所示，（1）图②中y与x的函数关系式为；（2）求证：△CDE∽△ADF；（3）当△DEG是等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式．（2）利用两边成比例夹角相等证明△CDE∽△ADF即可．（3）分三种情况：①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，②若DE＝EG，如图①，作EH ∥CD，交AD于H，③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，分别列方程计算可得结论．【解答】（1）解：设y＝kx+b，由图象得：当x＝1时，y＝2，当x＝0时，y＝4，代入得：，，∴y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．故答案为：y＝﹣2x+4（0＜x＜2）．（2）证明：∵BE＝x，BC＝2∴CE＝2﹣x，∴＝＝，＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠DAF＝90°，∴△CDE∽△ADF，∴∠ADF＝∠CDE．（3）解：假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，①若DE＝DG，则∠DGE＝∠DEG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DGE＝∠GEB，∴∠DEG＝∠BEG，在△DEF和△BEF中，，∴△DEF≌△BEF（AAS），∴DE＝BE＝x，CE＝2﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：1+（2﹣x）2＝x2，x＝．②若DE＝EG，如图①，作EH∥CD，交AD于H，∵AD∥BC，EH∥CD，∴四边形CDHE是平行四边形，∴∠C＝90°，∴四边形CDHE是矩形，∴EH＝CD＝1，DH＝CE＝2﹣x，EH⊥DG，∴HG＝DH＝2﹣x，∴AG＝2x﹣2，∵EH∥CD，DC∥AB，∴EH∥AF，∴△EHG∽△F AG，∴＝，∴＝，∴x1＝，x2＝（舍），经检验x＝是分式方程的解，∴x＝．③若DG＝EG，则∠GDE＝∠GED，∵AD∥BC，∴∠GDE＝∠DEC，∴∠GED＝∠DEC，∵∠C＝∠EDF＝90°，∴△CDE∽△DFE，∴＝，∵△CDE∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∴2﹣x＝，∴x＝．综上，x＝或或．1.（2021·浙江绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴AB＝2（m），故选：A．2.（2021·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．【分析】根据图示，对应点所在的直线都经过同一点，该点就是位似中心．【解答】解：如图，点G（4，2）即为所求的位似中心．故答案是：（4，2）．3.（2021·浙江温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9，故选：B．4.（2021·浙江金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为．【分析】（1）由题意可得，△ABP∽△EDP，则＝，进而可得出DE的长；（2）过点E′作∠E′FG＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，易得△ABP′∽△E′FP′，由此可得＝，在Rt△BDD′中，由勾股定理可求出BD′的长，可求出∠BD′D的正切值，设P′F的长，分别表示E′F和E′D′及FG和GD′的长，再根据BD′＝13，可建立等式，可得结论．【解答】解：（1）如图，由题意可得，∠APB＝∠EPD，∠B＝∠EDP＝90°，∴△ABP∽△EDP，∴＝，∵AB＝6.5，BP＝4，PD＝8，∴＝，∴DE＝13；故答案为：13．（2）如图2，过点E′作∠E′FD′＝∠E′D′F，过点E′作E′G⊥BC′于点G，∴E′F＝E′D′，FG＝GD′，∵AB∥MN，∴∠ABD′+∠E′D′B＝180°，∴∠ABD′+∠E′FG＝180°，∵∠E′FB+∠E′FG＝180°，∴∠ABP′＝∠E′FP′，又∠AP′B＝∠E′P′F，∴△ABP′∽△E′FP′，∴＝即，＝，设P′F＝4m，则E′F＝6.5m，∴E′D′＝6.5m，在Rt△BDD′中，∠BDD′＝90°，DD′＝5，BD＝BP+PD＝12，由勾股定理可得，BD′＝13，∴cos∠BD′D＝，在Rt△E′GD′中，cos∠BD′D＝＝，∴GD′＝2.5m，∴FG＝GD′＝2.5m，∵BP′+P′F+FG+GD′＝13，∴4+4m+2.5m+2.5m＝13，解得m＝1，∴E′D′＝6.5，∴EE′＝DE+DD′﹣D′E′＝13+5﹣6.5＝11.5．故答案为：11.5．5.（2021·浙江湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．【分析】（1）①设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），得出AE＝OF，AE∥OF，由平行四边形的判定可得出结论；②过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，证明△AEO∽△BDO，由相似三角形的性质得出，则可得出答案；（2）过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P 的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，证明△AEO∽△GHP，由相似三角形的性质得出，解方程得出，由三角形面积公式可得出答案．【解答】（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点k＝1时，点B的坐标为（﹣a，﹣），∴AE＝OF＝a，∵AE⊥y轴，∴AE∥OF，∴四边形AEFO是平行四边形；②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，∵AE⊥y轴，∴AE∥BD，∴△AEO∽△BDO，∴，∴当k＝4时，，即，∴S△BOE＝2S△AOE＝1；（2）不改变．理由如下：过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，），则AE＝a，OE＝，PH＝﹣，∵四边形AEGO是平行四边形，∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG，∵∠EGO＝∠PGH，∴∠EAO＝∠PGH，又∵∠PHG＝∠AEO，∴△AEO∽△GHP，∴，∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a，∴，∴﹣k＝0，解得，∵a，b异号，k＞0，∴，∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝×（﹣b）＝﹣，∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积不会发生变化．1．（2021•温州模拟）如图，在正六边形桌面中心正上方有一盏吊灯，在灯光下，桌面在水平地面的投影是一个面积为m2的正六边形，已知桌子的高度为0.75m，桌面边长为1m，则吊灯距地面的高度为（）A．2.25m B．2.3m C．2.35m D．2.4m【分析】首先根据正六边形的面积可得正六边形的边长，进而可通过构造相似三角形，由相似三角形性质求出．【解答】解：设正六边形的边长是xm，则x•x••6＝，解得x＝1.5，如图，依题意知DF＝FE＝0.5米，FG＝0.75米，CG＝0.75米，∵DE∥BC，∴△F AE∽△GAC，∴，即＝，解得：AF＝1.5，∴AG＝1.5+0.75＝2.25（m），答：吊灯距地面的高度为2.25m．故选：A．2．（2021•临海市一模）如图，为测量楼高AB，在适当位置竖立一根高2m的标杆MN，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC＝20m，MP＝2.5m，则楼高AB为（）A．15m B．16m C．18m D．20m【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：∵，即，∴楼高＝16米．故选：B．3．（2022•温州模拟）如图，在4×7的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段CD是由线段AB位似放大得到，则它们的位似中心是（）A．点P1B．点P2C．点P3D．点P4【分析】延长CA、DB交于点P 1，根据位似中心的概念得到答案．【解答】解：延长CA、DB交于点P1，则点P1为位似中心，故选：A．4．（2021•嘉兴二模）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点B的坐标为（﹣1，1），现以坐标原点O为位似中心，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，则B'的坐标为（）A．B．C．或D．或【分析】根据以原点为位似中心的对应点的坐标关系，把B点的横纵坐标都乘以或﹣得到B'的坐标．【解答】解：∵位似中心为坐标原点，作与△ABC的位似比为的位似图形△A'B'C'，而B的坐标为（﹣1，1），∴B'的坐标为（﹣，）或（，﹣）．故选：C．5．（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据位似图形的概念得到AC∥DF，【解答】解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），∴OA＝1，OD＝3，即＝，∵△ABC与△DEF是位似图形，∴AC∥DF，∴△OAC∽△ODF，∴＝＝，故选：B．6．（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝米．【分析】延长CG交FH于M，根据相似三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：如图，延长CG交FH于M，∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，∴△GFM∽△CDM，∴，设FM为a米，则a＝（a+2）×，解得：a＝，设BD＝x米，AB＝y米，同理可得，△CMD∽△AMB，∴，，可得，，整理得：，解得：，经检验是分式方程组的解，∴AB＝5米．故答案为：5．7．（2022•鹿城区校级一模）如图，在8×8的网格中，△ABC是格点三角形，请分别在图1和图2中按要求作图．（1）在图1中以O为位似中心，作格点三角形△A1B1C1，使其与△ABC位似比为1：2．（2）在图2中作格点线段BM⊥AC．【分析】（1）连接OA，OB，OC，取OA，OB，OC的中点A1，B1，C1，连接A1B1，B1C1，C1A1即可；（2）利用数形结合的思想作出线段BM即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，线段BM即为所求．8．（2021•永嘉县校级模拟）已知一块等腰三角铁板废料如图所示，其中AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，现要用这块废料裁一块正方形DEFG铁板，使它的一边DE落在△ABC的一腰上，顶点F、G分别落在另一腰AB和BC上，求；（1）等腰三角形ABC的面积S△ABC；（2）正方形DEFG的边长．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到BH＝BC＝30（cm），根据勾股定理得到AH＝＝＝40（cm），由三角形的面积公式即可得到结论；（2）过B作BM⊥AC交FG于N，根据三角形的面积公式得到BM＝48（cm），根据正方形的性质得到FG∥DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝50cm，BC＝60cm，∴BH＝BC＝30（cm），∴AH＝＝＝40（cm），∴S△ABC＝BC•AH＝60×40＝1200（cm2）；（2）过B作BM⊥AC交FG于N，则S△ABC＝AC•BM＝1200，∵AC＝50cm，∴BM＝48（cm），∵四边形DEFG是正方形，∴FG∥DE，∴BN⊥FG，△BFG∽△BAC，∴＝，∴，∴FG＝，∴正方形DEFG的边长为．9．（2021•海曙区模拟）如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m．（1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高AC；（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？【分析】（1）直接利用同一时刻太阳光下影长与物体高度成比例进而得出答案；（2）直接利用锐角三角函数关系得出∠ABC的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：＝，解得：AC＝2（m），答：滑梯的高AC为2m；（2）∵tan∠ABC＝＝＝＜tan30°＝，∴∠ABC＜30°，∴这架滑梯的倾斜角符合安全要求．10．（2021•婺城区校级模拟）已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D 不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长；（2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；（3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长．【分析】（1）如图1中，作PH⊥BC于H．解直角三角形求出BH，PH，在Rt△PCH中，理由勾股定理即可解决问题．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．证明△POQ∽△BOC，推出∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，推出PQ＝CQ＝y，推出PC＝y，在Rt△PHB 中，BH＝x，PH＝x，根据PC2＝PH2+CH2，可得结论．（3）分两种情形：①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，作PH⊥BC于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝4，AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝120°，∴∠PBH＝60°，∵PB＝3，∠PHB＝90°，∴BH＝PB•cos60°＝，PH＝PB•sin60°＝，∴CH＝BC﹣BH＝4﹣＝，∴PC＝＝＝．（2）如图1中，作PH⊥BC于H，连接PQ，设PC交BD于O．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠PCQ＝30°，∴∠PBO＝∠QCO，∵∠POB＝∠QOC，∴△POB∽△QOC，∴＝，∴＝，∵∠POQ＝∠BOC，∴△POQ∽△BOC，∴∠OPQ＝∠OBC＝30°＝∠PCQ，∴PQ＝CQ＝y，∴PC＝y，在Rt△PHB中，BH＝x，PH＝x，∵PC2＝PH2+CH2，∴3y2＝（x）2+（4﹣x）2，∴y＝（0≤x＜8）．（3）①如图2中，若直线QP交直线BC于B点左侧于E．此时∠CQE＝120°，∵∠PBC＝60°，∴△PBC中，不存在角与∠CQE相等，此时△QCE与△BCP不可能相似．②如图3中，若直线QP交直线BC于C点右侧于E．则∠CQE＝∠B＝QBC+∠QCP＝60°＝∠CBP，∵∠PCB＞∠E，∴只可能∠BCP＝∠QCE＝75°，作CF⊥AB于F，则BF＝2，CF＝2，∠PCF＝45°，∴PF＝CF＝2，此时PB＝2+2，③如图4中，当点P在AB的延长线上时，∵△QCE与△BCP相似，∴∠CQE＝∠CBP＝120°，∴∠QCE＝∠PCB＝15°，作CF⊥AB于F．∵∠FCB＝30°，∴∠FCP＝45°，∴BF＝BC＝2，CF＝PF＝2，∴PB＝2﹣2．综上所述，满足条件的PB的值为2+2或2﹣2．。