2021-2022学年河南省郑州市高二(下)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年河南省郑州市郊县高二(下)期末数学试卷(文科)(附答案详解)
2020-2021学年河南省郑州市郊县高二（下）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，若复数m2−5m+6+(m−2)i是纯虚数，则实数m的值为()A. 2或3B. −1或6C. 2D. 32.若实数a，b满足−1<a<3，2<b<7，则b−a的取值范围是()A. (1,10)B. (3,4)C. (−1,8)D. (5,6)3.如图所示的知识结构图中，①②处应分别填()A. 归纳，类比B. 合情推理，演绎推理C. 分析法，三段论D. 分析法，反证法4.已知i为虚数单位，则复数z=2−i的共轭复数在复平面内对应的点位于()1+i4A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.下列说法错误的是()A. 在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线y^=b^x+a^至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中，相关指数R2越大，模拟的效果越好6.为庆祝中国共产党成立100周年，某校高二年级举行了党史知识竞赛，甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问竞赛成绩，老师告诉他们四人中有2位优秀，2位良好，老师给甲看了乙、丙的成绩，给丙看了乙的成绩，给丁看了甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据上面信息，则()A. 丙和丁可以知道自己的成绩B. 丙和丁可以知道对方的成绩C. 丙可以知道四个人的成绩D. 丁可以知道四个人的成绩7.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：根据如表画出散点图，发现样本点分布在曲线y =k ⋅2ct 的附近，为了求回归方程，令z =log 2y ，得到回归直线方程z =1.7t +log 2k ，则k 的值为( )A. 21.5B. log 21.5C. 1.5D. −1.58. 在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a(a >0)与圆ρ=3相切，则a 等于( )A. 2√3B. √6C. 3√2D. 69. 下面利用分析法证明问题的推理过程中不正确的是( )A. 要证√3+√7<2√5，只需证(√3+√7)2<(2√5)2B. 要证a 2+b 2−1−a 2b 2≤0，只需证(a 2−1)(b 2−1)≥0C. 要证一元二次方程的两个根x 1，x 2都大于2，只需证x 1+x 2>4，且x 1x 2>4D. 要证a ，b ，c 为等差数列，只需证a +c =2b10. 若关于x 的不等式|x −3|+|x +a|<5有解，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−8)∪(2,+∞)B. (−8,2)C. (−∞,−2)∪(8,+∞)D. (−2,8)11. 曲线x 2−16y 2−4x =0经过伸缩变化{x′=λx(λ>0)y′=μy(μ>0)后，变为曲线x′2−y′2−2x′=0，则λ，μ的值分别为( )A. λ=12，μ=4 B. λ=12，μ=2 C. λ=2，μ=4D. λ=1，μ=412. 已知椭圆C 的参数方程为{x =3cosθy =2sinθ(θ为参数)，直线l ：x −2y −7=0，过椭圆C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，则|PA|的最大值和点P 的横坐标分别为( )A. 12√55,−85B. 24√55,−85C. 12√55,−95D. 24√55,−95二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若复数z 满足(2−i)z =4+3i(i 为虚数单位)，则|z|= ______ ．14. 为了调查电动自行车骑乘人员佩戴安全头盔的情况，现随机调查1000名骑行人员，其中年龄低于40岁的占35，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下的等高条形图，则这1000名骑行人员中，戴头盔的有______人．15.“谢尔宾斯基地毯”是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，将一个实心正方形划分为9个小正方形，去掉中间的小正方形，对余下的小正方形重复这一操作(我们把去掉的正方形用黑色表示)，如图：把第n个图形中黑色正方形的个数记为a n，a1=1，a2=9，a3=73，…，观察图形的变化规律，由归纳推理得a n=______．16.若关于x的不等式|2x−6|+1≤ax有解，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，)=5．圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−π3(1)求圆C的直角坐标方程和圆心C的极坐标；(2)设直线l：θ=π与圆C交于A，B两点，求线段AB的长度．618.(1)已知x>y，求证：x3−y3>x2y−y2x；(2)已知a，b，c为正实数，且a+b+c=3，求证：ab+bc+ac≤3．19.河南电视台在周末晚间推出一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后，随机抽取了500名观众(其中男性300名)对节目评分(百分制)，将这300名男性观众的评分分组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”.若从女性观众的评分中随机抽取一份，“不满意”的概率为0.3，完成下面的2×2列联表；(2)根据(1)中表格的数据，是否有95%的把握认为对该综艺节目是否满意与性别有关．附：K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20.已知函数f(x)=|x+m|−|2x−m|，m>0．(1)当m=1时，求不等式f(x)≥−3的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形的面积大于3，求m的取值范围．21.2021年3月5日李克强总理在政府工作报告中指出2020年年初剩余的551万农村贫困人口全部脱贫，52个贫困县全部摘帽，2021年要做好巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接．对脱贫县从脱贫之日起设立5年过渡期，保持主要帮扶政策总体稳定．(1)如表是某贫困县收入最低的一个家庭2020年8至12月的人均月纯收入(其中2020年8月份的时间代码为1，依此类推)：由散点图及相关性分析发现：该家庭人均月纯收入y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系，请求出回归方程；(2)受2021年年初我国局部疫情出现反弹影响，在(1)的条件下，该家庭2021年第一季度(1,2，3月份)每月的人均月纯收入均为预测值的13，假设从4月份开始，每月的人均月纯收入均为预测值的45，由此估计该家庭2021年能否达到小康标准(按照农村家庭人均年纯收入8000元为达到小康标准)，并说明理由． 附：∑x i 5i=1y i =11750，b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =−2+tsinα(t 为参数)． (1)求直线l 的普通方程；(2)已知曲线C ：y 2=2px(p >0)，直线l 的倾斜角α=π4，M 0(−1,−2)，直线l 与曲线C 分别交于点A ，B ，若|M 0A|，|AB|，|M 0B|成等差数列，求p 的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意可知，m2−5m+6=0且m−2≠0，解得m=3．故选：D．利用纯虚数的定义，列式求解即可．本题考查了纯虚数定义，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵−1<a<3，∴−3<−a<1，又2<b<7，∴−1<b−a<8．即b−a的取值范围是(−1,8)．故选：C．由已知直接利用不等式的可乘积性与可加性求得b−a的取值范围．本题考查简单的线性规划，考查不等式性质的应用，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意知，证明方法分为直接证明和间接证明，直接证明有综合法与分析法，间接证明是反证法，所以在如图所示的知识结构图中，①②处应分别填“直接证明和反证法”．故选：D．根据证明方法分为直接证明和间接证明，直接证明有综合法与分析法，间接证明是反证法，由此填写知识结构图即可．本题考查了证明方法的知识结构应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：因为z=2−i1+i4=2−i1+1=1−12i，所以z−=1+12i，所以在复平面内对应的点的坐标为(1,12)，位于第一象限．故选：A．化简z，由共轭复数的定义求出z−，得到z−在复平面内对应的点所在的象限即可．本题考查了复数的运算，共轭复数的定义以及复数的几何意义，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了回归分析与独立性检验和相关指数的应用问题，是基础题目．根据统计分析的观点，对选项中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于A，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C，线性回归方程对应的直线y^=b^x+a^过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C错误；对于D，回归分析中，相关指数R2越大，越接近1，其模拟的效果就越好，正确．故选：C．6.【答案】A【解析】解：因为老师告诉他们四人中有2位优秀，2位良好，老师给甲看了乙、丙的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，因此说明乙和丙一个优秀，一个良好，则甲和丁也是一个优秀，一个良好，这一信息从甲说的话中可以得出；给丙看了乙的成绩，则丙直到了乙的成绩，也知道了自己的成绩，给丁看了甲的成绩，丁知道了甲的成绩，也知道了自己的成绩，所以丙和丁可以知道自己的成绩．故选：A．由老师给甲看了乙、丙的成绩，说明乙和丙一个优秀，一个良好，甲和丁也是一个优秀，一个良好，然后进一步推理，即可判断得到答案．本题考查了简单的合情推理的应用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，以及逻辑推理的核心素养，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：由题意可知，t −=1+2+3+4+55=3，z −=15×(log 28+log 232+log 2128+log 2256+log 21024)=6.6， 又回归直线方程z =1.7t +log 2k ， 所以6.6=1.7×3+log 2k ， 解得k =21.5． 故选：A ．先求出样本中心，然后利用回归方程必过样本中心，列式求解即可．本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】解：直线ρcosθ+ρsinθ=a ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为x +y −a =0，圆ρ=3转换为直角坐标方程为x 2+y 2=9．所以圆心(0,0)到直线x +y −a =0的距离d =√2=3， 解得a =±3√2(负值舍去)， 故a =3√2． 故选：C ．直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，√3+√7>0且2√5>0，(√3+√7)2<(2√5)2是√3+√7<2√5的充分条件，A 正确；对于B ，若(a 2−1)(b 2−1)≥0，变形可得a 2b 2−a 2−b 2+1≥0，即a 2+b 2−1−a 2b 2≤0，则(a 2−1)(b 2−1)≥0是a 2+b 2−1−a 2b 2≤0的充分条件，B 正确； 对于C ，x 1+x 2>4，且x 1x 2>4不能推出证一元二次方程的两个根x 1，x 2都大于2，如x 1=1，x 2=5，C 错误；对于D ，若a +c =2b ，则a ，b ，c 为等差数列，故a +c =2b 是a ，b ，c 为等差数列充分条件，D 正确； 故选：C ．根据题意，依次分析选项中推理是否正确，综合可得答案． 本题考查分析法的运用，注意分析法与综合法的不同，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：∵|x −3|+|x +a|≥|a +3|，∴若不等式|x −3|+|x +a|<5有解，只需|a +3|<5， ∴−8<a <2，故实数a 的取值为(−8,2)． 故选：B ．运用不等式的性质，可得|x −3|+|x +a|≥|a +3|，将原问题转化为|a +3|<5，即可求解．本题主要考查绝对值不等式的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：将{x′=λxy′=μy 代入x′2−y′2−2x′=0，得λ2x 2−μ2y 2−2λx =0，此方程与x 2−16y 2−4x =0表示同一曲线，∴λ21=μ216=2λ4，且λ>0，μ>0，则解得λ=12,μ=2．故选：B ．可将{x′=λx y′=μy 代入x′2−y′2−2x′=0，所得方程和与x 2−16y 2−4x =0表示同一曲线，这样即可解出λ，μ的值．本题考查了同一曲线的方程对应系数的关系，考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：设曲线C 上的点坐标为P(3cosθ,4sinθ)，利用点P 到直线x −2y −7=0的距离d =√5=√5=35,sinα=45)，当cos(θ+α)=−1时，d max =12√55， cosθ=cos(π−α)=−cosα=−35， 所以3cosθ=−95． 故选：D ．直接利用三角函数关系式的变换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．13.【答案】√5【解析】解：复数z 满足(2−i)z =4+3i ， 可得|2−i||z|=|4+3i|， 可得|z|=√42+32√22+(−1)2=√5．故答案为：√5．利用复数的模的求法否则化简求解即可． 本题考查复数的模的求法，考查计算能力．14.【答案】880【解析】解：年龄低于40岁的人数为1000×35=600，则年龄不低于40岁的人数为400， 所以这1000名骑行人员中，戴头盔人数为600×0.9+400×0.85=880(人)， 故答案为：880．根据条件求得年龄低于40和不低于40的人数分别为600、400，再结合等高条形图得到戴头盔人数即可本题考查条形图的识别与应用，考查计算能力，属于基础题．15.【答案】8n −17【解析】解：根据题意，由图分析可得：a 1=1，a 2=8a 1+1=8+1， a 3=8a 2+1=82+8+1，……则a n =8a n−1+1=8n−1+8n−2+⋯…+8+1=1(1−8n )1−8=8n −17；故答案为：8n −17．根据题意，分析可得a n =8a n−1+1，代入数据可得a n =8n−1+8n−2+⋯…+8+1，由此计算可得答案．本题考查归纳推理的应用，注意分析图形的变化规律，属于基础题．16.【答案】{a|a ≥13或a <−2}【解析】解：①当x >3时，2x −6+1≤ax 有解，即(2−a)x −5≤0有解， 若a <2时，则只需(2−a)×3−5<0，解得13<a <2， 若a ≥2时，则不等式(2−a)x −5≤0，显然成立， ∴a >13．②当x ≤3时，−2x +6+1≤ax 有解，即(2+a)x −7≥0有解， 若a <−2时，不等式(2+a)x −7≥0，若a ≥−2时，则只需(2+a)×3−7≥0，解得a ≥13， ∴a <−2或a ≥13，综上所述，实数a 的取值范围为{a|a ≥13或a <−2}．故答案为：{a|a≥13或a<−2}．根据已知条件，分x>3，x≤3两种情况讨论，取其并集，即可求解．本题主要考查不等式的求解，需要学生有分类讨论的思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)圆C的极坐标方程为ρ2−4ρcos(θ−π3)=5，根据{x=ρcosθy=ρsinθx2+y2=ρ2转换为直角坐标方程为(x−1)2+(y−√3)2=9．圆心坐标为(1,√3)转换为极坐标为(2,π3).把直线l：θ=π6代入圆的极坐标方程为ρ2−2√3ρ−5=0，所以ρ1+ρ2=2√3，ρ1ρ2=−5，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=4√2．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18.【答案】证明：(1)∵x>y，∴x3−y3−(x2y−y2x)=x2(x−y)+y2(x−y)=(x−y)(x2+y2)>0，则x3−y3>x2y−y2x；(2)由a+b+c=3，得(a+b+c)2=9，即a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=9，∵a，b，c为正实数，∴a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac)，当且仅当a=b=c时等号同时成立．故3ab+3bc+3ac≤9，即ab+bc+ac≤3．【解析】(1)直接利用作差法证明；(2)由a+b+c=3，得(a+b+c)2=9，展开平方后得a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=9，再结合基本不等式证明．本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用及作差法证明不等式，是基础题．19.【答案】解：(1)因为从女性观众的评分中随机抽取一份，“不满意”的概率为0.3， 所以女性观众不满意的人数为0.3×200=60人， 则女性观众满意的人数为200−60=140人，由频率分布直方图可知，男性观众不满意的人数为300×(0.015+0.025)×10×300=1290，则男性观众满意的人数为300−120=180人， 故列联表如下：(2)由(1)中表格中的数据可得，K 2=500×(140×120−180×60)2300×200×320×180=12524≈5.208>3.841，所以有95%的把握认为对该综艺节目是否满意与性别有关．【解析】(1)由题中的数据信息，列出列联表即可；(2)由列联表中的数据，计算K 2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案． 本题考查了列联表的应用以及独立性检验的应用，解题的关键是由公式求出卡方的值，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)当m =1时，则有|x +1|−|2x −1|≥−3，当x <−1时，−x −1+2x −1≥−3，解得x ≥−1，即无解， 当−1≤x ≤12时，x +1+2x −1≥−3，解得x ≥−1， ∴−1≤x ≤12，当x >12时，x +1−2x +1≥−3，解得x ≤5， ∴12<x ≤5，综上所述，不等式f(x)≥−3的解集为{x|−1≤x ≤5}． (2)由题意可知，f(x)={x −2m,x <−m3x,−m ≤x ≤m2−x +2m,x >m2，记函数f(x)的图像与x 轴围成三角形ABC ，不妨设A(0,0)，B(2m,0)，则可得C(m 2,3m2)，∴S △ABC =12×2m ×3m 2=3m 22，∵3m 22>3，且m >0，∴m >√2，∴m 的取值范围为(√2,+∞).【解析】(1)当m =1时，则有|x +1|−|2x −1|≥−3，分x <−1，−1≤x ≤12，x >12三种情况讨论，取其并集，即可求解．(2)按x =−m ，x =m2分类讨论f(x)，可得f(x)={x −2m,x <−m 3x,−m ≤x ≤m 2−x +2m,x >m2，记函数f(x)的图像与x 轴围成三角形ABC ，结合m 的取值范围和三角形的面积公式，即可求解． 本题主要考查了绝对值不等式的求解，需要学生有分类讨论的思想，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得，x −=3,y −=750，∑x i 5i=1y i −5x −y −=11750−5×3×750=500，∑x i 25i=1−5x −2=55−45=10，所以b ̂=50010=50，则a ̂=y −−b ̂x −=750−50×3=600， 故所求线性回归方程为y ̂=50x +600；(2)2021年第一季度x 分别取6，7，8，每月的人均月纯收入均为预测值的13， 第一季度总收入记为S 1，则S 1=13×[50×(6+7+8)+600×3]=950； 从4月份考试，每月的人均月纯收入均为预测值的45， 4月份的预测值是50×9+600=1050，后九个月的总收入预测值可以看成是首项为1050，公差为50的等差数列的前9项和， 后九个月的总收入记为S 2， 则S 2=45×(9×1050+9×82×50)=9000，故该家庭2021年人均年纯收入为950+9000=9950，因为9950>8000，所以估计该家庭2021年能达小康标准．【解析】(1)先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程； (2)求出第一季度总收入，利用等差数列的求和公式求出后九个月的总收入，即可得到该家庭2021年人均年纯收入，比较即可得到答案．本题考查了线性回归方程的求解与应用，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =−2+tsinα(t 为参数)，当cosα=0时，直线l 的方程为x =−1；当cosα≠0时，直线l 的方程为y =tanα(x +1)−2．(2)当直线l 的倾斜角α=π4时，直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =−2+√22t(t 为参数)代入y 2=2px ，得到：t 2−2√2(2+p)t +4p +8=0， 所以t 1+t 2=2√2(2+p)，t 1t 2=4p +8， 由于|M 0A|，|AB|，|M 0B|成等差数列， 所以t 1+t 2=2(t 1−t 2)， 整理得：3p 2+4p −4=0， 解得p =−2或23， 由于p >0， 所以p =23．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．。
2022届郑州市名校高二第二学期数学期末达标检测试题含解析
2022届郑州市名校高二第二学期数学期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知ξ的分布列为设23ηξ=+，则()E η的值为（ ）A ．4B ．73C ．54D ．12．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点（A 在x 轴上方），延长BO交抛物线的准线于点C ，若3AF BF =,||3AC =，则抛物线的方程为（ ） A ．2y x =B ．22y x =C ．23y x =D ．24y x =3．下列说法错误的是（ ）A ．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B ．在残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好C ．线性回归方程对应的直线ˆˆˆy bx a =+至少经过其样本数据点中的一个点D ．在回归分析中，相关指数2R 越大，模拟的效果越好 4．若复数2(1)ai +（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a =（ ） A ．1± B ．1-C ．0D ．15．曲线2y x=与直线1y x =-及直线1x =所围成的封闭图形的面积为( ) A ．34 B ．52C ．42ln 2-D ．12ln 22-6．曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为（ ） A ．()2224x y ++= B ．()2224x y +-= C ．()2224x y -+=D ．()2224x y ++=7．已知函数()()()()2102ln 10x x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()y f x kx =-有3个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,+∞8．由曲线1xy =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形面积为（ ）A ．2ln3-B ．ln3C ．2D ．4ln3-9．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x ，都有2()6()f x x f x =--，当(,0)x ∈-∞时，2()112f x x '+<，若2(2)(2)12129f m f m m m +≤-++-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞10．已知复数满足，则的虚部为（ ）A ．-4B ．C ．4D ．11．直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．D ．12．已知函数()()sin 21f x k x x k R =++∈，当k ∈(,2)(2,)-∞-+∞时，()f x 在()0,2π内的极值点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 14．某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的总数为_______． 15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b =22cos c a b A -=，则a c +的取值范围为______.16．若612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为240，则实数a 的值为______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且48a =，612a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若20n S =，求n 的值.18．已知平行四边形ABCD 中，45A ∠=︒，2AD =，2AB =，F 是BC 边上的点，且2BF FC =，若AF 与BD 交于E 点，建立如图所示的直角坐标系.（1）求F 点的坐标； （2）求AF EC ⋅.19．（6分）2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.某高校为调查该校学生在冬奥会期间累计观看冬奥会的时间情况，收集了200位男生、100位女生累计观看冬奥会时间的样本数据（单位：小时）.又在100位女生中随机抽取20个人，已知这20位女生的数据茎叶图如图所示.（I ）将这20位女生的时间数据分成8组，分组区间分别为[)0,5，[)5,10，…，[)30,35，]35,40⎡⎣，完成频率分布直方图；（II ）以（I ）中的频率作为概率，求1名女生观看冬奥会时间不少于30小时的概率；（III ）以（I ）中的频率估计100位女生中累计观看时间小于20个小时的人数，已知200位男生中累计观看时间小于20小时的男生有50人.请完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生观看冬奥会累计时间与性别有关”.男生 女生 总计累计观看时间小于20小时 累计观看时间小于20小时 总计300附：（）.20．（6分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若1(0)12P X ＝＝，求随机变量X 的分布列与均值.21．（6分）设函数()|1||2|f x x x =-++的最小值为m . （1）求实数 m 的值；（2）已知2a >2b >，且满足2a b m +=+，求证：14922a b +≥--. 22．（8分） “初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6. （1）完成22⨯列联表（应适当写出计算过程）；（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关. 统计数据如下表所示：参考公式：22(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中.n a b c d =+++ 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】由ξ的分布列，求出1()3E ξ=-，再由()2()3E E ηξ=+，求得7()3E η=. 【详解】111111()(1)01236263E ξ=-⨯+⨯+⨯=-+=-，因为23ηξ=+，所以17()2()32()333E E ηξ=+=⨯-+=.【点睛】本题考查随机变量的期望计算，对于两个随机变量a b ηξ=+，具有线性关系，直接利用公式()()E aE b ηξ=+能使运算更简洁.2．C 【解析】分析：先求得直线直线AB 的倾斜角为3π，再联立直线AB 的方程和抛物线的方程求出点A,B 的坐标，再求出点C 的坐标，得到AC||x 轴，得到3322pp +=，即得P 的值和抛物线的方程. 详解：设3AF BF ==3a,设直线AB 的倾斜角为α，所以直线的斜率为31cos ,323a a a a παα-==∴=+.所以直线AB的方程为)2p y x p =-=.联立22223122030,,.262A B y pxp x px p x P x y p ⎧=⎪∴-+=∴==⎨=-⎪⎩,,3A B y y p ∴==-所以36OB p k p ==-OB方程为y =-， 令x=-3,,,||3,222C C A p p y y y AC x p ∴=∴=∴∴+=轴， 所以23,3.2p y x =∴=故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查抛物线的几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和抛物线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答圆锥曲线题目时，看到曲线上的点到焦点的距离（焦半径），要马上联想到利用圆锥曲线的定义解答. 3．C 【解析】对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；对于B ，残差图中，残差分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟的效果越好，正确；对于C ，线性回归方程对应的直线ˆˆˆybx a =+过样本中心点，不一定过样本数据中的点，故C 错误；对于D ，回归分析中，相关指数R 2越大，其模拟的效果就越好，正确．故选C.4．A 【解析】因为22(1)12ai a ai +=-+是纯虚数，210, 1.a a ∴-==± 5．D 【解析】联立曲线与两条直线的方程组成的方程组可得三个交点分别为()()()1,0,1,2,2,1，结合图形可得封闭图形的面积为212112ln22S x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭⎰，应选答案D ． 6．B 【解析】 【分析】利用直角坐标与极坐标的互化公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩，即可得到答案．【详解】由曲线的极坐标方程4sin ρθ=，两边同乘ρ，可得24sin ρρθ=，再由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩，可得：22224(2)4x y y x y +=⇔+-=，所以曲线的极坐标方程4sin ρθ=化为直角坐标为()2224x y +-= 故答案选B 【点睛】本题考查把极坐标转化为直角坐标方程的方法，熟练掌握直角坐标与极坐标的互化公式222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩是解题的关键，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】求导计算0x =处导数，画出函数()f x 和y kx =的图像，根据图像得到答案. 【详解】当0x ≥时，()()ln 1f x x =+，则()1'1f x x =+，()'01f =；当0x <时，()212f xx x =-+，则()1'22f xx =-+，当0x →时，()1'2f x →； 画出()f x 和y kx =函数图像，如图所示：函数有3个交点，根据图像知112k <<. 故选：C .【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出函数图像是解题的关键. 8．D 【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为1(,3),(1,1),(3,3)3，所以题中所求面积为1312311131311(3)(3)(3ln )|(3)|4ln 32S dx x dx x x x x x =-+-=-+-=-⎰⎰ ，故选D 9．A 【解析】 【分析】记()()2132g x f x x x =-+，由()()26f x x f x =--可得()()g x g x =--，所以()g x 为奇函数，又当(),0x ∈-∞时，()2112f x x +'<，结合奇函数性质，可得()g x 在R 上单调递减，处理()()22212129f m f m m m +≤-++-，得()()22g m g m +≤-，所以22m m +≥-，可得出m 的范围.【详解】解：因为()()26f x x f x =--，所以()()()()22113322f x x x f x x x ⎡⎤-+=----+-⎢⎥⎣⎦记()()2132g x f x x x =-+，则()()g x g x =-- 所以()g x 为奇函数，且()()1''62g x f x x =-+又因为当(),0x ∈-∞时，()2112f x x +'<，即()1602f x x +'-< 所以当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，()g x 单调递减 又因为()g x 为奇函数，所以()g x 在R 上单调递减 若()()22212129f m f m m m +≤-++-则()()()()()()22112322232222f m m m f m m m +-+++≤---+- 即()()22g m g m +≤- 所以22m m +≥- 所以23m ≥- 故选：A. 【点睛】本题考查了函数单调性与奇偶性的综合运用，利用导数研究函数的单调性，构造函数法解决抽象函数问题，观察结构特点巧妙构造函数是关键. 10．D 【解析】 试题解析：设∴，解得考点：本题考查复数运算及复数的概念点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念 11．D 【解析】试题分析：设，则，所以，所以，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，函数的最小值为，故选D.考点：导数的应用. 12．C 【解析】 【分析】求导令导函数等于0，得出2cos x k=-，将问题转化为函数()cos g x x =，0,2，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞的交点问题，画出图象即可判断.【详解】令()cos 20f x k x '=+=得出2cos x k =- 令函数()cos g x x =，0,2，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞它们的图象如下图所示由图可知，函数()cos g x x =，0,2，2()h x x=-，(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞有两个不同的交点，则()f x 在0,2内的极值点的个数为2个故选：C 【点睛】本题主要考查了求函数零点或方程的根的个数，属于中档题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．6 【解析】【分析】由12z i =+可得12z i =-，代入1z z z ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭，利用复数乘法的运算法则求解即可. 【详解】 ∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴()()1112121516z z z z i i z ⎛⎫+⋅=⋅+=+-+=+= ⎪⎝⎭，故答案为6. 【点睛】本题主要考查复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，属于简单题. 14．30种 【解析】 【分析】对发言的3人进行讨论，一类是3个中有来自甲企业，一类是3人中没有来自甲企业. 【详解】（1）当发言的3人有来自甲企业，则共有：122520C C ⋅=；（2）当发言的3人没有来自甲企业，则共有：3510C =； 所以可能情况的总数为201030+=种. 【点睛】本题考查分类与分步计数原理，解题的关键在于对3个发言人来自企业的讨论，即有来自甲和没有来自甲.15．【解析】【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B ，已知b ，由余弦定理和基本不等式，求出a c +的最大值，结合a c b +>，即可求解. 【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=， 得2sin sin 2sin cos C A B A -=. 因为()C A B π=-+，所以()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =.因为0B π<<，所以3B π=.由已知及余弦定理，得2223b a c ac =+-=，即()233a c ac +-=，因为0a >，0c >，所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，得()212a c +≤，所以a c +≤a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c +>，a c <+≤.故a c +的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题. 16．2±【解析】【分析】 求出612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，令x 的指数为0，求出常数项，建立a 的方程，即可求解.【详解】 依题意612ax x -⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为336216r r r r T C a x --+=. 令3302r -=，得2r ，所以展开式中的常数项为246240C a =，解得2a =±.故答案为：2±【点睛】本题考查二项式定理，熟记二项展开式通项是解题关键，属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）2n a n =；（2）4.【解析】【分析】（1）运用等差数列的性质求得公差d ，再由4a 及d 求得通项公式即可．（2）利用前n 项和公式直接求解即可.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，∴64264a a d -==-， 故4(4)2n a a n d n =+-=.（2）()12(22)22n n n a a n n S n n ++===+， ∴220n n +=，解得4n =或5n =-（舍去），∴4n =. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及项数的求法，考查了前n 项和公式的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．18．（1）82(,)33F ；（2）6215. 【解析】【分析】（1）根据题意写出各点坐标，利用2BF FC =求得点F 的坐标。
2022届河南省郑州市高二第二学期数学期末联考试题含解析
2022届河南省郑州市高二第二学期数学期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．复数2iz i+=在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】化简复数为z a bi =+的形式，求得复数对应点的坐标，由此判断所在的象限. 【详解】212iz i i+==-，该复数对应的点为()1,2-，在第四象限.故选D. 【点睛】本小题主要考查复数的运算，考查复数对应点的坐标所在象限.2．已知实数,x y 满足条件00220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，且2z x y =-，则z 的取值范围是（ ）A ．[6,)-+∞B ．2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．2,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．26,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案. 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线y 轴截距的相反数，根据图像知：当直线过()2,2-，即2x =-，2y =时有最小值为6-；当直线过22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，即23x y ==时有最大值为23，故26,3z ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 故选：D .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.3．在一个袋子中装有12个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球6个、白球4个、黄球2个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ） A ．13B ．14C ．16D ．18【答案】C 【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为111,,236， 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红， 2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，∴下的颜色中有红有黄但没有白的概率为1111111332266626P =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.故选：C.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用. 4．已知集合{}{}21,2,4,8,|log ,A B y y x x A ===∈，则A B =I （ ）A ．{}12， B ．{}0123，，， C ．{}123，， D ．{}03，【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B 的元素，由此求得两个集合的交集.【详解】依题意{}0123B =，，，，故{}1,2A B =I ,故选A. 【点睛】本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题.5．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人C ．7人D ．12人【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数． 【详解】根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：16010424204160--⨯=故选：B 【点睛】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题．6．在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，1AC u u u u r =x AB u u u r+2y BC uuu r +3z 1C C u u u u r ，则x+y+z=（ ）A ．1B ．76C ．56D ．23【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意，易知111AC AB BC CC AB BC C C u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v=++=+-，再分别求得,,x y z 的值，然后求得答案即可.【详解】在平行六面体中，111AC AB BC CC AB BC C C u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v =++=+-所以1,21,31x y z ===-解得111,,23x y z ===- 所以76x y z ++= 故选B 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.7．函数()()lg 72f x x g x x ==-与图象交点的横坐标所在区间是( ) A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（1，5）【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设()()()lg 27(3)lg310,(4)lg410(3)(4)0h x f x g x x x h h h h =-=+-⇒=-=+⇒<()h x ⇒的零点在区间()3,4⇒()lg f x x =与()72g x x =-图象交点的横坐标所在区间是()3,4，故选C ．考点：曲线的交点． 【方法点晴】本题考曲线的交点，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、综合程度高，属于较难题型． 8． “”是“”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】B 【解析】 【分析】 求出的的范围，根据集合之间的关系选择正确答案．【详解】，因此是的必要不充分条件．故选B ． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，充分必要条件队用定义判定外还可根据集合之间的包含关系确定．如对应集合是，对应集合是，则是的充分条件是的必要条件．9．已知数列{}n a 满足110,n a a +==11g(1)1n a n +-+,则100a =( ) A ．1g101- B ．2-C ．1g101D ．2【答案】B 【解析】分析：首先根据题中所给的递推公式1n a += 11g(1)1n a n +-+，推出11lg(1)lg lg(1)1n n a a n n n +-=-=-++，利用累求和与对数的运算性质即可得出结果 详解：由1n a += 11g(1)1n a n +-+， 可得11lg(1)lg lg(1)1n n a a n n n +-=-=-++， 即21321lg1lg 2,lg 2lg3,,lg(1)lg n n a a a a a a n n --=--=-⋯-=--， 累加得1lg1lg 2lg 2lg3+lg(1)lg n a a n n -=-+-+⋯--lg n =-， 又10a =，所以lg n a n =-，所以有100lg1002a =-=-，故选B.点睛：该题考查的是有关利用累加法求通项的问题，在求解的过程中，需要利用题中所给的递推公式，可以转化为相邻两项差的式子，而对于此类式子，就用累加法求通项，之后再将100代入求解. 10．已知命题：“，”，命题：“，””若“”是真命题，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】通过判断命题p 和q 的真假，从而求得参数的取值范围. 【详解】 解：若命题：“，，为真命题，则，若命题：“，”为真命题，则，解得，若命题“”为真命题，则，都是真命题， 则，解得：．故实数的取值范围为．故选A ． 【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题，的等价条件是解决本题的关键．11．2243A C -= （ ）A ．9B ．12C ．15D ．3【答案】A 【解析】分析：直接利用排列组合的公式计算.详解：由题得2243A C -=324312392⨯⨯-=-=.故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查排列组合的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)排列数公式 ：m nA =(1)(1)n n n m --+L =()n n m -！！(n ，m ∈·N ，且m n ≤)．组合数公式：mnC =m n m m A A =(1)(1)12n n n m mL L --+⨯⨯⨯=()n m n m ⋅-！！！(n ∈·N ，m N ∈，且m n ≤)12．已知1232727272727S C C C C =++++L ，则S 除以9所得的余数是A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的性质，将1232727272727S C C C C =++++L 化简为()9911--，再展开即可得出结果.【详解】()9123272799081827272727999C C C C 21819119C 9C 9C 2S =++++=-=-=--=-++-L L ，所以除以9的余数为1．选D. 【点睛】本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．如图，已知ABC V 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上，且满足2AM MPMC PB== ，若02,3,120AB AC BAC ==∠=u u u v u u u v ，则AP BC ⋅u u u v u u u v的值为__________．【答案】-2 【解析】2,3,120,?23cos1203AB AC BAC AB AC o o u u u u v u u u u v u u u vu u Q u v==∠=∴=⨯⨯=- . ()22,33MP MB AP AM AB AM =∴-=-u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v Q u u u u v,化为2121222,?3333339AP AB AM AB AC AB AC AP BC =+=+⨯=+∴u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()2222422··39993AB AC AC AB AB AC AC AB ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭u u uv u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ()224223322993=⨯-+⨯-⨯=- ,故答案为2- .14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()x f x e x -=-，则(ln 2)f =__________． 【答案】2ln2+ 【解析】 【分析】由偶函数的性质直接求解即可 【详解】()()()ln2ln2ln2ln22ln2f f e =-=--=+.故答案为2ln2+ 【点睛】本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是双曲线上一点，且2AF x ⊥轴，若12AF F △的内切圆半径为(31)a ，则其渐近线方程是__________． 【答案】2y x = 【解析】分析：由题意可得A 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设Rt △AF 1F 2内切圆半径为r ，运用等积法和勾股定理，可得r=c ﹣a ，结合条件和渐近线方程，计算即可得到所求． 详解：由点A 在双曲线上，且AF 2⊥x 轴， 可得A 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设Rt △AF 1F 2内切圆半径为r ， 运用面积相等可得S 12AF F V =12|AF 2|•|F 1F 2| =12r （|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|）， 由勾股定理可得|AF 2|2+|F 1F 2|2=|AF 1|2， 解得r=)2121223122AF F F AF c ac a a +--==-=，3c a ⇒=，即b 2a =∴渐近线方程是2y x =， 故答案为：2y x =．点睛：本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.16．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________． 【答案】4- 【解析】 【分析】利用导数求出切线斜率，根据点斜式求得切线方程，将圆心坐标代入切线方程，进而可得结果. 【详解】因为(1)12ln11f =+=，22()3f x x x'=+， 切线的斜率(1)325k f '==+=，所以切线方程为15(1)y x -=-，即540x y --=. 因为圆22:()2C x y a +-=的圆心为()0,a ，所以40a --=，所以实数a 的值为-4,故答案为-4. 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知命题2:7100,:(1)(1)0p x x q x a x a -+≤--+-≤（其中0a > ）. （1）若2a = ，命题“p 或q ”为假，求实数x 的取值范围； （2）已知p 是q 的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）(,1)(5,)-∞-⋃+∞ (2 ) 4a ≥ 【解析】分析：（1）分别求出p q ，的等价命题，2513p x q x ⇔≤≤⇔-≤≤，，再求出它们的交集；（2）2511p x q a x a ⇔≤≤⇔-≤≤+，，因为p 是q 的充分不必要条件，所以[25][11]a a ⊆-+，，，解不等式组可得．详解：：（1）2710025p x x x -+≤⇔≤≤：，若211013a q x a x a x =--+-≤⇔-≤≤，：（）（） ，命题“p 或q ”为假，则命题“p 且q ”为真，取交集，所以实数x 的范围为[23]x ∈， ； （2）27100x x -+≤，解得2511011x q x a x a a x a --+-≤⇔-≤≤+＜＜，：（）（）， 若p 是q 的充分不必要条件，则[25][11]a a ⊆-+，， ，则 1214514a aa a a⎧-≤-≤⎧⇒⇒≤⎨⎨≤+≤⎩⎩ .点睛：本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市10万名男生的身高服从正态分布2(,)N μσ.现从某学校高中男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm 和190cm 之间，将身高的测量结果按如下方式分成5组：第1组[160,166)，第2组[166，172)，...，第5组[184，190]下表是按上述分组方法得到的频率分布表： 分组 [160，166) [166，172) [172，178) [178，184) [184，190] 人数31024103这50个数据的平均数和方差分别比10万个数据的平均数和方差多1和6.68，且这50个数据的方差为231.68=s .(同组中的身高数据用该组区间的中点值作代表)：(1)求μ，σ；(2)给出正态分布的数据：()0.6826P X μσμσ-≤+=＜，(22)0.9544P X μσμσ-≤+=＜. (i)若从这10万名学生中随机抽取1名，求该学生身高在(169,179)的概率；(ii)若从这10万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中身高在(169，184)的人数，求X 的数学期望. 【答案】 (1) μ=174；5σ=； (2) (i) 0.6826 ；(ii)8185【解析】 【分析】（1）由每组的中间值乘以该组的人数，再求和，最后除以总人数，即可求出平均值，根据题意即可得到μ，再由231.68=s ，以及题中条件，即可得出σ；（2）(i)先由题意得(169，179)=(μσ-，μσ+)，根据题中所给数据，即可求出对应概率；(ii)由题意可知(169，184)=(μσ-，2μσ+)，，先求出一名学生身高在(169，184)的概率，由题意可知X 服从二项分布，再由二项分布的期望，即可求出结果. 【详解】解：(1)根据频率分布表中的数据可以得出这50个数据的平均数为1633169101752418110187317550x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==所以1751174μ=-=，又2s =31.68，所以5σ==.(2) (i)由题意可知(169，179)=(μσ-，μσ+)， 所以该学生身高在(169，179)的概率为p=0.6826 (ii)由题意可知(169，184)=(μσ-，2μσ+)， 所以一名学生身高在(169，184)的概率为0.68260.95440.81852P +==根据题意~(10000,0.8185)X B ，所以X 的数学期望()100000.81858185=⨯=E X . 【点睛】本题主要考查平均值与标准差的计算，正态分布特殊区间的概率，以及二项分布的期望问题，熟记公式即可，属于常考题型.。
2022届河南省郑州市高二下数学期末联考试题含解析
2022届河南省郑州市高二下数学期末联考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且 1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则 2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．3B ．4C．2D ．92【答案】B 【解析】 【分析】由题意得（1+2d ）2＝1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得2163n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值． 【详解】∵a 1＝1，a 1、a 3、a 13 成等比数列， ∴（1+2d ）2＝1+12d ． 得d ＝2或d ＝0（舍去）， ∴a n ＝2n ﹣1， ∴S n ()1212n n +-==n 2，∴2216216322n n S n a n ++=++．令t ＝n+1，则2163n n S a +=+t 9t+-2≥6﹣2＝1当且仅当t ＝3，即n ＝2时，∴2163n n S a ++的最小值为1．故选：B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题． 2．从区间[]1,8上任意选取一个实数m ，则双曲线2221y x m-=的离心率大于2的概率为（ ）A ．27B ．37C ．47D ．57【答案】D【解析】分析：求出m 的取值范围，利用几何概型的计算公式即可得出. 详解：由题意得1,,1a b m c m ===+，12ce m a∴==+>，解得3m >，即38m <≤ 835817P -∴==-.故选：D.点睛：几何概型有两个特点：一是无限性；二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．3．如图所示，一个几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积是( )A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原可知原图形是圆柱，再由全面积公式求得全面积。
河南省郑州市2021-2022学年高二数学下学期期末试题【含答案】
2021-2022学年下学期期末测评试卷高二数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数，则（ ）．1i iz =-z =A ．0B ．C ．D ．2i2i-1i-+2．已知随机变量X 的分布列如下所示，则（）．()E X =X 012P 13A16A ．B ．C ．D ．161323563．的展开式中所有奇数项的二项式系数和为（ ）．()101x -A ．128B ．256C ．512D ．10244．已知函数，则（ ）．()()321f x x f x '=-()1f '-=A ．B ．5C ．D ．15-1-5．由曲线，，，所围成图形的面积为（ ）．cos y x =π2x =3π2x =0y =A ．B ．C ．2D ．12ππ6．下列说法中正确的是（ ）．A ．对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概2K 率越小B ．若事件A 与B 相互独立，且，，则()01P A <<()01P B <<()()P A B P A =C ．若随机变量X 服从正态分布且，则()0,1N 1.692P X ⎛⎫≤≈ ⎪⎝⎭100.0952P X ⎛⎫-≤≤≈ ⎪⎝⎭D ．在回归分析中，对一组给定的样本数据，，…，，样本数据的()11,x y ()22,x y (),n n x y 线性相关程度越强，则r 越接近17．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则k 的最小值21211n n nn ->++(),n k n k >∈N 为（）．A ．1B ．2C ．3D ．48．2022年4月，某地区加强了对“一盔一带”安全守护行动的执法管理，交警对某路口不戴头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据（其中y 表示第x 天不戴头盔的人数）：x 1248y11549325若y 关于x 的回归方程为，则（ ）．120ˆˆya x=+ˆa =A ．B ．4C ．6D ．4-6-9．“霍姆斯马车理论”是指各种资源都得到最合理配置和使用的一种理论．一个富有效率的团队不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥．某科研团队共有10名研究人员，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成甲、乙两个科研小组，其中1，2号研究员组合在一起，3，4号研究员组合在一起，其余研究员随意搭配就能达到最佳效果，那么达到最佳效果的不同的分组方式共有（ ）．A ．26种B ．46种C ．52种．D ．126种10．2022年北京冬奥会开幕式中，当《构建一朵雪花》这个节目开始后，一朵巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一朵雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科克曲线”，是瑞典数学家科克在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．若第1个图形中的三角形的周长为1，则第10个图形的周长为（ ）．A ．B ．C ．D ．843⎛⎫ ⎪⎝⎭943⎛⎫ ⎪⎝⎭1043⎛⎫ ⎪⎝⎭1143⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知点P 在函数的图象上，点Q 在直线上，()ln 2f x x x =-+:22ln 260l x y +--=记，则（ ）．2M PQ =A ．M 的最小值为B ．当M 最小时，点Q 的横坐标为125145C ．M 的最小值为D ．当M 最小时，点Q 的横坐标为4512512．已知，，，其中，，，则1ln 22a a -=1ln 33b b -=ln c c e e -=12a ≠13b ≠c e ≠a ，b ，c 的大小关系为（ ）．A ．B ．C ．D ．c a b<<c b a<<a b c<<a c b<<二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知复数满足，则复平面内由点形成的区域的面积()i ,z x y x y =+∈R 11z -≤(),x y 为______．14．某学校为落实“双减”政策，在课后服务时间开展了丰富多彩的兴趣拓展活动，现有甲、乙、丙、丁四人，兵乓球、篮球、羽毛球、网球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能从中选择一项活动，则四人中恰有两人选择同一活动的情况有______种．15．在的展开式中，除项之外其余所有项的系数之和为______．()532341x x -+5x 16．已知函数，若不等式恒成立，则实数a 的取值范围()1ln ln x f x ae x a -=-+()1f x ≥为______．三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分17．（本小题满分12分）在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256．在的展开式中，______．(2n+（1）求n 的值；（2）展开式中系数最大的项是第几项？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分．18．（本小题满分12分）（1）已知a ，，；0b >2a b +=11a b +≤+（2）已知a ，b ，，，求证：．0c >1a b c ++=1119a b c++≥19．（本小题满分12分）小明大学毕业后准备自主创业，他计划在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x （单位：）和日均客流量y （单位：2m 百人）的数据，初步判断x 与y 线性相关，并计算得，()(),1,2,,20i i x y i = 2012400ii x==∑，，．201210ii y==∑()202142000i i x x =-=∑()()2016300i i i x x y y =--=∑（1）求y 关于x 的回归直线方程；（2）已知服装店每天的经济效益，该商场现有的商铺出租，根据2W x =260150m ~（1）的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z 最高，小明应该租多大面积的商铺？参考公式：回归直线方程中，，．ˆˆˆybx a =+()()()121ˆniii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑ˆˆay bx =-20．（本小题满分12分）冰墩墩是2022年北京冬奥会的吉祥物，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员，深受广大民众的喜爱，一时成为火爆的商品．某调查机构随机抽取100人，对是否有意向购买冰墩墩进行调查，结果如下表：年龄/岁[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[]70,80抽取人数102025151875有意向购买的人数10182291042（1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.9％的把握认为是否有意向购买冰墩墩与人的年龄有关；年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数无意向购买冰墩墩的人数总计（2）若从年龄在的被调查人群中随机选出3人进行调查，设这3人中有意向购买集[)60,70个冰墩墩的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（3）某校为了使更多学生了解冰雪运动，特在全校进行了冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分[)50,60[)60,70[]70,80[]80,90[]90,100频率0.10.10.30.30.2如果规定竞赛得分在为优秀，现用频率估计概率，从该校学生中随机抽取3人，记[]90,100竞赛成绩优秀的人数为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望．附：，．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（本小题满分12分）已知函数．()2112x f x xe x ax =---（1）当时，求函数的极值；1a =()f x （2）若不等式恒成立，求实数a 的值．()21ln 2f x xa x +≥（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以O 为极点，x31x ty =⎧⎪⎨=-⎪⎩轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．24cos 30ρρθ-+=（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P 的坐标为，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求的值．()0,1-PA PB +23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数．()295f x x x =---（1）求不等式的解集；()21f x x ≥-（2）函数的最小值为m ，正实数a ，b 满足，求的最()35y f x x =+-13m a b+=3a b +小值．答案2021-2022学年下学期期末测评试卷高二数学1．C ，∴，故选C ．1i 2i iz -=+=2i z =-2．D由分布列的性质得，1111362a =--=∴，故选D ．()11150123266E X =⨯+⨯+⨯=3．C的展开式中所有奇数项的二项式系数和为，故选C ．()101x -1021522=4．D，∴，即，()()2321f x x f ''=-()()1321f f ''=-()11f '=∴，则，故选D ．()232f x x '=-()11f '-=5．C所围成图形的面积，故选C ．3π2π23ππcos d sin sin 222S x x ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰6．B对于独立性检验，随机变量的观测值越小，判定“两个分类变量有关系”犯错误的概率2K 越大，故A 错；若随机变量X 服从正态分布且，()0,1N 10.692P X ⎛⎫≤≈ ⎪⎝⎭则，故C 错；100.690.50.192P X ⎛⎫-≤≤≈-= ⎪⎝⎭样本相关系数r 的绝对值越接近1，样本数据的线性相关程度越强，故D 错；由事件独立性的概念知B 对，故选B ．7．B可以检验当时，不等式才成立，则k 的最小值为2，故选B ．3n ≥8．D令，由表格数据得，，1t x =111115248432t +++==2014y =代入回归方程得，解得，故选D ．20115ˆ120432a=+⨯ˆ6a =-9．C当1，2，3，4号研究员在一组时，有种情况；16212C =当1，2号研究员在一组，3，4号研究员在另一组时，有种情况，232640A C =共52种情况，故选C ．10．B用数列表示第n 个图形的周长，{}n a 由，，，…，得数列是以1为首项，为公比的等比数列，11a =243a =3169a ={}n a 43所以，故选B ．91043a ⎛⎫= ⎪⎝⎭11．B直线l 的斜率为，令，得，12-()1112f x x '=-=-2x =∴当M 最小时，点P 的坐标为，()2,ln 2此时点P 到直线的距离为，:22ln 260l x y +--=d =所以M 的最小值为，选项A ，C 都不正确．165过点P 且垂直于l 的直线方程为，:2ln 240l x y '-+-=联立两直线的方程，得点Q 的横坐标为，故选B ．145Q x =12．A将题目中等式整理，得，，，11ln ln 22a a -=-11ln ln 33b b -=-ln lnc c e e -=-构造函数，，()()ln 0f x x x x =->()111x f x x x-'=-=令，得，()0f x '=1x =所以在上单调递减，在上单调递增，()f x ()0,1()1,+∞函数的大致图象如图所示．()f x因为，，，且，，，()12f a f ⎛⎫=⎪⎝⎭()13f b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()()f c f e =12a ≠13b ≠c e ≠所以由图可知．故选A ．c a b <<13．π，所以，11i 1z x y -=-+=≤()11x y 22-+≤所以复平面内由点形成的区域是以为圆心，1为半径的圆及其内部，(),x y ()1,0所以所求面积为．π14．144四人中恰有两人选择同一活动的情况有种．2344144C A =15．240令，得的展开式中所有项的系数之和为0，1x =()532341x x -+只有当与相乘时才会出现项，33x 24x -5x 故项的系数为，5x ()115434240C C ⨯⨯⨯-=-所以除项之外其余所有项的系数之和为240．5x 16．[)1,+∞，()()110x f x ae x x-'=->∵，∴在上单调递增，0a >()f x '()0,+∞且x 从右侧趋向于0时，趋向于，x 趋向于时，趋向于，()f x -∞+∞()f x '+∞∴，使得，即，00x ∃>()00f x '=011x aex -=两边同时取对数，得．00ln 1ln a x x +-=-当时，，单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x 当时，，单调递增．()0,x x ∈+∞()0f x '>()f x ∴()()01000min 01ln ln 12ln 12ln x f x f x aex a x a a x -==-+=+-+≥+（当且仅当，即时取等号），01x =1a =∴，得，∴实数a 的取值范围为．12ln 1a +≥1a ≥[)1,+∞17．（1）若选①，则，∴．26n nC C =8n =若选②，则，∴．42n=8n =若选③，则，∴．2256n =8n =（2）的展开式的通项为．(82()281820,1,2,,8rr r r T C x r -+== 设第项的系数最大，则，解得，1r +()()8181888181882222r r r r r r r r C C C C -+-+----⎧≥⎪⎨≥⎪⎩23r ≤≤∴或3．2r =∴展开式中系数最大的项为第3项和第4项．18．（1，11a b ≤+2ab≤只需证．2ab≤∵，当且仅当时，等号成立，()214a bab +≤=1a b ==∴，224=+≤2+≤∴，2ab≤从而得证．（2）∵，1a b c ++=∴，()2222111111a b c ⎡⎤++=++≥++⎢⎥⎣⎦当且仅当时，等号成立，即．13a b c ===1119a b c++≥19．（1）∵，，240012020x ==21021202y ==∴，．63003ˆ4200020b==21315ˆ1202202a =-⨯=-∴y 关于x 的回归直线方程为．315ˆ202y x =-（2）单位面积的经济效益，)260150Z x ==+≤≤令，则．11115060t t x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭2Z =由二次函数的性质知，当时，Z 最大，1100t =∴小明应该租的商铺．2100m 20．（1）列联表如下所示，年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数总计有意向购买冰墩墩的人数502575无意向购买冰墩墩的人数52025总计5545100则的观测值，2K ()20100502052516.49810.82855452575k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99.9％的把握认为是否有意向购买冰墩墩与人的年龄有关．（2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，3，，，()33371035C P X C ===()12433712135C C P X C ===，，()21433718235C C P X C ===()34374335C P X C ===∴X 的分布列为X 0123P13512351835435∴．()112184120123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取1人，竞赛成绩优秀的概率为0.2，∴随机变量．∴Y 的可能取值为0，1，2，3，()3,0.2Y B ~，，()300.80.512P Y ===()12310.20.80.384P Y C ==⨯⨯=，，()22320.20.80.096P Y C ==⨯⨯=()330.20.008P Y ===∴Y 的分布列为Y 0123P0.5120.3840.0960.008．()30.20.6E Y =⨯=21．（1）当时，，．1a =()2112x f x xe x x =---x ∈R ∴，()()()111x x x f x e xe x e x '=+--=-+令，得中．()0f x '=1x =-0x =x(),1-∞-1-()1,0-0()0,+∞()f x '＋－＋()f x 22e e +-1-∴的极大值为，的极小值为．()f x ()212e f e+-=-()f x ()01f =-（2）由题意，，即在时恒成立．1ln x xe ax a x --≥()ln 1ln x xea x x +-≥+()0,+∞令，易知在上单调递增，ln x x t +=()ln h x x x =+()0,+∞且x 从右侧趋向于0时，趋向于，x 趋向于时，趋向于，()h x -∞+∞()h x +∞∴，t ∈R 从而问题转化为在时恒成立．10t e at --≥t ∈R 不妨令，，则，()1tg t e at =--t ∈R ()tg t e a '=-当时，在R 上恒成立，在R 上单调递增，且，0a ≤()0g t '>()g t ()00g =∴当时，，不符合题意，舍掉．(),0t ∈-∞()0g t '<当时，令，得，令，得，0a >()0g t '>ln t a >()0g t '<ln t a <∴在上单调递减，在上单调递增，()g t (),ln a -∞()ln ,a +∞∴．()()min ln ln 1g a g a t a a ==--从而问题转化为，即．ln 10a a a --≥11ln 0a a--≥令，，则，()11ln a a a ϕ=--()0,a ∈+∞()22111aa a a aϕ-'=-+=∴当时，，单调递增，()0,1a ∈()0a ϕ'>()a ϕ当时，，单调递减，()1,a ∈+∞()0a ϕ'<()a ϕ∴，∴要使，则．()()max 10a ϕϕ==()0a ϕ≥1a =综上，a 的值为1．22．（1）由消去t31x ty =⎧⎪⎨=-⎪⎩x =-即直线l 的普通方程为．0x -=由，得，24cos 30ρρθ-+=22430x y x +-+=∴圆C 的直角坐标方程为．22430xy x +-+=（2）∵点在直线l 上，且直线l 的斜率，()0,1P-πtan 6k ==∴直线l 的参数方程为（为参数），112xy t ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=-+⎪⎩t '将其代入圆C 的直角坐标方程，得，，()2140t t ''-++=0∆>设A ，B 对应的参数分别为，，则，，，均大于0，1t '2t '121t t ''+=+124t t ''=1t '2t '∴．12121PA PB t t t t ''''+=+=+=+23．（1）不等式等价于，29521x x x ---≥-即，解得；()()9229521x x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-≥-⎩53x ≤或，解得；()()95229521x x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-≥-⎩x ∈∅或，解得．()()529521x x x x ≥⎧⎪⎨---≥-⎪⎩x ∈∅综上，不等式的解集为．5,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）∵，()()()3529210292101y f x x x x x x =+-=-+-≥---=∴函数的最小值为1，即，∴．1m =()1310,0a b a b+=>>∴，()133333101016a ba b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，∴的最小值是16．4a b ==3a b +。
郑州市2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题文(含答案)
河南省郑州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 文注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡． 参考公式和数据：1．对于一组具有线性相关关系的数据，(),i i x y ()1,2,3,,i n =⋅⋅⋅其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-； 2．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++；3．参考数据：()2P K k >0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在用反证法证明命题“已知0a >，0b >，且13a b +>．求证：31b a ++，2a b+中至少有一个小于4”时，假设正确的是（ ）A ．假设31b a ++，2a b +都不大于4 B ．假设31b a ++，2a b +都不小于4 C ．假设31b a ++，2a b +都小于4 D ．假设31b a ++，2a b+都大于42．如图，复平面内的点Z 对应的复数记为z ，则对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关某数学建模小组建立了茶水冷却时间x 和茶水温度y 的一组数据(),i i x y ．经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和()21ˆni i i y y=-∑的值分别是098．，080．，012.，1.36．则拟合效果最好的模型是（ ） A ．模型① B ．模型② C ．模型③ D ．模型④4．（选修4－4：坐标系与参数方程）将曲线2220x y x --=变换为曲线221640x y '''--=的一个伸缩变换为（ ）A ．212x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，B ．214x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，C ．1212x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，D ．14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩，（选修4－5：不等式选讲）若关于x 的不等式2123x x a a ++-≤+-()a ∈R 的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．32a -<<B ．11a -<<C ．01a <<D ．1a <-5．已知bg 糖水中含有ag 糖()0b a >>，若再添加mg 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）．根据这个事实，下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a a mb b m+>+B ．22mma m ab m b ++<++ C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++ D ．121313b a ->- 6．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第x 年（2016年为第一年）捐赠现金y （万元）的数据情况．由表中数据得到了y 关于x 的线性回归方程为ˆˆ295y bx =+．，预测2021年该商会捐赠现金______万元．A ．4.25B ．5.25C ．5.65D ．4.757．若输出的S 的值等于26，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）A ．10i >B ．11i >C ．12i >D ．13i >8．已知正数a ，b 满足1256255a b ⨯=，则3a b +的最小值为（ ） A ．25 B ．24 C ．27 D ．59．任何一个复数z a bi =+都可以表示成()cos sin z r i θθ=+的形式，我们把()cos sin r i θθ+叫做复数的三角形式．已知cossin33z i ππ=+，则下列结论正确的是（ ）A ．2z 的实部为1B ．21z z =-C ．2z z = D ．22z =10．（选修4－4：坐标系与参数方程）已知曲线Γ的参数方程3sin ,2cos ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且0θπ≤≤）．若以下曲线中有一个是Γ，则曲线Γ是（ ）A ．B ．C ．D ．（选修4－5：不等式选讲）已知a b c >>，若14ma b b c a c+≥---恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．8D ．911．胡夫金字塔的形状为正四棱锥．1859年，英国作家约翰·泰勒在其《大金字塔》一书中提出：埃及人在建造胡夫金字塔时利用了黄金比例15 1.6182⎛⎫+≈ ⎪ ⎪⎝⎭，泰勒还引用了古希腊历史学家希罗多德的记载：胡夫金字塔的每一个侧面的面积都等于金字塔高的平方，如图，即2h as =．已知四棱锥底面是边长约为860英尺的正方形()2860a =，顶点P 的投影在底面中心O ，H 为BC 中点，根据以上条件，PH 的长度（单位：英尺）约为（ ）A ．3479．B ．512.4C ．6116．D ．695.712．已知0a b c d <<<<，若dcc d =，则ba 与ab 的大小关系为（ ） A ．baa b < B ．baa b = C ．baa b > D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2i -为方程220x mx n ++=（m ，n ∈R ）的一个根，则n =______． 14．从某大学随机选择8名女大学生，其身高和体重数据如表所示： 身高x （cm ） 155 157 165 165 165 170 170 175体重y （kg ）43 50 48 5761 54 59 64根据表中的数据可得回归直线方程ˆ0.84985.712yx =-，20.64R ≈，这表明女大学生的体重差异有______是由身高引起的．15．在等差数列{}n a 中，若80a =，则121215n n a a a a a a -++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（15n <，*n ∈N ）.类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若151b =，则存在的等式为______． 16．已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABCD 为复平面内的平行四边形，向量OA 对应的复数为5，AB 对应的复数为23i --，BC 对应的复数为64i -+．（Ⅰ）求点D 对应的复数;（Ⅱ）判断A 、B 、C 、D 四点是否在同一个圆上？并证明你的结论．18．（选修4－4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立板坐标系，已知曲线E 的极坐标方程为2241sin ρθ=+；直线l 的倾斜角为34π，且l 经过曲线E 的左顶点．（Ⅰ）求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （Ⅱ）求曲线E 的内接矩形ABCD 的周长的最大值． （选修4－5：不等式选讲）已知函数()1112f x x x =--+． （Ⅰ）求()f x 的最大值，并在网格纸中作出函数()f x 的图象；（Ⅱ）求()6f x x ≤-的解集．19．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，随机调查了一段时间内该医院50名男宝宝和50名女宝宝的出生时间，通过分析数据得到下面等高条形图：（Ⅰ）根据所给等高条形图数据，完成下面的22⨯列联表，并通过图形和数据直观判断婴儿性别与出生时间是否有关？晚上 白天 合计 男婴 女婴 合计（Ⅱ）根据（Ⅰ）中列联表，能否在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别与出生的时间有关？ 20．（选修4－4：坐标系与参数方程）平面直角坐标系xOy 中，射线l ：33y x =()0x ≥，曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．（Ⅰ）写出射线l 的极坐标方程、曲线1C 的普通方程；（Ⅱ）已知射线l 与1C 交于点A ，与2C 交于点B （B 异于点O ），求AB 的值． （选修4－5：不等式选讲）已知函数()2f x x a =+． （Ⅰ）当1a =-时，求不等式()93f x x x -≥-+的解集；（Ⅱ）是否存在实数a 使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]01，．若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．21．红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数y （个）和温度x （℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图现用两种模型①x y a b =⋅（0a >，0b >），②2y cx d =+分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到如下值：xz t()821ii x x =-∑()821i i t t =-∑()()81iii z z x x =--∑()()81iii y y t t =--∑25 2.89 646 168 422688 48.48 70308表中ln i i z y =；8118i i z z ==∑；2i i t x =；8118i t t ==∑．（Ⅰ）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（Ⅱ）根据（Ⅰ）中所选择的模型，求出y 关于x 的回归方程（计算过程中四舍五入保留两位小数），并求温度为35℃时，产卵数y 的预报值． 参考数据： 5.61273e≈， 5.70299e ≈， 5.79327e ≈．22．开普勒说：“我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，”波利亚也曾说过：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题．”在选修1—2第二章《推理与证明》的学习中，我们知道，平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体等．如图，如果四面体D EFP -中棱DE ，DF ，DP 两两垂直，那么称四面体D EFP -为直角四面体．请类比直角三角形ABC （h 表示斜边上的高）中的性质给出直角四面体D EFP -中的两个性质，并给出证明．直角三角形ABC直角四面体D EFP -条件 CA CB ⊥ DE DF ⊥，DE DP ⊥，DF DP ⊥结论1 222a b c +=结论2 222111h a b=+郑州市2020—2021下期高二文科数学考试评分参考一、选择题 题号 123456789101112答案B BC A BD A C B D D A二、填空题13．10； 14．64%； 15．121229n n bb b bb b -⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（15n <，*n ∈N ）备注:考生不写小括号内容不给分． 16．3225．（或者4129）． 三、解答题17．解：（1）由题意知，()5,0OA =，()2,3AB =--，()6,4BC =-， 所以()()()5,02,33,3OB OA AB =+=+--=-， 同理()()()3,36,43,1OC OB BC =+=-+-=-， 由AD BC =，得()1,4D -， 则点D 对应的复数14z i =-+．（2）由0AB BC ⋅=，得AB BC ⊥，即AB BC ⊥．∴四边形ABCD 为矩形 ∴A 、B 、C 、D 四点共圆．18．解：（1）因为曲线E 的极坐标方程为222sin4ρρθ=＋．将222x y ρ=＋，sin y ρθ=，代入上式，得2224x y =＋．所以曲线E 的直角坐标方程为22142x y +=； 又∵曲线E 为椭圆，其左顶点坐标为()2,0-，∴直线l的参数方程为：222x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）．（2）设椭圆E的内接矩形在第一象限的顶点为()2cos θθ02πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭， ∴椭圆E 的内接矩形的周长y为：()8cos y θθθϕ=+=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=）∴椭圆E 的内接矩形的周长的最大值为46．（选修4—5：不等式选讲）解：（1）依题意，()111=2f x x x =--+13,12231,112213,122x x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪---<<⎨⎪⎪--≥⎪⎩所以，当1x =-时，()max 1f x =； 函数()f x 的图象如图所示：（2）由（1）可知，利用图象法，直线6y x =-只与()f x 的图像相交于A ，由613,22y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得()3,3A -故当3x ≥时，直线6y x =-在()f x 图象的上方， 即()6f x x ≤-，故解集为[)3,+∞．19．解：（1）根据所给等高条形图数据，完成22⨯列联表如下：晚上白天合计男婴 10 40 50 女婴 20 30 50 合计3070100根据等高条形图，在男婴样本中白天出生的频率要高于女婴样本中白天出生的频率; 根据列联表，男婴样本中白天出生的频率为80%，女婴样本中白天出生的频率为60%． 因此可以直观得到结论:婴儿的性别和出生时间有关系（二者选其一即可给分）（2）根据（1）中列联表，计算()22100402030101004.762 2.7065050703021K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过0.1的前提下认为婴儿的性别和出生的时间有关． 20．（选修4－4：坐标系与参数方程） 解：（1）依题意，因为射线l：y x =()0x ≥，故射线l ：6πθ=()0ρ≥；因为1C 的参数方程为：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，可得曲线1C 的普通方程：224x y -=．（2）曲线1C 的方程为224x y -=，故曲线1C 的极坐标方程为42cos 2=θρ． 设点A 、B 对应的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ，联立l 与1C ，得2,6cos 24,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得6A π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 联立l 与2C ，得,68sin ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得4,6B π⎛⎫⎪⎝⎭故124AB ρρ=-=-（选修4—5：不等式选讲）解：（1）当1a =-时，原不等式可化为2139x x x -++≥+等价于31239x x x x ≤-⎧⎨---≥+⎩或1321239x x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≥+⎩或1,22139,x x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≥+⎩即52x ≤-或72x ≥，所以不等式的解集是57,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）若存在这样的a ，使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1． 即当[]0,1x ∈时，()34f x x x ++≤+恒成立．11 可得234x a x x +++≤+，得21x a +≤，得1122a a x ---≤≤． 所以11,210,2a a -⎧≥⎪⎪⎨--⎪≤⎪⎩解得1a =-所以存在这样的a ，满足1a =-使得()34f x x x ++≤+的解集中包含[]0,1．21．解：（1）应该选择模型①．理由为：模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高．故选模型①比较合适．（2）由（1）知，选用模型①，xy a b =⋅，用两边取对数，得()ln ln ln y b x a =+， 令ln z y =，z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，则()ln ln z b x a =+，()()()8182148.48ln 0.29168ii i i i x x z z b x x ==--==≈-∑∑， ln ln 2.890.2925 4.36a z x b =-=-⨯≈-，于是有ln 029436y x =-．．，所以产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.29 4.36x y e-=． 当35x =时，0.2935 4.36 5.79327y e e ⨯-==≈（个）， 所以，在气温在35℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为327个．22．解：记DEF △、DEP △、DFP △、EFP △的面积依次为1S 、2S 、3S 、S ，记DE m =，DF n =，DP p =．结论1：2222123S S S S =++，证明：过D 作DH EF ⊥，垂足为H ，连接PH ， ()22222222222212311112224S S S mn mp np m n m p n p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12 在Rt DEF △中，DE DF DH EF ⋅== DH ＝，PH ==()2222222214S m n n p m p ==++， 2222123S S S S =++．结论2：22221111h m n p =++证明：过D 作DH EF ⊥，垂足为H ，连接PH ， 过D 作DG PH ⊥，垂足为G ，设DG h =，∵h = ∴22222222222221111m n m p n p h m n p m n p ++==++． ∴22221111d m n p =++．。
2022年河南省郑州市第十四中学高二数学文下学期期末试卷含解析
2022年河南省郑州市第十四中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（）A． B． C． D．参考答案：D2. 直线与曲线相切于点A（1，3），则的值为（）A．3 B．C．5 D．参考答案：A3. 已知直线x﹣y﹣=0经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和顶点，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：B【分析】求出直线与x，y轴的交点，得到椭圆的焦点和顶点，然后求解椭圆的离心率．【解答】解：直线x﹣y﹣=0经过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点和顶点，可得椭圆的一个焦点坐标（，0），一个顶点坐标（0，﹣1），所以c=，b=1，则a=，所以e==．故选：B．4. 直线的倾斜角是A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°参考答案：C【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可．【详解】因为直线的斜率为：，直线的倾斜角为：．所以，故选：C．【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．5. 三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4C．D．16参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC 边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B6. 已知A={x|2x+1|>3}，B={x|x2+x-6≤0}，则A∩B=( )A．(-3，-2)∪(1，+∞) B．(-3，-2)∪[1，2]C．[-3，-2)∪(1，2] D．(-∞，-3)∪(1，2)参考答案：C7. 设a，b满足2a＋3b＝6，a＞0，b＞0，则的最小值为()A. B. C. D．4参考答案：A8. 已知圆心为，半径的圆方程为（）A、 B、C、 D、参考答案：C略9. 圆与圆的位置关系是（）．A．内含B．相交C．外切D．外离参考答案：D，．，．圆心，，圆心，，，∴两圆外离．故选．10. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A.假设三内角都大于60度 B．假设三内角都不大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度 D．假设三内角至多有两个大于60度参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若椭圆上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为．参考答案：6考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：现根据椭圆的方程求出离心率，进一步根据椭圆的第一和第二定义求出结果．解答：解：已知椭圆+=1则：解得：e=已知椭圆上一点到左准线的距离为5，则：设点到左焦点的距离为d，点到右焦点的距离为k，利用椭圆的第二定义：解得：d=4进一步利用椭圆的第一定义：d+k=10 解得：k=6 故答案为：6点评： 本题考查的知识要点：椭圆的离心率的应用，椭圆的第一第二定义的应用．属于基础题型．12. ．抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标是___________.参考答案：略13. 若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出参考答案：略 14.若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）参考答案：15. 函数的最小值为 .参考答案：16. 若复数（m 2+i ）（1+mi ）是纯虚数，则实数m= ． 参考答案：0或1【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（m 2+i ）（1+mi ）=m 2﹣m+（1+m 3）i 是纯虚数， ∴m 2﹣m=0，1+m 3≠0，解得m=0或1， 故答案为：0或1．17. 若x ＞0，y ＞0，且+=1，则x+3y 的最小值为 ；则xy 的最小值为 ．参考答案：16，12【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质和“乘1法”即可得出． 【解答】解：∵x ，y ＞0，且 +=1， ∴x+3y=（x+3y ）（ +）=10++≥10+6=16，当且仅当=即x==y 取等号．因此x+3y 的最小值为16． ∵x ＞0，y ＞0，且+=1， ∴1≥2，化为xy≥12，当且仅当y=3x 时取等号．则xy 的最小值为12． 故答案为：16，12三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
河南省郑州市2021-2022学年高二语文下学期期末试题(解析版)
（摘编自《2万余叶珍贵古籍文献带你“云”看西藏的前世今生》，新华网，2021年4月23日）
6. 如何加强古籍保护利用，更好地推进新时代古籍工作？请结合材料概括说明。
【答案】4. A 5. D
6. ①通过各种形式加强古籍普查工作，摸清古籍现状；②创新古籍传播形式，促进古籍大众化传播，挖掘古籍时代价值；③推动古籍保护利用数字化，解决“重藏轻用”矛盾，拉近古籍与读者间距离；④举办各类古籍培训班，解决专业人才短缺问题，培养古籍普查骨干；⑤多途径宣传古籍普查保护工作，呼吁民间藏家参与普查。
数据还反映出诗人影响力与作品量的关系。杜甫、李白的诗作量名列前茅，辛弃疾、苏轼的词作量也是第一、第二。由此可以说，影响力大的诗人，其作品量往往也很大，但不能说作品量大的诗人就一定影响力大,比如前文提到的白居易。由此可见，精品名作多才是成为影响力大的诗人的决定性因素。
虽然数据能在一定程度上描述显示文学史的发展面貌和进程，揭示隐藏在历史背后的真相与意义，但数据也有明显的局限性。一是效度有限，只能说明文学史的部分问题，而无法有效解决所有问题。二是信度受限，无论是人工挖掘还是机器自动提取，受人的认识水平和技术水平的制约，数据的信度会有优劣高下的差异。由于指标种类少，目前衡量名篇名家的数据还不充分完备，尤其缺少内质型数据，因此需要持续不断地挖掘和充实。挖掘数据的难度，不仅在于到哪里找数据，更在于要找哪些数据。文学史上从来没有数据意识和数据存量，什么样的数据对衡量一个时代或一个时期的文学繁荣程度、评价作家作品的优劣高低有用有效，这既是实践操作问题，也是理论认识问题。
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2021-2022学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）试题数：26，总分：1501.（单选题，5分）复数z满足（√3 +i）z=|1- √3 i|，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题，5分）下面几种推理过程中属于类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在C.由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个质数的和D.在数列{a n}中，a1=1，a n= 12（a n-1+ 1a n−1）（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式3.（单选题，5分）如图所示的是一个结构图，在框① ② ③ 中应分别填入（）A.虚数，整数，分数B.复数，虚数，整数C.虚数，复数，纯虚数D.复数，虚数，纯虚数4.（单选题，5分）已知x，y，z∈R，且a=x2+2y，b=y2+2z，c=z2+2x，则a，b，c三个数（）A.都小于-1B.至少有一个不小于-1C.都大于-1D.至少有一个不大于-15.（单选题，5分）在同一平面直角坐标系中，由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，则对应的伸缩变换为（ ） A. {x′=12xy′=4yB. {x′=2xy′=14y C. {x′=2x y′=4y D. {x′=12x y′=14y6.（单选题，0分）已知x ，y ，z∈R +，且x+y+z=30，则lgx+lgy+lgz 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.47.（单选题，5分）下列四个命题：① 在回归模型中，预报变量y 的值不能由解释变量x 唯一确定；② 若变量x ，y 满足关系y=-2x+1，且变量y 与z 正相关，则x 与z 也正相关； ③ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； ④ 样本点可能全部不在回归直线 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 上． 其中真命题的个数为（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.（单选题，5分）已知i-1是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根，其中p ，q∈R ，则p+q=（ ） A.6 B.8 C.10D.129.（单选题，5分）用模型y=me nx+2（m ＞0）拟合一组数据时，设z=lny ，将其变换后得到回归方程为 ẑ =3x+2，则n-m=（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.210.（单选题，5分）我们知道；在平面内，点（x 0，y 0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax 0+By 0+C|√A 2+B 2，通过类比的方法，则在空间中，点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距离为（ ） A.4 B.5 C.6 D.711.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为S n ，如S 1=1，S 2=2，S 4=4，⋯，则S 32等于（ ）A.16B.32C.64D.12812.（单选题，5分）已知曲线 {x =cosαy =−1+√3sinα ，（α为参数）上任一点P （x 0，y 0），使得不等式a≤x 0+y 0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.（-∞，-3]B.[-3，+∞）C.[1，+∞）D.（-∞，1]13.（单选题，0分）若不等式|x-1|+| 4x+1|≤a有解，则实数a的取值范围是（）A.a≥4B.a＜4C.a≥2D.a＜214.（单选题，5分）计算器是如何计算sinx，cosx，πx，lnx，√x等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sinx=x- x 33!+x55!−x77!+…，cosx=1- x22!+x44!−x66!+…，其中n!=1×2×3×…×n，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到sin（π2 +1）的近似值为（）A.0.50B.0.52C.0.54D.0.5615.（填空题，5分）复数1−i20221+i的共轭复数为 ___ ．16.（填空题，5分）用最小二乘法得到一组数据（x i，y i）（其中i=1、2、3、4、5）的线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，若∑5i=1 x i=25、∑5i=1 y i=65，则当x=10时，y的预报值为 ___ ．17.（填空题，5分）将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…．称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第 ___ 组．18.（填空题，5分）已知a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则a，b，c的大小关系是 ___ ．19.（问答题，10分）已知复数z=a+i（a＞0，a∈R），且z+ 2z∈R，其中i为虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，复数z+z2，z+1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数．20.（问答题，12分）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促进情况该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如表：（Ⅰ）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关？21.（问答题，12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），曲线C 2的方程为x+y-6=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线α= π4 分别交C 1，C 2于A ，B 两点（点A 异于极点），求|AB|．22.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+1|-m ，m∈R ，且f （x ）≤0的解集为[-2，0]． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设a ，b ，c 为正数，且a+2b+3c=m ，求a 2+b 2+c 2的最小值．23.（问答题，12分）用分析法证明：对于任意a 、b∈[-2，2]，都有|ab+4|≥2|a+b|．24.（问答题，12分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2（1+3sin 2θ）=4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+2y-4=0． （Ⅰ）若点M 为曲线C 1上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值；（Ⅱ）倾斜角为 π3 的曲线C 2过点P （-1，0），交曲线C 1于A ，B 两点，求 1|PA| + 1|PB| ．25.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=-1时，求f （x ）＜3x 的解集；（Ⅱ）g （x ）=x 2-2x+2+a 2，若对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．26.（问答题，12分）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据（x i ，y i ），i=1，2，3，4，5，…，10，x i 表示连续用药i 天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y 关于x 的两个回归模型： 模型 ① ：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： y ̂=2.50x −2.50 ；模型 ② ：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=blnx+a 的附近，令t=lnx ，则有 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ， ∑t i 10i=1y i =569.00 ， ∑t i 210i=1=50.92 ．（1）根据所给的统计量，求模型 ② 中y 关于x 的回归方程；（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．附：样本（t i i i i=1i ∑(t i −t)2ni=1 y t 相关指数 R 2=1−i2n i=1∑(y −y )2n ，参考数据：ln2≈0.6931．2021-2022学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析试题数：26，总分：1501.（单选题，5分）复数z满足（√3 +i）z=|1- √3 i|，其中i为虚数单位，则z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：D【解析】：结合复数模公式，先求出z，再结合复数的几何意义，即可求解．【解答】：解：∵（√3 +i）z=|1- √3 i|= √12+(−√3)2=2，∴ z=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√32−12i，∴z在复平面内所对应的点（√32，−12）在第四象限．故选：D．【点评】：本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．2.（单选题，5分）下面几种推理过程中属于类比推理的是（）A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B=180°B.科学家对比了火星和地球之间的某些相似特征，已知地球上有生命存在，所以猜测火星上也可能有生命存在C.由6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7，14=7+7，…，得出结论：一个偶数（大于4）可以写成两个质数的和D.在数列{a n}中，a1=1，a n= 12（a n-1+ 1a n−1）（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式【正确答案】：B【解析】：根据演绎推理、类比推理、归纳推理的定义即可求解．【解答】：解：A选项是演绎推理，B选项是类比推理，C选项是归纳推理，D选项是归纳推理，故选：B．【点评】：本题考查演绎推理、类比推理、归纳推理的定义，属基础题．3.（单选题，5分）如图所示的是一个结构图，在框① ② ③ 中应分别填入（）A.虚数，整数，分数B.复数，虚数，整数C.虚数，复数，纯虚数D.复数，虚数，纯虚数【正确答案】：D【解析】：根据复数包含实数和虚数，虚数包含纯虚数和非纯虚数，即可求解．【解答】：解：复数包含实数和虚数，虚数包含纯虚数和非纯虚数，故① 为复数，② 为虚数，③ 为纯虚数．故选：D．【点评】：本题主要考查结构图的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）已知x，y，z∈R，且a=x2+2y，b=y2+2z，c=z2+2x，则a，b，c三个数（）A.都小于-1B.至少有一个不小于-1C.都大于-1D.至少有一个不大于-1 【正确答案】：B【解析】：求出a+b+c 的范围，再结合选项判断即可．【解答】：解：a+b+c=x 2+y 2+z 2+2x+2y+2z =（x+1）2+（y+1）2+（z+1）2-3≥-3， ∴a ，b ，c 三个数中至少有一个不小于-1． 故选：B ．【点评】：本题考查不等式的性质，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题． 5.（单选题，5分）在同一平面直角坐标系中，由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，则对应的伸缩变换为（ ） A. {x′=12xy′=4yB. {x′=2xy′=14yC. {x′=2x y′=4yD. {x′=12x y′=14y【正确答案】：C【解析】：直接利用关系式的变换的应用求出结果．【解答】：解：设伸缩变换为 {x′=λxy′=μy （λ＞0，μ＞0），由曲线x 2+y 2=1得到曲线4x 2+y 2=16，即有 {4λ2=16μ2=16，故λ=2，μ=4． 故选：C ．【点评】：本题考查了圆变换为椭圆的伸缩变换，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 6.（单选题，0分）已知x ，y ，z∈R +，且x+y+z=30，则lgx+lgy+lgz 的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3D.4【正确答案】：C【解析】：由已知结合基本不等式及对数的运算性质即可求解．【解答】：解：因为x，y，z∈R+，且x+y+z=30，所以xyz ≤(x+y+z3)3=1000，当且仅当x=y=z=10时取等号，则lgx+lgy+lgz=lg（xyz）≤lg1000=3．故选：C．【点评】：本题主要考查了基本不等式及对数的运算性质在求解最值中的应用，属于基础题．7.（单选题，5分）下列四个命题：① 在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x唯一确定；② 若变量x，y满足关系y=-2x+1，且变量y与z正相关，则x与z也正相关；③ 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④ 样本点可能全部不在回归直线ŷ = b̂ x+ â上．其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及残差的定义，即可依次求解．【解答】：解：对于① ，在回归模型中，预报变量y的值不能由解释变量x确定，还受随机误差的影响，故① 正确，对于② ，变量x，y满足关系y=-2x+1，则y与x负相关，由变量y与z正相关，则x与z负相关，故② 错误，对于③ ，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合效果较好，模型拟合的精度越高，故③ 正确，对于④ ，样本中心恒在回归直线方程上，样本点可能全部不在回归直线ŷ = b̂ x+ â上，故④ 正确．故选：C．【点评】：本题主要考查线性回归方程的性质，以及残差的定义，属于基础题．8.（单选题，5分）已知i-1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，其中p，q∈R，则p+q=（）A.6B.8C.10D.12【正确答案】：B【解析】：结合实系数方程虚根成对独立，结合韦达定理，求解即可．【解答】：解：i-1是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，所以-i-1也是方程的根，可得- p2 =i-1-i-1=-2，所以p=4，q=（i-1）（-i-1）=2，可得q=4，2所以．p+q=8．故选：B．【点评】：本题考查实系数方程虚根成对独立的应用，是基础题．9.（单选题，5分）用模型y=me nx+2（m＞0）拟合一组数据时，设z=lny，将其变换后得到回归方程为ẑ=3x+2，则n-m=（）A.-1B.1C.-2D.2【正确答案】：D【解析】：对y=me nx+2两边取对数，再结合回归方程为ẑ=3x+2，即可求解【解答】：解：∵y=me nx+2，∴lny=nx+2+lnm，∵z=lny，ẑ=3x+2，∴n=3，2+lnm=2，解得m=1，∴n-m=3-1=2．故选：D．【点评】：本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．10.（单选题，5分）我们知道；在平面内，点（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式为，通过类比的方法，则在空间中，点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距d= |Ax0+By0+C|√A2+B2离为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：类比平面内点到直线的距离求解．【解答】：解：点（1，2，4）到平面2x+2y+z+2=0的距离为：=4，d=|2×1+2×2+4+2|√22+22+12故选：A．【点评】：本题考查了点到直线的距离计算，属于基础题．11.（单选题，5分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图1所示的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图2所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n行各数字的和为S n，如S1=1，S2=2，S4=4，⋯，则S32等于（）A.16B.32C.64D.128【正确答案】：B【解析】：由图分析得第2n-1-1行且n∈N *所有项均为奇数，判断S 32对应第31行是还存在n∈N *，使2n-1-1=31，由此能求出S 32．【解答】：解：由杨辉三角几何排列分析得： 第2n-1-1行且n∈N *所有项均为奇数，S 32对应第31行，令2n-1-1=31，可得n=6∈N *， 所有第31行数字均为奇数，∴S 32=32． 故选：B ．【点评】：本题考查简单的归纳推理、杨辉三角几何排列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.（单选题，5分）已知曲线 {x =cosαy =−1+√3sinα ，（α为参数）上任一点P （x 0，y 0），使得不等式a≤x 0+y 0成立，则实数a 的取值范围是（ ） A.（-∞，-3] B.[-3，+∞） C.[1，+∞） D.（-∞，1] 【正确答案】：A【解析】：设 {x 0=cosαy 0=−1+√3sinα ，利用三角恒等变换及正弦型函数的性质求x 0+y 0范围，根据恒成立求参数范围．【解答】：解：由题设，令 {x 0=cosαy 0=−1+√3sinα，则 x 0+y 0=cosα+√3sinα−1=2sin (α+π6)−1 ，所以x 0+y 0∈[-3，1]，又a≤x 0+y 0对任一点p （x 0，y 0）都成立，故a≤-3． 故选：A ．【点评】：本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的性质，属于中档题．13.（单选题，0分）若不等式|x-1|+| 4x+1|≤a有解，则实数a的取值范围是（）A.a≥4B.a＜4C.a≥2D.a＜2【正确答案】：A【解析】：令f（x）=|x-1|+| 4x+1|，问题转化为a≥f（x）能成立，通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值，即可得到a的范围．【解答】：解：不等式|x-1|+| 4x +1|≤a有解，即a≥|x-1|+| 4x+1|能成立，令f（x）=|x-1|+| 4x+1|，则a≥f（x）能成立，显然，x≠0，下面求f（x）的最小值．当x＜-4时，f（x）=1-x+ 4x +1=2-x+ 4x单调递减，此时，f（x）＞5．当-4≤x＜0，f（x）=1-x- 4x -1=-x- 4x≥2 √(−x)•(−4x) =4，当且仅当x=-2时，取等号，此时，f（x）最小值为4．当0＜x＜1时，f（x）=1-x+ 4x +1=2-x+ 4x单调递减，f（x）＞5．当x≥1时，f（x）=x-1+ 4x +1=x+ 4x≥2 √x•4x=4，当且仅x=2时，取等号，f（x）最小值为4．综上可得，f（x）最小值为4，∴a≥4，故选：A．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．14.（单选题，5分）计算器是如何计算sinx，cosx，πx，lnx，√x等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如sinx=x- x 33!+x55!−x77!+…，cosx=1- x22!+x44!−x66!+…，其中n!=1×2×3×…×n，英国数学家泰勒（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sinx和cosx的值也就越精确．运用上述思想，可得到sin（π2 +1）的近似值为（）A.0.50B.0.52C.0.54D.0.56【正确答案】：C【解析】：根据新定义，取x=1代入公式sin（π2 +1）= cosx=1−x22!+x44!−x66!+⋅⋅⋅中，直接计算取近似值即可．【解答】：解：由题意可得，sin（π2 +1）= cos1=1−122!+144!−166!+⋯=1−12+124−1720+⋯=1-0.5+0.041-0.001+…≈0.54，故选：C．【点评】：本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．15.（填空题，5分）复数1−i20221+i的共轭复数为 ___ ．【正确答案】：[1]1+i【解析】：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．【解答】：解：∵i2022=（i4）505•i2=-1，∴ 1−i20221+i = 21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，∴复数1−i20221+i的共轭复数为1+i．故答案为：1+i．【点评】：本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.（填空题，5分）用最小二乘法得到一组数据（x i，y i）（其中i=1、2、3、4、5）的线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，若∑5i=1 x i=25、∑5i=1 y i=65，则当x=10时，y的预报值为 ___ ．【正确答案】：[1]23【解析】：根据已知条件，求出x，y的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回归方程，再将x=10代入，即可求解．【解答】：解：x=15∑x i5i=1=15×25=5，y=15∑y i5i=1=15×65=13，∵线性回归方程为ŷ = b̂ x+3，∴13= 5b̂+3，解得b̂=2，∴线性回归方程为y=2x+3，∵当x=10时，y=2×10+3=23．故答案为：23．【点评】：本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．17.（填空题，5分）将正奇数数列1，3，5，7，9，…依次按两项，三项分组．得到分组序列如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19），…．称（1，3）为第1组，（5，7，9）为第2组，以此类推，则原数列中的2021位于分组序列中第 ___ 组．【正确答案】：[1]405【解析】：将2个括号作为一组，则每组中有5个数，先找出2019所在的位置，然后确定2021所在的位置．【解答】：解：由题意可知，将2个括号作为一组，则每组中有5个数，由于2019是第1010个奇数，在第1010÷5=202组中，是第2个括号内最后一个数，又每组2个括号，所以，2019是第202×2=404个括号内的数，而2021是第1011个奇数，所以在第405个括号内，即第405组．故答案为：405．【点评】：本题考查归纳推理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.（填空题，5分）已知a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，则a，b，c的大小关系是 ___ ．【正确答案】：[1]c＞b＞a【解析】：在同一坐标系中，作出函数y=lna，y=x+2ln2-4，y=1+x-e，y=x+ln2-2的图象求解．【解答】：解：a，b，c∈（0，1），且4+lna=a+2ln2，e+lnb=1+b，2+lnc=c+ln2，在同一坐标系中作出y=lna，y=x+2lnx-4，y=1+x-e，y=x+ln2-2的图象，如图，由图象知a，b，c的大小关系是c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．【点评】：本题考查三个数的大小的判断，考查函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.（问答题，10分）已知复数z=a+i（a＞0，a∈R），且z+ 2z∈R，其中i为虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形ABCD，复数z+z2，z+1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求点D对应的复数．【正确答案】：【解析】：（I）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实数的定义，即可求解．（II）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及平行四边形的性质，即可求解【解答】：解：（I）∵z=a+i，∴ z+2z =a+i+2a+i= a+i+2(a−i)(a+i)(a−i)= a+2aa2+1+(1−2a2+1)i∈R，∴ 1−2a2+1=0，解得a=±1，∵a＞0，∴a=1，∴z=1+i．（2）∵z 2=（1+i ）2=2i ，z+z 2=1+3i ，z+1=2+i ， ∴A （1，3），B （2，1），C （0，2）， 设D （x ，y ）， ∵ABCD 为平行四边形， ∴ AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设D （x ，y ），则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −1，y −3) ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，1) ， ∴ {x −1=−2y −3=1 ，解得x=-1，y=4，即D （-1，4）， 故点D 对应的复数为-1+4i ．【点评】：本题主要考查复数的运算法则，以及平行四边形的性质，属于中档题．20.（问答题，12分）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个智慧课堂项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试，经过一个阶段的试用，为了解智慧课堂对学生学习的促进情况该公司随机抽取了200名学生，对他们“任意角和弧度制”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如表：（Ⅰ）从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率；（Ⅱ）完成下面2×2列联表，并分析是否有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制”知识点与使用智慧课堂有关？【正确答案】：【解析】：（I ）根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解． （II ）结合独立性检验公式，即可求解．【解答】：解：（I ）在两所学校被调查的200名学生中，对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的学生有140人，所以估计从两校高一学生中随机抽取1人，该学生对“任意角和弧度制”知识点基本掌握的概率为 140200=0.7 ． （II ）2×2列联表如下：∵ K 2=100×100×140×60≈ 9.524＞6.635，∴有99%的把握认为基本掌握“任意角和弧度制“知识点与使用智慧课堂有关．【点评】：本题主要考查独立性检验公式，考查计算能力，属于基础题．21.（问答题，12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 {x =2+2cosθy =2sinθ （θ为参数），曲线C 2的方程为x+y-6=0，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（Ⅱ）若射线α= π4分别交C 1，C 2于A ，B 两点（点A 异于极点），求|AB|．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据参数方程，直角坐标方程及极坐标方程的转化关系，直接求解即可； （Ⅱ）利用参数的几何意义直接求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）曲线C 1的直角坐标方程为（x-2）2+y 2=4，……………………………（2分） 曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cosθ，……………………………（4分）曲线C 2的极坐标方程为：ρsinθ+ρcosθ=6，即 ρsin (θ+π4)=3√2 ；………（6分） （Ⅱ）由题意可知， |OA |=ρA =2√2，|OB |=3√2 ，……………………………（9分）∴ |AB|=|OB|−|OA|=ρB−ρA=√2．……………………………（12分）【点评】：本题考查参数方程，直角坐标方程及极坐标方程的互化，以及参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．22.（问答题，0分）已知函数f（x）=|x+1|-m，m∈R，且f（x）≤0的解集为[-2，0]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设a，b，c为正数，且a+2b+3c=m，求a2+b2+c2的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求解不等式f（x）≤0，结合f（x）≤0的解集为[-2，0]，可得关于m的方程组，则m值可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+2b+3c=1，再由柯西不等式求a2+b2+c2的最小值．【解答】：解：（Ⅰ）由f（x）=|x+1|-m≤0，得|x+1|≤m，∴ {m＞0−m−1≤x≤m−1，∵f（x）≤0的解集为[-2，0]，∴ {−m−1=−2m−1=0，解得m=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+2b+3c=1，由柯西不等式得（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+3c）2，∴ a2+b2+c2≥1212+22+32=114．当且仅当a=114，b= 214=17，c= 314时等号成立，∴a2+b2+c2的最小值为114．【点评】：本题考查函数的最值及其几何意义，考查柯西不等式的应用，是中档题．23.（问答题，12分）用分析法证明：对于任意a、b∈[-2，2]，都有|ab+4|≥2|a+b|．【正确答案】：【解析】：要证|ab+4|≥2|a+b|，即证（ab+4）2≥4（a+b ）2，再结合作差法和不等式的基本性质，即可求证．【解答】：证明：要证|ab+4|≥2|a+b|，即证（ab+4）2≥4（a+b ）2， ∵a ，b∈[-2，2]，∴0≤a+2≤4，-4≤a -2≤0，0≤b+2≤4，-4≤b -2≤0， ∵（ab+4）2-4（a+b ）2=（a 2b 2+8ab+16）-4（a 2+2ab+b 2） =a 2b 2+16-4a 2-4b 2=（a 2-4）（b 2-4）=（a-2）（a+2）（b-2）（b+2）≥0， 故|ab+4|≥2|a+b|，即得证【点评】：本题主要考查不等式的证明，掌握分析法和综合法是解本题的关键，属于中档题． 24.（问答题，12分）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2（1+3sin 2θ）=4．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x+2y-4=0． （Ⅰ）若点M 为曲线C 1上的动点，求点M 到直线l 的距离的最小值；（Ⅱ）倾斜角为 π3 的曲线C 2过点P （-1，0），交曲线C 1于A ，B 两点，求 1|PA| + 1|PB| ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出C 1的参数方程，设出点M 的坐标，利用点到直线的距离公式以及三角函数的性质求解即可；（Ⅱ）利用参数的几何意义直接求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）由 {x =ρcosθy =ρsinθ 得，曲线C 1的普通方程为x 2+4y 2=4，………………………（2分）可知曲线C 1的参数方程为 {x =2cosαy =sinα ，（α为参数）……………………………（3分）设点M 的坐标为（2cosα，sinα），…………………………（4分）所以点M 到直线l 的距离为 d =√5=|2√2sin(α+π4)−4|√5，……………………………（5分）当 sin (α+π4)=1 时， d min =√2√5=4√5−2√105， ∴点M 到直线l 的距离的最小值为 4√5−2√105；……………………………（6分）（Ⅱ）曲线C 2的参数方程为 {x =−1+12t y =√32t （t 为参数），……………………………（7分）代入曲线C 1得：13t 2-4t-12=0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则 t 1+t 2=413，t 1t 2=−1213，t 1，t 2异号，……………………………（9分）∴ 1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2| = √(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=2√103．………………（12分）【点评】：本题考查参数方程，普通方程以及极坐标方程的互化，考查点到直线的距离以及参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题． 25.（问答题，0分）已知函数f （x ）=|x+a|+|x+1|． （Ⅰ）当a=-1时，求f （x ）＜3x 的解集；（Ⅱ）g （x ）=x 2-2x+2+a 2，若对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）代入a 的值，将函数f （x ）化为分段函数的形式，然后再分类讨论解不等式即可；（Ⅱ）依题意，f （x ）min ≤g （x ）min ，求出函数f （x ）和g （x ）在定义域上的最小值，解不等式即可．【解答】：解：（Ⅰ）当a=-1时， f (x )={−2x ，x ＜−12，−1≤x ≤12x ，x ＞1，当x ＜-1时，-2x ＜3x ，解得x∈∅，……………………………（3分） 当-1≤x≤1时，2＜3x ，解得 23＜x ≤1，……………………………（4分） 当x ＞1时，2x ＜3x ，解得x ＞1，……………………………（5分）综上，原不等式的解集为 {x|x ＞23} ；．……………………………（5分） （Ⅱ）因为x∈R 时，f （x ）=|x+a|+|x+1|≥|x+a -x-1|=|a-1|，当且仅当（x+a ）（x+1）≤0时等号成立，即f （x ）min =|a-1|，……………………………（7分） 因为g （x ）=x 2-2x+2+a 2，所以 g (x )min =g (1)=a 2+1 ，……………………………（8分） 因为对∃x 1∈R ，∀x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）≤g （x 2）成立，等价于f （x ）min ≤g （x ）min ，所以|a-1|≤a 2+1，……………………………（10分） 因为a 2+1＞0，所以-a 2-1≤a -1≤a 2+1，解得a≤-1或a≥0，所以实数a 的取值范围为（-∞，-1]∪[0，+∞）．……………………………（12分）【点评】：本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．26.（问答题，12分）目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中．汕头某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系．刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据（x i ，y i ），i=1，2，3，4，5，…，10，x i 表示连续用药i 天，y i 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y 关于x 的两个回归模型： 模型 ① ：由最小二乘公式可求得y 与x 的线性回归方程： y ̂=2.50x −2.50 ；模型 ② ：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：y=blnx+a 的附近，令t=lnx ，则有 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ， ∑t i 10i=1y i =569.00 ， ∑t i 210i=1=50.92 ．（1）根据所给的统计量，求模型 ② 中y 关于x 的回归方程；（2）根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠．（3）根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）． 附：样本（t i i i i=1i ∑(t i −t)2ni=1 y t 相关指数 R 2=1−i 2n i=1∑(y −y )2n ，参考数据：ln2≈0.6931．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知条件，结合最小二乘法公式，即可求解． （2）通过比较二者的相关系数，即可求解．（3）分别求出连续用药30天后，连续用药15天后的y 值，再对二者作差，即可求解．【解答】：解：（1）由题意可知 ∑t i 10i=1=22.00 ， ∑y i 10i=1=230 ，可得 t =2.20 ， y =23 ， b ̂=∑(t i −t)ni=1(y i −y )∑(t i −t)2n i=1 = ∑t i ni=1y i −10t•y ∑t i 2n i=1−10t2 = 569−10×2.2×2350.92−10×2.2×2.2=25 ， 则 a ̂=y −b̂t =23−25×2.20=−32 ， 所以模型 ② 中y 关于x 的回归方程 y ̂=25lnx −32 ． （2）由表格中的数据，可得102.28＞36.19，即102.28∑(y i −y )10i=1236.19∑(y −y )210所以模型 ① 的R 2小于模型 ② ，说明回归模型 ② 刻画的拟合效果更好， （3）根据模型 ② ，当连续用药30天后， y ̂30=25ln30−32 ， 连续用药15天后， y ̂15=25ln15−32 ， ∵ y ̂30−y ̂15=25ln2=17.3275≈17.33 ，∴用药一个月后，疗效评价指标相对于用药半个月提高17.33．【点评】：本题主要考查线性回归方程的求解，考查转化能力，属于中档题．。