2020版高中数学 第三章 变化率与导数 阶段训练四(含解析)北师大版选修1 -1
北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)272．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2- 3．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．e C ．ln 2 D ．1 4．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ）A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+5．已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中错误的个数是（ ）①函数()f x 的值域与()g x 的值域相同；②若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点； ③把函数()f x 的图像向右平移2π个单位长度，就可以得到()g x 的图像； ④函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内都是增函数. A ．0B ．1C ．2D ．36．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-7．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C D ．68．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=9．已知函数()ln af x x x=+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．函数()2x af x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D ．()1-11．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ）A ．20072008 B ．20092010 C ．20082009D ．2010201112．在平面直角坐标系中，直线l 在两坐标轴上的截距互为相反数，且直线l 与曲线ln y x =相切，则直线l 的方程为（ ）A ．y ex =B ．y x e =-C ．1y x e =或y x e =- D ．1y x e=或1y x =- 二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________． 14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．已知函数()2e ,143,13x x f x x x x ⎧≤=⎨-+-<<⎩，若函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，则实数k 的取值范围是______.16．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.17．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③x y e =与1y x =+ ④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x = 18．设曲线1cosx y sinx +=在点π,12⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线x ay 10-+=平行，则实数a =______．19．若函数()xxf x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是___． 20．已知直线l 与曲线()sin f x x =切于点(,sin )A αα，且直线l 与曲线()sin f x x =交于点(,sin )B ββ ，若-αβπ=，则tan α的值为________.三、解答题21．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 22．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 23．已知函数()ln f x x =，e 是自然对数的底数.（Ⅰ）若过坐标原点O 作曲线()y f x =的切线l ，求切线l 的方程； （Ⅱ）当0a >时，不等式()()f x ax b b ≤+∈R 恒成立，求2b f a ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小值. 24．已知函数32()1f x x ax bx =++-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为81y x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()y f x =在区间()1,4-上的极值．25．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )． 26．已知函数2()ln ()f x tx x t =∈R ． （1）求()f x 在点(1, (1))f 处的切线方程． （2）若不等式1()ef x ≥恒成立，求实数t 的取值范围． （3）已知0a >，0b >，求证：22ln ln 1a b b a ->-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，转化为320001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32254g x x x x =-+，问题转化为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，则()20032000034112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得320001254t x x x +=-+有三个解， 令()32254g x x x x =-+，()()()261042132g x x x x x '=-+=--，当()0g x '>，得1x >或25x <，()0g x '<，得213x <<， 所以()g x 在2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 又228327g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得281127t <+<，即1027t <<. 故选：D 【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.2．B解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x xe x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =.因为()2x xf x e xe x'=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=， 所以()000210x x e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =， 两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.3．D解析：D 【解析】切线的斜率为1，令11,1y x x==='，故切点为()1,1，代入曲线方程得1a =. 4．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.5．B解析：B 【分析】求出函数f (x )的导函数g (x )，再分别判断f (x )、g (x )的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题即可一一做出判断，从而得到答案. 【详解】()sin cos 224f x x x x x x π⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，()sin +cos sin ++224g x x x x x x π⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ①，()4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，两函数的值域相同，都是[，故①正确；②，若0x 是函数()f x 的极值点，则042x k πππ-=+，k Z ∈，解得034x k ππ=+，k Z ∈，()03044g x k πππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，0x ∴也是函数()g x 的零点，故②正确； ③，把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，得sin cos cos sin ()222f x x x x x g x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故③错误；④，,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 也是单调增函数，故④正确. 综上所述，以上结论中错误的个数是1. 故选B. 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，正弦函数的单调性，以及三角函数图象的变换，熟练掌握公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属中档题.6．D解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.7．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为5d ==．∴线段||PQ ． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．8．A解析：A 【分析】求出导函数，求出切点坐标，则求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可． 【详解】由题意1()1x e f x x -=+，12()(1)x xe f x x -'=+， ∴f ′（1）＝14，又f （1）＝12，则切点为（1，12）， ∴所求的切线方程为：y ﹣12＝14（x ﹣1），化简得x ﹣4y +1＝0， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，关键是正确求导．9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x =-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．B解析：B 【分析】求出导数()f x '，设切点为00(,)x y ，写出切线方程，由切线过点(1,0)可得0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，由根的分布可求得a 的范围． 【详解】由题意22()x af x x -'=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为200020()x a y y x x x --=-， 切线过点(1,0)，则22000200(1)x a x a x x x +--=-，化简得20020x ax a +-=，由题意此关于0x 的方程的两根为,A B x x ，由0A B x x <<得0A B x x a =->，0a <，2440a a ∆=+>，0a >或1a <-，∴1a <-，记2000()2g x x ax a =+-，则(1)10g a =+<，所以1(,)A B x x ∈， ∵1是(,)A B x x 上的唯一整数，∴(0)0(2)430g a g a =->⎧⎨=+≥⎩，解得43a ≥-，∴413a -≤<-． 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题．解题方法是求出导数，设出切点坐标得出切线方程，由切线过点10（，）得出0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，问题转化为二次方程根的分布问题．11．B解析：B 【分析】求出()f x '，将1x =代入，得到切线斜率，从而得到b 的值，利用裂项相消求和，得到n S ，从而得到答案.【详解】因为函数2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，代入1x =，得切线斜率2k b =+， 因为切线l 与直线320x y -+=平行， 所以23b +=，得1b = 所以()2f x x x =+所以21111()1f n n n n n ==-++， 所以11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+ 111n =-+ 所以200912009120102010S =-=. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，根据切线斜率求参数的值，裂项相消法求和，属于中档题.12．D解析：D 【分析】采用分类讨论的方法，可得直线过原点与不过原点的直线方程，然后利用曲线在某点处的切线方程，简单判断，可得结果. 【详解】①当直线l 过原点时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠， 设切点坐标为()00,x y有00000ln 1y x y kx k x ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得0011x e y k e ⎧⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩， 此时直线l 的方程为1y x e=； ②当直线l 不过原点时，此时直线的斜率为1， 若切点为(),a b ，可得1a =，1b =-， 此时直线l 的方程为1y x =-； 由①②知直线l 的方程 为1y x e=或1y x =-. 故选：D 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的切线方程，属基础题.二、填空题13．【分析】求导求出切线斜率用点斜式写出直线方程化简即可【详解】曲线在点处的切线方程为即故答案为： 解析：20x y π+-=【分析】求导，求出切线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】cos 2sin ,22y x x f π''⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为22y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，即20x y π+-=． 故答案为：20x y π+-=14．【分析】对函数求导由可以求出切线的斜率进而求出切线方程然后求出切线与坐标轴的交点从而求出围成的三角形的面积【详解】对求导而所以曲线在处的切线斜率为1切线方程为切线与坐标轴的交点为（01）和（-10）解析：12【分析】对函数()f x 求导，由()'0f 可以求出切线的斜率，进而求出切线方程，然后求出切线与坐标轴的交点，从而求出围成的三角形的面积．【详解】对()2xf x e x =+求导，()'2xf x e x =+，()0'001f e =+=，而()0001f e =+=，所以曲线在()()0,0f 处的切线斜率为1，切线方程为1y x =+， 切线与坐标轴的交点为（0，1）和（-1，0）， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为111122S =⨯⨯=. 【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，属于基础题．15．【分析】函数有三个零点可知和的图象有三个交点进而作出图形结合图形分类讨论可求出答案【详解】令函数有三个零点则和的图象有三个交点当时且；当时；是过点的折线先考虑特殊情况若折线与在上存在相切设切点为由可解析：(e 0,61,2⎛⎤- ⎥⎝⎦【分析】函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，可知()f x 和1y k x =+的图象有三个交点，进而作出图形，结合图形分类讨论，可求出答案. 【详解】令()()()1,111,1k x x h x k x k x x -+<-⎧⎪=+=⎨+≥-⎪⎩， 函数()()1g x f x k x =-+有三个零点，则()f x 和()h x 的图象有三个交点， 当1x ≤时，()e xf x =，且()1e f =；当13x <<时，()()()24313f x x x x x =-+-=---；()h x 是过点1,0的折线.先考虑特殊情况，若折线与()f x 在(],1-∞上存在相切，设切点为()00,ex x ，由()e xf x '=，可得切线斜率为0e x ，则切线方程为()000e e xxy x x -=-， 因为切线过点1,0，所以()0000e e 1x x x -=--，解得00x =，即切点为0,1，切线斜率为1， 切线方程为1y x =+，此时1k =；若折线与()f x 在()1,3上相切，设切点为(),x y ''， 由图象可知()1,2x '∈，且01k <<， 令()2431x k x x =-++-，方程整理得()2403k x x k -++=+，则()()24430k k ∆=--+=，解得6k =±因为()f x 在()1,3上最大值为()2224231f =-+⨯-=，所以()101213k ->=--，即113k <<，计算可知6421+>，164213<-<，所以642k =-； ①当0k ≤时，()10h x k x =+≤，两个函数没有交点，不符合题意； ②当0642k <<-时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[]1,1-上没有交点，在()1,3上有2个交点，共有3个交点，符合题意； ③当6421k -≤≤时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[)1,3-上至多有1个交点，不符合题意； ④当()e 0e1112k -<≤=--，即e12k <≤时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[]1,1-上有2个交点，在()1,3上没有交点，共有3个交点，符合题意. ⑤当e2>k 时，()h x 与()f x 的图象在(),1-∞-上有1个交点， 在[)1,3-上只有一个交点，共有2个交点，不符合题意. 综上所述，实数k 的取值范围是()e 0,6421,2⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：(e 0,6421,2⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数取值范围，注意转化为函数图象交点问题，考查数形结合的数学思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属中档题.16．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2af x a x'=-， 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.17．①④⑤【分析】理解新定义的意义借助导数的几何意义逐一进行判断推理即可得到答案【详解】对于①所以是曲线在点处的切线画图可知曲线在点附近位于直线的两侧①正确；对于②因为所以不是曲线：在点处的切线②错误；解析：①④⑤ 【分析】理解新定义的意义，借助导数的几何意义逐一进行判断推理，即可得到答案． 【详解】对于①，203,|0x y x y =''==，所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线，画图可知曲线3:C y x =在点(0,0)P 附近位于直线l 的两侧，①正确；对于②，因为22(2),|0x y x y =-''=+=，所以:2l x =-不是曲线C ：2(2)y x =+在点()2,0P -处的切线，②错误；对于③，e x y '=,00|1x y e ='==，在(0,1)P 的切线为1y x =+，画图可知曲线C 在点(0,1)P 附近位于直线l 的同侧，③错误；对于④，0cos ,|1x y x y =''==，在点()0,0P 处的切线为:l y x =，画图可知曲线C ：sin y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，④正确；对于⑤，21cos y x '=，021|1cos 0x y ='==，在点()0,0P 处的切线为:l y x =，图可知曲线C ：tan y x =在点()0,0P 附近位于直线l 的两侧，⑤正确．【点睛】本题以新定义的形式对曲线在某点处的切线的几何意义进行全方位的考查，解题的关键是已知切线方程求出切点，并对初等函数的图像熟悉，属于中档题．18．【解析】【分析】对函数求导求得得到a 的方程求解即可【详解】切线与直线平行斜率为又所以切线斜率所以的斜率为即解得故答案为【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数熟记基本初等函数的求导公式准确计算是关键是基解析：1-【解析】 【分析】 对函数1cosx y sinx +=求导，求得πf 2⎛⎫⎪⎝⎭',得到a 的方程求解即可. 【详解】切线与直线x ay 10-+=平行，斜率为1a， 又21cosxy sin x--='， 所以切线斜率πk f'12⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以x ay 10-+=的斜率为1-， 即11a=-，解得a 1=-． 故答案为1-． 【点睛】本题考查根据切线的斜率求参数，熟记基本初等函数的求导公式，准确计算是关键，是基础题.19．ln2【解析】由题意可得是奇函数∴f′（0）=1﹣a=0∴a=1f （x ）=曲线y=f （x ）在（xy ）的一条切线的斜率是即解方程可得ex=2⇒x=ln2故答案为ln2 解析：ln 2【解析】由题意可得，()x xf x e ae -=-'是奇函数∴f ′（0）=1﹣a =0∴a =1，f （x ）=x x e e -+，()xxf x e e -'=-曲线y =f （x ）在（x ，y ）的一条切线的斜率是32，即32x xe e --= 解方程可得e x =2⇒x =ln 2 故答案为ln 2．20．【分析】由导数的几何意义求出切线方程代入点坐标由代入后可求得【详解】由题意∴直线的方程为又直线过∴由得∴整理得∴故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查同角间的三角函数关系与诱导公式解题时只要由解析：2π【分析】 由导数的几何意义求出切线方程，代入B 点坐标，由βαπ=-代入后可求得tan α． 【详解】由题意()cos f x x '=，∴直线l 的方程为sin cos ()y x ααα-=-，又直线l 过(,sin )B ββ，∴sin sin cos ()βααβα-=-，由得βαπ=-，∴sin()sin cos ()απααπ--=-，整理得2sin cos απα=，∴tan 2πα=．故答案为：2π． 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系与诱导公式．解题时只要由导数几何意义写出切线方程，代入已知条件即可求解．三、解答题21．（1）2()f x x x=-；（2）证明见解析，定值为4. 【分析】（1）由曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=，可得3(2)42(2)212b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎩'⎪，从而求出,a b 的值，进而可得()f x 的解析式； （2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，则可得点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可求出切线与直线0x =和直线y x =的交点坐标，进而可求出所求面积 【详解】（1）将点(2,(2))f 的坐标代入直线3240x y --=的方程得(2)1f =，()b f x ax x =-，则2()b f x a x '=+，直线3240x y --=的斜率为32， 于是3(2)42(2)212b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎩'⎪，解得12a b =⎧⎨=⎩，故2()f x x x =-；（2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，由（1）知2()f x x x=-， 22()1f x x'∴=+，又()0002f x x x =-，所以，曲线()y f x =在点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即200241y x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 令0x =，得04y x =-，从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 联立200241y xy x x x =⎧⎪⎛⎫⎨=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得02y x x ==， 从而切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x .所以，曲线()y f x =在点P 处的切线与直线0x =、y x =所围成的三角形的面积为0014242S x x =⋅-⋅=故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4. 【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题. 22．（1）1y x =-（2）见解析 【解析】试题分析：()1先求出其反函数，利用导数得出切线的斜率即可()2法一：等价函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数，由()00ϕ=，求导()1x x e x ϕ='--，再次求导()1x h x e '=-，判定出单调性，()x ϕ在R 上是单调递增故()x ϕ在R 上有唯一的零点 法二：等价于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数，当0x =时，两曲线有公共点，求导得函数单调性进行判定（Ⅰ）()f x 的反函数为()ln g x x =，设所求切线的斜率为k ． ∵()1g x x'=，∴()11k g ='=，于是在点（1，0）处的切线方程为1y x =-（Ⅱ）证法一：曲线()xf x e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于函数()2112x x e x x ϕ=---零点的个数∵()0110ϕ=-=，∴()x ϕ存在零点0x =…又()1xx e x ϕ='--，令()()1xh x x e x ϕ==--'，则()1xh x e '=-．当0x <时，()0h x '<，∴()x ϕ'在(),0-∞上单调递减； 当0x >时，()0h x '>，∴()x ϕ'在()0,+∞上单调递增，∴()x ϕ'在0x =处有唯一的极小值()00ϕ'= 即()x ϕ'在R 上的最小值为()00ϕ'=． ∴()0x ϕ'≥（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上是单调递增的，∴()x ϕ在R 上有唯一的零点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 证法二：∵0x e >，21102x x ++>， ∴曲线xy e =与曲线2112y x x =++公共点的个数等于曲线2112xx x y e ++=与1y =的公共点的个数设()2112xx x x e ϕ++=，则()01ϕ=，即当0x =时，两曲线有公共点． 又()()2221111220x x x xx e x x e x x e e ϕ⎛⎫+-++-⎪⎝⎭='=≤（当且仅当0x =时等号成立），∴()x ϕ在R 上单调递减，∴()x ϕ与1y =有唯一的公共点，故曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点 点睛：本题考查了运用导数求两函数交点问题，在解析中给了两种方法，一种构造新函数解决函数零点问题，另一种转化为函数与直线的交点个数问题，在计算过程中注意二阶导数的应用。
2020版高中数学 第三章 变化率与导数章末复习学案(含解析)北师大版选修1 -1
第三章 变化率与导数章末复习学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算．1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －fx 0Δx.(2)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率，在点P 处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 2．导函数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )，f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，通常也简称为导数． 3．导数公式表原函数导函数f (x )＝c (c 是常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α为实数)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln x f ′(x )＝1xf (x )＝tan x f ′(x )＝1cos 2x f (x )＝cot xf ′(x )＝－1sin 2x4．导数的四则运算法则 设两个函数f (x )，g (x )可导，则和的导数 [f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ) 差的导数 [f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ) 积的导数 [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x1．f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) 2．若y ＝3，则y ′＝12×3＝32.( × )3．因为(ln x )′＝1x，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝ln x ．( × )题型一 导数几何意义的应用例1 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程． 解 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π6，12处的切线斜率k ＝cos π6＝32， ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，即2x ＋3y －32－π3＝0. 反思感悟 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，由y 0－y 1x 0－x 1＝f ′(x 1)和y 1＝f (x 1)求出x 1，y 1的值，转化为第一种类型．跟踪训练1 设函数f (x )＝13x 3＋ax 2－9x －1(a >0)，直线l 是曲线y ＝f (x )的一条切线，当l的斜率最小时，直线l 与直线10x ＋y ＝6平行． (1)求a 的值；(2)求f (x )在x ＝3处的切线方程． 考点 切线方程求解及应用 题点 求曲线的切线方程解 (1)∵f ′(x )＝x 2＋2ax －9＝(x ＋a )2－a 2－9， ∴f ′(x )min ＝－a 2－9，由题意知－a 2－9＝－10，∴a ＝1或－1(舍去)． 故a ＝1. (2)由(1)得a ＝1. ∴f ′(x )＝x 2＋2x －9， 则k ＝f ′(3)＝6，f (3)＝－10.∴f (x )在x ＝3处的切线方程为y ＋10＝6(x －3)， 即6x －y －28＝0. 题型二 导数的计算 例2 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2－ln x ＋a x＋π； (2)y ＝33x 4＋4x 3； (3)y ＝cos x x2.考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的应用 解 (1)y ′＝(x 2－ln x ＋a x＋π)′ ＝(x 2)′－(ln x )′＋(a x)′＋π′ ＝2x －1x＋a xln a .(2)y ′＝(33x 4＋4x 3)′＝(33x 4)′＋(4x 3)′ ＝＋ ＝＋＝43x ＋6x . (3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosx x 2′ ＝cos x ′·x 2－cos x ·x2′x4＝－sin x ·x 2－cos x ·2xx 4＝－x sin x ＋2cos xx 3.反思感悟 有关导数的计算应注意以下两点(1)熟练掌握公式：熟练掌握简单函数的导数公式及函数的和、差、积、商的导数运算法则． (2)注意灵活化简：当函数式比较复杂时，要将函数形式进行化简，化简的原则是将函数拆分成简单函数的四则运算形式，由于在导数的四则运算公式中，和与差的求导法则较为简洁，因此化简时尽可能转化为和、差的形式，尽量少用积、商求导． 跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2－x x ＋5x －9x；(2)y ＝cos2x sin x ＋cos x .考点 导数的运算法则 题点 导数运算法则的应用 解 (1)∵y ＝－x ＋5－， ∴y ′＝－x ′＋5′－ ＝－1＋ ＝92x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1. (2)∵y ＝cos2xsin x ＋cos x＝cos 2x －sin 2x cos x ＋sin x ＝cos x －sin x ， ∴y ′＝(cos x －sin x )′＝(cos x )′－(sin x )′ ＝－sin x －cos x . 题型三 导数的综合应用例3 设函数f (x )＝a 2x 2(a >0)，若函数y ＝f (x )图像上的点到直线x －y －3＝0距离的最小值为2，求a 的值． 考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用解 因为f (x )＝a 2x 2，所以f ′(x )＝2a 2x ， 令f ′(x )＝2a 2x ＝1， 得x ＝12a 2，此时y ＝14a2， 则点⎝⎛⎭⎪⎫12a 2，14a 2到直线x －y －3＝0的距离为2，即2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12a 2－14a 2－32，解得a ＝12或510.反思感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用解 设P (x 0，y 0)，过点P 与AB 平行的直线为l ，如图．由于直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A ，B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，而P 点是抛物线的弧上的一点，因此点P 是抛物线上平行于直线AB 的切线的切点，由图知点P 在x 轴上方，y ＝x ，y ′＝12x ，由题意知k AB ＝12.∴k l ＝12x 0＝12，即x 0＝1，∴y 0＝1.∴P (1,1)．1．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在 答案 C解析 k ＝f ′(x 0)，所以f ′(x 0)不存在只说明曲线在该点处的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x ＝x 0. 2．已知函数f (x )＝x 22x，则f ′(2)等于( ) A ．16＋ln2 B ．16＋8ln2 C ．8＋16ln2D ．16＋16ln2考点 导数的乘法与除法法则 题点 利用导数的乘除法则求导 答案 D解析 ∵f ′(x )＝2x ·2x ＋x 2·2xln2，∴f ′(2)＝16＋16ln2. 3．设函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( ) A.193B.163C.133D.103 答案 D解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∵f ′(－1)＝4，∴3a －6＝4， ∴a ＝103.4．若直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝.考点 基本初等函数的导数公式 题点 与切线有关的问题 答案 ln2－1解析 设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln2，ln2＝12×2＋b ，∴b ＝ln2－1.5．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，求点A 的纵坐标．考点 导数的综合应用 题点 导数的综合应用解 由于P ，Q 为抛物线x 2＝2y ⎝⎛⎭⎪⎫即y ＝f x ＝12x 2上的点，且横坐标分别为4，－2，则P (4,8)，Q (－2,2)，从而在点P 处的切线斜率k ＝f ′(4)＝4.由点斜式，得曲线在点P 处的切线方程为y －8＝4(x －4)；同理，曲线在点Q 处的切线方程为y －2＝－2(x ＋2)；上述两方程联立，解得交点A 的纵坐标为－4.1．利用定义求函数的导数是逼近思想的应用． 2．导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率．3．对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测卷(包含答案解析)(4)
一、选择题1．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e2．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x⎧-+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大值为（ ） A ．1712-B ．29-C ．14-D ．03．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．设a R ∈，函数()xxf x e a e -=+⋅为奇函数，曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ） A ．20x y -= B ．20x y +=C ．40x y -=D ．40x y +=5．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-36．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=7．若32()25f x x x =+-，则(1)f '=( ) A ．3B ．8C ．8-D ．3-8．已知函数()ln 2f x x x =+，则其在1x =处的切线方程是（ ） A ．20x y -=B ．20x y +=C ．10x y -+=D ．10x y +-=9．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定10．若曲线y ＝x 3﹣2x 2+2在点A 处的切线方程为y ＝4x ﹣6，且点A 在直线mx +ny ﹣2＝0（其中m ＞0，n ＞0）上，则（ ） A ．m +7n ﹣1＝0 B ．m +n ﹣1＝0C ．m +13n ﹣3＝0D ．m +n ﹣1＝0或m +13n ﹣3＝011．设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f aa f -+<D ．不确定12．给出定义：若函数()f x 在D 上可导，即'()f x 存在，且导函数'()f x 在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数，记''()('())'f x f x =，若''()0f x <在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数．以下四个函数在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不是凸函数的是 （ ） A ．()sin cos f x x x =+ B ．()ln 2f x x x =- C ．3()21f x x x =-+-D ．()e x f x x -=-二、填空题13．已知函数32()(,)f x ax bx x a b =++∈R ，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =+，则(1)f '-=_________.14．若曲线()xf x xe =在点()01,P y 处的切线垂直于直线10x ay ++=，则a =______.15．设曲线()1*N n y xn +=∈在点()1,1处的切线与x 轴交点的横坐标为nx ，则20191201922019320192018log log log log x x x x ++++的值为________.16．若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．17．已知函数()1f x -的图像关于直线1x =对称，当0x ≤时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是________．18．函数()2ln 2f x x x x =-+过原点的切线方程为____________________．19．函数()1ln x f x ex -=+的图象在1x =处的切线方程为__________.20．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线方程为______________．三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程.22．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.（1）求实数,a m 的值；（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值.23．已知曲线32:32C y x x x =-+，直线:l y kx =，且直线l 与曲线C 相切于点()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点的坐标．24．已知曲线31433y x =+ （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程 25．函数()()1ln xf x e x a =---．（Ⅰ）若函数()f x 在点()2(2)f ，处的切线过点()1,0，求a 的值； （Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围．26．已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-（e 为自然对数的底数，a R ∈）. （1）判断曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数； （2）当1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若函数()()y f x g x =-有两个零点，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭，将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.2．B解析：B 【分析】由题意结合函数零点的概念可得(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx =与()11g x x=-相切时的斜率及经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时的斜率，即可得解.【详解】当01x <≤时，令()0f x =得x e e kx -=； 当13x <≤时，令()0f x =得1xkx x -=即11kx x-=， 设(),0111,13x e e x g x x x⎧-<≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，在同一坐标系中作出()y g x =与y kx =的图象，如图所示：函数()f x 有且仅有3个不同的零点等价于函数()y g x =的图象与y kx =的图象有且仅有3个不同的公共点， 当直线y kx =与()11g x x =-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为001,1A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 由()21g x x '=-可得此时直线y kx =的斜率()0201k g x x '==-， 所以0200111x x x -=-，解得02x =，14k =-； 当直线y kx =经过点23,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时22339k -==-. 所以实数k 的最大值为29-. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断 【详解】①()22ln 2x x '=，故①错误②()31log ln 3x x '=，故②正确 ③()xxe e '=，故③正确④()211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故④错误⑤()x x x x e e xe '⋅=+，故⑤错误故选：B 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.4．A解析：A 【分析】根据奇函数的定义先求得1a =-的值，再利用导数的几何意义求得切线方程. 【详解】因为函数()xxf x e a e -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x -=-对一切x ∈R 恒成立，所以x x x x e a e e a e --+⋅=--⋅对一切x ∈R 恒成立， 所以()()10xxe a e-++=对一切x ∈R 恒成立，所以10a +=，解得1a =-，所以()xxf x e e -=-，所以()'xxf x e e -=+.因为曲线()y f x =的一条切线的切点的纵坐标是0， 所以令()0xxf x e e-=-=，解得0x =.所以曲线()y f x =的这条切线的切点的坐标为()0,0， 切线的斜率为()'0002fe e -=+=.故曲线()y f x =的这条切线方程为()020y x -=-，即20x y -=. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐标.5．B解析：B 【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得ab的值. 【详解】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.6．A解析：A 【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。
新北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(含答案解析)
一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2B ．1C ．1ln 2-D ．1ln 2+3．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --5．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．320x y --= B ．350x y --= C ．20x y ++= D ．10x y ++=6．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-37．已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．588．函数()2x af x x+=，过()1,0作()f x 的两条切线，切点为A ，()0A B B x x <<，若在区间(),A B x x 中存在唯一的整数，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．4,13⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．()1,0-D．()1-9．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ） A ．20072008B ．20092010C ．20082009D ．2010201110．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞11．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数()f x 在R 上可导，()()2121f x x f x '=-+，则()22f a a -+与()1f 的大小关系是（ ）A ．()()221f a a f -+>B ．()()221f a a f -++C ．()()221f aa f -+<D ．不确定二、填空题13．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________． 14．已知f （x ）＝lnx ，g （x ）12=x 2+mx 72+（m ＜0），直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切，且与函数f （x ）的图象的切点为（1，f （1）），则m 的值为_____． 15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，则ab =______.16．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.17．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____.18．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b =___________． 19．已知函数f(x)＝e x －mx ＋1的图像是曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝ex 垂直的切线，则实数m 的取值范围是_________.20．已知函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若函数()0f x ax -=恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.三、解答题21．设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+．（1）求导函数()'f x ；（2）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+，求a ，b 的值．22．已知函数()(ln )xe f x a x x x=+-，a R ∈.（1）求曲线()y f x =在点()1(1)f ，处的切线方程； （2）若()0f x >在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数32()1f x x ax bx =++-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为81y x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()y f x =在区间()1,4-上的极值．24．已知函数()ln x f x ae b x =-在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)1y e x =-+． （1）求a ，b 的值； （2）求证：()2f x >． 25．已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.26．已知函数()x f x e =，1()ln 22g x x x =-+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【详解】 ∵，∴，∴，可知应该为奇函数，且当02t π<<时，故选B ．考点：利用导数研究函数的单调性.2．D解析：D 【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.3．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-， 故选：C ． 【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.4．C解析：C 【分析】由题意，依次求出1234(),(),(),()f x f x f x f x ，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可 【详解】由题意得，()0sin cos f x x x =+，()10'()cos sin f x f x x x ==-， ()21'()sin cos f x f x x x ==--，()32'()cos sin f x f x x x ==-+， ()43()sin cos f x f x x x ==+，以此类推，可得()4()n n f x f x +=， 所以()20200()sin cos f x f x x x ==+， 故选：C. 【点睛】此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题.5．A解析：A 【分析】 对函数求导，可得fx 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】 由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x'=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得ab的值. 【详解】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】根据切线方程计算1'(2)2f =，3(2)2f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=1'(2)2f ⇒=3(2)2f = ()()2'()()'()f x f x x f x h x h x x x -=⇒=()3112248h -'==- 故答案选C 【点睛】本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.8．B解析：B 【分析】求出导数()f x '，设切点为00(,)x y ，写出切线方程，由切线过点(1,0)可得0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，由根的分布可求得a 的范围． 【详解】由题意22()x af x x -'=，设切点为00(,)x y ，则切线方程为200020()x a y y x x x --=-， 切线过点(1,0)，则22000200(1)x a x a x x x +--=-，化简得20020x ax a +-=，由题意此关于0x 的方程的两根为,A B x x ，由0A B x x <<得0A B x x a =->，0a <，2440a a ∆=+>，0a >或1a <-，∴1a <-，记2000()2g x x ax a =+-，则(1)10g a =+<，所以1(,)A B x x ∈，∵1是(,)A B x x 上的唯一整数，∴(0)0(2)430g a g a =->⎧⎨=+≥⎩，解得43a ≥-，∴413a -≤<-．故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查方程根的分布问题．解题方法是求出导数，设出切点坐标得出切线方程，由切线过点10（，）得出0x 的方程，此方程的解就是,A B x x ，问题转化为二次方程根的分布问题．9．B解析：B 【分析】求出()f x '，将1x =代入，得到切线斜率，从而得到b 的值，利用裂项相消求和，得到n S ，从而得到答案.【详解】因为函数2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，代入1x =，得切线斜率2k b =+， 因为切线l 与直线320x y -+=平行， 所以23b +=，得1b = 所以()2f x x x =+所以21111()1f n n n n n ==-++， 所以11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+ 111n =-+ 所以200912009120102010S =-=. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，根据切线斜率求参数的值，裂项相消法求和，属于中档题.10．B解析：B 【分析】由题意可知，当0x ≤时显然方程有一个根，问题转化为当0x >时，12x e a x-+=有2个根，即1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解. 【详解】当0x ≤时，()20f x -=即为320x +-=， 即1x =-， 所以方程有1根，又方程()20f x -=恰有3个不同的根， 所以当0x >时，()20f x -=有2个根， 即1(2)x e a x -=-有2个根，所以1x y e -=与(2)y a x =-的图象有2个交点， 设过原点与1x y e -=相切的直线切点为010(,)x x e -， 则切线斜率0011000()0x x e k f x e x ---'===-， 解得01x =， 所以1k =，所以(2)y a x =-与1x y e -=有2个交点则需21a ->， 即1a <， 故选：B 【点睛】本题主要考查了函数与方程，由方程根的个数求参数，直线与曲线相切，属于中档题.11．C解析：C 【分析】 求导得到()1'sin 2f x x x =-，根据奇偶性排除BD ，特殊值计算排除A 得到答案. 【详解】()21cos 4f x x x =+，则()1'sin 2f x x x =-，则函数()'f x 为奇函数，排除BD ；()'02f ππ=>，排除A ；故选：C . 【点睛】本题考查了函数求导，函数图像的识别，意在考查学生对于函数知识的综合运用.12．A解析：A【分析】对()f x 求导，令1x =可求出()12f '=，从而可得到()2221f x x x =-+，然后利用二次函数的单调性可比较出()22f a a -+与()1f 的大小关系.【详解】由题意，()()212f x f x ''=-，则()()1212f f ''=-，可得()12f '=，则()2221f x x x =-+，由二次函数性质可知，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为2217121242a a a ⎛⎫-+=-+>> ⎪⎝⎭，所以()()221f a a f -+>，故答案为A.【点睛】本题考查了导数的计算，考查了函数单调性的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=， 所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.14．【分析】由题意g′（x ）＝x+m （m ＜0）从而可得直线l 的斜率为切点为（10）；从而求出直线方程联立令△＝0即可求出m 的值【详解】解：由题意故直线l 的斜率为切点为（10）；故直线l 的方程为y ＝x ﹣1【分析】 由题意，1'()f x x=，g ′（x ）＝x +m （m ＜0），从而可得直线l 的斜率为11k f '＝（）＝，切点为（1，0）；从而求出直线方程，联立令△＝0即可求出m 的值. 【详解】解：由题意，1'()f x x=， 故直线l 的斜率为11k f '＝（）＝， 切点为（1，0）；故直线l 的方程为y ＝x ﹣1； 即x ﹣y ﹣1＝0；由12x 2+mx 72+=y ，y ＝x ﹣1消y 得， x 2+2（m ﹣1）x +9＝0,故241490m ∆⨯=（﹣）﹣＝，解得，m ＝﹣2（m ＜0）； 故答案为：2-． 【点睛】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．15．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2【分析】由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)213f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.【详解】由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2af x a x'=-， 因为函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.16．③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定：①【分析】先根据平均变化率的定义，求得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，再分别计算各选项对应的平均变化率，即可求解． 【详解】根据平均变化率的计算公式，可得00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)0.3y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小， 下面逐项判定：①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2yx ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1y x=中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③． 【点睛】本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．2x ﹣y+2＝0【解析】【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得所求切线方程【详解】的导数为可得切线的斜率为即有曲线在处的切线方程为即故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程考查直解析：2x ﹣y +2＝0 【解析】 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】()2ln 2y x =+的导数为22y x '=+，可得切线的斜率为2k =， 即有曲线在()10-，处的切线方程为()21y x =+， 即220x y -+=，故答案为220x y -+=． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．18．【解析】本小题考查导数的几何意义切线的求法令得故切点为代入直线方程得所以解析：ln 21-【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．1y x'=，令112x =得2x =，故切点为(2,ln 2)，代入直线方程，得1ln 222b =⨯+，所以ln 21b =-．19．【分析】先求存在与直线垂直的切线即切线斜率为根据切线的斜率求再取的子集即可【详解】若曲线上存在与直线垂直的切线则对任意的使故所求的取值范围是【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜解析：1(,]e-∞ 【分析】先求存在与直线y ex ＝垂直的切线,即切线斜率为－，根据切线的斜率求m ,再取m 的子集即可. 【详解】()e x f x m '＝－，若曲线C 上存在与直线y ex ＝垂直的切线，则对任意的x ，使e xm －＝－ 1e ，e x m ＝＋ 1e ＞ 1e ，故所求m 的取值范围是1,e ⎛⎤-∞⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查曲线在某个点处的导数与曲线在这个点处切线斜率的关系.求解中运用了正难则反的补集思想，这是本题解题的突破口.20．【分析】画出的图像再分析与的交点个数即可【详解】画出函数的图像如图所示：先求与相切时的情况由图可得此时设切点为则解得此时斜率又当时与平行也为临界条件故故答案为：【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数解析：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】画出()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图像,再分析()f x 与y ax =的交点个数即可. 【详解】画出函数()f x 的图像,如图所示：先求y ax =与ln y x =相切时的情况,由图可得此时ln y x =,1'y x=设切点为()00,ln x x ,则001ln ax x ax⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得0x e =, 1a e =. 此时x y e =.斜率113e >.又当13a =时13y x =与11,03x x +≤平行也为临界条件.故11,3a e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故答案为：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据题意画出图像,再分析临界条件分析.属于中档题.三、解答题21．（1）()f x '=112ln ---++x x x xae be x beae x x x；（2）1a =，2b =． 【分析】（1）根据导数的运算法则求导；（2）求出(1)f '，由(1)e f ，(1)2f =可求得,a b ．【详解】（1）由1e ()e ln x xb f x a x x-=+，得()1()ln x xbe f x ae x x -'⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭'112ln x x x xae be x be ae x x x---=++． （2）由题意得，切点既在曲线()y f x =上，又在切线(1)2y e x =-+上，将1x =代入切线方程，得2y =， 将1x =代入函数()y f x =，得(1)f b =， 所以2b =．将1x =代入导函数()'f x 中 得(1)f ae e =='， 所以1a =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的运算法则，考查导数的几何意义．函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 的切线方程，则切点坐标为11(,)x y ，写出切线方程111()()y y f x x x '---，代入00(,)x y 求出11,x y 即可得切线方程．22．（1）y e a =+ （2）a e ≥- 【分析】（1）先求出(1)f 与'(1)f ，再利用点斜式即可得到答案.（2）函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，等价于函数()y f x =的最小值大于或等于0，在求()y f x =的最小值时需分0a ≥，0a <两种情况讨论即可. 【详解】解：（Ⅰ）当1x =时，(1)+f e a =，因为'22(1)1(+)(1)()()=x x e x x e ax x f x a x x x---=+， 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y e a =+．（2）函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，等价于函数()y f x =的最小值大于或等于0.'22(1)1(+)(1)()()=x x e x x e ax x f x a x x x---=+， 因为1≥x 所以10x -≥， 20x >. ①当0a ≥时，显然+0x e ax >，'22(1)1(+)(1)()()=0x x e x x e ax x f x a x x x---=+≥ 函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+f e a =， 显然+0e a ≥，所以0a ≥符合条件.②当0a <时，令()+x h x e ax =，'()+x h x e a =解得=ln()x a -，若ln()1a -≤即0e a -≤<时，'(1)+0h e a =≥ 当1≥x 时，'()+0x h x e a =≥函数()y h x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+0h e a =≥， 当1≥x 时，显然+0x e ax ≥.函数()y f x =在[1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，有最小值(1)+f e a =， 依题意有+0e a ≥，所以0e a -≤<符合条件.若ln()1a ->即a e <-时，显然(1)+0f e a =<，不符合. 综上，若函数()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，则a e ≥-. 【点睛】本题考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常构造函数，转化为最值来处理.23．（1）()32431f x x x x =---（2）极小值为()319f =-,极大值为113327f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出()1f '，由切线斜率为()1f '，得到等式()18f '=-①，再将1x =代入切线方程，得出切点坐标，并将切点坐标代入函数()y f x =的解析式，得到等式②，将等式①②联立求出a 与b 的值，于此可得出函数()y f x =的解析式；（2）对函数()y f x =求导，求出该函数的极值点，分析函数()y f x =在区间()1,4-上的单调性，便可求出该函数在区间()1,4-上的极值。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(包含答案解析)(4)
一、选择题1．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( ) A ．(0,1) B ．(0,0) C ．(1,1)D ．(－2，－1)2．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++（t 的单位:s ,v 的单位:/m s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）A ．125ln5+B ．11825ln3+ C ．425ln5+ D ．450ln 2+3．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C D ．64．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值D ．既无最大值也无最小值5．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数()3237f x x ax x =+-+（a ∈R ），当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()0,x f x 和点()()02,2x f x --处的切线总是平行，若曲线()y f x =与直线2y mx m =-+（m ∈R ）交于不同的三点()11,x y ，()22,x y ，()33,x y ，则()31iii x y =+=∑（ ）A ．0B ．3C ．6D ．97．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－18．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞9．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++=10．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x = B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+11．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45-12．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-4B ．-1C ．1D ．4二、填空题13．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2ln y x x=-在1x =处切线的斜率，且2a b ==，则sin B =__________．14．已知函数()()f x xg x =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是10x y --=，则曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程是_________.15．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 16．若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．17．直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(2,2)A ，则2a b -+=_________. 18．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=中,平均变化率最大的是__________.19．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数)20．已知函数(),()xf x eg x kx ==：① 函数()f x 的单调递减区间为(,0)-∞；② 若函数()()()F x f x g x =-有且只有一个零点，则1k =±；③ 若(1,)(,)k e e ∈+∞，则b R ∃∈，使得函数()0f x b -=恰有2个零点1x ，2x ，()0g x b -=恰有一个零点3x ，且123x x x ≠≠，1231x x x ++=.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题21．已知函数21()ln 22f x ax x =--. （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若0a >，求函数()f x 的单调区间. 22．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.23．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围． 24．设函数()()224ln ,R.f x x ax x a =-∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若对任意[)()21,,0x f x x a ∈+∞+->恒成立,求实数a 的取值范围.25．函数()()1ln xf x e x a =---．（Ⅰ）若函数()f x 在点()2(2)f ，处的切线过点()1,0，求a 的值； （Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围． 26．已知函数()2e 2xf x ax x x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】3y x =的导数为23y x '=，设切点为3(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，切线的方程为323y m m x m -=-（）， 若(0,0)P ，则3230)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；若(01)P ，，则32130)(m m m -=-，可得312m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32131m m m -=-（），可得322310m m -+=， 即为2(1)20(1)m m -+=，解得1m =或12-，有两解； 若(2,1)P --，则32132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，由322()261()612f m m m f m m m '=-=++，，当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．2．C解析：C 【详解】 试题分析：令得，故44203()725ln(1)425ln 52t s v t dt t t ⎡⎤==-++=+⎢⎥⎣⎦⎰，故选C考点：定积分的几何意义3．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为2260652(1)d -==+-∴线段||PQ 的最小值为655． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．4．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.5．B【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断 【详解】①()22ln 2x x '=，故①错误②()31log ln 3x x '=，故②正确 ③()xxe e '=，故③正确④()211ln ln x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故④错误 ⑤()x x x x e e xe '⋅=+，故⑤错误故选：B 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.6．D解析：D 【分析】求得()f x 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得3a =-，计算()()114f x f x -++=，可得()f x 关于点()1,2对称，考虑直线恒过()1,2，即可得到所求和. 【详解】函数()3237f x x ax x =+-+的导数为()2323f x x ax =+-'，当01x ≠时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 和点()()002,2x f x --处的切线总是平行，可得()()22000032332223x ax x a x +-=-+--，化简可得()()003442220x a x -+-=，解得3a =-， 可得()32337f x x x x =--+，由()()()()()()()()3232111313171313174f x f x x x x x x x -++=-----+++-+-++=可得函数()y f x =的图象关于点()1,2对称，又直线2y mx m =-+()m ∈R 恒过定点()1,2，可得另外两点关于()1,2对称， 则()3112249iii x y =+=+++=∑【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，考查函数与方程思想，属于中等题型.7．C解析：C 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-. 8．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e'-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．9．A解析：A 【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。
高中数学第三章变化率与导数测评含解析北师大版选修1_10416232.doc
第三章变化率与导数测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于()A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.4+2(Δx)2解析:=4+2Δx.答案:C2.若f'(x0)=-3,则=()A.-3B.-12C.-9D.-6解析:法一(注重导数概念的应用的解法):因为f'(x0)==-3,所以===+3=f'(x0)+3f'(x0)=4f'(x0)=-12,故选B.法二(注重导数定义中各变量的联系的解法):因为f'(x0)==-3,所以=4=4f'(x0)=-12,故选B.答案:B3.数列{c n}为等比数列,其中c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c2)…(x-c8),f'(x)为函数f(x)的导函数,则f'(0)=()A.0B.26C.29D.212解析:∵c1=2,c8=4,∴c1c2…c8=84=212,f'(x)=(x-c1)(x-c2)…(x-c8)+x[(x-c1)(x-c2)…(x-c8)]',则f'(0)=c1c2…c8=212.答案:D4.已知函数f(x)的导函数f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln x,则f'(1)=()A.-eB.-1C.1D.e解析:∵f(x)=2xf'(1)+ln x,∴f'(x)=[2xf'(1)]'+(ln x)'=2f'(1)+,∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.答案:B5.函数f(x)=e x cos x的图像在点(3,f(3))处的切线的倾斜角为()A. B.0 C.钝角 D.锐角解析:∵f'(x)=e x cos x-e x sin x=e x(cos x-sin x)=e x cos,∴f'(3)=e3cos,又∵cos<0,∴f'(3)<0,∴切线的倾斜角为钝角.答案:C6.曲线y=在点(1,-1)处的切线方程为()A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析:因为y'=,所以切线斜率k==-2,于是切线方程为y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.答案:A7.若函数f(x)满足f(x)=x3-f'(1)·x2-x,则f'(1)的值为()A.0B.2C.1D.-1解析:f'(x)=x2-2f'(1)x-1,所以f'(1)=1-2f'(1)-1,则f'(1)=0.答案:A8.函数y=ln x在x=e2处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B.e2C.2e2D.e2解析:y'=,∴在x=e2处的切线斜率为k=,∴切线方程为y-2=(x-e2).令x=0,得y=1.令y=0,得x=-e2,∴所求三角形的面积为×1×e2=e2.答案:B9.已知函数f(x)=x-x2,若该函数图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角是图像在点的切线的倾斜角的两倍,则x0的值等于()A.3B.-3C.0D.解析:f'(x)=x,所以图像在点的切线的斜率k=,因此倾斜角为60°,从而图像在点(x0,y0)处的切线的倾斜角应为120°,斜率为-,于是x0=-,解得x0=3.答案:A10.函数y=(3x2+x+1)(2x+3)的导数是()A.(6x+1)(2x+3)B.2(6x+1)C.2(3x2+x+1)D.18x2+22x+5解析:∵y=(3x2+x+1)(2x+3)=6x3+11x2+5x+3,∴y'=18x2+22x+5.答案:D11.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线与圆x2+y2=50的位置关系为()A.相切B.相交但不过圆心C.过圆心D.相离解析:∵f(x)=x3+4x+5,∴f'(x)=3x2+4,∴f'(1)=7.当x=1时,f(1)=10,∴切线方程为y-10=7(x-1),即7x-y+3=0,∴圆心到切线的距离为d=,∴切线与圆相交但不过圆心.答案:B12.已知f'(x0)=,f(3)=2,f'(3)=-2,则的值是()A.4B.6C.8D.不存在解析:==-3=-3f'(3)+=-3f'(3)+2=8.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2017全国Ⅰ高考)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.解析:设y=f(x),则f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.答案:y=x+114.(2017天津高考)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图像在点(1,f(1))处的切线为l,则l 在y轴上的截距为.解析:∵f(x)=ax-ln x,∴f'(x)=a-,f'(1)=a-1,f(1)=a,则切线l方程为y-a=(a-1)(x-1), 即y=(a-1)x+1,则l在y轴上的截距为1.答案:115.(2016天津高考)已知函数f(x)=(2x+1)e x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(0)的值为.解析:∵f'(x)=(2x+3)e x,∴f'(0)=3.答案:316.若曲线f(x)=x-2在点(a,a-2)(a>0)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为3,则lo a= .解析:求导得f'(x)=-2x-3,所以在点(a,a-2)处的切线方程为y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=.所以切线与两条坐标轴围成的三角形的面积S=×3a-2×a=3,解得a=,∴lo a=2.答案:2三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)17.(本小题满分10分)设t≠0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图像的一个公共点,两函数的图像在点P处有相同的切线.试用t表示a,b,c.解因为函数f(x),g(x)的图像都过点(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因为t≠0,所以a=-t2.g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因为f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线,所以f'(t)=g'(t).而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.将a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.18.(本小题满分12分)设函数f(x)=x m+ax的导函数为f'(x)=2x+1,求数列(n∈N+)的前n 项和S n.解∵f'(x)=mx m-1+a=2x+1,∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x,∴,∴S n=1-+…+=1-.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图像在x=1处的切线方程为y=-12x,求f(x)的解析式.解f'(x)=12x2+2ax+b,∵y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-12x,∴f'(1)=-12,f(1)=-12,∴解得a=-3,b=-18,∴f(x)=4x3-3x2-18x+5.20.导学号01844039(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,d∈R)满足f(0)=0,f'(1)=0,且f'(x)≥0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值.(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f'(x)+h(x)<0.解(1)f'(x)=ax2-x+c,∵f(0)=0,f'(1)=0,∴从而f'(x)=ax2-x+-a.∵f'(x)≥0在R上恒成立,∴∴解得a=,c=,d=0.(2)由(1)知,f'(x)=x2-x+,∵h(x)=x2-bx+,∴不等式f'(x)+h(x)<0化为x2-x+x2-bx+<0,即x2-x+<0,∴(x-b)<0,①若b>,则所求不等式的解集为;②若b=,则所求不等式的解集为⌀;③若b<,则所求不等式的解集为.综上所述,当b>时,所求不等式的解集为;当b=时,所求不等式的解集为⌀;当b<时,所求不等式的解集为.21.导学号01844040(本小题满分12分)函数f(x)=-a,x∈(0,+∞),a>0.设0<x1<,曲线y=f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为l.(1)求l的方程.(2)设l与x轴交点是(x2,0),求证:①0<x2≤;②若x1<,则x1<x2≤.(1)解∵f(x)=-a,x∈(0,+∞),∴f'(x)=-.∵切线l过点M(x1,f(x1)),其中0<x1<,∴切线l的方程为y=-(x-x1)+-a,即y=--a.(2)证明①∵(x2,0)是l与x轴的交点,∴--a=0,∴x2=x1(2-ax1).∵0<x1<,∴2>2-ax1>0,∴0<x1(2-ax1)=a-a,当且仅当x1=时取等号,∴0<x2≤.②∵0<x1<,∴1<2-ax1<2.由①知x2≤,且x2=x1(2-ax1),∴x1<x2≤.22.导学号01844041(本小题满分12分)设函数f(x)=ax-,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.解(1)方程7x-4y-12=0可化为y=x-3.当x=2时,y=.又f'(x)=a+,于是解得a=1,b=3,故f(x)=x-.(2)设P(x0,y0)为曲线上任一点.∵f'(x0)=1+,∴在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(x-x0),即y-(x-x0),令x=0,得y=-,∴切线与直线x=0的交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,∴切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0),∴点P(x0,y0)处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为·|2x0|=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．直线2y x m =+与函数()2ln 3xf x xe x =-+的图象相切于点()00A x y ，，则00ln x x +=（ ）A ．2B ．ln 2C ．2eD ．ln 2-2．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念.在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设()f x '是函数()f x 的导函数，若()0f x '>，且对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则下列选项正确的是（ ） A ．()()()π2f f e f << B ．()()()2πf f e f '''<< C ．()()()()1212f f f f <-'<'D ．()()()()2211f f f f ''<-<3．若曲线3222y x x =-+在点A 处的切线方程为46y x =-，且点A 在直线10mx ny +-=（其中0m >，0n >）上，则12m n+的最小值为（ ）A ．B ．3+C ．6+D ．4．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+5．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．若过点(1,)P n 可作两条不同直线与曲线()2212y x x x -+=≤≤相切，则n （ ） A ．既有最大值又有最小值 B ．有最大值无最小值 C ．有最小值无最大值 D ．既无最大值也无最小值7．设点P 是曲线313y x =+， (11)x -<<上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ） A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．50,,26πππ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．20,,23πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ） A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线 B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立 C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点 D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点9．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ） A ．20072008B ．20092010C ．20082009D ．2010201110．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5311．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或4二、填空题13．设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线10x y --=的最小距离为__________．14．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___． 15．函数1y x =-在1-22⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线方程是____________________ 16．已知P 为函数ln y x =图象上任意一点，点Q 为圆()22211x y e +--=上任意一点，则线段PQ 长度的最小值为___．17．对于三次函数32()f x ax bx cx d =+++(,,,,0)a b c d R a ∈≠有如下定义：设()'f x 是函数()f x 的导函数，()''fx 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”.若点()1,3-是函数32()5(,)g x x ax bx a b R =-+-∈的“拐点”，也是函数()g x 图像上的点，则函数()211sin cos 32h x a x b x =+的最大值是__________．18．若函数()()3'2211f x x f x =++，则f(-1)=____.19．设函数()()2f xg x x =+，曲线()y g x =在点1,1g 处的切线方程为910x y +-=，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为_______.20．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数()()()32231610f x x m x mx m m R =---+∈.（1）若0m =，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若0m >，且当[]13,x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围. 22．已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P -处的切线方程是13320x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）如果曲线()y f x =的某一切线与直线l ：134=-+y x 垂直，求切点坐标与切线的方程.23．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值.24．函数()1xf x x0x <（），令1()=()f x f x ，*1()=(())n n f x f f x n N +∈． （1）求23()()f x f x ，并猜想()n f x 的表达式（不需要证明）；（2）()()n g x f x =与250x y n --=相切，求n 的值． 25．已知函数()x f x e ax =-．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）当12x ≥时，设21()12g x x =+，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．26．已知函数31()43f x x x a =-++.（1）当4a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）当函数()f x 只有一个零点时，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由切线的斜率计算两次可得000022x x e x e x +-=，再对等式变形，两边取对数，即可得答案； 【详解】由已知，00x >且()0'2f x =. 因为()2xxf x e xe x '=+-，所以000022x x e x e x +-=，即()()00002110x x x e x ++-=，所以()000210xx e x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以0020x e x -=，即002x e x =，两边同时取自然对数得00ln 2ln x x =-， 整理的00ln ln 2x x +=， 故选：B. 【点睛】曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点()00A x y ，是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.2．D解析：D 【分析】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，并且由()f x 的图象是向上凸，进而判断选项. 【详解】由()0f x '>，得()f x 在R 上单调递增，因为2e π>>，所以()()()2f f e f π>>，故A 不正确；对1x ∀，2x R ∈，且12x x ≠，总有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由()f x '表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知， 随着x 的增大，()f x 的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小， 所以()()()2f f e f π'''<<，故B 不正确；()()()()212121AB f f f f k --==-，表示点()()1,1f 与点()()22f ,连线的斜率，由图可知()()21AB f k f ''<<，所以D 正确，C 不正确. 故选：D . 【点睛】本题考查以数学文化为背景，导数的几何意义，根据函数的单调性比较函数值的大小，属3．C解析：C 【分析】设点A 的横坐标为t ，利用切线斜率求得t 的值，可求得点A 的坐标为()2,2，可得出221m n +=，将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后利用基本不等式可求得12m n+的最小值. 【详解】设点A 的横坐标为t ，对函数3222y x x =-+求导得234y x x '=-， 由题意可得2344t t -=，即23440t t --=，解得2t =或23t =-. ①若2t =，则点A 的坐标为()2,2，此时点A 在直线46y x =-上，合乎题意；②若23t =-，则点A 的坐标为222,327⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时点A 不在直线46y x =-上，不合乎题意.所以，点A 的坐标为()2,2，由于点A 在直线10mx ny +-=，可得221m n +=，0m >，0n >，()12124222666m n m n m n m n n m ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当n =时，等号成立，因此，12m n+的最小值为6+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用曲线的切线方程求切点坐标，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】求出函数()g x 的解析式，计算()g π的值即可. 【详解】由题意设()sin cos g x x x x c =-+，则()cos cos sin sin g x x x x x x x '=-+=，符合题意 故102g c π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，解得：1c =-， 故()sin cos 1g x x x x =--，()sin cos 11g πππππ=--=-，【点睛】本题考查了导数的运算法则以及导数 的计算，属于中档题.5．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6．C解析：C 【分析】数形结合分析临界条件再判断即可. 【详解】对()2212y x x x -+=≤≤求导有'22y x =+()12x -≤≤,当2x =时'6y =,此时切线方程为()()22226264y x y x -+⨯=-⇒=-,此时642n =-=.此时刚好能够作出两条切线,为临界条件,画出图像有：又当1x =时 3y =为另一临界条件,故[)2,3n ∈.故n 有最小值无最大值. 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要数形结合分析临界条件进行求解.属于中档题.7．A解析：A 【分析】求函数的导数，设出切点(,)P m n ，可得切线的斜率，由定义域得斜率的范围，由正切函数的性质，即可得到所求范围． 【详解】3331y x x =-+，(11)x -<<的导数为233y x '=- 设(,)P m n ，可得切线的斜率为2tan 33k m α=-(1m 1)-<< 即有3tan 0α-<， 可得2[3πα∈，)π． 故选：A ． 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查直线的倾斜角的范围的求法，正确求导和运用导数的几何意义是解题的关键，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 【分析】根据导数与切线，函数的关系求解. 【详解】因为()2f x x '=，(1)2f '=，1()g x x'=，(1)1g '=， 所以(),()f x g x 在点(1,0)处的切线不同。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．若()f x lnx =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共切线，则a =（） A ．1 B ．2 C ．3D ．3或1- 2．曲线e cos ax y x 在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．若直线l 与曲线y x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +125．已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()x y f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e6．下列函数求导：①()222log x x e '=；②()31log ln 3x x '=；③()x x e e '=；④1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑤()1x x x e e '⋅=+；运算正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135°B ．135°C ．45°D ．45- 8．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或eB ．1或eC ．0或1D ．e9．已知函数()sin f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，令1sin 2A α=，212B αα+=，则（ ）A ．AB > B ．A B <C ．A B =D ．A 与B 的大小不确定10．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-4B ．-1C ．1D ．411．已知函数()f x 的导函数为()()()2,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ）A ．92B ．94C ．174D ．17812．已知函数()f x 在R 上可导，且2()=2(1)f x x xf +'，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．2()4f x x x =- B ．2()4f x x x =+ C ．2()2f x x x =-D ．2()2f x x x =+二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．已知曲线2()x f x e x =+,则曲线在(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的图形面积为_______.15．直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点(2,2)A ，则2a b -+=_________. 16．已知函数3()2ln f x x x =+，若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线经过圆22:()2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．17．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____. 18．若00x 03)()lim1(xx f x f x ∆→+∆-=∆，则0()f x '=________.19．曲线()4ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.20．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．已知函数()ln f x x x a =+在0x x =处的切线方程为2y x e =-. （1）求实数a 及0x 的值; （2）若1()()kg x f x x x x=--有两个极值点,求实数k 的取值范围. 22．记()()f x g x ''，分别为函数()()f x g x ，的导函数.若存在0x R ∈，满足()()00f x g x ''=，且()()00f x g x =，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“公共切点”.（1）若()23f x x x =+-，()3221g x x x x =-++，求()f x 与()g x 的“公共切点”；（2）若函数()21f x ax =-与()ln g x x =存在“公共切点”，求实数a 的值；23．设函数()()32xf x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围.24．已知函数32()1f x x ax bx =++-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为81y x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()y f x =在区间()1,4-上的极值．25．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于点P 的直线方程y ＝g (x )．26．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。
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阶段训练四(范围：§1～§4)一、选择题1．某物体的运动方程为s ＝3＋t 2，则在t ∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为( ) A ．4.11B ．4.01C ．4.0D ．4.1 考点 题点 答案 D解析 根据题意可得平均速度 v ＝Δs Δt ＝3＋2.12－3＋220.1＝4.1.2．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2＋ΔxC ．2＋(Δx )2D ．2x考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B 解析 Δy Δx＝[1＋Δx 2＋1]－2Δx＝2＋Δx .3．已知f (x )＝ln xx，则f ′(x )等于( )A.1x2B.1x－1C ．1－ln xD.1－ln x x2考点 导数的运算法则 题点 导数除法法则及运算 答案 D解析 f ′(x )＝ln x′·x －ln x ·x ′x 2＝1x·x －ln xx 2＝1－ln xx2，故选D. 4．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图像如图所示，设f 2－f 12－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 B解析 由图像可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大．∵f 2－f 12－1＝a ，∴f ′(1)<a <f ′(2)．5．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4B ．－4C ．5D ．－5 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 等于( ) A.1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1考点 基本初等函数的导数公式 题点 常数、幂函数的导数答案 B解析 由y ＝x n ＋1得y ′＝(n ＋1)x n ， ∴在x ＝1处，函数y ＝x n ＋1的导数是n ＋1.∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0，有x ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n n ＋1＝1n ＋1.7．过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0 考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 A解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0，曲线在(x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝3x 20－2.当x 0＝1时，斜率为1，切线方程为x －y －2＝0；当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1＝x 2＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1＝0.故选A.8．点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上一个定点，且曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( ) A ．2B ．－2C ．－1D ．－4 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 A解析 y ′＝3x ＋1，令3x 0＋1＝4，得x 0＝1，代入切线方程得y 0＝3，代入y ＝3ln x ＋x ＋k ，得k＝2. 二、填空题9．函数y ＝x －cos xx ＋sin x在x ＝2处的导数是________．考点 导数的运算法则 题点 导数除法法则及运算 答案 3sin2－cos2＋12＋sin22解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －cos x x ＋sin x ′＝1＋sin xx ＋sin x －1＋cos xx －cos xx ＋sin x 2＝x ＋1sin x ＋1－x cos x ＋1x ＋sin x 2，所以在x ＝2处，函数y ＝x －cos x x ＋sin x 的导数为3sin2－cos2＋12＋sin22.10．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 3解析 f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝12，故f (1)＋f ′(1)＝3.11.如图，函数g (x )＝f (x )＋15x 2的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.考点 题点 答案 －5解析 因为g (5)＝f (5)＋5＝3，所以f (5)＝－2.因为g ′(x )＝f ′(x )＋25x ，所以g ′(5)＝f ′(5)＋25×5＝－1，f ′(5)＝－3，所以f (5)＋f ′(5)＝－5. 三、解答题12．设函数f (x )＝ax 2ln x ＋b (x －1)，曲线y ＝f (x )过点(e ，e 2－e ＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y ＝0，求a ，b 的值．考点 题点解 由题意可知，f (x )＝ax 2ln x ＋b (x －1)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ln x ＋ax ＋b (x >0)， ∵f ′(1)＝a ＋b ＝0，f (e)＝a e 2＋b (e －1)＝a (e 2－e ＋1)＝e 2－e ＋1， ∴a ＝1，b ＝－1.13．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标． 解 (1)由题意知f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为13x －y －32＝0.(2)方法一 设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．方法二 根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0，由题意知k ＝f ′(x 0)＝3x 2＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．14．若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π])的图像在点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3＋1的图像在点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为( ) A.83 B ．2 C.73 D.33答案 A解析 f ′(x )＝2cos x ∈[－2,2]，g ′(x )＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．当两函数的切线平行时，x p ＝0，x Q ＝1. 即P (0,0)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83，∴直线PQ 的斜率为83.15．若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝g (x )＝x 2＋a 都相切，求a 的值．考点 导数的应用 题点 导数的应用解 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上． (1)当O (0,0)是切点时，由f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，得f ′(0)＝2， 即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意知，Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.(2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则f (x 0)＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝f x 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎨⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意知，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.。