第7章动态电路状态变量分析
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动态电路的状态变量分析
全确定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感 电流iL作为状态变量
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL （2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
L1
L2
R6 uC3 C3
R8 R9 uR9
uC 4 C4 R7 uR7
（2）列写基本割集1和2的KCL方程
du L1ddiLt1uC3uC4uR6uR7uR9
C4
C dt i i L2ddiLt2uC4uR7uR8uR9
4
L1 L2
1
割集2
2
6
回 路1
5
3
8
回路 2
4
7
9
C3
duC 3 dt
iL1
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
一、直接观察法 步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL （2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
L1
L2
R6 uC3 C3
R8 R9 uR9
uC 4 C4 R7 uR7
（2）列写基本割集1和2的KCL方程
du L1ddiLt1uC3uC4uR6uR7uR9
C4
C dt i i L2ddiLt2uC4uR7uR8uR9
4
L1 L2
1
割集2
2
6
回 路1
5
3
8
回路 2
4
7
9
C3
duC 3 dt
iL1
（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
一、直接观察法 步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
第七章 动态电路的暂态分析
（4）根据电路的初始条件，确定微分方程通解中的积分常数，从而求 得微分方程的特解（即待求电路响应）。
A u C (0 ) 3
微分方程的特解为
uC Ae 3e
t 2
t 2
V
t 0
（5）由求得的电路响应，求得其他响应。由uC可求得电流
t uC 3 2 i e A 2 2
第七章 动态电路的暂态分析
第一节 第二节 换路定律与初始值的计算 一阶电路的零输入响应
第三节
第四节
一阶电路的零状态响应
一阶电路的全响应
第五节
第六节
一阶电路的三要素法
RLC串联电路的零输入响应
第七章小结
电路
电阻性电路 ：仅含有电阻性元件（包括独立 电源和受控电源）的电路。 动态电路 ：含有动态元件（即储能元件） 的电路。
iC (0 ) iL (0 ) 2 A u L (0 ) R3iC (0 ) u C (0 ) u2 (0 ) 6 (2) 8 8 V 12 V
初始值的计算步骤
（1）由换路前的电路计算出电容元件的电压uC和电感元件 的电流iL，确定它们在t＝0－时的值uC (0－)和iL (0－) 。 （2）根据换路定律，确定电容元件和电感元件电流的初始 值uC (0＋)和iL (0＋) 。
（1）换路前：开关合于位置1，电路 处于稳态，电容元件已充电，其电压 为U0（U0=US）。开关合至位置2的最 初瞬间，由于电路中的电流不是不穷 大，电容元件的电压不能跃变，电容 元件中的电压仍保持为U0，即uC (0＋) =U0 。 （2）换路后：电路脱离电源，电容元 件两极上的正负电荷不断的地中和， 直至电容元件两极上的电荷全部中和， 电路中电压均为零时，电路暂态过程 告以结束，电路进入稳态。 换路后电路所经历的物理过程，实际 上就是电容元件的放电过程。
电路第七章
U s uC (0 ) 12 12 (3) i1 (0 ) 0 R1 4
i2 (0 )
uC (0 ) 12 1.5 A R2 8
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 1.5 A
例5： 图示电路，t=0时S由1扳向2， t ＜ 0 时电路稳定。求初始值 i1(0+) 、 i2(0+)和uL(0+)。 Us 9 3A 解：(1) t＜0时：i L (0 ) R1 3 (2) 0+等效电路。根据换路定律：
方程通解：uC (t ) A e A e
pt
t RC
uC ( t ) U 0 e
t RC
带入初始条件： A U 0
t RC
(t 0)
duC U 0 i C e dt R
( t 0)
4、参量图形分析t
uC (t)和i(t)从初始值按指数规律衰减 电容充放电分析： 1、t＜0时充电，稳定后，uC=U0 。
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分 析
7.1 动态电路的方程及其初始条件
7.2
7.3 7.4 7.5 7.7
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 二阶电路的零输入响应 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
例
电阻电路
i
+ i
（t = 0） R1 R2 0
i U S / R2
t 过渡期为零
us
i U S ( R1 R2 )
-
返 回
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i2 (0 )
uC (0 ) 12 1.5 A R2 8
iC (0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 1.5 A
例5： 图示电路，t=0时S由1扳向2， t ＜ 0 时电路稳定。求初始值 i1(0+) 、 i2(0+)和uL(0+)。 Us 9 3A 解：(1) t＜0时：i L (0 ) R1 3 (2) 0+等效电路。根据换路定律：
方程通解：uC (t ) A e A e
pt
t RC
uC ( t ) U 0 e
t RC
带入初始条件： A U 0
t RC
(t 0)
duC U 0 i C e dt R
( t 0)
4、参量图形分析t
uC (t)和i(t)从初始值按指数规律衰减 电容充放电分析： 1、t＜0时充电，稳定后，uC=U0 。
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分 析
7.1 动态电路的方程及其初始条件
7.2
7.3 7.4 7.5 7.7
一阶电路的零输入响应
一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 二阶电路的零输入响应 一阶电路和二阶电路的阶跃响应
7.1 动态电路的方程及其初始条件
1. 动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
例
电阻电路
i
+ i
（t = 0） R1 R2 0
i U S / R2
t 过渡期为零
us
i U S ( R1 R2 )
-
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动态电路的分析与计算
频域分析
新型器件建模
随着新型电子器件的不断涌现，建立准确、高效的模型对于动态电路的精确分析至关重要。
智能化分析
利用人工智能和机器学习等方法，可以提高动态电路分析的效率和精度。
系统级集成
将动态电路集成到更大的系统中，可以实现更复杂的功能和更高的性能。
03
02
01
06
CHAPTER
参考文献
Jackson, J.D. (1975). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons.
公式
一阶RC电路广泛应用于各种电子设备中，如滤波器、定时器和振荡器等。
应用
二阶RLC电路比一阶电路更为复杂，其特性可以更好地满足某些特定应用需求。
总结词
详细描述
公式
应用
二阶RLC电路由一个电阻R、一个电感L和一个电容C组成，其中电感储存磁能，电容储存电能。
二阶RLC电路的微分方程为：d2i/dt2 + (R/L) * di/dt + (1/LC) * i = 0，其中i为电流。
动态电路的分析与计算
汇报人：
2023-11-27
目录
动态电路概述动态电路分析方法动态电路的计算机辅助分析动态电路计算实例总结与展望参考文献
01
CHAPTER
动态电路概述
VS
动态电路是指具有储能元件（如电容、电感）的电路，其状态会随时间变化。
动态电路在某一时刻的状态由该时刻的输入信号和电路的初始状态共同决定。
Smith, C.M., & Lee, C.H. (2001). Modelling of transient responses in complex RC circuits. Journal of Circuits, Systems, and Computers, 10(4), 427-445.
新型器件建模
随着新型电子器件的不断涌现，建立准确、高效的模型对于动态电路的精确分析至关重要。
智能化分析
利用人工智能和机器学习等方法，可以提高动态电路分析的效率和精度。
系统级集成
将动态电路集成到更大的系统中，可以实现更复杂的功能和更高的性能。
03
02
01
06
CHAPTER
参考文献
Jackson, J.D. (1975). Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons.
公式
一阶RC电路广泛应用于各种电子设备中，如滤波器、定时器和振荡器等。
应用
二阶RLC电路比一阶电路更为复杂，其特性可以更好地满足某些特定应用需求。
总结词
详细描述
公式
应用
二阶RLC电路由一个电阻R、一个电感L和一个电容C组成，其中电感储存磁能，电容储存电能。
二阶RLC电路的微分方程为：d2i/dt2 + (R/L) * di/dt + (1/LC) * i = 0，其中i为电流。
动态电路的分析与计算
汇报人：
2023-11-27
目录
动态电路概述动态电路分析方法动态电路的计算机辅助分析动态电路计算实例总结与展望参考文献
01
CHAPTER
动态电路概述
VS
动态电路是指具有储能元件（如电容、电感）的电路，其状态会随时间变化。
动态电路在某一时刻的状态由该时刻的输入信号和电路的初始状态共同决定。
Smith, C.M., & Lee, C.H. (2001). Modelling of transient responses in complex RC circuits. Journal of Circuits, Systems, and Computers, 10(4), 427-445.
(整理)第七章二阶电路
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
第7章 一阶电路和二阶电路的时域分析(2010-2011第一学期 邱关源)
uC (0) U 0e0 U 0
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
uC ( ) U 0e1 0.368U 0
即经过一个时间常数τ 后，衰减了63.2％，为原值 的36. 8％。 理论上，t = ∞时，uC才能衰减到零，但实际上， 当t = 5τ 时，所剩电压只有初始值的0.674％，可以认 为放电已完毕。因此，工程上常取t = (3-5)τ 作为放电 完毕所需时间。τ 越大，衰减越慢，反之则越快。
uR uC U 0 e
t
可以看出，电压uC、uR及电流i都是按照同样的 指数规律衰减的。它们衰减的快慢取决于指数中τ 的大小。
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
τ 的大小反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 它是反映过渡过程特性的一个重要的量。可以计算得 t = 0时， t =τ 时，
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-2 一阶电路的零输入响应
经过全部放电过程，电阻上所吸收的能量为
WR
0
Ri 2 (t )dt
0
U 0 t 2 R ( e ) dt R
0
2 U0 R
0
e
2t RC
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
河北大学数学与计算机学院
第七章一阶电路和二阶电路的时域分析
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
电容和电感的VCR是通过导数（积分）表达 的。当电路中含电容和电感时，电路方程是以电流 和电压为变量的微分方程或微分―积分方程。 对于仅含一个电容或电感的电路，当电路的无 源元件都是线性和时不变时，电路方程将是一阶线 性常微分方程，称为一阶动态电路。 电路结构或参数变化引起的电路变化统称为 “换路”。换路可能使电路改变原来的工作状态， 转变到另一个工作状态。
初中物理电学：动态电路详细分析
• 2．正确判断滑动变阻器有效电阻及由于滑片的变化引
起的有效电阻的变化。
• 3．熟练掌握串并联电路中电压、电流及电阻的规律。
动态电路中涉及的用电器肯定不止一个，必然会运用到 串并联电路中电压、电流及电阻的规律，如果学生不能 熟练掌握这些规律，那么解题也就无从谈起。
• 4．熟练掌握欧姆定律的运用，尤其是要分析好电路中局部和整体的关系。欧
❖[变式训练题]参考下图，在伏安法测电阻的实 验中，若由于各种原因，电压表改接在滑动变 阻器的两端，当滑片向左移动时，请判断 A 表 和 V 表的变化。
A 表变大 V 表变小
2.并联电路
例 2 如图 Z5－3 所示电路，电源电压保
解好怎样才是短路，以及短路对整个电路的影响。所以要想学好电学这部分内 容还得深刻理解短路这个概念。
动态电路专题总结
1、动态电路是由于电路中滑动变阻器的滑片移动 或电路中各开关的通断引起电路中的电流、电压等物 理量的变化；
2、解题时，应先判断确定滑动变阻器的滑片移动 或各开关通断时，电路的连接情况及各电表所测的物 理量；
3、再根据已知条件，利用其中一种情况解决部分 所求量，然后将所求得的量做为已知带入另一种情况 求解。
4、若题目中哪一种情况都没有将已知条件给足， 解决此类问题就必须将几种情况结合在一起看，将由 不同情况得出的几个等式联立起来解决问题。
二、问题导学 知识储备
1、快速说出串联和并联电路的电流、电压、电阻的特点：
数减小中，定值电压也减小，滑动电压在上升；并联电
阻在增大，电压示数不变化，滑动电流在减小，干路电 流跟着跑，定值电流不变化，反向思考靠大家。
在看电路图的时候，应该采用何种方式来弄清电 路的连接情况？
1.将电流表看成导线，电压表看成断开的，先弄清电路 是串联还是并联的；
起的有效电阻的变化。
• 3．熟练掌握串并联电路中电压、电流及电阻的规律。
动态电路中涉及的用电器肯定不止一个，必然会运用到 串并联电路中电压、电流及电阻的规律，如果学生不能 熟练掌握这些规律，那么解题也就无从谈起。
• 4．熟练掌握欧姆定律的运用，尤其是要分析好电路中局部和整体的关系。欧
❖[变式训练题]参考下图，在伏安法测电阻的实 验中，若由于各种原因，电压表改接在滑动变 阻器的两端，当滑片向左移动时，请判断 A 表 和 V 表的变化。
A 表变大 V 表变小
2.并联电路
例 2 如图 Z5－3 所示电路，电源电压保
解好怎样才是短路，以及短路对整个电路的影响。所以要想学好电学这部分内 容还得深刻理解短路这个概念。
动态电路专题总结
1、动态电路是由于电路中滑动变阻器的滑片移动 或电路中各开关的通断引起电路中的电流、电压等物 理量的变化；
2、解题时，应先判断确定滑动变阻器的滑片移动 或各开关通断时，电路的连接情况及各电表所测的物 理量；
3、再根据已知条件，利用其中一种情况解决部分 所求量，然后将所求得的量做为已知带入另一种情况 求解。
4、若题目中哪一种情况都没有将已知条件给足， 解决此类问题就必须将几种情况结合在一起看，将由 不同情况得出的几个等式联立起来解决问题。
二、问题导学 知识储备
1、快速说出串联和并联电路的电流、电压、电阻的特点：
数减小中，定值电压也减小，滑动电压在上升；并联电
阻在增大，电压示数不变化，滑动电流在减小，干路电 流跟着跑，定值电流不变化，反向思考靠大家。
在看电路图的时候，应该采用何种方式来弄清电 路的连接情况？
1.将电流表看成导线，电压表看成断开的，先弄清电路 是串联还是并联的；
电路第五版第七章
i
+
当i()为有限值时
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uC (0+) = uC (0－)
q =C uC
结论
q (0+) = q (0－)
电荷 守恒
换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
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③电感的初始条件
t
iL
1 iL (t ) u ( )d L 1 0 1 t u ( )d u ( )d L L 0
电容电路
+ Us -
(t = 0) R i + k uC –
+ C Us -
(t →) R i + uC –
C
uc k未动作前，电路处于稳定状态： i = 0 , uC = 0 US 新的稳定状态 US k接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路 R 达到新的稳定状态： i i = 0 , u有一过渡期 C= U s t1 t 0
电路方程
特点
当动态电路状态发生改变时（换路）需要 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 个变化过程称为电路的过渡过程。
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例
电阻电路
（t = 0） R1 R2 0 i
+ i us -
i U S / R2
t 过渡期为零
i U S ( R1 R2 )
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2
二阶电路中有二个动态元件,描述 电路的方程是二阶线性微分方程。
dx dx a2 2 a1 a0 x e(t ) t 0 dt dt
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高阶电路
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则输出方程中将出现输出向量导数
iCCddutCCddutS CuS
uL
LdiL dt
LdiS dt
LiS
此时输出方程的形式为 yC xD wE w
“十一五”规划教材—电路基
7.2.2 线性非时变动态电路状态方程的列写础
直接观察
列写方法
不太复杂的电路 置换方法
系统法 复杂的电路
这里介绍直接观察或置换方法列写电路的状态方程。
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
“十一五”规划教材—电路基 础
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线
（3）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆
（4）响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应
C1
“十一五”规划教材—电路基 础
1
L 1
uiLC
RC
0
1iS C
是以iL和uC为变量的一阶微分方程组。
初始值iL(0+)= I0、uC(0+)=U0也可表示成
iL (0 )
uC
(0
)
I0 U 0
称这一阶微分方程组为RLC并联电路动态过程的状态方程 (state equations)，并可简写成
7.1 电路的状态和状态变量 一、状态变量
状态的定义：一个电路的状态是指在某个给定时刻必 须具备最少量的信息，这些信息与该时刻以后的激励， 就能够完全确定以后任何时刻该电路的行为。
状态变量(state variable)：一组能够确定电路行为的 最少变量。
表示成矩阵形式
diL
dt
0
duC dt
(b) 过阻尼情况的状态空间轨迹
RLC并联电路的零输入响应
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
“十一五”规划教材—电路基 础
uC
(I0 ,U0 )
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
电路的状态空间轨迹能够反映电路的特性 1.过阻尼情况:
状态轨迹从t=0+ 的初始状态x0=[I0 U0]T开始，在 t= 时终止于坐标原点
二、输出方程的列写
（1）用置换定理将每个电容C用电压源uC置换 将每个电感L用电流源iL置换
（2）将非状态变量用状态变量和输入激励表示
（3）整理成标准形式的输出方程
“十一五”规划教材—电路基 础
例7.2.1 试列出图(a)所示电路的状态方程。
iL5
L5 iC 4 C4
iR1
uL5
R1 uR1
uC 3
矩阵形式为 xf(x,w,t)
线性非时变动态电路，状态方程是一阶线性微分方程组
其形式为
n
m
xi aikxk bijwj
k1
j1
i1,2, ,n
矩阵形式为 xAxBw
初始条件 状态向量
x(0) x0
x[x1x2 xn]T x[x1x2 xn]T w[w1w2 wm]T
x0[x10x20 xn0]T—初始状态
n—状态变量xi的个数 m—输入激励wj的个数
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二、输出方程的一般形式为
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y i g i ( x 1 , x 2 ,, x n , w 1 , w 2 ,, w m , t ) i 1 , 2 ,, r
矩阵形式
yg(x,w,t)
线性非时变动态电路，输出方程是线性代数方程组
（1）无源（RLC）电路的复杂度为n = nC + nL lC qL
（2）有源电路复杂度的上下限为0 n nC + nL lC qL
7.2 状态方程及其列写
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7.2.1状态方程和输出方程
一、状态方程—一阶微分方程组
其一般形式为 x i f i ( x 1 , x 2 ,, x n , w 1 , w 2 ,, w m , t ) i 1 , 2 ,, n
一、直接观察法步骤
(1) 选一个树，使它包含全部电容（和无伴电压源支路） 而不含电感（和无伴电流源支路）。
(2) 对每个电容树支确定的基本割集列写KCL方程；对 每个电感连支确定的基本回路列写KVL方程。
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(3) 消去以上两组方程中的非状态变量（就是将非状态 变量用状态变量和激励来表示），并整理成标准形式的 状态方程。
成为无界，状态轨迹是向外发散的。
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注意：在线性非时变电路中，由于求解电路响应所必需的 初始条件可以由电容的初始电压和电感的初始电流完全确 定，所以通常选取独立的电容电压uC和独立的电感电流iL 作为状态变量
电路的复杂度(complexity)，亦称自由度(freedom)。 即电路独立状态变量的个数
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第七章 动态电路的状态变量分析
7.1 电路的状态和状态变量 7.2 状态方程及其列写 7.3 状态方程的解法 7.4 应用实例：解微分方程电路
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本章将给出电路的状态和状态变量的定义，讨论 状态方程的列写方法和求解方法。
状态变量法不仅适用于分析线性非时变电路，而 且适合用来分析线性时变电路和非线性电路。
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（1）当w = 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当w 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应；
（3）当w 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
iL , uC
uC
(I0 ,U0 ) iL
O
t 0 (I0,U0)
t O t
iL
uC
(a) 过阻尼情况的时域波形
uS
iC 3 uC 4
其形式为
n
m
yi cikxk dijwj i1,2, ,r
k1
j1
矩阵形式 yCxDw
y[y1y2 yr]T—为输出向量
r—为输出变量yi的个数
C=[cik]rn和D=[dij]rm —系数矩阵
如果电路中存在
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（1）C与电压源uS组成的回路 （2）L与电流源iS组成的割集
xA xB w
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xA xB w 础
其中x=[ iL uC]T称为电路的状态 x中的元素iL和uC称为状态变量
A、B —为系数矩阵，取决于电路拓扑结构和元件参数
W —为输入向量
x(0+)=[ I0 U0]T —为电路的初始状态 x(0-) —电路的原始状态
根据换路定律有 x(0+)=x(0-)=x(0)=x0