K201709厦门大学网络教育专科起点本科《线性代数》离线作业

厦门大学网络教育2017-2018学年第一学期
《线性代数》离线作业
学习中心： 年级： 专业： 学号： 姓名： 成绩：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 设矩阵102002
00101000
01A ⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥
-⎢
⎥⎣⎦
，矩阵B 满足，则2AB B A E O +++=B E +=（ ）。

A ．-6； B ．6； C ．112-； D ．1
12
2. 设[]123,,A ααα=是三阶矩阵，则A =（ ）。

A ．122331αααααα---；
B ．122331αααααα+++；
C ．123122ααααα++；
D ．12312ααααα++；
3. 设11
121321
222331
32
33a a a A a a a a a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，21
2223
11
12133111
3212
3313222a a a B a a a a a a a a a ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦，
1100010201P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2100010021P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3010100001P ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则B=（ ）。

A ．13PP A ； B ．23P P A ； C ．32AP P ； D ．13AP
P ； 4. 设A 为三阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，13
A =，则1
4(3)A A *--=（ ）。

A ．13； B ．3； C ．6； D ．9；
5. 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，且n m 〉，则必有（ ）。

A ．0A
B =； B ．0BA =；
C ．AB BA =；
D ．AB AB AB AB =；
6. 设矩阵122433211A -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，那么矩阵A 的三个特征值是（ ）。

A ．1,0，-2； B ．1,1，-3； C ．3,0，-2； D ．2,0，-3； 7. 设A,B 均为n 阶方阵。

且()2
A B E +=，则()1
1E AB --+=（ ）。

A ．()A
B B +； B ．1E AB -+；
C ．()A A B +；
D ．()A B A +； 8. 设A 为正交矩阵，则下列不一定为正交矩阵的是（ D ）。

A ．T A ； B ．2A ； C ．A *； D ．(0)kA k ≠；
9. 设2132426123a A a -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦
，B 是4*2的非零矩阵，且AB=O ，则（ ）。

A ．a=1时，B 的秩必为2； B ．a=1时，B 的秩必为1； C ．1a ≠时，B 的秩必为1； D ．1a ≠时，B 的秩必为2； 10. 设A 为四阶方阵，且满足2A =A ，则秩r(A)+ 秩r(A-E)=（ ）。

A ．4； B ．3； C ．2； D ．1；
二、判断题（每小题2分，共10分；对的请“√”，错的请打“×”）
11. 若n 级行列试A 中等于零的元素的个数大于n 2-n ，则A≠0。

（ ） 12. 若向量组的秩为r ，则其中任意r+1个向量都线性相关。

（ ） 13. 若线性方程组AX= B 中，方程的个数小于未知量的个数，则AX=B 一定有无穷多解。

（ ） 14. 秩()A B +＝秩A ，当且仅当秩0B =。

（ ） 15. 若A 满足A 2+3A+E=0，则A 可逆。

（ ）
三、填空题（每小题3分，共21分）
16. 设A 是三阶矩阵，其中110α≠，,1,2,3,1,2,3,ij ij A a i j ===则2T A =_______。

17. 已知11
1
10
112343
519a A a ⎡⎤
⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦，A *是A 的伴随矩阵，若r(A *)=1，则a= ___________。

18. 设A 是三阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，已知A 的每一行元素只和为k ，A *的每一行元素只和为m ，则A =____________。

19. 设12312,,,,αααββ均为四维列向量，[]1231,,,A αααβ=，[]3122,,,B αααβ=，且
1A =，2B =。

则A B +=_______。

20. 已知200013025A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，矩阵B 满足12A B A B *-+=，其中A *是A 的伴随矩阵，则B =_ ___。

21. n 阶矩阵A 和B 具有相同特征值是A 与B 相似的_ ___。

22. 与二次型222
1231226f x x x x x =+++ 的矩阵A 即合同又相似的矩阵是 。

四、计算题（4小题，共39分）
21. 求矩阵12
001062410.111361611971434A ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭
的秩。

(6分) 22. 求向量组
12345(1,1,0,0), (1,2,1,1),(0,1,1,1),
(1,3,2,1),(2,6,4,1)
T T T
T T
ααααα=-=--=-=-=-的秩。

（8分） 23. 已知线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++2
321
321321,,1λλλλλx x x x x x x x x 问当λ为何值时，(1)有惟一解；(2)无解；
(3)有无穷多个解，并在有无穷多解时，求其通解。

（12分）
24. 3243202.423A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
计算阶实矩阵的全部特征值和特征向量(13分)。