人教A版高中数学必修四单元教学课件：第二章 核心素养视角下单元教学的实践--以《平面向量》为例
落实途径： 回归用数量积的定义求值、数量积不等式求范围等， 提高代数运算的正确率.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P18
4、数学运算：
例 11.已知圆 的半径为 1，
为该圆的两条切线， 为两切点，
那么
的最小值为
（D ）
A．
B．
C．
D．
例 12.已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i (i 1, 2,3, 4,5, 6) 取遍 1 时，
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是___0____，最大值是__2__5___.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P19
4、数学运算：（巩固练习）
1.
|
a
|
1,
a
(a
b)
2
b
,则
|
b
|
的取值范围是：
2.△ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，
若 OH m(OA OB OC) ，则 m 的取值是
A、-1
B、1
C、-2
D、2
（）
3.已知 ABC 中， AB 4 ， AC 2 ，若| AB (2 2) AC | 的最小值为 2， 则对于 ABC 内一点 P ， PA (PB PC) 的最小值是
感谢大家的聆听，不当之处敬请批评指正！
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计
P6
1、逻辑推理：
（一）概念的辨析
例 1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上；
②任一向量与它的相反向量不相等； ③单位向量都相等；④若 a / /b, b / /c, 则 a / /c .
2、数学抽象：
例 6.若 O 是锐角 ABC内一点,满满足足| |OOAA|2|2+| |BBCC|2|2 =| O| OBB|2 |2+| C| AC|2 |2| O=|CO|C2 |2|+A|BA|2B, |2 ，则
点 O 是△ ABC 的
（D ）
A．外心
B．内心 C．重心
D．垂心
例 7.边长为 1 的正方形 OPMN 中， A 为线段 MP 上的动点， OA 交 NP 于 B，求证： | OA || OB |1.
4）若 O 是 ABC 内心，则 aOA bOB cOC 0或sinAOA sinBOB sinCOC 0
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P10
2、数学抽象： 数学抽象主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中 抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中 抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予 以表征。 落实途径： 通过把一些表面上看是非向量的问题，通过数学抽象转化 为向量的问题来求解，从而培养学生转化和化归的能力。
一、《平面向量》单元综述
P2
2、《平面向量》单元知识线索： （1）、几个概念：零向量、单位向量、向量的模、向量的 夹角、向量的平行（共线）、向量的垂直等； （2）、几个运算：向量的加减运算、向量的数乘运算、向量 的数量积运算； （3）、几个定理：共线向量基本定理、平面向量基本定理等。
一、《平面向量》单元综述
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P11
2、数学抽象：
例 5.如图，在平面四边形 ABCD中，已知 E, F,G, H 分别是 AB, BC,CD, DA
的中线，若
EG2
HF 2
1，设
AD
x,
BC
y,
AB
z, CD
1，则
2x z2
y 8
的
最大值为
P12
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P13
B. min{| a b |,| a b |} min{| a |,| b |}
C. max{| a b |2 ,| a b |2} | a |2 | b |2
D. max{| a b |2 ,| a b |2} | a |2 | b |2
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P8
则 x 2y 的最大值为__5____.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P16
3、直观想象：（巩固练习）
1.已知△ABC，若对任意 t R ， BA tBC AC ，则 ACB
．
2. 已知向量 a, b 为互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 a c,b c 600 ，则.设 为两个非零向量 a, b 的夹角，已知对任意实数 t ，| b t a | 的最小值为 1
A. 若 确定，则 | a | 唯一确定
B. 若 确定，则 | b | 唯一确定
C. 若| a | 确定，则 唯一确定
D. 若| b | 确定，则 唯一确定
B
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P7
1、逻辑推理： （二）分层设计问题
例 3. （1）平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP ， OP OA OB(, R) ，
若点 P 在直线 AB 上，证明： 1.
（2）平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP ， OP OA OB(, R) ，
若 k （ k 为常量且 k 0 值），试探究点 P 的轨迹与直线 AB 的关系.
（3）若 OP xOA yOB(x, y R) ，则 x, y 的不同
取值范围决定了动点 P 的不同轨迹区域. 写出右图
Ⅱ[1]
中各轨迹区域对应的 x,y 的取值范围.
Ⅲ
Ⅳ[1]
Ⅱ[3]
拓展应用： (2017 年浙江)如图，已知抛物线 x2=y，点 A（-12，14），B（32，94）， 抛物线上的点 p(x,y)(-12＜x＜32)．过点 B 作直线 AP 的垂线垂足为 Q． （1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求|PA|·|PQ|的最大值．
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P14
求证： S1OA S2OB S3OC 0 ； （3）证明如下结论：
1）若 O 是 ABC 的重心，则 OA OB OC 0
2）若 O 是 ABC 的垂心，则 tan AOA tan BOB tan COC 0 。 3）若 O 是 ABC 的外心，则 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 ；
3.已知平面向量 a, b 满足| a |
2 6
,b
e1
e2
(
R)
,其中
e1,
e2
为不共线的
单位向量,若对符合上述条件的任意向量 a, b 恒有| a b |
2 3
,则 e1, e2
夹角的
最小值是_________.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P17
4、数学运算： 数量积的运算、模的运算、向量夹角有关的代数运算等等。
P3
3、《平面向量》单元方法线索： 构图法（数形结合）、坐标法、基底法、数量积投影法、 极化恒等式法等。
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P4
本单元的教学，主要体现以下核心素养：逻辑推理、 数学抽象、直观想象、数学运算等. 本单元的教学设计也 将以这四个方面的核心素养为线索来进行，抓住重点，突 破难点。
D．若存在实数 ，使得 b a ，则| a b || a | | b |
2.记
max{x,
y}
x, y,
x x
y y
，
min{x,
y}
y, x,
x x
y y
，设
a,
b
为平面向量，则
A. min{| a b |,| a b |} min{| a |,| b |}
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P5
1、逻辑推理： 逻辑推理分为从特殊到一般的归纳、类比推理，以及从一般到特 殊的演绎推理。在对概念的辨析和结论的生成过程中，培养逻辑 推理能力。 落实途径： （一）通过对概念的辨析，培养学生善于全面思考问题的品质。 （二）通过由浅入深地分层设计问题，培养学生的归纳、类比和 推理的能力。
3、直观想象： 直观想象主要是数形结合，即借助图形来解决代数（运算） 的问题。 落实途径： 数形结合解决与向量模长和夹角等有关问题，利用投影法、 构图法、极化恒等式法等求解数量积有关问题。
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P15
3、直观想象：
例 8. 已知向量 a ≠ e ，| e |＝1，对任意 t∈R，恒有| a －t e |≥| a － e |，则 ( C )
Ⅱ[2]
Ⅰ[1] O
Ⅳ[2]
B Ⅰ[2] A Ⅳ[3]
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计
1、逻辑推理： （二）分层设计问题 例 4.（1）设 O 为 ABC 内一点， S1 SOBC , S2 SOAC , S3 SOAB ，
P9
若 OA 2OB 3OC 0 ，求证： S1 : S2 : S3 1: 2 : 3 ； （2）设 O 为 ABC 内一点， S1 SOBC , S2 SOAC , S3 SOAB ，
1、逻辑推理：
（一）概念的辨析（巩固练习） 1.设 a, b 是两个非零向量
A．若| a b || a | | b | ，则 a b
B．若 a b ，则| a b || a | | b |
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P18
4、数学运算：
例 11.已知圆 的半径为 1，
为该圆的两条切线， 为两切点，
那么
的最小值为
（D ）
A．
B．
C．
D．
例 12.已知正方形 ABCD 的边长为 1，当每个 i (i 1, 2,3, 4,5, 6) 取遍 1 时，
| 1 AB 2 BC 3CD 4 DA 5 AC 6 BD | 的最小值是___0____，最大值是__2__5___.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P19
4、数学运算：（巩固练习）
1.
|
a
|
1,
a
(a
b)
2
b
,则
|
b
|
的取值范围是：
2.△ABC 的外接圆的圆心为 O，两条边上的高的交点为 H，
若 OH m(OA OB OC) ，则 m 的取值是
A、-1
B、1
C、-2
D、2
（）
3.已知 ABC 中， AB 4 ， AC 2 ，若| AB (2 2) AC | 的最小值为 2， 则对于 ABC 内一点 P ， PA (PB PC) 的最小值是
感谢大家的聆听，不当之处敬请批评指正！
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计
P6
1、逻辑推理：
（一）概念的辨析
例 1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由
①向量 AB 与 CD 是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在一直线上；
②任一向量与它的相反向量不相等； ③单位向量都相等；④若 a / /b, b / /c, 则 a / /c .
2、数学抽象：
例 6.若 O 是锐角 ABC内一点,满满足足| |OOAA|2|2+| |BBCC|2|2 =| O| OBB|2 |2+| C| AC|2 |2| O=|CO|C2 |2|+A|BA|2B, |2 ，则
点 O 是△ ABC 的
（D ）
A．外心
B．内心 C．重心
D．垂心
例 7.边长为 1 的正方形 OPMN 中， A 为线段 MP 上的动点， OA 交 NP 于 B，求证： | OA || OB |1.
4）若 O 是 ABC 内心，则 aOA bOB cOC 0或sinAOA sinBOB sinCOC 0
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P10
2、数学抽象： 数学抽象主要包括从数量与数量关系、图形与图形关系中 抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中 抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予 以表征。 落实途径： 通过把一些表面上看是非向量的问题，通过数学抽象转化 为向量的问题来求解，从而培养学生转化和化归的能力。
一、《平面向量》单元综述
P2
2、《平面向量》单元知识线索： （1）、几个概念：零向量、单位向量、向量的模、向量的 夹角、向量的平行（共线）、向量的垂直等； （2）、几个运算：向量的加减运算、向量的数乘运算、向量 的数量积运算； （3）、几个定理：共线向量基本定理、平面向量基本定理等。
一、《平面向量》单元综述
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P11
2、数学抽象：
例 5.如图，在平面四边形 ABCD中，已知 E, F,G, H 分别是 AB, BC,CD, DA
的中线，若
EG2
HF 2
1，设
AD
x,
BC
y,
AB
z, CD
1，则
2x z2
y 8
的
最大值为
P12
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P13
B. min{| a b |,| a b |} min{| a |,| b |}
C. max{| a b |2 ,| a b |2} | a |2 | b |2
D. max{| a b |2 ,| a b |2} | a |2 | b |2
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P8
则 x 2y 的最大值为__5____.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P16
3、直观想象：（巩固练习）
1.已知△ABC，若对任意 t R ， BA tBC AC ，则 ACB
．
2. 已知向量 a, b 为互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 a c,b c 600 ，则.设 为两个非零向量 a, b 的夹角，已知对任意实数 t ，| b t a | 的最小值为 1
A. 若 确定，则 | a | 唯一确定
B. 若 确定，则 | b | 唯一确定
C. 若| a | 确定，则 唯一确定
D. 若| b | 确定，则 唯一确定
B
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P7
1、逻辑推理： （二）分层设计问题
例 3. （1）平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP ， OP OA OB(, R) ，
若点 P 在直线 AB 上，证明： 1.
（2）平面内一组基底 OA,OB 及任一向量 OP ， OP OA OB(, R) ，
若 k （ k 为常量且 k 0 值），试探究点 P 的轨迹与直线 AB 的关系.
（3）若 OP xOA yOB(x, y R) ，则 x, y 的不同
取值范围决定了动点 P 的不同轨迹区域. 写出右图
Ⅱ[1]
中各轨迹区域对应的 x,y 的取值范围.
Ⅲ
Ⅳ[1]
Ⅱ[3]
拓展应用： (2017 年浙江)如图，已知抛物线 x2=y，点 A（-12，14），B（32，94）， 抛物线上的点 p(x,y)(-12＜x＜32)．过点 B 作直线 AP 的垂线垂足为 Q． （1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求|PA|·|PQ|的最大值．
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P14
求证： S1OA S2OB S3OC 0 ； （3）证明如下结论：
1）若 O 是 ABC 的重心，则 OA OB OC 0
2）若 O 是 ABC 的垂心，则 tan AOA tan BOB tan COC 0 。 3）若 O 是 ABC 的外心，则 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 ；
3.已知平面向量 a, b 满足| a |
2 6
,b
e1
e2
(
R)
,其中
e1,
e2
为不共线的
单位向量,若对符合上述条件的任意向量 a, b 恒有| a b |
2 3
,则 e1, e2
夹角的
最小值是_________.
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P17
4、数学运算： 数量积的运算、模的运算、向量夹角有关的代数运算等等。
P3
3、《平面向量》单元方法线索： 构图法（数形结合）、坐标法、基底法、数量积投影法、 极化恒等式法等。
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P4
本单元的教学，主要体现以下核心素养：逻辑推理、 数学抽象、直观想象、数学运算等. 本单元的教学设计也 将以这四个方面的核心素养为线索来进行，抓住重点，突 破难点。
D．若存在实数 ，使得 b a ，则| a b || a | | b |
2.记
max{x,
y}
x, y,
x x
y y
，
min{x,
y}
y, x,
x x
y y
，设
a,
b
为平面向量，则
A. min{| a b |,| a b |} min{| a |,| b |}
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P5
1、逻辑推理： 逻辑推理分为从特殊到一般的归纳、类比推理，以及从一般到特 殊的演绎推理。在对概念的辨析和结论的生成过程中，培养逻辑 推理能力。 落实途径： （一）通过对概念的辨析，培养学生善于全面思考问题的品质。 （二）通过由浅入深地分层设计问题，培养学生的归纳、类比和 推理的能力。
3、直观想象： 直观想象主要是数形结合，即借助图形来解决代数（运算） 的问题。 落实途径： 数形结合解决与向量模长和夹角等有关问题，利用投影法、 构图法、极化恒等式法等求解数量积有关问题。
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P15
3、直观想象：
例 8. 已知向量 a ≠ e ，| e |＝1，对任意 t∈R，恒有| a －t e |≥| a － e |，则 ( C )
Ⅱ[2]
Ⅰ[1] O
Ⅳ[2]
B Ⅰ[2] A Ⅳ[3]
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计
1、逻辑推理： （二）分层设计问题 例 4.（1）设 O 为 ABC 内一点， S1 SOBC , S2 SOAC , S3 SOAB ，
P9
若 OA 2OB 3OC 0 ，求证： S1 : S2 : S3 1: 2 : 3 ； （2）设 O 为 ABC 内一点， S1 SOBC , S2 SOAC , S3 SOAB ，
1、逻辑推理：
（一）概念的辨析（巩固练习） 1.设 a, b 是两个非零向量
A．若| a b || a | | b | ，则 a b
B．若 a b ，则| a b || a | | b |
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人教A版高中数学必修四单元教学课件： 核心素养视角下单元教学的实践以《平面向量》为例
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P11
2、数学抽象：
例 5.如图，在平面四边形 ABCD中，已知 E, F,G, H 分别是 AB, BC,CD, DA
的中线，若
EG2
HF 2
1，设
AD
x,
BC
y,
AB
z, CD
1，则
2x z2
y 8
的
最大值为
P12
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计 P13
Ⅱ[1]
中各轨迹区域对应的 x,y 的取值范围.
Ⅲ
Ⅳ[1]
Ⅱ[3]
Ⅱ[2]
Ⅰ[1] O
Ⅳ[2]
B Ⅰ[2] A Ⅳ[3]
二、核心素养视角下《平面向量》的单元教学设计
1、逻辑推理： （二）分层设计问题 例 4.（1）设 O 为 ABC 内一点， S1 SOBC , S2 SOAC , S3 SOAB ，
核心素养视角下单元教学的实践
——以《平面向量》为例Fra bibliotek一、《平面向量》单元综述
P1
1、《平面向量》单元在教材及高考中的地位 平面向量这一章知识在教材中起着 “承上启下”的
作用，它与高中阶段的许多知识都有结合，如三角函数、 立体几何、解析几何等。近几年高考主要考查平面向量 的基本概念、定理、运算以及内隐和外显的性质，如： 模的几何意义、数量积的几何意义、三点共线的判定和 应用等。
2）若 O 是 ABC 的垂心，则 tan AOA tan BOB tan COC 0 。 3）若 O 是 ABC 的外心，则 sin2AOA sin2BOB sin2COC 0 ；
4）若 O 是 ABC 内心，则 aOA bOB cOC 0或sinAOA sinBOB sinCOC 0
数学必修4第二单元课件2.2.1
4．在△ABC 中，A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，则 a＋b＋c＝________. 解析： 由向量加法的三角形法则，得A→B＋B→C＝A→C，即 a＋b＋c＝A→B＋B→C＋ C→A＝0. 答案： 0
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
通技法·互动讲练
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图， (1)在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b； (2)作平行四边形 AOBC，则O→C＝a＋b； (3)再作向量O→D＝c； (4)作平行四边形 CODE， 则O→E＝O→C＋c＝a＋b＋c. 即O→E即为所求．
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
题型三 向量加法的应用 某人在静水中游泳，速度为 4 3千米/时，他在水流速度为 4 千米/时的
河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大 小为多少？
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的． 如图所示：A→C＝A→B＋A→D(平行四边形法则)， 又∵B→C＝A→D， ∴A→C＝A→B＋B→C(三角形法则)． (3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应 注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
提知能·高效测评
[规律方法] 向量运算中化简的两种方法
数学必修4第二单元课件2.3.2-3
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
解析： (1)∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10) ∴A→B＝(－2,10)，B→C＝(－8,4)，A→C＝(－10,14)， ∴A→B＋2B→C＝(－18,18)， B→C－12A→C＝(－3，－3)．
数学 必修4
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
解析： 由题知 B、D 分别是 30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设 B(x1，y1)，D(x2，y2)． 由三角函数的定义，得
x1＝cos 30°＝ 23，y1＝sin 30°＝12，∴B 23，12. x2＝cos 120°＝－12，y2＝sin 120°＝ 23，
数学 必修4
第二章 平面高效测评
[自主学习]
1．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是( )
A．向量a的终点坐标为(－2,3)
B．向量a的起点坐标为(－2,3)
C．向量a与b互为相反向量
D．向量a与b关于原点对称
解析： 因为a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，所以a＋b＝(－2,3)＋(2，－3)＝
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
◎ 变式训练
3．(1)若 a＝(－1,2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)，且 c＝pa＋qb，则 p＝________，
q＝________；
(2)已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且B→C＝2A→D，
法二：A→B＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选 A.
数学必修4第二单元课件2.2.2
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
通技法·互动讲练
数学 必修4
第二章 平面向量
题型一 向量的减法运算 化简下列各式：
(1)(A→B＋M→B)＋(－O→B－M→O)； (2)A→B－A→D－D→C.
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
数学 必修4
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
(2)如图所示，四边形 ACDE 是平行四边形，点 B 是该平行四边形外一点，且 A→B＝a，A→C＝b，A→E＝c，试用向量 a，b，c 表示向量C→D，B→C，B→D.
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则． 例如，在四边形 ABCD 中，A→B＋B→C＋C→D＋D→A＝0.
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
◎ 变式训练 3．(1)如图，O 为平行四边形 ABCD 内一点，O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，则O→D ＝________；
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
[思维启迪] 1．准确理解向量减法的几何意义 (1)向量减法是向量加法的逆运算． 设 x＋b＝a，则 x＝a－b，如图，设O→A＝a，O→B＝b. 由向量加法的三角形法则可知O→A＝O→B＋B→A， ∴B→A＝O→A－O→B＝a－b.
3．下列四式中不能化简为A→D的是( ) A．(A→B＋C→D)＋B→C B．(A→D＋M→B)＋(B→C＋C→M) C.O→C－O→A＋C→D D.M→B＋A→D－B→M
数学必修4第二单元课件2.4.2
角 ——在 0≤θ≤π 内，由 cos θ 的值求角 θ.
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
◎ 变式训练
3．(1)已知 a，b 为平面向量，a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则 a，b 夹角的余弦
值等于( )
8 A.65
B．－685
16 C.65
D.－1665
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
【目标导航】 1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算． 2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
[新知初探] 知识点一 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
(2)由题设知A→B＝(8，－4)，A→C＝(2,4)，B→C＝(－6,8)，所以A→B·A→C＝2×8＋(－ 4)×4＝0，即A→B⊥A→C.所以∠BAC＝90°.故△ABC 是直角三角形．
答案： (1)C (2)A
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
[误区突破]
(2)已知 A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，则△ABC 的形状是( )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D.等边三角形
数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
解析： (1)设 a，b 的夹角为 θ，b＝(x，y)，则 2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)， 所以86＋ ＋xy＝ ＝318，， 解得xy＝＝－125，， 故 b＝(－5,12)，所以 cos θ＝|aa|·|bb|＝1665.故选 C.
高中人教版必修4数学课件第二章2.3.1精选ppt课件
量组：
①A→D与A→B；②D→A与B→C；③C→A与D→C；④O→D与O→B，其中可作
为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
[解析] ①A→D与A→B不共线；②D→A＝－B→C，则D→A与B→C共线； ③C→A与D→C不共线；④O→D＝－O→B，则O→D与O→B共线． 由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一 组基底，故①③满足题意． [答案] B
2．设 e1，e2 是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中 不能作为基底的是( ) A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2 C．e1，5e2 D．e1，e1＋e2 答案：B
3．在锐角三角形 ABC 中，关于向量夹角的说法正确的是( ) A．A→B与B→C的夹角是锐角 B．A→C与A→B的夹角是锐角 C．A→C与B→C的夹角是钝角 D．A→C与C→B的夹角是锐角 答案：B
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
2．两个向量的夹角 (1)向量的夹角是针对非零向量定义的． (2)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们的范围分别是 [0，π]和0，π2.
1．如果 a 与 b 是一组基底，则下列不能作为基底的是( )
A．a＋b 与 a－b
B．a＋2b 与 2a＋b
C．a＋b 与－a－b
D．a 与－b
条件 结论 基底
最新高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.2.1
示这两个向量的和
平行四 边形法
则
①把两个已知向量的始点平移到同一点 ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形 ③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知 向量的和
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向量加法运算律的应用
(1)下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②A→B＋B→A＝0；③A→C＝D→C＋A→B＋B→D.
＋c，并求出其模的大小．
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【答案】
(1)B
→ (2)DA
→ CB
(3)根据平行四边形法则可知，a＋b＝A→B＋A→D＝A→C.
根据三角形法则，延长 AC，在 AC 的延长线上作C→E＝A→C，则 a＋b＋c＝A→C
＋A→C＝A→C＋C→E＝A→E(如图所示)．
所以|a＋b＋c|＝|A→E|＝2 12＋12＝2 2.
阶
阶
段
段
一
2.2 平面向量的线性运算
三
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学
业
阶
分
段
层
二
测ห้องสมุดไป่ตู้
评
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1．理解向量的加法及其运算法则、运算律．(重点) 2．理解向量加法的几何意义．(难点) 3．数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)
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[基础·初探] 教材整理 1 向量加法的定义及其运算法则
【答案】 B
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我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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平行四 边形法
则
①把两个已知向量的始点平移到同一点 ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形 ③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知 向量的和
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向量加法运算律的应用
(1)下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②A→B＋B→A＝0；③A→C＝D→C＋A→B＋B→D.
＋c，并求出其模的大小．
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【答案】
(1)B
→ (2)DA
→ CB
(3)根据平行四边形法则可知，a＋b＝A→B＋A→D＝A→C.
根据三角形法则，延长 AC，在 AC 的延长线上作C→E＝A→C，则 a＋b＋c＝A→C
＋A→C＝A→C＋C→E＝A→E(如图所示)．
所以|a＋b＋c|＝|A→E|＝2 12＋12＝2 2.
阶
阶
段
段
一
2.2 平面向量的线性运算
三
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学
业
阶
分
段
层
二
测ห้องสมุดไป่ตู้
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1．理解向量的加法及其运算法则、运算律．(重点) 2．理解向量加法的几何意义．(难点) 3．数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)
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[基础·初探] 教材整理 1 向量加法的定义及其运算法则
【答案】 B
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我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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最新2019-2020人教A版高中数学必修四课件教材分析第四册第二章优质课件
同时在教学中要充分利用信息技术来帮助学生 理解有关的概念。
2.2平面向量的线性运算3课时
第1课时为向量加法运算及其几何意义 第2课时为向量减法运算及其几何意义 第3课时为向量数乘运算及其几何意义。
与数的运算进行类比是一种重要的教学方法。 教学中可采取发现法，通过探究引导学生自己 类比数的加法交换律和结合律，通过画图验证 的实验方法理解向量加法的交换律和结合律。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
建议教学中采用合作学习法、探究教学法， 教师放手让学生活动，然后作适当的点评。
注意：浙江教学序与教材编写序
谢谢
杭州长征中学朱成万 zhu3602@
作出两种情况下 3e1＋2e2、e1－2e2，
共线时“不能”， 不共线时“总能”
通过探究活动， 引导学生自主得出
2.4平面向量的数量积2课时
第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义； 第2课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹
角。 教学中建议采用探究法，要求学生自己利用向
量的数量积定义推导有关结论，这些结论可以 看成是定义的一个推论，教学中应当让学生独 立完成，教师作适当点评。
②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以 掌握实数与向量的积，理解两个向
及两个向量共线的含义。
量共线的充要条件。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
平面向量的 基本定理及 坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
复数及其 类比 运算数
实数及其运算
空间向量及其运算
一般化
平面上向量 及其运算
2.2平面向量的线性运算3课时
第1课时为向量加法运算及其几何意义 第2课时为向量减法运算及其几何意义 第3课时为向量数乘运算及其几何意义。
与数的运算进行类比是一种重要的教学方法。 教学中可采取发现法，通过探究引导学生自己 类比数的加法交换律和结合律，通过画图验证 的实验方法理解向量加法的交换律和结合律。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
建议教学中采用合作学习法、探究教学法， 教师放手让学生活动，然后作适当的点评。
注意：浙江教学序与教材编写序
谢谢
杭州长征中学朱成万 zhu3602@
作出两种情况下 3e1＋2e2、e1－2e2，
共线时“不能”， 不共线时“总能”
通过探究活动， 引导学生自主得出
2.4平面向量的数量积2课时
第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义； 第2课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹
角。 教学中建议采用探究法，要求学生自己利用向
量的数量积定义推导有关结论，这些结论可以 看成是定义的一个推论，教学中应当让学生独 立完成，教师作适当点评。
②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以 掌握实数与向量的积，理解两个向
及两个向量共线的含义。
量共线的充要条件。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
平面向量的 基本定理及 坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义。 ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
复数及其 类比 运算数
实数及其运算
空间向量及其运算
一般化
平面上向量 及其运算
数学必修4第二单元课件2.5
数学 必修4
第二章 平面向量
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提知能·高效测评
题型二 向量在物理中的应用 两个力 F1＝i＋j，F2＝4i－5j 作用于同一质点，使该质点从点 A(20,15)
移动到点 B(7,0)(其中 i，j 分别是与 x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求： (1)F1，F2 分别对该质点做的功； (2)F1，F2 的合力 F 对该质点做的功．
A．(－1，－2)
B．(1，－2)
C．(－1,2)
D．(1,2)
解析： 由物理知识知 f1＋f2＋f3＋f4＝0，故 f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
答案： D
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
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提知能·高效测评
3．在△ABC 中，(B→C＋B→A)·A→C＝|A→C|2，则△ABC 的形状一定是( )
数学 必修4
第二章 平面向量
抓基础·新知探究
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提知能·高效测评
[思维启迪] 向量方法在平面几何中应用的五个主要方面 (1)要证明两线段相等，如 AB＝CD，则可转化为证明A→B2＝C→D2. (2)要证明两线段平行，如 AB∥CD，则只要证明存在实数 λ≠0，使A→B＝λC→D 成立，且 AB 与 CD 无公共点． (3)要证明两线段垂直，如 AB⊥CD，则只要证明数量积A→B·C→D＝0. (4)要证明 A，B，C 三点共线，只要证明存在一实数 λ≠0，使A→B＝λA→C. (5)要求一个角，如∠ABC，只要求向量B→A与向量B→C的夹角即可.
夹角为 60°，那么→F1的大小为( )
A．5 3N
B.5 N
C．10 N
2019-2020年新版高中数学人教A版必修4课件：第二章平面向量 2.4.2
D 典例透析 IANLI TOUXI
名师点拨已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2). a∥b⇔x1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0. a⊥b⇔x1x2=-y1y2,即x1x2+y1y2=0. 这两个结论不能混淆,可以对比学习,分别简记为:共线纵横交错
积相等,垂直横横纵纵积相反.
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(1)a·b=a1b1+a2b2;
(2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;
(3)a·a=|a|2⇔|a|= ������12 + ������22;
(4)cos θ= |������������·||������������|⇔cos θ=
������1������1+������2������2 ;
解析:∵a⊥(a-b), ∴a·(a-b)=0, ∴a2-a·b=5-(x-4)=0,解得x=9.
答案:A 反思有关向量垂直的问题,通常利用它们的数量积为0来解决.本 题也可先求出a-b的坐标,再代入a·(a-b)=0,解得x.
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题型一 题型二 题型三 题型四
Z 知识梳理 HISHI SHULI
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z 重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D 典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
数量积的坐标运算
【例1】 已知a=(2,-1),b=(3,-2),求(3a-b)·(a-2b). 分析:先求出a·b,a2,b2,再对(3a-b)·(a-2b)展开求解;或先将3a-b,a2b的坐标求出,再进行运算.