初中九年级数学上册第二十四章圆专题强化六与圆有关的计算与证明习题讲义新人教版(精品)
人教版九年级数学第24章 圆的有关性质 知识点精讲精练(含答案)
第二十四章 圆的有关性质知识点思维导图能力培养：符号意识、几何直观、推理能力、运算能力 【实战篇】知识点一：圆的有关概念 1. 圆的定义（1）描述性定义：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆. 其固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径.（2）集合性定义：圆可以看成是所有到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合. 2. 圆的表示方法：以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O ”. 3. 圆具有的特性（1）圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.注意：（1）确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.（2）同一个圆中的所有半径都相等，所以圆上任意两点和圆心（三点不共线）构成的三角A形都是等腰三角形.4. 圆的有关概念【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心、CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长为______________.【例1】【解析】同一个圆中的所有半径都相等，所以在圆中“连半径”是常用的辅助线，本题先连接CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CD＝5，所以半径BC＝CD＝5，又由已知AB＝10，利用勾股定理得出AC==【答案】 【巩固】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在圆上，∠ABC ＝65°，那么∠OCA 的度数是（ ） A. 25°B. 35°C. 15°D. 20°2. 如图，在⊙O 中，下列说法不正确的是（ ） A. AB 是⊙O 的直径B. 有5条弦C. AD 和BD 都是劣弧，ABD 是优弧D. CO 是圆O 的半径【巩固答案】 1. A 2.B知识点二：垂直于弦的直径CB DAABBA1. 圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 2. 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵如图，CD 是直径，CD ⊥AB 于点M ，∴AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD ＝BD .3. 垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵如图，CD 是直径，AM ＝BM （AB 不是直径），∴CD ⊥AB ，AC ＝BC ，AD ＝BD .【例2】如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，垂足为D ，若⊙O 的半径为5，BC ＝8，则AB 的长为（ ） A. 8B. 10C.34D. 54【例2】【解析】连接OB ，根据垂径定理求出BD ＝12BC ＝4，已知半径OB ＝5，在Rt △OBD中，由勾股定理求出OD3，所以AD ＝8，在Rt △ABD 中，再由勾股定理求出AB.【答案】D 【巩固】1. 下列说法不正确的是（ ）A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形B. 圆有无数条对称轴C. 圆的每一条直径都是它的对称轴D. 圆的对称中心是它的圆心2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，OC ＝5 cm ，CD ＝8 cm ，则AE 的长为（ ） A. 8 cmB. 5 cmC. 3 cmD. 2 cm【巩固答案】 1. C 2. A知识点三：弧、弦、圆心角 1. 圆的旋转对称性圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆也是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 2. 圆心角的定义顶点在圆心的角叫做圆心角.如图：∠AOB 是AB 所对的圆心角，AB 是∠AOB 所对的弧. 注意：一条弧所对的圆心角只有一个. 3. 弧、弦、圆心角之间的关系A【例3】如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，且AB ＝CD . 求证：AC ＝BD .【例3】【解析】根据圆心角、弧、弦的关系，由AB ＝CD 得到AB ＝CD ，进而AB ＋BC ＝CD ＋BC ，即AC ＝BD ，所以AC ＝BD . 【答案】证明：∵AB ＝CD ∴AB ＝CD ，∴AB＋BC ＝CD ＋BC ， 即AC ＝BD ， ∴AC ＝BD . 【巩固】1. 如图，在⊙O 中，∠AOB ＝∠COD ，那么AC 和BD 的大小关系是（ ）A. AC ＞BDB. AC ＜BDC. AC ＝BDD. 无法确定D2. 如图，C 是⊙O 上的点，CD ⊥OA 于点D ，CE ⊥OB 于点E ，且CD ＝CE ，则AC 与BC 的关系是（ ）A. AC ＝BCB. AC ＞BCC. AC ＜BCD. 不能确定【巩固答案】 1. C 2. A知识点四：圆周角 1. 圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意：（1）圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②两边都与圆相交. （2）同一条弧所对的圆周角有无数个. 2. 圆周角和圆心角的区别和联系3. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图，∠ACB ＝21∠AOB .4. 圆周角定理的推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2 （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角； （2）90°的圆周角所对的弦是直径. 5. “五量关系”定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.【例4】如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上两点，∠BCD ＝40°，则∠ABD 的大小为（ ） A. 60°B. 50°C. 40°D. 20°【例4】【解析】本题考查的是圆周角定理的两个推论，根据题意先连接AD ，根据圆周角定理的推论可知，∠A ＝∠BCD ＝40°，又由AB 为⊙O 的直径知∠ADB ＝90°，所以∠ABD ＝90°－∠A ＝50°. 故选B.【答案】B 【巩固】1. 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠OAB ＝54°，则∠C 的度数为（ ） A. 54°B. 46°C. 36°D. 27°BAAB2. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，BC＝CD，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝___________.【巩固答案】1.C2.70°知识点五：圆内接多边形1.圆内接多边形的定义如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补.注意：每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.拓展：圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角.【例5】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD ＝130°，则∠DCE的度数为（）A. 45°B. 50°C. 65°D. 75°【例5】【解析】根据圆周角定理求出∠A ＝12∠BOD ＝65°，再根据圆内接四边形的性质得出∠BCD ＝180°－∠A ＝115°，则∠DCE ＝180°－∠BCD ＝65°. 故选C. 【答案】C 【巩固】1. 如图，在⊙O 中，∠AOB ＝120°，P 为劣弧AB 上的一点，则∠APB 的度数是_____________.2. 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠C ＝∠D. 问AB 与CD 有怎样的位置关系，请说明理由.【巩固答案】 1. 120° 2. 解：AB ∥CDB理由如下：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＋∠C＝180°，∵∠C＝∠D，∴∠A＋∠D＝180°，∴AB∥CD.。
最新人教版初中九年级上册数学【第二十四章 24章圆单元复习】教学课件
圆
点、直线和圆
的位置关系
正多边形和圆
弧长和扇形面积
点和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
三角形的外接圆
切线
三角形的内切圆
等分圆周
弧长
扇形面积
圆锥的侧面积和全面积
重点回顾：弧长、扇形面积公式
n
π
R
弧长：在半径为R的圆中，no的圆心角所对的弧长为：l =
180
扇形面积：在半径为R的圆中，圆心角为no的扇形面积为：
回归教材
(教材第102页第12题）如图，AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点，
AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D,求证：AC平分∠DAB.
CD是⊙O的切线
AC平分∠DAB
D
C
∠DAC=∠OAC
A
∥
O
B
90O-∠DCA ∠ACO
90O-∠DCA
回归教材
(教材第102页第12题）如图，AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点，
圆的有关性质
弧、弦、圆心角之间的关系
同弧上的圆周角和圆心角的关系
圆
点、直线和圆
的位置关系
正多边形和圆
弧长和扇形面积
点和圆的位置关系
直线和圆的位置关系
三角形的外接圆
切线
三角形的内切圆
等分圆周
弧长
扇形面积
圆锥的侧面积和全面积
重点回顾：正多边形和圆
知识梳理
圆的对称性
圆的有关性质
弧、弦、圆心角之间的关系
经过半径的外端并且
垂直于这条半径的直
线是圆的切线.
切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切
点的半径.
图形语言
秋季人教版九年级数学上册第24章 圆知识点总结与练习 含答案
2．直线和圆的位置关系 设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离
（1）直线和圆相离? d r ，直线与圆没有交点； （2）直线和圆相切? d r ，直线与圆有唯一交点； （3）直线和圆相交? d r ，直线与圆有两个交点。
【答案】 4 159
【例 8】如图，F 是以 O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是 的中点，AD⊥BC
1 于 D，求证：AD= 2 BF.
F A
E
BD O
C
【答案】提示：连接 OF，证明 ADO, FOE, BOE 是全等三角形。
圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
2． 弧长： l =
np R 180 ；
3． 圆面积： S = p R2；
1 np R2
4． 扇形面积： S ＝ lR =
；
扇形 2
360
【例 11】如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条 AB，AC 夹角为 120°，AB 的长为 30c m，贴纸部分 BD 的长为 20cm，则贴纸部分的面积为( )．
M
A
N
【例2】 已知⊙O 的半径为 1，点 P 到圆心 O 的距离为 d，若关于 x 的方程 x2－2x＋d=0 有
实根，则点 P( )．
A．在⊙O 的内部
B．在⊙O 的外部
C．在⊙O 上
D．在⊙O 上或⊙O 的内部
【答案】D
【例3】 已知：如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点．求证：OP 垂直平分线段 AB．
A．100 πcm 2 C． 800πcm2
400 B． 3 πcm2
精品 九年级数学上册 圆-与圆有关的计算同步讲义+同步练习
第 12 题图
第 13 题图
11.如图，正方形的四个顶点在直径为 4 的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，AB、CD 过圆心 O，且 AB ⊥CD，则图中阴影部分的面积是（ A.4π B.2π ） C.π D.
2
12.如图，△ABC 中，BC=4，以点 A 为圆心，2 为半径的⊙A 与 BC 相切于点 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F， 点 P 是⊙A 上一点，且∠EPF=40°，则圆中阴影部分的面积是( A. 4 )． D. 8
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九年级数学上册 同步讲义
34.如图，PA，PB 切⊙O 于 A，B 两点，若∠APB=60 ，⊙O 的半径为 3，求阴影部分的面积．
0
35.如图,线段 AB 与⊙O 相切于点 C，连结 OA，OB，OB 交⊙O 于点 D，已知 OA=OB=6，AB= 6 3 ． （1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积．
π 9
B. 4
8π 9
C. 8
4π 9
8π 9
13.如图,两个半圆,大半圆中长为 16cm 的弦 AB 平行于直径 CD,且与小半圆相切,则图中阴影部分的面积 为（ ） A. 34cm 2 B. 128cm 2 C. 32cm 2 D. 16cm 2
14.若正 n 边形的一个外角是一个内角的
0
例 4.如图，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD 于 E，OF⊥AC 于 F，BE=OF. (1)求证:OF∥BC;(2)求证:△AFO≌△CEB;(3)若 EB=5cm,CD= 10 3 cm,设 OE=x,求 x 值及阴影部分的面积.
例 5.如图,半圆的直径 AB=10,P 为 AB 上一点,点 C，D 为半圆的三等分点,求阴影部分的面积．
第二十四章 圆——九年级上册人教版(2012)数学课后习题精讲课件(共120张PPT).ppt
答案：（1）相离 （2）相切 （3）相交
3.一根钢管放在 V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径 是 25 cm . （1）如果UV 28 cm ，VT 是多少？ （2）如果 UVW 60 ，VT 是多少？
解析：（1）VT UV 2 UT 2 282 252 1409(cm) ； （2）VT 2UT 50 cm .
3
9.如图，两个圆都以点 O 为圆心，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点.求证：AC BD .
证明：过点 O 作OE AB ，垂足为 E，则 AE BE ，CE DE ， AE CE BE DE ，即 AC BD .
10. O 的半径为13 cm ， AB ，CD 是 O 的两条弦， AB//CD ， AB 24 cm ， CD 10 cm .求 AB 和 CD 之间的距离.
（1）8 cm ； （2）10 cm ； （3）12 cm .
答案：（1）点在圆内 （2）点在圆上 （3）点在圆外
2. Rt△ABC 中， C 90 ， AC 3 cm ， BC 4 cm ，判断以点 C 为圆心，下列
r 为半径的 C 与 AB 的位置关系：
（1） r 2 cm （2） r 2.4 cm （3） r 3 cm .
第二十四章 圆
课后习题精讲
九年级上册人教版（2012）
第二十四章
24.1 圆的有关性质
1.求证：直径是圆中最长的弦. 解析：已知：如图所示， O 中 AB 是直径，CD 是弦.
求证： AB CD . 证明：（1）当弦 CD 也是直径时，显然 AB CD . （2）当弦 CD 不是直径时，连接 OC，OD，则OC OD AB . 在△OCD 中， OC OD CD （三角形两边之和大于第三边），即 AB CD . 综上可知 AB CD .
第二十四章 圆单元小结—知识点+练习+检测课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
6.如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为 ，OP=1，求BC的长
7.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．
本章知识框架
追忆往昔
圆
难点：（1）掌握垂径定理及其推论 （2）掌握圆心角及圆周角定理 （3）三角形的外接圆，内切圆的画法 （4）掌握弧长和扇形面积 （5）掌握切线的判断和应用
重点：掌握圆的有关概念、弧弦圆心角的关系、圆周角定理及其推论、垂径定理及其推论、圆内接四边形。
第二部分 拔高习题训练
1.如图1，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）A．40° B．50° C．65° D．75°
2.如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8 cm，水面最深地方的高度为2 cm，则该输水管的半径为（ ）A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
教学反思
1.时间与课程安排 时间紧张，未系统串讲知识，应让学生先整理，教师再补充。课上没有足够时间订正学生不规范的书写过程。不能为赶课程让学生知识掌握不扎实，要留足够时间让学生消化知识 2.学生表现与问题 学生思路有了，但过程书写不够规范；学生综合应用面积公式计算圆柱表面积的正确率低
教学目标
1.帮助学生巩固圆的相关知识，能熟练运用圆的知识解决问题。 2.培养学生分析问题和解决问题的能力，提升学生复习、构建知识网络的能力。
教学重难点
人教版九年级上册第24章圆的有关计算课件
点在圆内
O
O
r
r
d
d
d
r
P
P
P
点到圆心的距离
点到圆心的距离
点到圆心的距离
大于半径
等于半径
小于半径
点P在圆外
d＞r
点P在圆上 d＝r
点P在圆内
d＜r
2. 确定一个圆的条件
（1）已知圆心、半径，可以确定一个圆；
（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
3. 三角形的外接圆
（1）三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形
的延长线交⊙O于点D，下列结论不一定成立的是（ D ）
√
C. AB⊥PD
√
A. PA＝PB
B. ∠BPD＝∠APD
√
D. AB平分PD
D
B
O
C
切线长定理
三线合一
P
A
【巩固】
1. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，如果∠P＝60°，PA＝2，那么 AB 的
长为（ B ）
P
A. 1
B. 2
C. 3
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠CDB＝90°，
∴∠OBC＝∠DBC.
∴∠OCD＝180°－∠CDB
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
＝180°－90°
O
B
＝90°.
∴∠DBC＝∠OCB，
即OC⊥CD，
∴OC∥BD，
又∵OC为半径，
∴∠OCD＋∠CDB＝180°，
∴CD为⊙O的切线.
∵BD⊥CD，
A
C. 当d＝5 cm时，点P在⊙O上
D. 当d＝6 cm时，点P在⊙O内
人教版九年级上册数学 第二十四章圆的整章知识点例题讲解(67张PPT)
4．⊙O的半径为6，点O到直线l的距离为6.5，则直线l
与⊙O的位置关系是（ A ）
2．当直线l和圆有唯一公共点时，直线l与圆的位置关
系是__相__切______，圆心到直线l的距离d与圆的半径r之 间的关系为___d_=__r _____.
学习过程
●合作探究，共同提高
3．已知∠AOC=30°，点B在OA上，且OB=6，若以点B 为圆心，r为半径的圆与直线OC相离，则r的取值范围
8．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相 交于点D，E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm，求直尺 的宽度．
弧、弦、圆心角
●自主学习，独立思考
1.学前准备：完成以下各题.
（ 1 ） 定 义 ： _ _ _ _顶_ _点_ _在_ _圆_ _心_ _的_ _角_ _ _ _ 叫 做 圆 心 角 . （2）定理：在_同__圆___或__等__圆中，相等的圆心角所对 _ _ _ _弧_ _ _ _ _ _ 的 相 等 ， 所 对 的 _ _ _ _ _ _弦_ _ _ _ 也 相 等 . （3）推论1：在__同__圆__或__等__圆中，如果两条弧相等，那 么 它 们 所 对 _ _ _圆_ _心_ _角_ _ _ 的 相 等 ， 所 对 的 _ _ _ _ _弦_ _ _ _ _ 相
D分别是劣弧
与优弧
上的任一点（点C，
D均不与A，B重合）.
（1）求弦AB的长；
（2）求△ABD的最大面积.
EF
2 点和圆、直线和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系 2.直线和圆的位置关系 3.切线的判定和性质 4.切线的判定和性质的运用
人教版-九年级(初三)数学-第二十四章 圆 讲义教案-与圆有关的定理圆幂定理讲义资料
内容基本要求略高要求较高要求圆幂定理 会在相应的图中确定圆幂定理的条件和结论能用圆幂定理解决有关问题板块一 相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等．如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅．P ODC A相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．【例1】 如下左图，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD =cm ．OPCB【例2】 如下中图，在O ⊙中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且O M M C =，若1.54A M B M ==，，则OC 的长为( )A ．6B 6C ．3D ．2MO BA中考要求例题精讲圆幂定理【例3】如图，O⊙的两条弦AB CD，交于点P，已知2cm3cm1cmPA PB PC===，，，则PD的长为________．D【例4】如图，圆的半径是A C、两点在圆上，点B在圆内，6AB=，2BC=，90ABC∠=︒求点B 到圆心的距离．【例5】如图，正方形ABCD内接于O⊙，点P在劣弧AB上，连结DP交AC于点Q．若Q P Q O=，则QC QA的值为___________．【例6】请阅读下列材料：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等．如图1，若弦AB CD、交于点P，则PA PB PC PD⋅=⋅．请你根据以上材料，解决下列问题．【例7】 已知O ⊙的半径为2，P 是O ⊙内一点，且1OP =，过点P 任作一弦AC ，过A C 、两点分别作O⊙的切线m 和n ，作PQ m ⊥于点Q ，PR n ⊥于点R ．(如图2)⑴ 若AC 恰经过圆心O ，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算11PQ PR+的值； ⑵ 若OP AC ⊥，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算11PQ PR+的值； ⑶ 若AC 是过点P 的任一弦(图2)， 请你结合⑴⑵的结论， 猜想11PQ PR+的值，并给出证明．(图4)(图3)板块二、切割线定理如图，在O 中，AB 是O 的切线，AD 是O 的割线，则题意中满足2AB AC AD =⋅.A【例8】 如图，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径为 ，:CD DP =__________．【例9】 如图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，，则PD 的长是( )A ．3 B．7.5 C ．5 D ．5.5【例10】 如图，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．【例11】 如图，同心圆O ，AC DF 、交小圆于B E 、两点，求证：AB AC DE DF ⋅=⋅．1.如下右图，在O ⊙中，P 为弦AB 上一点，PO PC ⊥，PC 交O ⊙于C ，那么( ) A ．2OP PA PB =⋅ B ．2PC PA PB =⋅ C ．2PA PB PC =⋅ D ．2PB PA PC =⋅2.如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC 交O ⊙ 于F ，如果713PF FC ==，，且::2:4:1PA AE EB =，那么CD 的长是 ．课后练习。
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题(附答案)
《圆》章节知识点复习和练习附参考答案一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内 d r点 C 在圆内；A d2、点在圆上 d r点 B 在圆上；rBO3、点在圆外 d r点 A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点；3、直线与圆相交d r有两个交点；rd d=r四、圆与圆的位置关系dC r d外离（图1）无交点外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点内切（图4）有一个交点内含（图5）无交点d R r；d R r；R r d R r ；d R r ；d R r ；d d d R r R r R r 图 1图 2图 3d d rR rR图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：A① AB是直径② AB CD ③CE DE④弧BC 弧BD⑤弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。