河北沧州十四中王建华一次函数与方程组教学设计
“14.3 用函数观点看方程（组）与不等式
——一次函数与二元一次方程（组）”教案设计
人教版数学八年级上册第十四章第三节第三课时
河北省沧州市第十四中学王建华
一、教案内容解读
1.教材的地位和作用
函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。本节是学生认识了一次函数、一元一次方程、二元一次方程组及一元一次不等式的基础上，从变化和对应的角度去认识一次函数与方程、不等式的关系，是站在更高的起点上的动态分析。本节课是“用函数观点看方程（组）与不等式”的第三节课，是对一元一次方程、一元一次不等式从函数的角度重新进行分析后，对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中不断体验数形结合思想和函数思想，这不仅是对前面所学知识的升华，也是为下面学习一次函数的应用以及二次函数打下坚实的基础。
2.教案重难点
重点：一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。
难点：综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。
二、教案目标设置
知识技能：理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。
数学思考：经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。
解决问题：能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。培养学生利用数形结合思想和函数思想解决数学问题的能力。
情感态度：在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
三、学生学情分析
从心理特征来说，八年级学生的逻辑思维已逐步从经验型向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展，但同时这一阶段的学生普遍具有求知欲高、模仿能力强，思维多依赖于具体直观形象的特点，所以在教案中要抓住这些特点，一方面要较好的激发学生求知和探索的兴趣,使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会,让学生发表见解,发挥学生学习的主动性，让学生在实践经验中体会方程和函数的密切联系。
从认知状况来说，学生在此前已经具有了变量与函数的知识积累，掌握了二元一次方程（组）和一次函数的相关知识，并且已经对一元一次方程、一元一次不等式从函数的角度重新进行了分析，初步建立了数（代数表达式）形（图象）结合的意识，这为顺利完成本节课的教案任务做好了铺垫，但对函数图象的理解，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教案中应注意发展学生数形结合的思想。
四、教案策略分析
本学段的学生思考和探索的意愿、能力有所提高，并在探索的过程中能分析、归纳，形成自己的观点，所以教法和学法的安排遵循了有利于学生自主探索、动手实践、合作交流。
教法的选择：通过创设问题情境，激发学生求知和探究的欲望。把知识的获得置于探究活动之中，通过探索研究使学生深刻体会数形结合的数学思想，通过动手画图使学生体验利用操作、归纳获得数学结论的过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。根据“问题——探究——交流——应用——提高”的流程，对难点进行层层铺设，使学生在学习中经历知识的形成与应用的过程，更好的理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，从而感受自我奋斗后成功的喜悦。
学法的指导：鼓励学生自主探索和合作交流，引导学生自主地从事画图、观察、归纳与交流等教案活动，鼓励学生从多个角度获得解题方法，促进学生对问题
的多方面理解，形成多样化的解决问题的意识，从而使学生形成对数学知识的理解和有效的学习策略。同时注意精选题目，做多种形式的练习，力争把学生思维展开。
五、教案过程
（一）感知身边数学
结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我开门见山提出问题：“我们学过的二元一次方程（组）也是一次的，它们和一次函数之间是否也有联系呢？”，从而直接引出课题。
导入“上网业务办理”的问题情景：我在中国电信公司营业大厅办理上网业务，发现有两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费外再以每分0.05元的价格按上网时间计费。这时，身边一顾客说他每月上网的费用按方式A 计算比按方式B 计算少花3元。问这位顾客每月上网多长时间？方式B 中的月基费是多少元？
学生已经学习过列方程（组）解应用题，因此学生很快列出二元一次方程，为下面的探究做好铺垫。
[设计意图]建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此，用“上网收费”这一生活实际创设情境，并用以引出问题为下面“启发学生去思、激励学生去探、鼓励学生去说”做好铺垫，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到下面的探索活动中来。另外，此问题的设置也为后面例题的讲解做好铺垫，有利于教案难点的突破。
（二）体验探索乐趣
活动一：探究一次函数与二元一次方程的关系
问题：
1.方程305.0=-x y 是什么方程？它有多少个解？你能举出几个这个方程的解吗？
2.二元一次方程305.0=-x y 可以转化为=y ________.
思考：是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？
3.点（10,3.5），（20,4），（30,
4.5）都在直线30
5.0+=x y 上吗？为什么？
4.直线30
5.0+=x y 上的任意一点（x ,y ）一定是二元一次方程305.0=-x y 的一个解吗？
5.任意的二元一次方程是否都能转化成一次函数()0≠+=k b kx y 的形式吗？怎么转化？
6.一次函数()0≠+=k b kx y 的图象上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程b y kx -=-的一个解吗？ 试一试：在平面直角坐标系中画出一次函数5
853+-=x y 的图象.思考：直线5
853+-=x y 上任意一点（x ,y ），则x ，y 一定是方程358x y +=的一个解吗？ [设计意图]用一连串的问题由易到难，由特殊到一般，引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，并用一道题目（试一试）让学生巩固对数形结合的认识，加深对数与形之间的本质联系的理解，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。
活动二：探究一次函数与二元一次方程组的关系
问题1. 在同一坐标系中画出二元一次方程12=-y x 所对应的直线，观察两直线有交点吗？你能确定这个交点的坐标吗？
请同学们快速得到方程组?
??=-=+12853y x y x 的解是. 观察并思考：这个交点坐标与方程组???=-=+1
2853y x y x 的解有什么关系？
探索：是否任意两个一次函数图象的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？
此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助。之后，简单的概括用图象法解二元一次方程组的步骤。
师生共同归纳出：从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。
问题2.当自变量x 取何值时，一次函数5
853+-=x y 与12-=x y 的值相等？这个函数值是什么？这个问题与解方程组???=-=+1
2853y x y x 是同一个问题吗？
进一步归纳出：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。
[设计意图]学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。
（三）乘坐智慧快车
再现本节课刚开始时的引例，并把引例中的条件和结论稍加变化，得到例题：我在中国电信公司营业大厅办理上网业务，发现有两种上网收费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费外再以每分0.05元的价格按上网时间计费。经过咨询，方式B 的月基费是20元，那么我该如何选择收费方式更合算？请同学们帮我出出主意。解法1：设上网时间为x 分钟，若按方式A 则收x y 1.0=元；若按方式B 则收2005.0+=x y 元。然后在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象，计算出交点坐标(400,40)，结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式A 更合算；当上网时间等于400分钟时，选择方式A 、B 的费用一样多；当上网时间多于400分钟时，选择方式B 更合算。解法2：设上网时间为x 分钟，方式B 与方式A 两种计费的差额为y 元，得到一次函数：()x x y 1.02005.0-+=，即2005.0+-=x y ，然后画出函数的图象，计算出直线与x 轴的交点坐标，类似地用点位置的高低直观地找到答案。注意：所画的函数图象都是射线。
[设计意图]为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，引导学生将上网问题延伸为例题，鼓励学生从多个角度获得解决问题的方法，促进了学生对问题的多方面理解，形成多样化解决问题的意识，从而激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。通过此问题的探究，使学生有效地理解本节课的难点，体会数形结合这一思想方法的应用。（四）体验成功喜悦1.勇敢者的游戏：⑴.以二元一次方程方程23=-y x 的解为坐标的所有点都在一次函数=y _____的图象上.⑵.求直线2
523+-=x y 与12+=x y 的交点坐标，即求二元一次方程组的解，解得_______，由此可知直线2
523+-=x y 与12+=x y 的交点坐标是_____. 先请同学勇敢的举手争取答题的机会，再出示题目。在没有看到题目是什么的情况下，这样做的确需要很大的勇气，是名副其实的“勇敢者的游戏”2.巩固例题教案效果：
先展示一组照片——“沧州的名片”，展示家乡沧州的代表和特色，激发学生对家乡的热爱，调动学生解决问题的激情。之后，给出一道练习题：据悉，沧州铁狮子展馆门票标价是20元/张，近期正在对团体购票进行优惠活动，有两种活动方案：方案一是团队中每位游客按标价8折购买；方案二是团队中除5张按标价购买外，其余按标价7折购买。如果你是团队的负责人，你会如何选择购买方案使整个团队更合算？
学生独立思考，并选择自己喜欢的方法解决问题。[设计意图]八年级学生对竞争充满了兴趣，我抓住学生的这一心理特征，给出两个抢答题——勇敢者的游戏，使学生的眼、耳、口、脑得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度。同时，冠之以生动的题目和形式的练习，将学生的思维活动引入了顶峰，也将本节课的气氛带到极点，在这样的气氛中，学生巩固对新知识的理解，提高了灵活应用新知识的能力。趁着学生情绪高
涨，迅速抛出一道就在学生身边的问题，激发学生对家乡的热爱，调动学生解决问题的激情，让学生激情澎湃的进入问题的解决过程中，本题及时的巩固教案效果，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。
（五）分享你我收获
在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？
[设计意图]学生回顾本节课所学的知识、技能和思想、方法。通过提问的方式，鼓励学生畅所欲言总结对本节课的收获和体会。培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。
（六）开拓崭新天地
布置作业：
一、课堂学习反思
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选做题：同桌的两个同学为一个小组，设计一道能用函数知识解决的实际问题。
[设计意图]新课程强调发展学生数学交流的能力，用课堂学习反思给学生提供一种表达数学思想方法和情感的方式，以体现评价体系的多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值。作业由必做题和选做题组成，体现分层教案，让“不同的人在数学上得到不同的发展”，同时让课堂中的知识在课下得到延伸，让学生体会“数学来源于生活有服务于生活”。
六、教案设计反思
整节课贯穿以学生为主体的原则；突出数形结合的思想；体现数学建模的价值；渗透应用数学的意识。关注学生个性的发展，让每一个学生在课堂上都有所感悟，都有着各自的数学体验，不同的人在数学上都得到不同的发展。