2018年中考数学专题训练 专题一 几何题型(中点M型)(无答案)
(完整版)2018年初中数学突破中考压轴题几何模型之中点模型教案
中点模型授课日期时 间主 题中点模型教学内容学习过中位线之后，你能否总结一下，目前我们学习了哪些定理或性质与中点有关？ 直角三角形中点你想到了什么,等腰三角形中点你想到了什么，一般三角形中点你又想到了什么？1. 直角三角形斜边中线定理：如图,在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，则有：12CD AD BD AB ===。
CBAD2。
三线合一：在ABC ∆中：(1）AC BC =；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD BD =,（4）CD AB ⊥。
“知二得二”：比如由（2)（3）可得出（1)（4）。
也就是说,以上四条语句,任意选择两个作为条件，就可以推出余下两条。
DABC3. 中位线定理：如图,在ABC ∆中，若AD BD =,AE CE =，则//DE BC 且12DE BC =. ED ABC4. 中线倍长（倍长中线):如图(左图),在ABC ∆中，D 为BC 中点，延长AD 到E 使DE AD =,联结BE ，则有:ADC ∆≌EDB ∆。
作用：转移线段和角。
ABCEDDMC BA例1： 如图所示，已知D 为BC 中点，点A 在DE 上，且CE AB =,求证：CED BAD ∠=∠。
AD B CE提示:用倍长中线法，借助等腰三角形和全等三角形证明试一试：如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证:EF AF =。
F EDBCA证明:延长DE 至点G ，使得ED =DG ,联结CG 类比倍长中线易得：△BDE ≌△CDG 所以∠BED =∠DGC ，BE =CG 因为BE =AC ，所以AC =GC 所以∠EAC =∠DGC , 因为∠BED =AEF 所以∠AEF =∠FAE 所以AF =EFG F EDBCAGFE D M B CA试一试：如图所示，在ABC ∆中,AB AC >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若AD CF ⊥且交AD 的延长线于F ，求证：)(21AB AC MF -=。
2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合(西北专版)(解析卷)
2018年全国各地中考数学压轴题汇编（西北专版）几何综合参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2018•陕西）如图，在△ABC中，AC=8，∠ABC=60°，∠C=45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A．B．2C．D．3解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°．在Rt△ADC中，AC=8，∠C=45°，∴AD=CD，∴AD=AC=4．在Rt△ADB中，AD=4，∠ABD=60°，∴BD=AD=．∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°．在Rt△EBD中，BD=，∠EBD=30°，∴DE=BD=，∴AE=AD﹣DE=．故选：C．2．（2018•兰州）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，EF∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD=3．∵∠A=∠G，∠AEB=∠GED，AB=GD=3，∴△AEB≌△GED．∴AE=EG．设AE=EG=x，则ED=4﹣x，在Rt△DEG中，ED2=GE2+GD2，x2+32=（4﹣x）2，解得：x=．故选：C．3．（2018•陕西）如图，在菱形ABCD中．点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA 的中点，连接EF、FG、GH和HE．若EH=2EF，则下列结论正确的是（）A．AB=EF B．AB=2EF C．AB=EF D．AB=EF解：连接AC、BD交于O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，∴EF=AC，EF∥AC，EH=BD，EH∥BD，∴四边形EFGH是矩形，∵EH=2EF，∴OB=2OA，∴AB==OA，∴AB=EF，故选：D．4．（2018•兰州）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为（）A．102°B．112°C．122°D．92°解：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠可得∠ADB=∠BDF，∴∠DBC=∠BDF，又∵∠DFC=40°，∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，又∵∠ABD=48°，∴△ABD中，∠A=180°﹣20°﹣48°=112°，∴∠E=∠A=112°，故选：B．5．（2018•陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BCA=65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）A．15°B．35°C．25°D．45°解：∵AB=AC、∠BCA=65°，∴∠CBA=∠BCA=65°，∠A=50°，∵CD∥AB，∴∠ACD=∠A=50°，又∵∠ABD=∠ACD=50°，∴∠DBC=∠CBA﹣∠ABD=15°，故选：A．6．（2018•白银）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（）A．5 B．C．7 D．解：∵把△ADE顺时针旋转△ABF的位置，∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于25，∴AD=DC=5，∵DE=2，∴Rt△ADE中，AE==．故选：D．7．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于（）A．150°B．180°C．210°D．270°解：如图：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°﹣∠C=30°+90°+180°﹣90°=210°，故选：C．8．（2018•新疆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm解：∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，又∵∠BAD=90°，∴四边形ABEB1是正方形，∴BE=AB=6cm，∴CE=BC﹣BE=8﹣6=2cm．故选：D．9．（2018•白银）如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°解：连接DC，∵C（，0），D（0，1），∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，∴∠DCO=30°，∴∠OBD=30°，故选：B．10．（2018•新疆）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）A．B．1 C．D．2解：如图，作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N 的长．∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，∴M′是AD的中点，又∵N是BC边上的中点，∴AM′∥BN，AM′=BN，∴四边形ABNM′是平行四边形，∴M′N=AB=1，∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，故选：B．二．填空题（共7小题）11．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为72°．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB=∠ABC==108°，∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA=36°，同理∠ABE=36°，∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°，故答案为：72°．12．（2018•兰州）如图，M、N是正方形ABCD的边CD上的两个动点，满足AM=BN，连接AC交BN于点E，连接DE交AM于点F，连接CF，若正方形的边长为6，则线段CF 的最小值是3﹣3．解：如图，在正方形ABCD中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，在Rt△ADM和Rt△BCN中，，∴Rt△ADM≌Rt△BCN（HL），∴∠DAM=∠CBN，在△DCE和△BCE中，，∴△DCE≌△BCE（SAS），∴∠CDE=∠CBE∴∠DCM=∠CDE，∵∠ADF+∠CDE=∠ADC=90°，∴∠DAM+∠ADF=90°，∴∠AFD=180°﹣90°=90°，取AD的中点O，连接OF、OC，则OF=DO=AD=3，在Rt△ODC中，OC==3根据三角形的三边关系，OF+CF＞OC，∴当O、F、C三点共线时，CF的长度最小，最小值=OC﹣OF=3﹣3．故答案为：3﹣3．13．（2018•青海）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且=，则=．解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且=，∴=，则==．故答案为：．14．（2018•陕西）如图，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F是AB边上的点，且EF=AB；G、H是BC边上的点，且GH=BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则S1与S2之间的等量关系是=．解：∵==，==，∴S1=S△AOB，S2=S△BOC．∵点O是▱ABCD的对称中心，=S△BOC=S▱ABCD，∴S△AOB∴==．即S1与S2之间的等量关系是=．故答案为=．15．（2018•白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为πa．解：如图．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，∴的长=的长=的长==，∴勒洛三角形的周长为×3=πa．故答案为πa．16．（2018•青海）如图，用一个半径为20cm，面积为150πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计接头损耗），则圆锥的底面半径r为7.5cm．解：解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器底面半径为r，则由题意得R=20，由Rl=150π得l=15π；由2πr=15π得r=7.5cm．故答案是：7.5cm．17．（2018•新疆）如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，根据圆周角定理可得∠AOB=2∠C=120°，∴阴影部分的面积是=π，故答案为：三．解答题（共15小题）18．（2018•陕西）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）解：如图所示，点P即为所求：∵DP⊥AM，∴∠APD=∠ABM=90°，∵∠BAM+∠PAD=90°，∠PAD+∠ADP=90°，∴∠BAM=∠ADP，∴△DPA∽△ABM．19．（2018•宁夏）已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC=CP．（1）求∠P的度数；（2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且DE•DC=20，求⊙O的面积．（π取3.14）解：（1）连接OC，∵PC为⊙O的切线，∴∠OCP=90°，即∠2+∠P=90°，∵OA=OC，∴∠CAO=∠1，∵AC=CP，∴∠P=∠CAO，又∵∠2是△AOC的一个外角，∴∠2=2∠CAO=2∠P，∴2∠P+∠P=90°，∴∠P=30°；（2）连接AD，∵D为的中点，∴∠ACD=∠DAE，∴△ACD∽△EAD，∴=，即AD2=DC•DE，∵DC•DE=20，∴AD=2，∵=，∴AD=BD，∵AB是⊙O的直径，∴Rt△ADB为等腰直角三角形，∴AB=2，∴OA=AB=，=π•OA2=10π=31.4．∴S⊙O20．（2018•陕西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC交于点M、N．（1）过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；（2）连接MD，求证：MD=NB．证明：（1）连接ON，如图，∵CD为斜边AB上的中线，∴CD=AD=DB，∴∠1=∠B，∵OC=ON，∴∠1=∠2，∴∠2=∠B，∴ON∥DB，∵NE为切线，∴ON⊥NE，∴NE⊥AB；（2）连接DN，如图，∵CD为直径，∴∠CMD=∠CND=90°，而∠MCB=90°，∴四边形CMDN为矩形，∴DM=CN，∵DN⊥BC，∠1=∠B，∴CN=BN，∴MD=NB．21．（2018•宁夏）已知点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点C作CN⊥BE，垂足为M，交AB于点N．（1）求证：△ABE≌△BCN；（2）若N为AB的中点，求tan∠ABE．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=BC，∠A=∠CBN=90°，∠1+∠2=90°∵CM⊥BE，∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3在△ABE和△BCN中∴△ABE≌△BCN（ASA）；（2）∵N为AB中点，∴BN=AB又∵△ABE≌△BCN，∴AE=BN=AB在Rt△ABE中，tan∠ABE═．22．（2018•兰州）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，CF．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．（2）若GB=3，BC=6，BF=，求AB的长．解：（1）∵E是AC的中点，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AEF和△CED中，∵，∴△AEF≌△CED（AAS），∴AF=CD，又AB∥CD，即AF∥CD，∴四边形AFCD是平行四边形；（2）∵AB∥CD，∴△GBF∽△GCD，∴=，即=，解得：CD=，∵四边形AFCD是平行四边形，∴AF=CD=，∴AB=AF+BF=+=6．23．（2018•白银）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．解：（1）∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，∴∠CFH=∠CBG，∵BF=CF，∴△BGF≌△FHC，（2）当四边形EGFH是正方形时，可得：EF⊥GH且EF=GH，∵在△BEC中，点，H分别是BE，CE的中点，∴GH=，且GH∥BC，∴EF⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=EF=GH=a，∴矩形ABCD的面积=．24．（2018•陕西）问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为5．问题探究（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM 的最大值．问题解决（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP 之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）解：（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，∴OA=OB=OC，∵∠A=120°，AB=AC=5，∴△ABO是等边三角形，∴AB=OA=OB=5，（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，连接OA，由垂径定理可知：AM=AB=12，∵OA=13，∴由勾股定理可知：OM=5，∴PM=OM+OP=18，（3）设连接AP，OP分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，∴AM=AP=AN，∵∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，∴∠BAC=∠PAB+∠PAC=∠MAB+∠NAC=60°，∴∠MAN=120°∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，设AP=r，易求得：MN=r，∵PE=ME，PF=FN，∴PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r，∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值，∵AP+OP≥OA，∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，设AB的中点为Q，∴AQ=AC=3，∵∠BAC=60°，∴AQ=QC=AC=BQ=3，∴∠ABC=∠QCB=30°，∴∠ACB=90°，∴由勾股定理可知：BC=3，∵∠BOC=60°，OB=OC=3，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠ABO=90°∴由勾股定理可知：OA=3，∵OP=OB=3，∴AP=r=OA﹣OP=3﹣3，∴PE+EF+PF=MN=r=3﹣9∴PE+EF+PF的最小值为（3﹣9）km．25．（2018•兰州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD=∠B．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF=45°，⊙O的半径为5，sinB=，求CF 的长．（1）证明：连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠BCO+∠OCA=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠BCO，∴∠ACD+∠OCA=90°，即∠OCD=90°，∴DC为⊙O的切线；（2）解：Rt△ACB中，AB=10，sinB=，∴AC=6，BC=8，∵∠ACD=∠B，∠ADC=∠CDB，∴△CAD∽△BCD，∴，设AD=3x，CD=4x，Rt△OCD中，OC2+CD2=OD2，52+（4x）2=（5+3x）2，x=0（舍）或，∵∠CEF=45°，∠ACB=90°，∴CE=CF，设CF=a，∵∠CEF=∠ACD+∠CDE，∠CFE=∠B+∠BDF，∴∠CDE=∠BDF，∵∠ACD=∠B，∴△CED∽△BFD，∴，∴，a=，∴CF=．26．（2018•青海）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：AD=BF；（2）若平行四边形ABCD的面积为32，试求四边形EBCD的面积．解：（1）∵E是AB边上的中点，∴AE=BE．∵AD∥BC，∴∠ADE=∠F．在△ADE和△BFE中，∠ADE=∠F，∠DEA=∠FEB，AE=BE，∴△ADE≌△BFE．∴AD=BF．（2）过点D作DM⊥AB与M，则DM同时也是平行四边形ABCD的高．=•AB•DM=AB•DM=×32=8，∴S△AED=32﹣8=24．∴S四边形EBCD27．（2018•白银）如图，点O是△ABC的边AB上一点，⊙O与边AC相切于点E，与边BC，AB分别相交于点D，F，且DE=EF．（1）求证：∠C=90°；（2）当BC=3，sinA=时，求AF的长．解：（1）连接OE，BE，∵DE=EF，∴∴∠OBE=∠DBE∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE∴∠OEB=∠DBE，∴OE∥BC∵⊙O与边AC相切于点E，∴OE⊥AC∴BC⊥AC∴∠C=90°（2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA=∴AB=5，设⊙O的半径为r，则AO=5﹣r，在Rt△AOE中，sinA===∴r=∴AF=5﹣2×=28．（2018•青海）如图△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．（2）若PD=，求⊙O的直径．解：（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=，∴2OA=2PD=2．∴⊙O的直径为2．29．（2018•新疆）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（2）若BD=EF，连接EB，DF，判断四边形EBFD的形状，并说明理由．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE=CF，∴OE=OF，在△DEO和△BOF中，∴△DOE≌△BOF．（2）解：结论：四边形EBFD是矩形．理由：∵OD=OB，OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BD=EF，∴四边形EBFD是矩形．30．（2018•青海）请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：（1）探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．求证：△BCD的面积为a2．（提示：过点D作BC 边上的高DE，可证△ABC≌△BDE）（2）探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由．（3）探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程．解：（1）如图1，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于E，∴∠BED=∠ACB=90°，由旋转知，AB=AD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°，∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC=DE=a．=BC•DE∵S△BCD=；∴S△BCD（2）△BCD的面积为．理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°，∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°．∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°．∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS）∴BC=DE=a．=BC•DE∵S△BCD=；∴S△BCD（3）如图3，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a．∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED（AAS），∴BF=DE=a．∵S△BCD=BC•DE=•a•a=a2．∴△BCD 的面积为．31．（2018•宁夏）空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz．这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示．若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）．这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．（1）如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为（2，3，2），组成这个几何体的单位长方体的个数为12个；（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是①②⑤；（只填序号）①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式．②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数．③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同．④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数．（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：几何体有序数组单位长方体的个数表面上面积为S1的个数表面上面积为S2的个数表面上面积为S3的个数表面积（1，1，1） 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3（1，2，1） 2 4 2 4 4S1+2S2+4S3（3，1，1） 3 2 6 6 2S1+6S2+6S3（2，1，2） 4 4 8 4 4S1+8S2+4S3（1，5，1） 5 10 2 10 10S1+2S2+10S3（1，2，3） 6 12 6 4 12S1+6S2+4S3（1，1，7）7 14 14 2 14S1+14S2+2S3（2，2，2）8 8 8 8 8S1+8S2+8S3………………根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）；（用x、y、z、S1、S2、S3表示）（4）当S1=2，S2=3，S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积．（缝隙不计）解：（1）这种码放方式的有序数组为（2，3，2），组成这个几何体的单位长方体的个数为2×3×2=12个，故答案为（2，3，2），12；（2）正确的有①②⑤．故答案为①②⑤；（3）S（x，y，z）=2yzS1+2xzS2+2xyS3=2（yzS1+xzS2+xyS3）．（4）当S1=2，S2=3，S3=4时S（x，y，z）=2（yzS1+xzS2+xyS3）=2（2yz+3xz+4xy）欲使S（x，y，z）的值最小，不难看出x、y、z应满足x≤y≤z（x、y、z为正整数）．在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为（1，1，12），（1，2，6），（1，3，4），（2，2，3）．而S（1，1，12）=128，S（1，2，6）=100，S（1，3，4）=96，S（2，2，3）=92所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为：（2，2，3），最小面积为S（2，2，3）=92．。
2018重庆中考几何专题1学生版.docx
25.在AABC中，以AB为斜边，作直角AABD,使点D落在AABC内，ZADB=90°.H A图1 图2 图3(1) 如图1,若AB=AC, ZBAD=30°, AD二6馅，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM,求线段PM的长；(2) 如图2,若AB=AC,把AABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到AACE,连接ED 并延长交BC于点P,求证：BP=CP且ZADE=75°.25.在厶ABC屮，AB=AC,点D,点E在边BC上不同的两点,(1)如图1,若ZBAC=90°, CDf/耳求BC 的 2；(2)如图2,若ZBAC=90°, ZEAD=45°,求证：DCr/^BE；25. (1)如图1,若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的屮点，点E、F分别在AB、AC 边上，且ZEDF二90。
，连接AD、EF,当BO5典，FO2时，求EF的长度；(2)如图2,若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且ZEDF=90°； M 为EF 的中点，连接CM,当DF//AB 时，证明：3ED二2MC；图225.在Z\ABC中，AB二AC,点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF,使菱形CDEF 与点A在BC的同侧，连结BE,点G是BE的中点，连结AG、DG.(1)如图①，当ZBAOZDCF二90°时，已知AC二3血，CD二2,求AG的氏度；(2)如图②，当ZBAC二ZDCF二60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；25.如图，四边形ABCD为矩形，连接AC, AD=2CD,点E在AD边上.(1)如图1,若ZECD=30° , CE二4,求Z\AEC 的面积；・(2)如图2,延长BA至点F使得AF二2CD,连接FE并延长交CD于点G,过点D作DH丄EGEDGC25.己知四边形ABCD为菱形，连接BD,点E为菱形ABCD外任一点.图1 图2 图3(1)如图(1),若ZA二45° , AB=V6，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE, AD交于点F, •求DE的长.(2)如图(2),若2ZAEB=180° - ZBED, ZABE二60°,求证：BOBE+DE已知在LABC中，乙4^0=45°,过:点C作CD丄A5干点D, ZACD=^BDE,过点占作恥丄交加干点E.⑴如图4若眈=3私=，求40的长；2⑵如图2,过点C作少丄干点化点G是巧C中点，求证：ZC^G=45°；己知在中，ZABC=45\过点C作CD丄40于点D, AACD=^BDE t过点尸作庞丄4万交DE千点E.⑴如图1,若BG=3,BE =求人C的长;(2如图2,过点c作铮丄a于点兀点G是召C中点，求证：FC = j2FG+DF;2•如国，P为正方形ABCDi^BC M-点.BG1AP于点&在朋的延£线上取点臥使AG= GE,连^BS, CE.(1)如国1，咅正方形的逍辰为㊇、P"•求0G的£度：(2)如因2・当P点为方C的中点时，求证：CE』BG ：AN(3)如图3, ZCBE的平分线交直E干N点，连接DN,请直接写出河‘的値。
2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合（湖南专版）（原卷）
2018年全国各地中考数学压轴题汇编：几何综合（湖南专版）（原卷）2018年全国各地中考数学压轴题汇编（湖南专版）几何综合1．（2018?长沙）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．（1）求CE的长；（2）求证：△ABC为等腰三角形．（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．2．（2018?株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．3．（2018?长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD 交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c ＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y 轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC 的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．4．（2018?湘潭）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF 相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）求∠AOD的度数．5．（2018?株洲）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC ＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF=∠GCE．（1）求证：直线CG为⊙O的切线；（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB=CH，①△CBH∽△OBC；②求OH+HC的最大值．6．（2018?衡阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC=4，CE=2，求的长度．（结果保留π）7．（2018?湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．（1）若半圆的半径为10．①当∠AOM=60°时，求DM的长；②当AM=12时，求DM的长．（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．8．（2018?衡阳）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，动点P从点C出发以1cm/s 的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？（2）是否存在某一时刻t，使△APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）以PC为边，往CB方向作正方形CPMN，设四边形QNCP 的面积为S，求S关于t 的函数关系式．9．（2018?邵阳）如图1所示，在四边形ABCD中，点O，E，F，G分别是AB，BC，CD，AD的中点，连接OE，EF，FG，GO，GE．（1）证明：四边形OEFG是平行四边形；（2）将△OGE绕点O顺时针旋转得到△OMN，如图2所示，连接GM，EN．①若OE=，OG=1，求的值；②试在四边形ABCD中添加一个条件，使GM，EN的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）10．（2018?常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF=DA，AE∥BC交CF 于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）求证：BD=CF．11．（2018?岳阳）已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，CD为∠ACB的平分线，将∠ACB沿CD所在的直线对折，使点B落在点B′处，连结AB'，BB'，延长CD交BB'于点E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．（1）如图1，若AB=AC，求证：CD=2BE；（2）如图2，若AB≠AC，试求CD与BE的数量关系（用含α的式子表示）；（3）如图3，将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转角（α+45°），得到线段FC，连结EF交BC于点O，设△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，求（用含α的式子表示）．12．（2018?张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）．（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求出这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．13．（2018?常德）已知正方形ABCD中AC与BD交于O点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．。
2018年中考数学《几何图形的动点问题》同步提分训练含答案解析
2018年中考数学提分训练: 几何图形的动点问题一、选择题1.如图，在Rt△PMN中，∠P=90°，PM=PN，MN=6cm，矩形ABCD中AB=2cm，BC=10cm，点C和点M重合，点B，C（M）、N在同一直线上，令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线以每秒1cm的速度向右移动，至点C与点N重合为止，设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y，则y与x 的大致图象是（）A. B. C. D.2.如图1,在矩形ABCD中,动点E从A出发,沿方向运动,当点E到达点C时停止运动,过点E做,交CD于F点,设点E运动路程为x, ,如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象,当点E在BC上运动时,FC的最大长度是,则矩形ABCD的面积是( )A. B. C. 6 D. 53.如图甲，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB．点P从A出发，在⊙O上以每秒一个单位的速度匀速运动，回到点A运动结束．设运动时间为x，弦BP的长度为y，那么如图乙图象中可能表示y与x的函数关系的是（）A. ①B. ④C. ①或③D. ②或④4.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）A. B. C. D.5.如图,矩形ABCD,R是CD的中点,点M在BC边上运动,E，F分别为AM，MR的中点,则EF的长随M点的运动( )A. 变短B. 变长C. 不变D. 无法确定二、填空题6.在Rt△ABC中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为________．（结果不取近似值）7.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)、B(0，-3)，以点B为圆心、2 为半径的⊙B上有一动点P.连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为________．8.如图，在△ABC中，BC＝AC＝5，AB＝8，CD为AB边的高，点A在x轴上，点B在y轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下滑，并带动△ABC 在平面内滑动，设运动时间为t秒，当B到达原点时停止运动（1）连接OC，线段OC的长随t的变化而变化，当OC最大时，t＝________；（2）当△ABC的边与坐标轴平行时，t＝________。
全国中考数学真题分类汇编专题复习(八)函数与几何图形综合探究题(答案不全)(2021年整理)
全国2018年中考数学真题分类汇编专题复习（八）函数与几何图形综合探究题（答案不全）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（全国2018年中考数学真题分类汇编专题复习（八）函数与几何图形综合探究题（答案不全））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（分类)专题复习（八)函数与几何图形综合探究题类型1 探究线段最值问题（2018·烟台）（2018·广西六市）（2018·淮安）（2018·郴州)（2018·咸宁）（2018·山西）(2018·菏泽）24。
（本小题满分9分）(2018·淄博）如图，抛物线2y ax bx =+经过OAB ∆的三个顶点，其中点(3A ，点(3,3B -，O 为坐标原点．（1)求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若()()P m Q t n为该抛物线上的两点,且n m4,,,<，求t的取值范围；(3）若C为线段AB上的一个动点,当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求BOC∠的大小及点C的坐标.（2018·湘潭)(2018·永州）(2018·泸州）25. 如图11，已知二次函数23(2)34y ax a x =--+的图象经过点A （4，0），与y 轴交于点B.在x轴上有一动点C(m ，0) （0〈m<4），过点C 作x 轴的垂线交直线AB 于点E,交该二次函数图象于点D.（1)求a 的值和直线AB 的解析式；(2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，设△ACE ，△DEF 的面积分别为1S ，2S ，若124S S =,求m 的值； (3）点H 是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G 是线段AB 上的动点,当四边形DEGH是平行四边形， 且DEGH 周长取最大值时，求点G 的坐标.xyOHGFEDCB A24．（2018·宜宾）(本小题12分）（注意．．：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0），且经过点(4，1），如图，直线y=错误!x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y= –1。
2018年全国中考数学真题分类 线段垂直平分线、角平分线、中位线解析版(精品文档)
2018年全国中考数学真题分类线段垂直平分线、角平分线、中位线（二）一、选择题1. (2018黑龙江大庆，9，3) 如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB的度数是( )A．30°B．35°C．45°D．60°【答案】B，【解析】过点M作MN⊥AD于N，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得MC＝MN，然后求出MB＝MN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AM是∠BAD的平分线，然后求出∠AMB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．二、填空题1. （2018山东省东营市，15，3分）如图，在RT△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC于点E,F，再分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD=3,AC=10，则△ACD的面积是。
15．（2018山东省东营市，15，3分）如图，在RT△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC于点E,F，再分别以点E,F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D，若BD=3,AC=10，则△ACD的面积是。
【答案】15【解析】由作图语言叙述知CD是∠ACB的平分线，所以过D作AC的垂线段的长就是△ACD的高，而这个垂线段的长由角平分线的性质定理知它等于BD的长。
所以△ACD的面积12AC BD=15.【知识点】角平分线性质定理，三角形的面积公式。
2. （2018年江苏省南京市，14，2分） .如图，在ABC△中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE.若10cmBC=，则DE=cm．【答案】5【解析】∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，∴D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=5cm．故答案为：5．【知识点】线段垂直平分线中位线3. （2018贵州省毕节市，17，3分）如图,在△ABC中,AC＝10,BC＝6,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则△BCE的周长是________.[来源:【答案】16．第15题图第16题图【解析】∵DE 是AB 垂直平分线，∴AE ＝BE , ∴C △BCE ＝BC ＋CE ＋BE ＝BC ＋CE ＋AE ＝BC ＋AC ＝6＋10＝16．【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形的周长公式4. （2018山西省，14题，3分） 如图，直线MN ∥PQ.直线AB 分别与MN,PQ 相交于点A,B.小宇同学利用尺规按以下步骤作图:①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交AN 于点C,交AB 于点D;②分别以C,D 为圆心,以大于12CD 长为半径作弧，两弧在∠NAB 内交于点E;③作射线AE 交PQ于点F.若AB=2.∠ABP =60°则线段AF 的长为 ．【答案】2√3【解析】解：过点A 作AG ⊥PQ 交PQ 与点G由作图可知，AF 平分∠NAB ∵ MN ∥PQ ；AF 平分∠NAB ；∠ABP =60°∴ ∠AFG =30°在Rt △ABG 中，∠ABP =60°，AB=2；∴ AG =√3在Rt △AFG 中，∠AFG =30°，AG =√3；∴ AF =2√3【知识点】角平分线、特殊角三角函数PP5. （2018内蒙古通辽，16，3分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接A D ．若AB ＝BD ，AB ＝6，∠C ＝30°，则△ACD 的面积为 ．【答案】9 3【解析】依题意MN 是AC 的垂直平分线，所以∠C ＝∠DAC ＝30°，所以∠ADB ＝∠C ＋∠DAC ＝60°，又AB ＝BD ，所以△ABD 为等边三角形，∠BAD ＝60°，所以∠BAC ＝∠DAC ＋∠BAD ＝90°，因为AB＝6，所以AC ＝63，所以△ABC 的面积为12×6×63＝183．又BD ＝AD ＝DC ，所以S △ACD ＝12S △ABC ＝93，故应填：93．6.（2018辽宁省抚顺市，题号16，分值3）如图，ABCD 中，AB=7，BC=3，连接AC ，分别以点连接AE ，则△AED 的周长是__________.【答案】10【解析】由题可知，直线MN 是线段AC 的垂直平分线，∴AE=EC.∵在ABCD 中DE+EC=CD=AB=7,AD=BC=3，∴△AED 的周长为AD+DE+AE=BC+DE+EC=BC+CD=10.【知识点】用尺规作垂直平分线，垂直平分线的性质.三、解答题1. (2018甘肃省兰州市,20,6分)如图,在Rt△ABC中.(1)利用尺度作图,在BC边上求作一点P,使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长;（2）利用尺规作图,作出(1)中的线段PD.(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)【思路分析】PC⊥AC,要使P到AB的距离(PD的长)等于PC的长,即求∠A的角平分线与BC的交点.【解题过程】(1)作∠A的平分线AD,交BC于P;(2)过点P作直线AB的垂线,垂中为D｡【知识点】尺规作图2. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，18，5分）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．CA B第20题图【思路分析】（1）在只能用直尺画角平分线的情况下，就设法将∠MON 放置在能画出角平分线的图形中，如菱形．（2）原图是由全等的小菱形组成的，∴要想找到直角就要从菱形的对角线方面入手考虑．设法找让三角形中的一个顶点处在两个菱形的对角线交点位置，并且在格点上．【解题过程】解：（1）如图①，将∠MON 放在菱形AOBC 中，连接对角线OC ，并取格点P ，OP 即为所求．2分 如图②所示，△ABC 或△ABC 1均可．3. （2018湖南省怀化市，19，10分）已知：如图，点A ，F ，E ，C 在同一直线上，AB//DC ，AB ＝CD ，D B ∠=∠（1）求证：∆ABE ≅∆CDF ；（2）若点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，连接EG ，且EG ＝5，求AB 的长．（第18题图） 图①图② B A ONM第18题答图 PA 图①O NMBC C 1 C 图② B A【思路分析】（1）首先根据AB//DC 可得CFD AEB ∠=∠，再加上条件AB ＝CD ，D B ∠=∠可利用AAS定理证明三角形全等．（2）根据（1）中的全等，可知AB ＝CD ，再根据三角形中位线定理可知已知量EG 和未知量CD 的等量关系，即可求出CD ，继而求出AB 的长度．【解题过程】（1）证明：∵AB//DC ∴CFD AEB ∠=∠，又∵D B ∠=∠，AB ＝CD ，∴在∆ABE 和∆CDF中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,CD AB D B CFD AED ∴∆ABE ≅∆CDF(AAS)（2）∵点E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，∴线段EG 为CDF ∆的中位线，根据三角形中位线的性质定理，可得：CD EG 21=，又∵∆ABE ≅∆CDF ∴AB ＝CD ∴52121===AB CD EG ， ∴521=AB ，即10=AB ． 【知识点】全等三角形的判定方法 三角形中位线定理。
2018重庆中考数学第24题有关中点的专题训练
2018重庆中考数学第24题有关中点的专题训练一、证明是中点的问题-------基本方法是利用共圆或作平行线或利用等腰三角形1、在ABC ∆与ADF ∆中，90BAC DAF ∠=∠=,AB AC =,AD AF =,DF 的延长线交BC 于点E ,连接BD 、CF .（1）如图1，当点C A D 、、三点在同一直线上，且AC =，AF CE 的长； （2）如图2，当90AFC ∠=时，求证：E 是BC 的中点；方法一：连接AE ，利用A 、D 、B 、E 共圆。
方法二：作平行线2、（重庆市沙坪坝区初2018届初三上期期末考试）AB CD EABM图1 图24、已知：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，点E是直角边AC上一点，连接DE、BE．（1）若DE⊥AB且BC=3，AC=4，如图1，求△CDE的面积；（2）∠AED=∠BEC，如图2，求证：F是CD的中点．方法一：方法二：方法三：5、重庆一中初2018届初三上期期末方法一：（利用共圆和等腰三角形）连接BE 方法二：连接AD二、已知中点问题-----基本方法是利用平行线构造全等或倍长中线或构造中位线。
1、（重庆市万州区初2018届初三上期期末）2、重庆南开（融侨）中学初2018级初三上阶段测试三如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 为AB 上一点，连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°至CE ，连接AE.（1）的长；，求，若连接AB AE CD ED 4255,==（2）如图2，若点F 为AD 的中点，连接EB 、CF ，求证：CF⊥EB.方法一：利用中位线 方法二：利用倍长中线三、构造中点问题-----基本方法是构造中位线。
（重庆实验外国语学校初2018届初三上期期末）24．如图，Rt△ABC与Rt△BCD在线段BC的异侧，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°．5，BD=31，求CD的长；（1）如图1，已知AC=2（2）如图2，将Rt△BCD绕着点B逆时针旋转90°得到Rt△BAF，点C、D的对应点分别是点A、F，连接CF和AD．过点B作BH⊥CF于点H，交AD于点M．求证：CF=2BM．方法一：延长DB至G，使BG=BD，连接AG。
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专题一中点M型基本条件：①∠PMQ＝∠B＝∠C；②M是BC的中点基本结论：①△EMF∽△EBM∽△MCF.②EM平分∠BEF，FM平分∠EFC.③EM＝EB·EF，FM＝FC·EF.常见特例：特例一：条件：①等边△ABC；②∠MPN＝60°，③P是BC的中点。
特例二：条件：①等腰直角△ABC，AC＝BC，∠C＝90°；②∠EDF＝45°；③点D是AB的中点。
特例三：条件：①AB＝AC；②∠BAC＝120°，∠EDF＝30°，③D是BC的中点。
特例四：条件：①矩形ABCD；②∠GEF＝90°，③E是AB的中点。
特例五：条件：①直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°；②E是AD的中点；③∠BEC＝90°。
巩固练习：1.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，E为AB的中点，若AD＝2，BC＝4，∠CED＝90°，则CD长为。
2.如图，在正方形ABCD中，点E、F在边BC、CD上，若AE＝2，EF＝1，AF＝，则正方形的边长为。
3.已知：等边△ABC中，AB＝8，点D为AB的中点，点M为BC上一动点，以DM为一边，在点B异侧作等边△DMN。
DN交AC于点F，当∠DAN＝90°时，则FN的长为。
4.如图，以矩形OABC的邻边OA、OC分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，F为线段OA上的一点，将△COF沿直线CF翻折，点O落在AB的中点E处，且OC＝6.（1）求直线EF的解析式；（2）将直线EF绕点F逆时针旋转90°，得到直线m，直线m交y轴于点D，求点D的坐标。
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D为BC边的中点，BE⊥AC于E，DF⊥AB于F.(1)当0＜α＜90，（如图1），求证：AE＋2BF＝AB；(2)当90＜α＜180，（如图2），则AE、BF、AB之间的数量关系；(3)在（1）的条件下，过点D作DG∥AB，交AC于G，且DF＝GE＝3时（如图3），求BF的值。
2.已知：直角梯形ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝BC，E为射线BC上一点，连接AE，过点E作AE的垂线，分别交直线AB、直线CD于点G和F.(1)当点E在BC上时（如图1），求证：BE＝BG＋CF.(2)当点E在BC的延长线上时（如图2），猜想BE、BG和CF的数量关系，并证明你的猜想；(3)在（2）的条件下，设AE交CD于点H，若CH＝BE，AB＝2，且CD＜，求EG的长。
“A”字型专题1.已知，在正方形ABCD中，点E是边AB上一点，点G在边AD上，连接EG，EG＝DG，作EF⊥EG，交边BC于点F(图1)。
（1）求证：AE＋CF＝EF；（2）连接正方形ABCD的对角线AC，连接DF，线段AC与线段DF相交于点K（图2），探究线段AE、AD、AK之间的数量关系，直接写出你的结论。
（3）在（2）的条件下，连接线段DE与线段AC相交于点P，（图3）若AK＝8，△BEF的周长为24，求PK的长。
2.如图，在△ABC中，AB＝2AC，点D在BC上，且∠CAD＝∠B，点E在AB的中点，连接CE，CE与AD交于点G，点F在BC上，且∠CEF＝∠BAC.（1）若∠BAC＝90°，如图1，求证：EG＋EF＝AC；（2）若∠BAC＝120°，如图2，此时线段EG、EF、AC三者之间的数量关系为；（3）在（2）的条件下，在∠BAD的内部作∠DAM＝60°，∠DAM的一边AM交BC于点M，AM与CE交于点N，若AC＝2，求线段MN的长。
3.已知，在△ABC中， BC＝AC，∠MCN＝∠ACB，CM交AB于点E，过点B作BF⊥CB交CN于点F.（1）当∠ACB＝90°（如图1所示）时，求证：BE－AE＝BF；（2）当∠ACB＝120°（如图2所示）时，线段BE、AE与BF之间的数量关系为；（3）在（2）的条件下，FB、CE的延长线相交于点G，连接AG、FE，直线AG、FE交于点H,若AC＝6，BF＝BE，求AH的长。
“X”字型专题1.已知，A、C分别为∠BOE两边上的两点，D为∠BOE内一点，DC∥OB，DA∥OE，连接OD、AC相交于点F，G为FD上一点，过点G的直线交OE于Q，交CD于点P，交AD于点N，交OB于点M. （1）若FG＝FD时（如图1），求证：PQ＋MN＝PN；（2）若FG＝FD时（如图1），且△OAC为等边三角形，OC＝4，CQ＝3，现将∠DAC绕点A顺时针旋转，旋转后AD所在边交OC于S，AC所在边交CD于点T，当旋转到AT∥MQ时，连接ST，求：ST长。
2.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，sin∠BAC＝(即＝)，P为AB边上一点，过点P作PM⊥BC，PN⊥AD垂足为M、N。
（1）当点M与点D重合时，求证：PM＝P N.（2）当点N与点重合时，连接AM交PD于点E，将射线PD绕点P顺时针旋转45°，交AM于点F；若AC＝3，求EF的长。
“M”字型专题1.已知，四边形ABCD中，AD＝AB，AD∥BC，∠A＝90°，M为AD的中点，F为BC边上一点，连接MF，过M点作ME⊥MF，交边AB于点E。
（1）如图1，当∠ADC＝90°时，求证：4AE＋2CF＝CD.（2）如图2，当∠ADC＝135°时，线段AE、CF、CD的数量关系为 .（3）如图3，在（1）的条件下，连接EF、EC、EC与FM相交于点K，线段FM关于FE对称的线段与AB相交于点N，若NE＝，FC＝AE，求MK的长。
2.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，过点B作∠BAC平分线AD的垂线，垂足为D，AD交BC于点E.（1）当＝时，求证：DE＝AE；（2）当＝时，判断DE、AE的关系；（3）在（2）的条件下，取CD中点F，连结EF并延长交AC延长线于点G，交CD于F，现有一个45°角顶点与F重合，将它旋转一边交CG于点M，另一边交BC于点N，若CM＝MG，AC＝3，求CN的长。
2.如图1，在△ABC中，AC＝BC ，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，以点D为顶点，作∠PDQ＝90°，DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F，分别过点E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N.（1）求证：EM＋FN＝AC.（2）把∠PDQ绕点D旋转，当点E在线段AC的延长线上时（如图2）特别资料一、基本图形：“A”字型1.计算，已知：△ABC中，DA交BF于点E，AE＝ED，BD：CD＝1:2，AC＝4，求AF的值。
2.已知，△ABC中，AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，若AC＝6，BC＝3，求AD的长。
3.已知，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AF＝2，AB＝，求DE的长度。
4.已知，D在BC的延长线上，DF交AC于点E，E为AC的中点，BF＝3AF. 求证：BC＝2CD.5.已知：△AB C、△BCE均为等边三角形，且A、B、C共线，求证：（1）MN∥AC （2）6.已知，△ABC中，AD、CE分别平分∠BAC，∠ACB ，∠B＝60°，求证：（1）AE＋CD＝AC （2）若AD＝5，PC＝6，求AE的长。
二、基本图形：“X”字型1.已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥DE，且DB＝BC，若AE:EC＝1:3，AB＝5，求AD的长。
2.已知：△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC交AD于点F，若∠BAC＝45°，CD＝1，BD＝求AD的长。
3.已知，矩形ABCD沿BE折叠后C与G重合，若DE＝1，CE＝2，BC＝6，求AF的长。
4.已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BF平分∠ABC，且FC＝2AF，求证：BE＝EF.5.已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB⊥BD，∠DAE＝60°，求证：BD＋2EC＝AC.6.已知：矩形ABCD沿AE折叠后B与G重合，且CE:BE＝1:2，求证：AF－FD＝AB.7.已知：矩形ABCD中，B（8，5），点P（m，0）且0＜m＜8，点O关于直线PC的对称点为O，直线CO交直线AB于Q,求m为何值时，△PCQ是以PQ为底边的等腰三角形。
三、基本图形“直射影、斜射影”1.已知：△ABC中，∠BAD＝∠C，若AB＝4，BD＝2，求AD长。
2.已知：△ABC中，AD⊥AC，若AB＝AC＝6，BD＝1，求BC的长。
3.已知：AB⊥CD，∠CED＝90°，DF⊥AC交BE于点G，若BG＝3，AE＝6，求EG的长。
4.已知：AD平分∠BAC，E在BC的延长线上，EF垂直平分AD且CE＝2CD，求证：DE＝2BD.5.已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，延长AC至E使∠CED＝∠CBE，求证：AC＝CE .6. 已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E为AD中点，且EF⊥EC，求证：BF＝3DF .7.已知：梯形OABC中，BC∥OA，B（3，6），A（8,0）点P(m，n)在AB边上（3＜m＜8），过P作OA平行线OA，交AC于D，过P作OA的垂线交OA于点E，求，当m为何值时，△ODE为直角三角形？8.已知：△ABC中，BC＝2AB，P为BC中点，∠ABC＝∠APF＝120°，且∠ABD＝∠C，（1）求证：PF＝AE （2）若AD＝，求DE的长。
四、基本图形“M”型①直M型②斜M型1.已知：Rt △ABC中，∠C＝90°，D为BC中点，∠ADE＝∠B，若AC＝2，BC＝4，求BE的长。
2.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠AEF＝90°，若AB＝3，BE＝1，AD＝6，EC＝8，求DF的长。
3. 已知：Rt △ABC中，∠BAC＝90°，D为BC中点，∠EDF＝∠B＝45°，若BF＝2，AE＝3，求EF的长。
4.已知：△ABC为等边三角形，D为BC中点，∠EDF＝60°，若AE＝3，EF＝7，求FC的长。
5. 已知：△ABC中，∠BAC＝120°，∠EDF＝∠B＝30°，且AB＝2AE，求证:DF＝CF。
6. 已知：Rt △ABC中，∠A＝90°，∠EDF＝∠B＝45°，若AE: BD＝1:，求证：EC＝2AE。
7.已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝CD，PA:PD＝1:2，且∠A＝∠EPF＝120°求证：PF＝3PE.8.已知：梯形ABCD中，BC∥OA，A(，0)，B（，8），点P在BC边上，点Q（m，n）在AB边上，PO⊥PQ，求当m为何值时，? 9. Rt △ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AD，且AC＝2CD,（1）求证：BD＝2BE.（2）连接EC交AD于F，BD·CD＝60，求DF的长。