分式方程的无解与增根-课件
人教版八年级数学上册15.3分式方程(增根.无解)ppt精品课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
3x23x23 无m x解x，
二、利用分式方程解的情况确定所含字母的取值 范围
例3.若分式方程 的取值范围. a
2xx的2a解 是1正数，求
例3.若分式方程 的取值范围. a
2xx的2a解 是1正数，求
方法总结： 1.化整式方程求解. 2.根据题意列不等式组.（特别注意分式方程中分母 能为0）。
2019/7/8
最新中小学教学课件
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you!2019/7/8最新小学教学课件学习重点：
利用分式方程解的情况确定所含字母的取值。
练习：解方程：
x 1
3
x1
(x1)(x2)
.
一、分式方程增根的应用
例1、分式方程 有增根，求m的值。
1 m x 2 x 1
方法总结： 1.化为整式方程。（方程可以不整理） 2.确定增根。 3.把增根代入整式方程求出字母的值。
练习：已知关于x的方程 求实数K的值。
1 4x2
2 有 增x k根2
练习：解方程：
x 2 1 x 1 3x 3
.
例2、若关于x的分式方程 无解，求m的值．
xm 3 1 x1 x
方法总结： 1.化为整式方程（整式方程需要整理）. 2. 分两种情况讨论 （1）整式方程无解 （2）分式方程有增根.
最牛归纳 分式方程增根或无解专题讲解PPT18页
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
最牛归纳 分式方程增根或无解专题讲 解
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
有增根和无解的区别课件
当分式方程有增根时，其最简公分母 为0。
无解的定义
无解是指分式方程在所有实数范 围内都没有解。
当分式方程无解时，其最简公分 母为0，但此时原方程的解不存
在。
无解的产生可能是由于分式方程 的系数或常数项存在矛盾或错误 ，导致无法找到满足所有条件的
解。
02
增根和无解的区别
数学表达上的区别
增根
在解分式方程、无理方程或绝对值方程时，如果解得的根使原方程的分母为0 ，则该根为增根。增根是原方程的“假根”，因为它不满足原方程的定义域。
03
增根和无解的判定方法
增根的判定方法
增根是指满足原方程但不满足分 式方程的解，通常是由于分式方 程的最简公分母为0而产生的。
增根的判定方法是通过将分式方 程转化为整式方程，然后求解整 式方程，得到解后再验证是否满
足原分式方程。
在验证过程中，如果解使得最简 公分母为0，则该解为增根，否
则为原分式方程的解。
05
增根和无解的实例解析
增根的实例解析
总结词
增根是由于解方程过程中，对方程进行变形时引入了额外的解，这些解并不满足 原方程。
详细描述
例如，在解方程 (x^2 - 4 = 0) 时，我们可以将其变形为 (x^2 = 4)，从而得到解 (x = pm 2)。但实际上，原方程的解应该是 (x = 2) 或 (x = -2)，因此，(x = -2) 是增根，因为它并不满足原方程。
无解的判定方法
无解是指分式方程没有满足条件的解，即不存在满足原方程的解。
无解的判定方法是当分式方程转化为整式方程后，无法找到满足原方程 的解，或者解使得最简公分母为0。
在判定无解时，需要仔细检查原方程是否有误或者是否无法找到满足条 件的解。
分式方程的增根与无解
目录
• 分式方程的增根 • 分式方程的无解 • 分式方程增根与无解的关系 • 分式方程增根与无解的实例解析 • 分式来自程增根与无解的解题策略01
分式方程的增根
增根的定义
01
增根是指满足原方程但不满足分 式方程的解。
02
当分式方程的最简公分母等于0时 ，该解为增根。
增根的产生原因
分。
04
分式方程增根与无解的实 例解析
增根实例解析
01
02
03
增根的概念
增根是指满足原方程但不 满足分式方程的解。
增根的例子
考虑方程 $frac{x}{2} frac{3}{x - 2} = 1$，其增 根可能是 $x = 2$，因为 当 $x = 2$ 时，分母 $x 2$ 为零，使得方程无意 义。
当分式方程的最简公分母为0时，会 导致方程无解或解不唯一，从而产生 增根。
增根的产生与方程的化简过程有关， 如果化简过程中出现错误，也可能导 致增根的出现。
增根的判断方法
将一个解代入最简公分母，如果 最简公分母等于0，则该解为增
根。
通过解方程得到多个解，然后逐 一检验这些解，如果某个解使得 最简公分母等于0，则该解为增
增根与无解的联系
增根可能导致分式方程无解
01
如果分式方程有增根，那么该增根可能使得分式方程在某些条
件下无解。
无解不一定是增根引起的
02
分式方程无解的原因可能不仅仅是增根，还可能是原方程本身
没有解或者分式方程的解不满足某些条件。
增根和无解都是分式方程的特殊情况
03
增根和无解都是分式方程可能遇到的情况，需要特别注意和区
如果方程两边化简后不相等，则方程无解。
分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解分式方程的增根：在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0（使整式方程成立，而在分式方程中分母为0），那么这个解叫做原分式方程的增根。
【引例】：解方程213222x x x x -=-- 解：去分母，方程两边乘以(2)x x -，得232x x --=-解得0x =检验，当0x =时(2)0x x -= 则0x =为原方程的增根所以原方程无解.说明：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等。
如上题中，不论x 取何值，都不能使原方程两边的值相等，因此原方程无解。
又如对于方程20x=，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。
思考：是不是产生了增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定会产生增根呢？ 比如：方程22211x x x x x x+-=++，去分母后化为(3)(1)0x x -+=，解得3x =或1x =-，此时，1x =-是原方程的增根，但原方程并不是无解，而是有一个解3x =； 又比如分式方程21122x x =--，如果等式两边乘以最简公分母2(1)x -，去分母后的 整式方程无解，原分式方程无解。
此时没有产生增根。
而如果交叉相乘相等（即等式两边乘以22(1)x -）得到的整式方程的解为1x =，1x =为分式方程的增根。
原分式方程无解。
因此分式方程增根的产生与分式方程转化为整式方程的过程有关。
在分式方程转化为整式方程的过程中，去分母的方式不一样，得到增根的结果可能不一样。
再比如引例中，如果分式两边乘以公分母2(2)x x -，得到整式方程为2(2)3(2)2(2)x x x x x ---=-，解得2x =，检验，当2x =时，原分式方程无意义，则2x =为原方程的增根。
所以原方程无解。
所以，产生了增根的分式方程不一定无解，而无解的分式方程不一定会产生增根呢。
思考：有没有什么方法在解分式方程的过程中可以避免增根呢？有的，比如：方程22211x x x x x x +-=++，将等式右边化为0，得222101x x x x x x+--=++， 左边通分2222(1)0(1)x x x x --+=+，即2230(1)x x x x --=+，分子分解因式再约分，得30x x -=， 由分子30x -=，得3x =。
分式方程有增根和无解 PPT课件
解得：
且
方法总结：1.化整式方程求根，且不能是增根. 2.根据题意列不等式组.
例2：k为何值时，关于x的方程
1 3 k2
解为正，求k的取 值范围？
x2 2x
1.若方程 -X--a-+-1-= 1的解是负数,求a 的取值范围.
2. a为何值时,关于x的方程 -a----1-- = 2 的解为非负数 x-1
复习回顾
1.解分式方程的思路是：
分式
转化
整式
方程
去分母
方程
2.解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
“一化 二 解 (2)解这个整式方程. 三验 四结”
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最 简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
(4)写出原方程的根.
• 4、分式方程 x 2 ● x 1 1- x
• 中的一个分 子被污染成了●，已知 这个方程无解，那么被污染的分子 ●应该是 。
（1）方程
X-4 x-5
=
1 X-5
有增根，则增根是_X_=_5
（2）
1-X x-2
=
1 2-X
-2
有增根，则增根是_X_=_2
（3） 解关于x的方程
x-3 x-1
=
①
解：方程两边都乘以（x+2）（x-2）得
2（x+2）-4x=3（x-2）②
解之得 x=2． 检验：当x=2时（x+2）（x-2） =0 ∴ x=２是原方程的增根． ∴原方程无解．
方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．去分母后 方程②中未知数x的取值范围扩大为全体数． ∴当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根． 本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，
分式方程的增根与无解
如何准确理解分式方程的增根与无解在分式方程教学中，我们要知道分式方程的增根与无解的意义是有区别的，分式方程有增根，一定是化简后整式方程的解（或根），分式方程无解不一定是化简后整式方程的解（或根），因而分式方程不一定有增根。
分式方程的增根是指在把分式方程是指把分式方程转化为整式方程时，即在去分母的过程中，因为分母含有未知数的字母，无形中可能使分式两边同时乘以一个为0的数，这样就导致未知数字母的取值范围扩大，使得方程的解可能是整式方程的解，但不一定是原分式方程的解.如果整式方程的解使原分式方程的分母为0，那么为个解（或根）就是分式方程的增根.；如果整式方程的解使原分式方程的分母不为0，那么为个解（或根）就是分式方程的根.所以说，分式方程的增根一定是去分母化简后整式方程的根，且使原分式方程中的分母等于0.分式方程无解有两种情况：一种是增根使分式方程无解，与上面理由相同；另一种是化简后整式方程无解而导致分式方程无解.我们知道一元一次方程标准形式中0=+b ax ，当0≠a 时，一元一次方程有解（或根）；当0=a ，0≠b 时，左边＝b ，右边＝0，有左边≠右边，从而一元一次方程无解，导致原分式方程无解。
综上所述，可简记为：“分式方程有增根⇒分母＝0”；“分式方程无解⇒⎩⎨⎧⇒⇒00未知数的系数＝整式方程无解分母＝分式方程无解”. 例1、 若关于x 的方程xm x x -=--113产生增根，求常数m 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得m x -=-3分式方程有增根∴ 01=-x 解得：1=x把1=x 代入m x -=-3 有m -=-31∴ 2=m小结：解分式方程有增根一般通过三个步骤，求出字母系数的值：一是先把分式方程化为整式方程；二是求出分母为0时x 的值；三是把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值.练习：1、若关于x 的方程xx x x m x x 1122+=+-+有增根，求m 的值. （参考答案：21或-=m ）2、若关于x 的方程xx x a --=+-2132有增根，求a 的值.)1(=a 参考答案： 3、若分式方程：xx kx -=-+21212－有增根，求k 的值. （参考答案：1=k ） 例2、若关于x 的方程0111=--+x ax 无解，求a 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得0)1(1=--+x ax整理得：02)1(=+-x a分式方程有无解∴ 01=-x 或 01=-a当01=-x 时，有1=x ∴021)1(=+⨯-a 得 1-=a当01=-a 时，有1=a由上可知：1-=a 或 1小结：分式方程无解，要考虑两个方面：一是分式方程有增根导致无解；另一个是化简后的整式方程无解导致原分式方程无解.练习：1、若关于x 的方程234222+=-+-x x ax x 无解，求a 的值. （参考答案：a ＝－4或1或6）23=。
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例3、若关于x的方程
x x
-
3 2
m 2-x
有无增解根， ，
求m的值。
解：原方程可化为x - 3 = - m
x -2 x-2
方程两边同乘以（x - 2），得
x -3=-m ∴x =3- m
1、化为整式方程。
∵原方程有无增解根 x 2，即2 3- m
解得，m =1
2、把增根代入整式方程
∴当m 1时，原方程有 无增 解根 。。求出字母的值。
1）原方程去分母后的整式方程无解，
2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。
关于分式方程的增根与无解问题 的一般步骤：
1、去分母，化分式方程为整式方程。 2、解这个整式方程。 3、根据题意讨论这个解可能出现的 情况，得出有关字母系数的取值。
课堂作业：
基础题：
1、关于x的分式方程
3x x
1 1
1
m
x
1有增根，则m=__。
2、若关于x的分式方程
x x
1 5
10
m
2x
无解，m=__。
3、关于x的分式方程
x x
-
a
1
3
x
1无解，则a
__。
提高题：
4、若方程 2x a 1 的解是正数，求a的取值范围. x2
想一想
若方程 2x a 1的解是正数，求a的取值范围. x2
应用升华
1.如果 1 +3= 1- x
x -2 2-x
有增根,那么增根是___X_=__2____.
2.关于x的方程
x
2 2
k x2 4
3 x
2
有增根,
那么增根可能是____X_=__2__或___x_=__-__2__．
则k的值可能为__K_=_-_8_或__k_=_-_1_2__
方法总结：1、化为整式方程。2、确定增根。 3、把增根代入整式方程求出字母的值。
是分式方程的增根。
（× ）
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
分式方程无解则是指不论未知数取何值，都 不能使方程两边的值等．它包含两种情形：
（1）原方程去分母后的整式方程出现 0x=b（b≠0），此时整式方程无解； （2）原方程去分母后的整式方程有解， 但这个解却使原方程的分母为0，它是原 方程的增根，从而原方程无解．
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得 2(x+2)-4x=3(x-2)．
解这个方程，得x=2． 检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0， 所以x=２不是原分式方程的解． 所以原分式方程无解．
例2 解方程： x -1 = 3 - x +2 x +2 x +2
解：方程两边都乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2)
整理得 0x＝8． 因为此方程无解， 所以原分式方程无解．
深入探究 判断：
1、有增根的分式方程就一定无解。
（× ）
2、无例解如的分：式方程x就-一3定有增根0。； X=-（3×） 3、分式方程若( x有增3根)(，x增-根1)代入最简公分母
中，其值一例定如为0。：2 = 0 0X=2 （√ ） x 4、使分式方程的分母等0哪些收获？
课后作业：
1、已知关于 x的方程
2x m x-2
3的解为正数，
则的范围是
2、若关于 x的方程
x x
k
1
x
k
1
1的解为负数，
则k的取值范围是
例4、当a为何值时，关于 x的方程
2 x-
2
+
ax x2 -
4
=
x
3 +
2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，
得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)
整理得（a－1）x＝－10
②
（无（综把1解 2上x））＝。 所当当若则把解2述或aa原增得x，--＝－11分根，≠a2=20＝式为a或0代时＝即1方x－入，或－=a程22方=xa4代或1有＝＝或程入x时增2一6=②或．方(-根４a2中－-程1，或，)2②xa时得=＝中-，1a6，0＝原时无－方，解4程原，或无分原6．解式方，方程 程无解．
人教版 八年级上册 第十五章
分式方程的增根与无解
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程 去分母 整式方程
一化
解整式方程
二解
目标
X=a
检验
三检验
a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
方程的解
方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程： 2 4x 3 x 2 x2 4 x 2
展示交流☞
若方程 2x a 1的解是正数，求a的取值范围. x2
关于这道题，有位同学作出如下解答：
解：去分母得，2x+a=-x+2.
化简，得 3x=2-a.
故
x= 2 a
3
因为方程的解为正数，所以
222333aaa0
0
，得a<2. 且a≠-4
2
所以，当a<2且a≠-4时，方程 2x a 1 的解是正数.
课堂练习： 1.当m为何值时,方程 x m 1 x 1 有增根.
x 1 x2 x x
2、关于x的方程 x a - 3 1无解，求a。 x -1 x
课堂小结：
1、分式方程的增根是在分式方程化为整式 方程的过程中，整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。
2、分式方程无解则包含两种情形：