抛物线的参数方程(教师版)
抛物线的参数方程-课件
③
将①，②代入③，得到
y(－xy)＋2p－x＝0， 即 x2＋y2－2px＝0(x≠0)， 这就是点 M 的轨迹方程．
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9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/12021/3/12021/3/13/1/2021 8:59:56 AM
1．双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线ax22－by22＝1 的参
数方程是xy＝＝batsaenc
φ， φ
规定参数 φ 的取值范围为 φ∈[0,2π)
且 φ≠π2，φ≠32π. (2)中心在原点，焦点在 y 轴上的双曲线ay22－xb22＝1 的参
数方程是xy＝＝abstaecn
所以 x(t1＋t2)＋y＝0，
即 t1＋t2＝－xy(x≠0)．
②
因为 AM ＝(x－2pt21，y－2pt1)，
MB＝(2pt22－x,2pt2－y)，且 A，M，B 三点共线，
所以(x－2pt21)(2pt2－y)＝(y－2pt1)(2pt22－x)，
化简，得 y(t1＋t2)－2pt1t2－x＝0.
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/12021/3/12021/3/1202 my day!
我们，还在路上……
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11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/12021/3/12021/3/1M ar-211- Mar-21
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12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/12021/3/12021/3/1M onday, March 01, 2021
抛物线的参数方程
抛物线的参数方程抛物线的参数方程是在数学中研究特殊数学曲线的重要方程。
抛物线又称二次曲线，它是一类几何图形，具有两个控制点，即它们位于抛物线上下两个对称的位置。
它们之间的距离称为抛物线的焦距。
抛物线的参数方程是用来研究这类曲线的特殊方程。
抛物线的参数方程，可以用一般式来表示：y=ax^2+bx+c其中，a,b,c 为参数，而 a≠0，它们代表抛物线的不同参数，即抛物线的形状受到这些参数的影响。
关于抛物线的参数方程，它的定义域主要有以下三种：1、标准参数方程：x=at^2+bt+cy=mt^2+nt+p2、任意参数方程：x=at^2+bt+c+dy=mt^2+nt+p+q3、双参数方程：x=at^2+bt+c+u*vy=mt^2+nt+p+u*v这三种定义域的抛物线参数方程，都具有相同的特点，即抛物线的两个控制点都是对称的，而且在抛物线上存在一个焦点，也就是通过抛物线的两个控制点，可以求得抛物线的焦点。
由抛物线的参数方程，可以求得抛物线的焦点的坐标。
抛物线的焦点的坐标为：（-b/2a, -D/4a）其中，D=b^2-4ac由抛物线的参数方程，可以求得抛物线的焦距：c=2√AD/a其中，A=D/b而参数方程，可以求得抛物线的离心率：e=c/a抛物线的参数方程，也可以用来计算抛物线的重心、面积和弧长。
首先，求抛物线的重心：重心的坐标为：（-b/3a, -D/6a）然后，求抛物线的面积：A=πa/3*(b^2+3D)最后，求抛物线的弧长：l=2π√(a^3/D)以上就是抛物线的参数方程的主要内容，随着数学发展，抛物线的参数方程也在不断发展。
抛物线的参数方程不仅可以用来描述抛物线的特征，而且也在许多应用领域，如机械、电子、结构分析等方面发挥着重要的作用。
抛物线参数方程
抛物线参数方程抛物线参数方程：一、定义：1.抛物线：抛物线是一种由平面曲线，由弧线或曲线形成的图形，一般是上半部分是渐开线，下半部分也称为下凹处是渐封线，它的凹陷处最高点为焦点；2.抛物线参数方程：抛物线的参数方程是表示抛物线形状的一种数学方法，它是一种特殊的二元二次函数方程，包含两个未知数a, b，和三个未知数x, y, c。
二、抛物线参数方程的表示形式：1.概括形式：ax² + by + c = 0；2.对称形式：(x - a)² + b = 0；3.双曲线形式：y² = -4a(x - a) + b；4.标准参数形式：x² = 4ay + b；5.焦点和指数形式：(x - x_0)² = 4ae^(y/a) + b；三、抛物线参数方程的特征：1.焦点：通过参数方程可以确定一条抛物线的焦点，焦点的坐标一般由参数方程的系数确定，如果一条抛物线没有一个明显的焦点，则参数方程中的系数a和b都为零，x和y也可以确定将焦点位置；2.指数形式：抛物线参数方程也可以表示为指数形式，这种形式的抛物线的焦点可以和参数方程的系数a和b确定，指数形式的抛物线一般是从下凹处开始开口向上或向下延伸；3.双曲线形式：参数方程的双曲线形式表示的是双曲线，这种参数方程的系数a和b决定了这种双曲线的起始点位置，双曲线一般以一个拱形形状展开；4.位移形式：双曲线也可以通过任意位置相邻点的位移形式表示，也就是其参数方程的系数a和b可以确定两点的距离，从而确定双曲线的位置；5.标准参数形式：参数方程的标准参数形式表示的就是标准抛物线，这样的抛物线一般是以放射性增长，而且系数a只会影响抛物线曲率，不会影响抛物线的坐标。
四、抛物线参数方程的应用：1.绘图应用：抛物线参数方程可以帮助我们自动推算出抛物线的形状，根据抛物线参数方程的参数，可以一次性将抛物线画出，这样可以大大减少设计工作的时间，提高工作效率；2.力学与物理方面的应用：抛物线参数方程在物理和力学方面也有着重要的应用，比如抛物线参数方程可以确定物体的运动轨迹，它也可以用于分析重力和物体的水平等速运动；3.测绘与地理方面的应用：抛物线参数方程也可以用于测绘地形及河流模型的绘制，抛物线参数方程可以帮助我们精准测绘出各种曲线，运用他可以准确描绘出海湾、河流等自然地理景观。
人教A版高中数学选修4-4课件 抛物线的参数方程课件2
解：由于M1
,
M
两点对应的参数方程分
2
别是t1和t
2，则可得点M1和M
的坐标分别为
2
M1(2 pt12 , 2 pt1 ), M2 (2 pt22 , 2 pt2 )
kM1M 2
2 pt1 2 pt12
2 pt2 2 pt22
t1
1 t2
例2.设M为抛物线y2 2 x上的动点, 给 定点M0 (1, 0),点P为线段M0 M的中点, 求点P的轨迹方程。
例3.如图O是直角坐标原点, A, B是抛物线
y2 2 px( p 0)上异于顶点的两动点,且 OA OB,OM AB并于AB相交于点M， 求点M的轨迹方程。
yA
M
o
x
B
解 : 根据条件,设点M , A, B的坐标分别为( x, y),
(2
pt12 ,
2
pt1 ), )(t1
x
y
2p
tan2
2p
tan
(为参数）
这就是抛物线(5)(不包括顶点)的参数方程
( , )
22
如果令t 1 , t (, 0) (0, ),则有
tan
x
2
pt
2
(t为参数)
y 2 pt
当t 0时，由参数方程表示的点正好就是抛物线
的顶点(0, 0)因此当t (, )时，参数方程就表
《抛物线的参数方程》课件2
y
M(x,y)
( , )
22
o
x
设抛物线的普通方程为 y2 2 px...........(5)
因为点M 在的终边上，根据三角函数的
定义可得 y tan ..................................(6)
高二数学 第三节《抛物线的参数方程》(课件)
[例2] 如图，O是直角坐标原点，A，
B是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的两动
点，且OAOB，OMAB并与AB相交于
点M，
yA
(1) 求AOB的面积的
M
最小值；
O
x
(2) 求点M的轨迹方程。
B
***练习*** 1. 已知A，B，C是抛物线y2=2px上
的三个点，且BC与x轴垂直，直线AB， AC分别与抛物线的轴交于D，E两点.求 证：抛物线的顶点平分线段DE.
***练习*** 2. 经过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O
任作两条互相垂直的线段OA和OB，以 直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中 点M的轨迹的参数方程.
作业：第2教材
M(x,y) y
参数方程为:
x
2
pt
2
(t为参数,
t
R)
O
y 2 pt
Hx
其中参数t 1 ( 0),当 0时, t 0. tan
几何意义为: 抛物线上除顶点外的任意一
点与原点连线的斜率的倒数.即P( x, y)为抛物
线上任意一点, 则有t x . y
[例1] 过抛物线y2 2 px的焦点F 的直线与抛物线交于A, B两点,求证 :
抛物线的参数方程
抛物线的参数方程
M(x,y) y
O
Hx
当在( , )内变化时,点M在抛物线上
22
运动,并且对于的每一个值, 在抛物线上
都 有 唯 一 的 点M与 之 对 应.因 此, 可 取为
参数来探求抛物线的参数方程.
抛物线的参数方程 设M ( x, y)为抛物线上 y
高中数学新人教a版精品课件抛物线的参数方程
y
M(x,y)
o
x
设抛物线的普通方程为y2 2 px...........(5)
因为点M在的终边上，根据三角函数的
定义可得 y tan..................................(6)
x
由(5),(6)解出x,
y，得到x
y
歌曲《悲伤双曲线》的歌词如下：如果我是双曲线，你就是那 渐近线，如果我是反比例函数，你就是那坐标轴，虽然我们有缘， 能够坐在同一平面，然而我们又无缘，漫漫长路无交点．
问题 1：双曲线的对称轴、对称中心是什么？ 提示：坐标轴；原点． 问题 2：过双曲线的某个焦点且平行于渐近线的直线与双曲 线有交点吗？ 提示：有一个交点．
解析：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，则焦点 在 x 轴上，且 a＝3，焦距与虚轴长之比为 5∶4，即 c∶b＝
x2 y2
5∶4，解得 c＝5，b＝4，则双曲线的标准方程是 9 －16＝1. 答案：x92－1y62 ＝1
6．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点 M(3,4)且虚轴长是实轴 长的 2 倍的双曲线方程． 解：①若焦点在 x 轴上，则双曲线方程为xa22－by22＝1. ∵M(3,4)在双曲线上，∴a92－1b62 ＝1. 又∵b＝2a，∴9×4－16＝4a2，解得 a2＝5，b2＝20， ∴双曲线方程为x52－2y02 ＝1.
②若焦点在 y 轴上，则双曲线方程为ay22－xb22＝1. ∵M(3,4)在双曲线上，∴1a62 －b92＝1， 又∵b＝2a，∴16×4－9＝4a2，解得 a2＝545，b2＝55， ∴双曲线方程为45y52－5x52 ＝1. 综上可知，双曲线方程为x52－2y02 ＝1 或45y52－5x52＝1.
第二讲 抛物线的参数方程课件 新人教A版选修4-4课件
y x
a sec b tan
(为参数)
思考:抛物线参数方程是什么?
前面曾经得到以时刻 t作为参数的抛 物线的参数方程 :
x 100 t ,
y
500
1 2
g
t2
.
t为参数, 且0 t
1000 g
对于一般的抛物线,怎样建立相应的
参数方程呢 ?
看点M运动形成轨迹的过程.
解 根据条,设点M , A, B
B
图2 13
的坐标为 x, y, 2 pt12,2 pt1 ,
2 pt22,2 pt2 t1 t2,且t1 t2 0,则OM x, y,
OA 2 pt12,2 pt1 ,OB 2 pt22,2 pt2 ,
所以xt1 t2 y 0,即t1 t2 y x 0. ⑨
x
因为AM x 2 pt12, y 2 pt1 ,
y
MB 2 pt22 x,2 pt2 y ,
A M
且A, M , B三点共线,所以
O
x
x 2 pt12 2 pt2 y y 2 pt1 2 pt22 x ,
x2 2 py( p 0)的参数方程?
x
y
2p
tan
2p
tan2
(为参数）
x y
2 2
pt pt
2
(t为参数)
用不同的参数方程动态 描述轨迹形成过程.
1、若曲线x 2 pt 2 (t为参数)上异于原点的不同 y 2 pt
《抛物线的参数方程》教学案1
1.13《双曲线和抛物线的参数方程》教学案一、学习目标(1).双曲线、抛物线的参数方程.(2).双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的关系.(3).通过学习双曲线、抛物线的参数方程，进一步完善对双曲线、抛物线的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系．并能相互转化．提高综合运用能力二、学习重难点学习重点：双曲线、抛物线参数方程的推导学习难点：(1)双曲线、抛物线参数方程的建立及应用.(2)双曲线、抛物线的参数方程与普通方程的互化三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习四、知识链接:焦点在x 上的椭圆的参数方程________________________________________ 焦点在y 上的椭圆的参数方程________________________________________五、学习过程(阅读教材29-34完成)(一)双曲线的参数方程1双曲线),(0012222>>=-b a b y a x 的参数方程___________________________注：(1)ϕ的范围__________________________(2)ϕ的几何意义___________________________2双曲线),(0012222>>=-b a b x a y 的参数方程___________________________(二)抛物线的参数方程抛物线)(022>=p px y 的参数方程___________________________(三)典型例题六、课堂练习：、 的轨迹方程。
，求点相交于点并于点，且上异于顶点的两动是抛物线是直角坐标原点，、如图例M M AB AB OM OB OA p px y B A O ⊥⊥>=,)0(2,12___________的两个焦点坐标tan sec {、求双曲线αα34321==y x ______________的渐近线方程为)为参数(tan sec {、双曲线ϕϕϕ==y x 32的轨迹方程。
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14. 抛物线的参数方程
主备： 审核：
学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用，
学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程：
一、课前准备：
阅读教材3334P P -的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1.将下列参数方程化为普通方程：
（1）2
23
x t y t t =-⎧⎨
=+-⎩（t 为参数），答：2
53x x y --=； （2）224x m y m
⎧=⎨=⎩（m 为参数），答：2
8x y =.
2.将下列普通方程化为参数方程：
（1）2
2x y =，其中1x t t
=-（t 为参数），答：221224
x t t y t t ⎧=-⎪⎨⎪=+-⎩
；
（2）2
34y x =，其中x t =（0t ≥为参数）
，答：x t
y =⎧⎪⎨=⎪⎩
. 二、新课导学： （一）新知：
抛物线的参数方程的推导过程：
如图：设(,)M x y 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM 为终边的角记为α，当α在(,)22
ππ
-
内变化时，
点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应.因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程.
根据三角函数的定义得，tan y
x
α=，即tan y x α=，联立2
2y px =，得
22tan 2tan p x p y α
α⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， 设1
tan t α=，(,0)(0,)t ∈-∞+∞，则222x pt y pt
⎧=⎨=⎩（t 为参数 ），
当0t =时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O ，因此当(,)t ∈-∞+∞时，上式为 22y px =的参数方程.
注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线2
2x py =的参数方程
.
【解析】如图，(0,
)(,)2
2
ππαπ∈，根据三角函数的定
义
得，tan y t x
α==，即y xt =，联立2
2x py =，得
2
22x pt
y pt
=⎧⎨=⎩（t 为参数）. （2）可选择M 到准线的距离t 为参数，2
2y px =的参
数方程是怎样的？
【解析】如图，||MA t =，则2
p
x t =-
，代入抛物线方程，得y
=
2p x t y ⎧=-⎪⎨
⎪=⎩
（t 为参数）. （二）典型例题：
【例1】A 、B 是抛物线2
2y x =上异于顶点的两动点，
且OA OB ⊥，OM AB ⊥并与AB 相交于M ，求点M 的轨迹方程.
【解析】方法一 ：设(,)M x y ，211(2,2)A t t ，2
22(2,2)B t t 1212(,0)t t t t ≠⋅≠且. 由OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，
221212(2)20t t t t +=，121t t =-………①
又OM AB ⊥，所以0OM AB ⋅=，
2221212()2()0x t t t t -+-=.
所以12()0x t t y ++=，12(0)y
t t x x
+=-≠……………②
又211(2,2)AM x t y t =--，2
22(2,2)MB t x t y =--且A ，M ，B 共线.
∴22
1212(2)(2)(2)(2)x t t y y t t x --=--，即1212()20y t t t t x +--=……③
由①，②代入③，得到 2
2
20(0)x y x x +-=≠，这就是所求M 点的轨迹方程.
方法二：设2111(,)(0)2y A y y ≠，2
2
22(,)(0)2
y B y y ≠，
因为OA OB ⊥，所以
22
12
12022
y y y y ⋅+=，124y y =-， 直线AB 的方程为：211122
()2
y y y x y y -=-+，即122(2)y x y y =
-+， 所以直线AB 过定点(2,0)C p
又OM AB ⊥，所以点M 的轨迹是以OC 为直径的圆，则M 的轨迹方程为 222()(0)x p y p y -+=≠.
动动手：已知O 是坐标原点，A 、B 是抛物线2
22x pt y pt
⎧=⎨=⎩（t 为参数）上异于顶点的两动点，
且OA OB ⊥，求AB M 中点的轨迹方程．
【解析】设)2,2(121pt pt A ，)2,2(22
2pt pt B ，由OA OB ⊥，得121-=t t ，
又中点),(y x M 由⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=)
(222)(222212122212
221t t p pt pt y t t p pt pt x ，结合121-=t t ， 得点M 的方程为:)2(2
p x p y -=.
三、总结提升：
1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t 对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.
2.抛物线2
2(0)y px p =>上任意一点可以设为2
(2,2)M pt pt . 3.在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标. 四、反馈练习：
1. 若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
⎧=⎨=⎩为参数上，则PF 等于（ C ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 2. 抛物线2
2x m
y m
=⎧⎨=-⎩（m 为参数）的焦点坐标是 （ B ） A ．(1,0)- B ．(0,1)- C ．(0,2)- D ．(2,0)- 3. 已知曲线2
2()2x pt t p y pt
⎧=⎨=⎩为参数为正常数,上的两点,M N 对应的参数分别为12t t 和，
120t t +=且，那么MN = （ C ）
A ．1p t
B ．12p t
C ．14p t
D ．18p t
4. 若曲线2
22x pt y pt
⎧=⎨=⎩（t 为参数）上异于原点的不同的两点1M 、
2M 所对应的参数分别是1t 、2t ，求12M M 所在直线的斜率.
【解析】由于1M 、2M 所对应的参数分别是1t 、2t ，，所以可设两点1M 、2M 坐标分别为
22111222(2,2),(2,2)M pt pt M pt pt ，
所以，112222
1212
221
22M M pt pt k pt pt t t -=
=-+. 5. A 、B 是抛物线2
2y x =上异于顶点的两动点，且OA OB ⊥，点A 、B 在什么位置时，
AOB ∆的面积最小？最小值是多少？
【解析】设211(2,2)A t t ，2
22(2,2)B t t 1212(,0)t t t t ≠⋅≠且，
则1||2|OA t =
，2||2||OB t =， 因为OA OB ⊥，所以121t t =-，
所以122|AOB S t t ∆=
=
=4≥， 当且仅当12t t =-时，即A 、B 关于x 轴对称时AOB ∆面积最小，最小面积为4.
五、学后反思：。