1.1集合及其表示方法 教案

第一章：集合与命题

第一节：集合的概念

【知识讲解】

1、集合的概念

1）集合：我们把能够____________的一些对象组成的整体叫做集合（简称_____）

2）元素：集合中各个______叫做这个集合的元素

观察以下实例：

①NBA 联盟所有的球员；

②我国从1991年到2008年的13年内所发射的所有卫星；

③所有的正方形；

④到直线l 的距离等于定长d 的所有的点；

⑤高一（3）所有学生；

⑥2，4，6，8，10；

⑦不等式032<+x 的解得全体；

3）.性质

确定性：A a A a ∉∈或必居其一，

互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同，

无序性：{1，2，3}={3，2，1}

随堂练习：1. 设{}22,,12A x x =

-，若3A -∈，则x 的值为________________；

4）集合与元素的表示方法

①集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、……； 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c……

②如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉.如，设由1，3，5，7，9组成的集合为A ，则A A ∉∈2,3。

注:“∈”的开口方向，不能把a A ∈颠倒过来写 5）常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合N ，{}Λ,2,1,0=N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {

}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z

（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {

}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}

数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *

6）分类：有限集、无限集、空集。

2、集合的表示方法：（列举法和描述法）

1）用列举法表示下列集合：

（1）{|x x 是15的正约数} （2）{(,)|{1,2},{1,2}}x y x y ∈∈

2）用描述法表示下列集合：

（1）{1,4,7,10,13} （2）{2,4,6,8,10}-----

3）文氏图法：

【基本题型】

1、集合的有关概念

例1.已知x 2

∈{1,0,x}，求实数x 的值。

点拨：这是应用元素的确定性与互异性来解题的。这类题目先利用元素的确定性求出参数值，然后利用元素的互异性检验解的正确与否。在解题中易忽略元素的互异性，这是易错点。

2、元素与集合的关系

例2.设集合},2|{Z k k x x A ∈==，},12|{Z k k x x B ∈+==.若a ∈A,b ∈B,试判断a+b 与A,B 的关系。

点拨：判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断它是不是具有这个集合的元素具有的属性特征。反之，如果一个元素是某个集合中的元素，那么它一定具有这个集合的元素具有的属性特征。

3.集合的表示方法

例3.用两种方法表示：满足x=|x|，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合A 。

点拨：对于元素个数较少的有限集常用列举法来表示，对于无限集多采用描述法来表示;而在研究集合属性的运算中，一般要用列方程（或不等式）组的数学思想。

4.与集合有关的参数综合问题

例4.已知集合A={x ∈R|ax 2-3x+1=0,a ∈R}，若A 中的元素最多只有一个，求a 的取值范围。

点拨：集合中的元素就是方程的解，因此将求字母的范围转化为研究方程的解的问题。这里要注意方程不一定是二次方程，要讨论二次项系数是否为0。

【误区警示】

1.在确定元素中所含字母的值时，一定要将字母的取值代回检验，看是否满足元素的互异性和题意;

2.用描述法表示集合时，一定要注意代表元素是什么。如：集合｛x|y=x2｝, ｛y|y=x2｝, ｛(x,y)|y=x2｝是意义完全不同的三个集合;

3.集合中的元素可以是集合，即集合也可以作为一个集合中的元素。如：A={1,{2,3},4,5}，其中1∈A,2∉A, 3∉A,{2,3}∈A，4∈A，5∈A。

【思维总结】

一、一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.

二、集合元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写

三、集合相等

构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等

四、集合元素与集合的关系

集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A

五、常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N；

除0的非负整数集，也称正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R.