2014年高考上海理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、填空题（本大题共14小题，共56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4

分，否则一律得零分． （1）【2014年上海，理1，4分】函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 ． 【答案】

2

π

【解析】原式＝cos4x -，242

T ππ=

=． （2）【2014年上海，理2，4分】若复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ?

?+?= ??

? ．

【答案】6

【解析】原式＝2

11516z z z ?+=+=+=．

（3）【2014年上海，理3，4分】若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆22

195

x y +

=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ． 【答案】2x =-

【解析】椭圆右焦点为(2,0)，即抛物线焦点，所以准线方程2x =-．

（4）【2014年上海，理4，4分】设2

(,)()[,)

x

x a f x x

x a ∈-∞?=?∈+∞?，若(2)4f =，则a 的取值范围为 ．

【答案】2a ≤

【解析】根据题意，2[,)a ∈+∞，∴2a ≤．

（5）【2014年上海，理5，4分】若实数x ，y 满足1xy =，则222x y +的最小值为 ．

【答案】

【解析】2222x y x +≥?=． （6）【2014年上海，理6，4分】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 ．（结

果用反三角函数值表示）

【答案】1

arccos 3

【解析】设圆锥母线长为R ，底面圆半径为r ，∵3S S =侧底，∴23r R r ππ??=?，即3R r =，∴1

cos 3

θ=，即母

线与底面夹角大小为1

arccos 3

．

（7）【2014年上海，理7，4分】已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=，则C 与极轴的交点到极点的

距离是 ．

【答案】1

3

【解析】曲线C 的直角坐标方程为341x y -=，与x 轴的交点为1(,0)3，到原点距离为1

3

．

（8）【2014年上海，理8，4分】设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞

=+++L ，则q = ．

【解析】223111011a a q a q q q q q ==?+-=?=--，∵01q <<，∴q =

P

2

P 5

P

6

P 7

P 8

P 4

P 3

P 1

B A （9）【2014年上海，理9，4分】若213

2

()f x x x -

=-，则满足()0f x <的x 的取值

范围是 ． 【答案】(0,1)

【解析】213

2

()0f x x x -

散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 ．（结果用最简分数表示） 【答案】1

15

【解析】31081

15P C ==．

（11）【2014年上海，理11，4分】已知互异的复数,a b 满足0ab ≠，集合{}{}22,,a b a b =，则a b += ． 【答案】1-

【解析】第一种情况：22,a a b b ==，∵0ab ≠，∴1a b ==，与已知条件矛盾，不符；

第二种情况：22,a b b a ==，∴431a a a =?=，∴210a a ++=，即1a b +=-．

（12）【2014年上海，理12，4分】设常数a

使方程sin x x a +=在闭区间

[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= ． 【答案】73

π

【解析】化简得2sin()3x a π

+=，根据下图，

当且仅当a =恰有三个交点，

即12370233

x x x ππ

π++=++=．

（13）【2014年上海，理13，4分】某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若

() 4.2E ξ=，则小白得5分的概率至少为 ．

【答案】0.2

【解析】设得i 分的概率为i p ，∴123452345 4.2p p p p p ++++=，且123451p p p p p ++++=，

∴12345444444p p p p p ++++=，与前式相减得：1235320.2p p p p ---+=， ∵0i p ≥，∴1235532p p p p p ---+≤，即50.2p ≥．

（14）【2014年上海，理14，4

分】已知曲线:C x =，直线:6l x =． 若对

于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=u r r

，则m 的取值范围为 ．

【答案】16

15

-

【解析】根据题意，A 是PQ 中点，即6

22

P Q P x x x m ++==

，∵20P x -≤≤，∴[2,3]m ∈． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对

得5分，否则一律得零分． （15）【2014年上海，理15，5分】设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）

（A ）充分条件 （B ）必要条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】B

【解析】充分性不成立，如5a =，1b =；必要性成立，故选B ．

（16）【2014年上海，理16，5分】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是

一条侧棱，(1,2,,8)i P i =L 是上底面上其余的八个点，则(1, 2, , 8)i AB AP i ?=u u u r u u u r K 的 不同值的个数为（ ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）

8

【答案】A

A β

C B

αD

【解析】根据向量数量积的几何意义，i AB AP ?u u u r u u u r 等于AB u u u r

乘以i AP u u u r 在AB u u u r 方向上的投影，而i AP u u u r 在AB u u u r 方向上的投

影是定值，AB u u u r

也是定值，∴i AB AP ?u u u r u u u r 为定值1，故选A ．

（17）【2014年上海，理17，5分】已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组1122

1

1a x b y a x b y +=??+=?的解的情况是（ ）

（A ）无论12,,k P P 如何，总是无解 （B ）无论12,,k P P 如何，总有唯一解

（C ）存在12,,k P P ，使之恰有两解 （D ）存在12,,k P P ，使之有无穷多解 【答案】B

【解析】由已知条件111b ka =+，221b ka =+，11

122122

a b D a b a b a b =

=-122112(1)(1)0a ka a ka a a =+-+=-≠， ∴有唯一解，故选B ．

（18）【2014年上海，理18，5分】设2(),0,()1

,0.x a x f x x a x x ?-≤?

=?++>?

?

若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（ ） （A ）[1,2]- （B ）[1,0]- （C ）[1,2] （D ）[0,2]

【答案】D

【解析】先分析0x ≤的情况，是一个对称轴为x a =的二次函数，当0a <时，min ()()(0)f x f a f =≠，不符合题意，排除AB 选项；当0a =时，根据图像min ()(0)f x f =，即0a =符合题意，排除C 选项，故选D ．

三、解答题（本题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． （19）【2014年上海，理19，12分】底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三

角形123PP P ，如图．求123PP P ?的各边长及此三棱锥的体积V ． 解：根据题意可得12,,P B P 共线，∵112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，60ABC ∠=?，

∴11260ABP BAP CBP ∠=∠=∠=?，∴160P ∠=?，同理2360P P ∠=∠=?，∴123PP P ?是等 边三角形，P ABC -是正四面体，所以123PP P ?边长为

4

；∴3123V AB =

?=

． （20）【2014年上海，理20，14分】设常数0a ≥，函数2()2x

x a

f x a

+=-．

（1）若4a =，求函数()y f x =的反函数1

()y f x -=；

（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由．

解：（1）∵4a =，∴24()24

x x f x y +==-，∴4421x y y +=

-，∴244log 1y x y +=-， ∴1244

()log 1

x y f x x -+==-，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞U ． ……6分

（2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，∴2222x x x x

a a

a a --++=--，整理得(22)0x x a --=，∴0a =，此时为偶函， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--，∴2222x x x x

a a

a a

--++=---，整理得210a -=，∵0a ≥，∴1a =，此时 为奇函数，当(0,1)(1,)a ∈?+∞时，此时()f x 既非奇函数也非偶函数． ……14分

（21）【2014年上海，理21，14分】如图，某公司要在A B 、两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米． 设点A B 、在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β．

（1）设计中CD 是铅垂方向． 若要求2αβ≥，问CD 的长至多为多少（结 果精确到0.01米）？

（2）施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α=?，18.45β=?，求CD 的长（结果精确

到0.01米）．

P 2

解：（1）设CD 的长为x 米，则tan ,tan 3580x x αβ=

=

，∵202

π

αβ>≥>， ∴tan tan 2αβ≥，∴22tan tan 1tan βαβ≥-， ∴22

2

1608035640016400

x

x x x x ≥

=--

，解得028.28x <≤≈，∴CD 的长至多为28.28米． ……6分 （2）设,,DB a DA b DC m ===，180123.43ADB αβ∠=?--=?，则sin sin a AB

ADB

α=

∠， 解得115sin38.1285.06sin123.43a ?

=≈?

∴26.93m =≈∴CD 的长为26.93米． ……14分

（22）【2014年上海，理22，16分】在平面直角坐标系xOy 中，对于直线:0l ax by c ++=和点111222(,),(,)P x y P x y ，

记1122()()ax by c ax by c η=++++． 若0η<，则称点12,P P 被直线l 分割． 若曲线C 与直线l 没有公共点，且曲线C 上存在点12,P P 被直线l 分割，则称直线l 为曲线C 的一条分割线． （1）求证：点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割；

（2）若直线y kx =是曲线2241x y -=的分割线，求实数k 的取值范围；

（3）动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1，设点M 的轨迹为曲线E ．求证：通过原点的直

线中，有且仅有一条直线是E 的分割线．

解：（1）将(1,2),(1,0)A B -分别代入1x y +-，得(121)(11)40+-?--=-<，

∴点(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分割． ……3分 （2）联立2241x y y kx

?-=?=?，得22(14)1k x -=，依题意，方程无解∴2140k -≤，∴12k ≤-或1

2k ≥．……8分

（3）设(,)M x y

1=，∴曲线E 的方程为222[(2)]1x y x +-= ① 当斜率不存在时，直线

0x =，显然与方程①联立无解，又12(1,2),(1,2)P P -为E 上两点，且代入0x =，有10η=-<，

∴0x =是一条分割线；当斜率存在时，设直线为y kx =，代入方程得：2432(1)4410k x kx x +-+-=， 令2432()(1)441f x k x kx x =+-+-，则(0)1f =-，

22(1)143(2)f k k k =+-+=-，22(1)143(2)f k k k -=+++=+，

当2k ≠时，(1)0f >，∴(0)(1)0f f <，即()0f x =在(0,1)之间存在实根，∴y kx =与曲线E 有公共点

当2k =时，(0)(1)0f f -<，即()0f x =在(1,0)-之间存在实根，∴y kx =与曲线E 有公共点， ∴直线y kx =与曲线E 始终有公共点，∴不是分割线，

综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线0x =是E 的分割线． ……16分

（23）【2014年上海，理23，18分】已知数列{}n a 满足11

33

n n n a a a +≤≤，*n ∈N ，11a =．

（1）若2342,,9a a x a ===，求x 的取值范围；

（2）设{}n a 是公比为q 的等比数列，12n n S a a a =+++L ． 若11

33

n n n S S S +≤≤，*n ∈N ，求q 的取值范围；

（3）若12,,,k a a a L 成等差数列，且121000k a a a +++=L ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时相应

数列12,,,k a a a L 的公差．

解：（1）依题意，232133a a a ≤≤，∴263x ≤≤，又3431

33

a a a ≤≤，∴327x ≤≤，综上可得36x ≤≤．……3分

（2）由已知得1n n a q -=，又121133a a a ≤≤，∴1

33q ≤≤，

当1q =时，n S n =，1133n n n S S S +≤≤，即133n

n n ≤+≤，成立；

当13q <≤时，11n n q S q -=-，1133

n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n q q q q q q +---≤≤---， ∴111

331n n

q q +-≤≤-， 此不等式即11320

320

n n n n

q q q q ++?--≥?-+≤?，∵1q >，∴132(31)2220n n n n q q q q q +--=-->->，

对于不等式1320n n q q +-+≤，令1n =，得2320q q -+≤，解得12q ≤≤，又当12q <≤时，30q -<，

∴132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≤-+=--≤成立，∴12q <≤，当1

13

q ≤<时，

11n n q S q -=-，1133n n n S S S +≤≤，即1111133111n n n

q q q q q q +---≤≤---，即11320320n n n n

q q q q ++?--≤?-+≥?

，310,30q q ->-<， ∵132(31)2220n n n n q q q q q +--=--<-<，132(3)2(3)2(1)(2)0n n n q q q q q q q q +-+=-+≥-+=--> ∴113q ≤<时，不等式恒成立，综上，q 的取值范围为1

23

q ≤≤． ……10分 （3）设公差为d ，显然，当1000,0k d ==时，是一组符合题意的解，

∴max 1000k ≥，则由已知得1(2)1(1)3[1(2)]3k d

k d k d +-≤+-≤+-，∴(21)2(25)2k d k d -≥-??

-≥-?

， 当1000k ≥时，不等式即22,2125d d k k ≥-

≥---，∴221d k ≥--，12(1) (10002)

k k k d

a a a k -+++=+=，

∴1000k ≥时，200022

(1)21

k d k k k -=≥-

--，解得10001000k ≤+1999k ≤， ∴k 的最大值为1999，此时公差2000219981

(1)199919981999k d k k -==-=-

-?． ……18分