高三数学排列组合二项式复习
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
高三数学应知应会讲义八：排列组合与二项式定理复习教案
排列组合和二项式定理1．会根据两个原理解决有关分配决策的问题〔要正确区分分类和分步〕(1) 5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有〔〕A. 15种B. 8种C. 53种D. 35种(2) 四名医生分配到三所医院工作，每所医院至少一名，那么不同的分配方案有_______种．(3) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有〔〕A. 1260种B. 2025种C. 2520种D. 5040种2．会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题〔1〕不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，那么不同的排法种数共有〔〕A．12种 B．20种 C．24种 D．48种〔2〕5人站成一排，其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为〔〕A．48 B．54 C．60 D．66〔3〕用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1和2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不．相邻，这样的八位数共有个.〔用数字作答〕3.会求某些元素按指定顺序排列的问题〔1〕七个人排成一行，那么甲在乙左边〔不一定相邻〕的不同排法数有_________种．〔2〕某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，又工程丁必须在丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.〔用数字作答〕〔3〕今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有_______种不同的方法〔用数字作答〕.4.会解与平均分组和非平均分组有关的问题〔1〕从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，那么不同的取法共有〔〕A. 140种B. 84种C. 70种D. 35种〔2〕将9个人〔含甲、乙〕平均分成三组，甲、乙分在同一组，那么不同分组方法的种数为〔〕A ．70B ．140C ．280D ．8405.会解其它有限制条件的排列组合问题 (要注意使用最常用、最本原的方法------列举法)〔1〕在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( ) A. 36个B. 24个C. 18个D. 6个〔2〕电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，那么共有 种不同的播放方式〔结果用数值表示〕.〔3〕以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是〔 〕A ．34CB ．1387C C C ．1387C C -6 D ．4812C -〔4〕同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，那么四张贺年卡不同的分配方式有〔 〕A. 6种B. 9种C. 11种D. 23种〔5〕设有编号为1、2、3、4、5的五个球和编号为1、2、3、4、5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，那么这样投放的方法总数为 ( )A. 20B. 30C. 60D. 120〔6〕用六种不同颜色，给图中A 、B 、C 、D 、四块区域涂色，允许同一种颜色涂不同区域，但相邻区域不能涂同一种颜色，共有________种不同的涂法.6.会将所给的二项式展开或合并(1)计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x ＝___________.(2)设*∈N n ,那么=++++-12321666n n n n n n C C C C _____________.7.会求二项式的展开式的指定项〔要注意区分“第n 项〞、“第n 项的系数〞、“第n 项的二项式系数〞等概念的不同;会灵活运用二项式系数的性质解题〕(1)假设2)nx8项，那么展开式中含1x的项是〔 〕 A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项(2)假设()521x -展开式中的第2项小于第1项，且第2项不小于第3项，那么实数x 的取值范围是〔 〕A. x >101-B. 101-<x ≤0C. 41-≤x <101-D. 41-≤x 0≤(3) 设k =1,2,3,4,5, 那么(x +2)5的展开式中kx 的系数不可能是( C)A . 10B . 40C . 50D . 80(4)在〔1＋x 〕＋〔1＋x 〕2＋……＋〔1＋x 〕6的展开式中，x 2项的系数是 .〔用数字作答〕.(5)5(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45()4x +的展开式中3x 的系数相等，那么cos θ＝_________．(6)843)1()2(xx x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 .(7)10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是 A. 0 B. 2 C. 4 D. 68.会求展开式的系数和，能正确使用赋值法解题 (1)如果3nx ⎛⎫- ⎝的展开式中各项系数之和为128，那么展开式中31x 的系数是〔 〕 A. 7 B. 7- C. 21 D. 21-(2)在〔x〕2006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x时，S 等于〔 〕A.2B.-23008C.23009D.-23009(3) 假设1021001210(2)x a a x a x a x -=++++，那么那么① 01210a a a a +++⋅⋅⋅+= ______________; ② 1210a a a ++⋅⋅⋅+=__________________; ③ 0123910a a a a a a -+-+-+=_____________;④ 8a =___________.。
高考数学排列组合二项式定理复习
2、本章的应用题的解决思路主要是：正向思考 和逆向思考，正向思考时，可通过“分类”或 “分步”，对稍复杂的问题进行分解；逆向思 考时用集合的观点看，就是先从问题涉及的集 合在全集的补集入手，使问题得到简化。
3、注意排列和组合的内在联系和区别，计算应 用题时避免重复和遗漏。
典型例题分析
（一）排列数和组合数公式及组合数性质 的应用 例 1 ：解不等式 A9x 6 A6x2
A C A C
B
D
（1）
B
（2）
D
系统（ 1 ）的可靠度为 P（ 1 ） P（A C B D） 1 P （ [ A C） （ B D） ] 1 P（A C ） P（B D ） 1 (1 r 2 ) 2 r 2 (2 r 2 ) 系统（2）的可靠度为 P（2） P( A B) P(C D) [1 P( A ) P( B )][1 P(C ) P( D ) [1 (1 r ) 2 ]2 r 2 (2 r ) 2 (2 r ) 2 2 r 2 系统（2）更可靠
5
2
n
(a 2 1) n 的展开式系数最大项为 第三项
2 2 T3 C 4 a 54, a 3
例2 : 求 x 3x 1 2 x 1 的展开式中各项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 10
(1)系数和(2)系数绝对值的和
(1)(310 )
(2)(5 310 )
例3：化简:
（二）排列组合应用题
例3（1）5名同学报名参加4个活动小组（每人限报1 个），共有多少种不同的报名方法 ( 4 5 )
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有多 少种可能？ ( 5 4 )
高三数学一轮复习必备精品：排列、组合、二项式定理
胡文2021年高三数学一轮复习必备精品：排列、组合、二项式定理11．掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题．2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时 两个计数原理1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有m 1种不同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．例1. 高三(1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。
排列组合与二项式定理
第三节 排列组合与二项式定理复习一．关于基本计数原理 1. 加法原理设完成一件事有 m 种方式，第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，… … ；第 m 种方式有种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有1n 2n m n 12m n n n +++L 种不同的方法 。
2. 乘法原理设完成一件事有 m 个步骤，第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，… … ；第 m 个步骤有种方法, 必须通过每一步骤，才算完成这件事。
则完成这件事总共有1n 2n m n 12m n n n ×××L 种不同的方法 。
加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 。
同时它们也是计算古典概率的基础。
二．关于排列 1、选排列：从 n 个不同元素中，每次取 k 个不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为选排列，其排列总数为：(1)k n ≤≤!(1)(2)(1)()k n n p n n n n k n k =−−−+=−L !!2、全排列：当 k = n 时称为全排列，其排列总数为： 3、可重复排列：(1)(2)21n n n P p n n n n ==−−⋅=L 从 n 个不同元素中，每次取 k 个元素 (k n )≤，允许重复，这种排列称为可重复排列，其排列总数为：k n n n n ⋅⋅=L三．关于组合与二项式定理 1、组合：从 n 个不同元素中，每次取 k 个不同的元素，不管其顺序合并成一组，称为组合，其组合总数为：(1k n ≤≤)其中常记为 ，称为组合系数。
kn C n k ⎛⎞⎜⎟⎝⎠!!()!kk nn P n C k n k k ==−!2、分组组合n 个不同元素分为 k 组，各组元素数目分别为的分法总数为：12,,,k r r r L 1212!,!!!k k n r r r nr r r ++=L L3．有重复的组合从 n 个不同元素中，每次取 k 个 元素，允许重复，不管其顺序合并成一组，这种组合称为有重复的组合，其组合总数为：(1k n ≤≤) !!()!k k nnP n C k n k k ==−!4．二项式定理当不大时，二项式(可利用二项展开式的系数表（杨辉法则）写出它的展开式。
高中数学知识点总结 第十章排列组合和二项式定理
高中数学知识点总结第十章排列组合和二项式定理高中数学知识点总结：第十章——排列组合和二项式定理排列组合和二项式定理是高中数学中重要的概念和工具，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将对这两个知识点进行总结和说明。
1. 排列与组合排列是指从一组元素中按照一定顺序取出一部分元素的方式。
组合是指从一组元素中不考虑顺序地取出一部分元素的方式。
排列和组合都涉及到元素的选择和顺序，但它们在选择的要求上有所不同。
1.1 排列排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
1.2 组合组合的计算公式为：C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素总数，m表示需要选择的元素个数，n!表示n的阶乘。
2. 二项式定理二项式定理是数学中一个非常重要的定理，它描述了一个二项式的幂展开式。
二项式是一个形如(a+b)^n的表达式，而二项式定理则给出了(a+b)^n的展开形式。
二项式定理的表达式为：(a+b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1)b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n。
其中C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的展开形式中包含了n+1个项，每一项的系数是组合数C(n, k)，指数是a和b的幂。
二项式定理的应用非常广泛，在数值计算、概率统计、组合数学等领域中都得到了广泛的运用。
它可以用来快速计算幂次方的结果，也可以用来求解概率问题或者排列组合问题。
3. 相关例题在学习排列组合和二项式定理的过程中，我们可以通过解决一些典型的例题来加深对这两个知识点的理解。
例题1：某班有10名学生，要从中选择3名学生组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：根据排列的计算公式，可以得到答案：P(10, 3) = 10! / 7! = 720。
高中数学排列组合二项式概率统计知识点归纳及常考题型
“排列、组合、二项式、概率、统计”复习资料一、基础知识和方法梳理 （一）排列组合 1．计数两原理：分类计数原理：完成一件事情，有n 类方法，在第1类方法中又有m 1种不同的方式可以完成这件事情，在第2类方法中，又有m 2种方式，……第n 类方法中有m n 种方式可以完成，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N +++= 21分步计数原理：完成一件事情，需要分成n 步完成，在第1步中，有m 1种不同的方式可以完成这一步，在第2步中，有m 2种方式，……第n 步中，有m n 种方式可以完成这一步，那么要完成这件事情的方法共有：n m m m N ⨯⨯⨯= 21 2．排列：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数)!(!)1()1(m n n m n n n A mn -=+--=3．组合：从n 个不同的元素中不重复选取m 个元素组成一组，与顺序无关； 组合公式：)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C mn -=+--=；组合数性质：m n n m n C C -=，mn m n m n C C C 11+-=+4．排列组合常用方法：分类讨论法：将0,1,2,3,4五个数字可以组成多少个无重复数字的五位偶数？间接法：100件产品含有5件次品，从中任取5件，则至少含有一件次品的取法有多少种？ 捆绑、插空法：将3本语文书，3本数学书，2本英语书排成一排，数学书必须排在一起，英语书不能相邻，则有多少中排列方式？特殊元素特殊位置优先考虑法：例如，将0,1,2,3可以组成多少个无重复数字的四位数 分组法：将5个苹果分给甲、乙、丙三人，每人至少一个苹果，有多少种分配方案？ 隔板法：例如，将10个相同的小球装入3个编号为1,2,3的盒子(每次要把10个球装完),要求每个盒子里球的个数不少盒子的编号数,这样的装法总数有多少种？ 等可能性法：六个字母a 、r 、r 、r 、b 、c 排成一排，有多少种排列方式？（二）二项式定理1．二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，其中rn C 为第1+r 项的二项式系数，=-nb a )(2．通项公式：rr n r n r b a C T -+=1,),1,0(n r =3．二项式定理的性质： （1）对称性，二项式系数是关于2n对称 （2）增减性与最大值，当n 为偶数时，二项式系数最大项为第12+n项，最大值为2nn C当n 为奇数时，二项式系数最大项为第121+-n 项和第121++n 项，最大值为2121+-=n n n n C C （3）二项式系数之和nn n n n C C C 210=+++奇数项与偶数项的二项式系数之和相等131202-=++=++n n n n n C C C C（三）概率1．概率的定义：在大量重复进行同一试验时事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数p ，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做)(A P ．2．事件的和A+B ：表示事件A 和B 至少有一个发生； 事件的积A ×B ：表示事件A 和B 同时发生B A B A B A B A ⋅=++=⋅,3．常见的几种类型的概率计算：（1）等可能事件：可预知的有限个结果，且每个结果出现的可能性相同 计算方法：nm A P =)( （2）互斥事件：在一次试验中，事件A 发生了，则事件B 一定不会发生，事件B 发生了，事件A 不可能发生互斥事件有一个发生的概率计算方法：)()()(B P A P B A P +=+， 特殊的，对立事件：1)()(=+A P A P（3）相互独立事件：在一次试验中，事件A 发生与否对事件B 发生的概率没有影响，同理，事件B 发生与否对事件A 发生的概率没有影响，若A 与B 是独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 都是独立事件 独立事件同时发生的概率的计算方法：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅（4）n 次独立重复事件恰有k 次发生的概率：kn k k n n p p C k P --=)1()(4．关于两个事件常见的概率计算：（若21)(,)(p B P p A P ==）5．注意事项（1）等可能事件的概率中，基本事件数目的计算可以分化得细致一点或粗略一点，这样虽然形式上有所差别，结果往往是一样的，通常有这样一些不同考虑：“整体考虑或局部考虑” 、“元素可辨或不可辨” 、“元素放回或不放回” 、“元素有序或无序”.（2）重视几种概率类型的混合，注意概率加法、乘法的混合运算，适当注意概率类型的突破. （3）准确理解文字（生活）语言，如“至少”、“至多”、“都”、“不都”、“都不”、“恰有几个”、“有几个”，“只有第几次”、“第几次”，“直到第几次”等等，然后等价转化为数学（概率）语言，并注意表述规范.（四）统计1．离散型随机变量的定义：若随机试验的结果可以用一个变量表示，这个变量叫做随机变量。
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理
高中数学知识点归纳排列组合与二项式定理在高中数学中，排列组合是一种重要的概念与工具，它涉及到对对象的选取和排列的方式。
而在排列组合的基础上，我们还能引出二项式定理，进一步探讨多项式的展开与计算。
本文将对这些数学知识点进行归纳总结和讨论。
一、排列组合的基本概念1.1 排列排列是从给定的一组对象中，按照一定的顺序选择若干个对象进行排列。
假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行排列，可以得到的排列数记为P(n,r)。
P(n,r) = n!/(n-r)!1.2 组合组合是指从给定的一组对象中，无视其顺序，选择若干个对象。
同样假设有n个不同的对象，要从中选择r个对象进行组合，可以得到的组合数记为C(n,r)。
C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)1.3 重复排列与重复组合当给定的一组对象中存在重复的元素时，我们可以计算可能的重复排列与重复组合。
计算公式如下：重复排列：P(n1,n2,...,nk) = n!/(n1!n2!...nk!)重复组合：C(n+r-1,r) = (n+r-1)!/(r!(n-1)!)二、排列组合的应用2.1 生日问题生日问题是指在一个房间里，至少有两个人生日相同的概率有多大。
利用排列组合的思想可以很方便地解决这个问题。
在一个房间里，有n 个人，假设有365天可以选作生日。
我们可以计算至少有两个人生日相同的概率，即为1减去没有人生日相同的概率。
P(at least two people have the same birthday) = 1 - P(no two people have the same birthday)= 1 - C(365,n)/365^n2.2 二项式定理与展开二项式定理是代数中的重要定理之一，它描述了两个数之和的幂展开后的表达式。
假设有实数a和b以及正整数n，根据二项式定理可以将(a+b)^n展开为：(a+b)^n = C(n,0)a^n*b^0 + C(n,1)a^(n-1)*b^1 + C(n,2)a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1*b^(n-1) + C(n,n)a^0*b^n2.3 二项式系数与组合恒等式二项式系数指的是二项式展开中各项的系数。
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[名词解释]生物进化 [多选]下列有关行政法规的说法哪些是正确的？（）A.省、自治区、直辖市人民政府认为需要制定行政法规的，应当在每年年初编制国务院立法工作计划前，向国务院报请立项B.起草行政法规，在赋予行政机关必要的职权的同时，应当规定行政机关行使职权的程序C.起草行政法规，涉及有关管理 [单选,A2型题]一甲亢患者，甲状腺肿大不明显，但食欲亢进、消瘦、血糖增高，医师忽视了甲状腺功能亢进的有关检查，最容易被误诊为（）。A.结核病B.糖尿病C.恶性肿瘤D.败血症E.吸收不良综合征 [单选]在五笔字型输入法中，属于“基本字根”的一项是（）。A、火B、氵C、吕D、里 [单选]化妆品卫生监督条例是（）。A.针对化妆品生产制定的B.针对化妆品经营制定的C.针对卫生监督制定的D.针对化妆品的生产和经营制定的E.针对化妆品生产、经营和监督而制定的 [单选]教育信息资源的开发和利用是（）的基本内容是教育信息化建设取得实效的关键。A.教育信息化B.信息化建设C.电子商务D.专业技术 [名词解释]原生异常 [单选]男性，64岁。因食管癌行手术治疗，留置胃管。手术后4d患者咳嗽，痰略带黄色，发热38．4℃，气急，右下肺闻及较多细湿啰音。X线胸片示右肺下大片炎性病变。推测其最可能的病原体是（）A.金黄色葡萄球菌B.军团杆菌C.铜绿假单胞菌D.肠道革兰氏阴性杆菌E.流感嗜血杆菌 [单选]首先提出温病有新感、有伏气的医家是：（）.A.王安道B.郭雍C.刘河间D.朱肱 [单选]应隔离治疗的皮肤病是()A．带状疱疹B．盘状红斑狼疮C．疥疮D．药物性皮炎E．丘疹样荨麻疹 [单选]消费者与经营者发生消费权益纠纷时，可以请求（）解决。A、工商局B、税务局C、公安机关D、消费者协会 [单选,A1型题]下列各项中，不是热衰竭临床表现的是（）。A.患者先有头痛、头晕、恶心B.典型表现为高热、无汗、昏迷C.热衰竭可有低钠、低钾血症D.热衰竭可有晕厥、抽搐E.热衰竭重者出现循环衰竭 [填空题]普通经纬仪在整平后，要求竖轴应铅垂，水平度盘处于（）。 [填空题]乙炔装置AR476分析仪参比气是（）。 [单选]海图底质注记中，缩写“M.S.”表示（）。A．分层底质，上层为沙，下层为泥B．分层底质，上层为泥，下层为沙C．沙的成分多于泥的成分的混合底质D．泥的成分多于沙的成分的混合底质 [单选]变电站倒母线操作或变压器停送电操作，一般应下达（）操作指令。A.即时B.逐项C.综合D.根据调度员习惯下达 [单选]根据企业国有资产法律制度的规定，某国有独资企业的下列事项中，企业负责人集体讨论决定的是（）。A.合并、分立B.增加或减少注册资本C.发行债券D.转让重大财产 [单选]染色体畸变分析试验中，光学显微镜就可观察到的体细胞染色体畸变类型为（）。A.无着丝点环B.易位C.倒位D.插入E.重复 [单选]下列各项业务中，可以确认收入的是。A.企业销售的商品在质量、品种、规格等方面不符合合同或协议的要求，又未根据正常的保证条款予以弥补B.企业尚未完成售出商品的安装或检验工作，且安装或检验工作是销售合同和协议的重要组成部分C.销售合同和协议中规定了买方由于特殊原因 [单选]在进行信访调查时，相关工作人员应当表明自己的身份，并且，对于一般的信访调查，信访调查人员不得少于（）人。A.2B.3C.4D.5 [单选,A型题]呕吐吞酸，嗳气频作，胸胁满痛，脉弦。此属何型呕吐（）A.胃阴不足B.热邪犯胃C.肝郁化火D.肝气犯胃E.以上均不是 [名词解释]声景观 [单选]工程上规定把发生（）残余伸长的应力作为屈服强度。A.0.3%B.0.4%C.0.2%D.0.1% [单选]关于阿米巴性肝脓肿的描述，错误的是（）A.手术切开排脓应采用持续负压闭式引流B.合并细菌感染者尽早使用抗生素C.应尽早行经皮肝穿刺置管引流术D.全身营养支持治疗E.主要采用抗阿米巴药物治疗 [单选]竣工验收应提交的工程技术档案和施工管理资料中不包括下列选项中的（）。A.图纸会审和技术交底记录B.隐蔽验收记录及施工日志C.施工图D.质量检验评定资料 [多选]假如要实现不同的号码拨同一个字冠可以路由到不同的中继，我们需要（）。A.呼叫源功能B.黑白名单功能C.路由重分析功能D.失败路由功能 [单选]一患者，向心性肥胖，满月脸，多毛和痤疮明显，超声检查发现右侧肾上腺区显示7C.m的低回声区，分叶状，内回声不均匀。下列哪项诊断可能性大A.肾上腺皮质增生B.皮质腺瘤C.皮质腺癌D.神经母细胞瘤E.以上均对 [单选]由金黄色葡萄球菌或乙型溶血性链球菌引起的急性化脓性皮肤病是（）A.单纯疱疹B.带状疱疹C.脓疱疮D.疣E.癣 [单选]企业提供的会计信息应有助于财务会计报告使用者对企业过去、现在或者未来的情况作出评价或者预测，这体现了会计信息质量要求的（）。A．可靠性B．相关性C．可理解性D．可比性 [单选]()是否健全是合同管理的关键所在。A.合同统计考核制度B.合同管理评估制度C.合同管理目标制度D.合同管理质量责任制度 [单选,A2型题,A1/A2型题]一般血清总钙是下列哪项时，有临床症状（）。A.≤2.8mmoL／LB.≤2.2mmol／LC.≤0.95mmol／LD.≤1.88mmol／LE.≤2.5mmoL／L [单选,B1型题]蟾酥的功效是（）A.杀虫，解毒，截疟B.杀虫，解毒，通便C.杀虫止痒，燥湿，温肾壮阳D.解毒，止痛，开窍醒神E.解毒，杀虫，止血 [单选]甲公司于2014年1月1日从租赁公司租入一套设备，价值60万元，租期10年，租赁期满时预计净残值为5万元，租赁期满设备归租赁公司，年利率为8%，租赁手续费率每年2%，租金每年年末支付一次，则每年应支付的租金为（）元。［已知（P/A，10%，10）=6.144，（P/F，10%，10）=0.385 [名词解释]主要原料 [单选]不行经肘窝内的结构有()A．肱二头肌腱B．正中神经C．桡动脉D．桡神经E．尺神经 [填空题]氨合成催化剂的毒物主要有（）、（）、（）。 [单选]冰区航行，应尽可能避免在冰区内抛锚，如必须抛锚，则链长应该（）。A．以2～3节为宜B．以3～5节为宜C．不超过水深的2倍D．不超过水深的4倍 [单选,A2型题,A1/A2型题]单纯性肾病常见的并发症是（）A.感染B.严重循环充血C.凝血障碍D.贫血E.高血压脑病 [单选,A1型题]学龄前期的保健要点不包括（）A.平衡膳食B.定期检查儿童的视力、听力和牙齿C.开展健康教育D.促进思维发展E.预防意外事故 [单选]《企业劳动争议处理条例》和（）的相继制定与实施，形成了以协商、调解、仲裁、诉讼为主要环节的劳动争议处理制度。A.《劳动合同法》B.《劳动法》C.《劳动争议调解仲裁法》D.《国营