浙江省苍南县“姜立夫杯”2018年高二数学上学期竞赛试题

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2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题

2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知a 为正实数，且11()1xf x a a =-+是奇函数，则()f x 的值域为． 2.设数列{}n a 满足11a =，151(1,2,)n n a a n +=+=⋅⋅⋅，则20181nn a==∑ ．3.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，4cos()5αβ+=，12sin 413πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．4.在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数．5.已知虚数z 满足310z +=，则20182018111z z z ⎛⎫⎛⎫+= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭．6.设10AB =，若平面上点P 满足，对于任意t R ∈，有3AP t A B -≥，则P AP B ⋅的最小值为，此时PA PB += ．7.在ABC ∆中，7AB AC +=，且三角形的面积为4，则sin A ∠的最小值为． 8.设()12f x x x x =++--，则(())10f f x +=有个不同的解． 9.设,x y R ∈满足64120x y x y ---+=，则x 的取值范围为． 10.四面体P ABC -，6PA BC ==，8PB AC ==，10PC AB ==，则该四面体外接球的半径为．二、解答题11.已知动直线l 与圆O ：221x y +=相切，与椭圆2219x y +=相交于不同的两点A ，B .求原点到AB 的中垂线的最大距离.12.设a R ∈，且对任意实数b 均有2[0,1]max 1x x ax b ∈++≥，求a 的取值范围.13.设实数1x ，2x ，…，2018x 满足212(1,2,,2016)n n n xx x n ++≤=⋅⋅⋅和201811n n x ==∏，证明：100910101x x ≤.14.将2(2)n n ≥个不同整数分成两组1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b .证明111()i j j i j i i n i j nj na b a a b b n ≤≤≤<≤≤≤---+-≥∑∑.15.如图所示将同心圆环均匀分成(3)n n ≥格.在内环中固定数字1n .问能否将数字1n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1. 11(,)22-2. 2019580771616-3. 5665- 4. 36 5. 1- 6. 16-；6 7.728. 3 9. 1421314213x -≤≤+ 10. 3 二、解答题11.解：依题意可设l ：(0)y kx m k =+≠.因为直线l 与圆O 相切，所以，O 到直线l 的距离为1，即211m k=+.原点到AB 的中垂线的最大距离为43. 12.解1：设2()f x x ax b =++，对于1(0)1b f ≥⇒≥，所以只要考虑1b <. （1）当02a-≤时，即0a ≥.此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(1)1(0)f a b f b =++>=，所以(1)11f a b =++≥，解得1a ≥. （2）当1022a <-≤时，即10a -≤<，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对0b =有(1)11f a =+<，2()124a a f --=<. （3）当1122a<-≤时，即21a -≤<-，此时函数()f x 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对0b =有(0)1f b =<，2()124a a f --=<. （4）当12a-≥时，即2a ≤-，此时函数()f x 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意1b <有(0)1f b =<，所以(1)11f a b =++≤-，解得3a ≤-.综上1a ≥或3a ≤-.解2：设2[0,1]max x m x ax b ∈=++，则有m b ≥，1211m a b m b a b a ≥++⇒≥+++≥+依题意，1112aa +≥⇒≥，或3a ≤-. 13.证明：由条件n x ，2n x +同号.反证法，假设100910101x x >.（1）若1009x ，1010x 同为正数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 同号. 由212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤100910101011100810091010x x xx x x ⇒≤≤ 1009101010111008101110081x x x x x x ⇒≤⇒>，同理100910091008101110121012100710081007101010111010x x x x x x x x x x x x =⋅≤⋅=100710121x x ⇒>. 类似可证明：100610131x x >，100510041x x >，…，120181x x >. 因此201811nn x=>∏，矛盾.（2）若1009x ，1010x 同为负数，由n x ，2n x +同号可知1x ，2x ，…，2018x 均为负数，仍然有212121n n n n n n n x x x x x x x +++++≤⇒≤，类似（1）可证得. 14.证明：令111()n i j j i j i i n i j nj nT a b a a b b ≤≤≤<≤≤≤=---+-∑∑，下面用归纳法证明n T n ≥.当2n =时，不妨设12a a <，12b b <，22a b <.2212211T b a b a b a =-+-+-122121b a a a b b +-----，当1121112122a b T b a b b b a <⇒=-+++->；当11222112a b T b a a b >⇒=-++>. 假设对正整数n 成立，对正整数1n +，不妨设121n a a a +<<⋅⋅⋅<，121n b b b +<<⋅⋅⋅<，11n n a b ++<.再设11k n k b a b ++<<，则有11111n n n n i n i i i T b a a b +++===-+-∑∑111111n nn i n i n n n i i a a b b b a T ++++==----+-+∑∑，下证1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑11110n nn i n i i i a a b b ++==----≥∑∑.由（1）11(1,2,,)k n k b a b k n ++<<=⋅⋅⋅，得到1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑112()0ni n i k b a +=+=->∑；（2）若11n a b +<，则1111nn n i n i i i ba ab ++==-+-∑∑1111n nn i n i i i a a b b ++==----∑∑11()0ni n i b a +==->∑.15.解：设对应于内环1，2，…，n 的外环数字为1i ，2i ，…，n i ，它是数字1，2，…，n 的一个排列.对1,2,,k n =⋅⋅⋅，记外环数字k i 在按顺时针方向转动k j 格时，和内环数字相同，即mod k k i k j n -=，1,2,,k n =⋅⋅⋅.根据题意，1j ，2j ，…，n j 应是0，1，2，…，1n -的排列.求和11()mod n nk k k k i k j n ==-=∑∑(012(1))mod n n =+++⋅⋅⋅+-1(1)mod 2n n n =-. 于是n 必须是奇数.对于奇数n ，我们取n i n =，m i n m =-，(1,2,,1)m n =⋅⋅⋅-，可以验证mod k k i k j n -=，0n j =，12n j -=，24n j -=，…，121n n jn --=-，12j n =-，14n j n -=-，36j n =-，…，121n j -=，符合题目要求！。

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2018 年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有 8 小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题 6 分，共 48 分）1. 曲线 ( x + 2 y + a )( x 2 - y 2) = 0 为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（）. A. a = 0 B. a =1 C. a = -1D. a ∈ R解答：若 a = 0 ，则曲线表示的曲线是三条交于原点的直线，反之，由于直线 y = x 和直线y = -x 交于原点，所以曲线要为平面上三条交于一点的直线，则直线 x + 2 y + a = 0 过原点，即 a = 0 .故正确答案为 A.3x x 2 2. 函数 f ( x ) = 4 sin x - sin x + 2(sin - cos ) 的最小正周期为（）.2 2A. 2πB.πC.2πD.π23解答：化简得 f ( x ) = -sin 3 x + 2 ，则函数 f ( x ) 的最小正周期为2π.故正确答案为 C.33. 设双曲线 x 2 - y 2=1（ a > 0, b > 0 ）的左右焦点分别为 F 1 , F 2 ，点 A 是过 F 2 且倾斜角 a 2 b 2π为 4 的直线与双曲线的一个交点. 若△ F 1 F 2 A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）.3 +12 +1A.B. 3 +1C.D. 2 +122解答：因为 AF 1 - AF 2 = 2a , 要使△ F 1 F 2 A 为等腰直角三角形，则 AF 1 - AF 2 = 2a , 以及AF 2 = F 1 F 2 = 2c ，由勾股定理得 (2( a + c )) 2 = 2(2c )2，解答a c= 2 +1.故正确答案为D. 4. 已知正三棱锥 S - ABC ，底面是边长为 1 的正三角形，侧棱长为 2. 若过直线 AB 的截面，将正三棱锥的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为().A.15 B. 4 15C. 15D. 2 1510 1515 15解答：设截面与棱 SC 交于 D 点，由已知条件可知，点 D 为棱 SC 的中点.取 AB 的中点 E ，连接 EC , DE , SE ,则 ∠DEC 为截面与底面所成二面角的平面角，设为θ .在△ SEC 中，SE = 15, EC = 3 , SC = 2 ，所以中线 DE = 5 .在△ DEC 应用余弦定理得 2 2 2cos θ = 2 15 .正确答案为 D.155. 已知 a , b ∈R ，函数 f ( x ) = ax -b .若对任意 x ∈[ -1,1] ，有 0 ≤ f ( x ) ≤1 ，则 3a + b +1a + 2b - 2的取值范围为（）.A. [ - 1 , 0]B. [ - 4 , 0]C. [ - 1 , 2]D. [ - 4 , 2]252 75 7⎧ u + v ⎧ 0 ≤ f (1) ≤1 ⎧ 0 ≤ a - b ≤1 ⎧u = a + b⎪a =2，这解答：由题意得 ⎨⇔ ⎨.令 ⎨，则 ⎨u - v⎩0 ≤ f ( -1) ≤1⎩-1 ≤ a + b ≤⎩v = a - b⎪b =⎪2⎩样 3a + b +1 = 4u + 2v + 2 = -2 +10 ，由此即知 - 4 ≤ 3a + b +1 ≤ 2 ．⎛ 5v -11a + 2b - 23u - v - 4⎫ 5 a + 2b - 2 73 -⎪⎝ 5u - 3⎭正确答案为 D.56. 已知向量 OA ，OB 垂直，且 OA = OB = 24 .若 t ∈[0,1] ，则t AB - AO+BO - (1 - t ) BA12的最小值为（）.A. 2 193B. 26C. 24 2D.24解答：用数形结合方法求解，作正方形 OACB ，连对角线 AB ，则向量 t AB - AO 等于向量 OD ( D 为对角线 AB 上一点），向量 5BO - (1 - t ) BA 等于向量 ED ( E 为 OB 边上一点，12EB =10 ）， OD D =C ，所以t AB - AO + 5 BO - (1 - t ) BA 等于 ED + DC ，由几何意义可知12ED + DC 的最小值为 EC 的值，即等于 26.故正确答案为 B.⎧ 1 1 1 ⎫⎪* ⎪7. 设集合 M = ⎨( x , y )-=, x , y ∈ N⎬ ，则集合 M 中的元素个数为（）.⎪xy45⎪⎩⎭A. 0B. 1C. 2D. 3解答：由于 1 - 1 = 1 ⇔ 1 - 1 = 1 ，故 1 =1 + 1 +2 ，这样x y 45 5 x 5 y 155 x 225 5 y 15 5 y5 y∈Q．同理，5x∈Q.所以可设x= 5a2 , y= 5b2 , a, b∈N* ，因此，原式1 - 1 = 1 ⇔ 1 - 1 = 1 ⇔ (a , b ) = (2, 6) . 又因为 (a , b ) 与 (x , y ) 一一对应，则 a b 3 x y 45集合 M 中的元素个数为 1. 故选 B.{ }8. 记[ x ] 为不超过 x 的最大整数. 若集合 S = ( x , y ) [ x + y ] + [ x - y ] ≤1 ，则集合 S所表示的平面区域的面积为（）.A.5 B. 3C. 9D. 422解答：当 0 ≤ x + y <1时，[ x + y ] = 0, 所以 [ x - y ] ≤1 ，即 -1 ≤ x - y < 2 ；当1 ≤ x + y < 2 时，[ x + y ] =1, 所以 [ x - y ] = 0 ，即 0 ≤ x - y <1 ；当 -1 ≤ x + y < 0 时，[ x + y ] = -1, 所以 [ x - y ] = 0 ，即 0 ≤ x - y <1 ；5画出满足上述条件的区域，可知集合 S 所表示的平面区域的面积为 2 .正确答案为 A.二、填空题（本大题共有 7 小题，将正确答案填入题干后的横线上，每题 7 分，12 题 9 分，共 51 分）9. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数. 若对任意实数 x , 有 f ( x + 2) = - f ( x ) ，且当 x ∈[0,1]时， f ( x ) = 2x ，则 f (103) =.解答：由 f ( x + 2) = - f ( x ) 得 f ( x + 4) = f ( x ) ，所以 f ( x ) 的周期为 4.因此，f (103) = f (10 3 -16) = - f (16 -103) = f (18 -103) = 36 - 20 3 .10. 已知数列{a n },{b n } 满足： a 1 = -1, b 1 = 2, a n +1 = -b n , b n +1 = 2a n - 3b n ( n ∈N *), 则b 2018+ b2018=.⎧ai +1= -b i ,解答：由已知 ⎨得到⎩bi +2 = 2 a i +1 - 3b i +1 ,b + b = -2(b + b ) = ( -2) 2(b + b ) == ( -2) i(b + b ). 所以i +2i +1i +1i ii -121b + b = -3 ⨯22018.2018201811. 设 a ∈R ，方程 - a= 2 恰有三个不同的根，则 a =.x - a解答：原方程可变形为 x - a = a ± 2 ，要使方程恰有三个不同的根，则 a = 2, 此时方程恰有三个不同的根 x 1 = 2, x 2 = 6, x 3 = -2 .所以 a = 2.12. 已知两个底面重合的正四面体A-OBC和D-OBC，M,N分别为△ADC与△BDC的重心.记OA=a，OB=b，OC=c，若点P满足OP=xa+yb+zc，MP=2PN，则实数x=______,y=_______,z=________ .解答：设点A在面OBC上的投影为H，则OH=23⨯12(OB+OC)=13(b+c),所以AH=OH-OA=13(b+c-3a),因此AD=2AH=23(b+c-3a).又AM=23⨯12(AD+AC)=19(-9a+2b+5c),所以OM=OA+AM=19(2b+5c).同理，BN=23⨯12(BC+BD)=13(OC-OB+AD-AB)=19(-3a+4b+5c),ON = OB + BN =19(-3a +5b +5c).由MP=2PN得，3OP=OM+2ON，所以xa+yb+zc==19(-2a+4b+5c),因此x = -92, y =94, z =95.13. 在△ABC中，∠B=π4,∠C=512π，AC=2 6 ，AC的中点为D.若长度为3的线段PQ(P在Q的左侧)在直线BC上滑动，则AP+DQ的最小值为.解答：由已知求得BC=6，过D做直线DE平行BC，交AB于E点，则D E/ / B C, D=E 1 B= C，3所以PQDE为平行四边形，即DQ=EP.这样问题就转化为2在直线BC上找一点，使AP+EP最小.计算得AP+EP的最小值为30 + 3 10.2⎧ sin x=m sin3 y的取值范围为.14. 若关于x,y的方程组⎨ 有实数解，则正实数m⎩cos x=m cos3 y3 4(1 )∈[0,1]解答：两式平方，消去x得1=m2(1- sin 2 2 y) ，故 sin 2 2 y= - m24 3这样，1 ≤ m 2≤ 2 。

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．
8.设 f (x) x 1 x x 2 ，则 f ( f (x)) 1 0 有
个不同的解．
9.设 x, y R 满足 x 6 y 4 x y 12 0 ，则 x 的取值范围为
．
10.四面体 P ABC ， PA BC 6 ， PB AC 8 ， PC AB 10 ，则该四面体外接球的半径
24 （3）当 1 a 1时，即 2 a 1 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对 b 0 有
22 f (0) b 1 ， f ( a ) a2 1 .
24 （4）当 a 1 时，即 a 2 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的左右端点取得，对任意 b 1有
2018
13.设实数
x1
，
x2
，…，
x2018
满足
x2 n1

xn
xn2
(n

1,
2, ,
2016)
和
xn 1，证明： x x 1009 1010 1 .
n1
14.将 2n(n 2) 个不同整数分成两组 a1 ， a2 ，…， an ； b1 ， b2 ，…， bn .证明
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一、填空题
1.已知 a
为正实数，且
f
(x)

1 a

1
是奇函数，则
ax 1
f
(x)
的值域为
2018
2.设数列{an}满足 a1 1， an1 5an 1(n 1, 2,) ，则 an n1
．．
3.已知 ,

浙江省高中数学联赛试题及参考答案

n
n
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ T= n+1
bn+1 − ai + an+1 − bi − an+1 − ai − bn+1 − bi + bn+1 − an+1 + Tn
解得 a ≥ 1。………………………………………………………………10 分
（2）当 0 < − a ≤ 1 时，即 −1 ≤ a < 0 ，此时函数 f (x) 的最值在抛物线的顶点和右 22
端点取得，而对 b = 0 有 f (1) = 1 + a < 1, f (− a ) = −a2 < 1。
x≤0 x≤2
由 f ( f (x)) +1 =0 得到
x + 3, x > 2
f (x) = −2, 或 f (x) = 0 。由 f (x) = −2, 得一个解 x = −1 ；由 f (x) = 0 得两个解
x = −3, x = 1 ，共 3 个解。 3
9. 设 x, y ∈ R 满足 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ，则 x 的取值范围为 ______________。解由 x − 6 y − 4 x − y +12=0 ⇒ ( x − y − 2)2 + ( y − 3)2 =1。令
−
2018 4
=5 16
(52018
− 1)
−
2018 4
=52019 16
−
8077 16
。
3.
已知α , β
∈

3π 4
,π

， cos(α

苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期数学竞赛试卷(含答案)

苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期数学竞赛试卷满分100分,时间120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5，其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->．其中，“正三角形”曲线的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e 为平面单位向量且|a ·e |+|b ·e |的最大值为7，则下列结论成立的是（）A ．|a +b |=|a -b | B.b ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-= 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点，其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-, 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.8710. 12018 11.214. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a ykx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点其中C 为圆心，=2a (1)若,125CM CN ⋅=-, 求k的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1) 125CM CN ⋅=-得3cos ,5MCN ∠=- ……2分……2分 1=22k =或 ……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d ,S ==……2分当CMN ∆面积取最大时d ……2=4a = ……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.解析：（1）当a>0时，()222max 1[1,21],|()|21f x x ax a f x a =++∈+=+ ……2分当a<0时, ()222max 4-4-1[,1],|()|max ||,144a a f x x ax f x ⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0a a -≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a ……1分（2）()()()20f a b a b a a b b +=++++=得22230a ab b b +++= ……1分2=b -8b ∆必为完全平方数 ……1分2222=b -8b=,()16m N m ∆∈-=令m 得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b m b m b m b m b m --=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b 的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分（用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分）（2）284414422221+=+≤+=+n nn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n …1分。

2018年苍南县“姜立夫”杯数学竞赛高二试卷精品

2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．若函数()2log 1a y x ax =-+有最小值，则a 的取值范围是（）A.01a <<B.02,1a a <<≠C.12a <<D.2a ≥2. 设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（）Ａ.d c b a <<< Ｂ.c d a b <<< Ｃ.a b d c <<< Ｄ.b a c d <<<3．函数()f x 是(0,)+∞上的单调递增函数，当*n N ∈时，*()f n N ∈，且[()]3f f n n=，则(1)f的值等于（） A.1 B.2 C.3 D.44．5名志愿者随意进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（） A.53 B.151 C.85 D.81505．已知圆4)3(22=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为P 、Q ，则|OP|·|OQ|的值为（）A.215k+ B.21k + C.10 D.5 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++- （x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（） A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个7. 设函数1463)(23+++=x x x x f ，且1)(=a f ，19)(=b f ，则=+b a （）A.2B.1C.0D.2-8．连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于72和34，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题为（） A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9．已知平面上三个点A 、B 、C 满足||3,||4,|A B B C C A ===，则···A B B C B C C A C A A B++=____________. 10．右图的发生器对于任意函数()x f ，D x ∈可制造出一系列的数据，其工作原理如下：①若输入数据D x ∉0则发生器结束工作；②若输入数据D x ∈0时，则发生器输出1x ，其中()01x f x =，并将1x 反馈回输入端.定义()12+=x x f ,)50,0(=D .若输入10=x ,那么当发生器结束工作时,输出数据的总个数为 .11．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 .12．从m 个男生，n 2个人当组长，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．若A 的概率和B 的概率相等，则(),m n 的可能值为． 13．若关于,x y 的方程组22110ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，且所有的解都是整数，则有序数对(),a b 的数目为 .14．已知数列}{n a 满足10a =，),2,1(1211 =+++=+n a a a n n n ，则n a =___ .三、解答题（本大题共3小题，第15题8分，第16、17题各12分,满分32分. 要求写出必要的解答过程）15．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）．（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，　上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．16．已知数列{}n a 中11a =，.关于x 的方程21sin(cos )(21)sin10n n x a x a +-++=有唯一解． (１) 求数列{}n a 的通项公式；(２) 设n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n s ； (３) 设21[1]log (1)n n n c a =++，求证：3n c <．17．是否存在一个二次函数)(x f ，使得对任意的正整数k ，当 5555个k x =时，都有52555)(个k x f =成立？请给出结论，并加以证明．。

年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷

年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷一、选择题（每题5分，共40分）1、三元实数集A=},,{y x xy x +，B=},||,0{y x ，且A=B ，则20062006xy +=（）A 、0B 、1C 、2D 、－12、若某等差数列{a n }中，1662a a a ++是一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是( ）A 、 15SB 、 14SC 、 8SD 、7S 3、设函数121(1)()lg (1)x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩，若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（） A 、（0，10） B 、（－1，+∞） C 、（－∞，－2） D 、（－∞，0）∪（10，+∞）4、等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且3184=S S ，则=168S S （） A 、81 B 、31 C 、91 D 、103 5、已知集合{|1284,,,}P u u m n l m n l Z ==++∈，集合{|201612,,,}Q u u p q r p q r Z ==++∈，则P 与Q 的关系为（）A 、P =QB 、P ∩Q =φC 、 P ∪Q =RD 、P ∪Q =Z6、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……，则这个数列的第个数是（）A 、62B 、63C 、64D 、657、已知函数f(x)是R 上的减函数，A （0，－2），B （－3，2）是其图象上的两点，则不等式|f(x+2)|>2的解集是（）A 、（－1，2）B 、（－∞，－1）∪（2，+∞）C 、（－∞，－5）∪（－2，+∞）D 、（－∞，－3）∪（0，+∞）8、某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达。

如果只打开3个检票口，需要30分钟才能使所有滞留旅客通过检票口。

如果打开6个检票口，只需要10分钟就能让所有滞留旅客通过。

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浙江省苍南县“姜立夫杯”2018年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5，其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->．其中，“正三角形”曲线的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e r 为平面单位向量且|a ·e r |+|b r ·e r|的最大值为7，则下列结论成立的是（）A ．|a +b r |=|a -b r | B.b r ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-=r r二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲ 13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点，其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-uuu r uuu r , 求k 的值;=1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a（2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++L2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________ 10.________________ 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点，其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-uuu r uuu r , 求k 的值;=1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17.已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n Λ2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.87 10. 1201811.212.[0,4) 13.2 14. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点其中C 为圆心，=2a (1)若,125CM CN ⋅=-uuu r uuu r , 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1)125CM CN⋅=-uuu r uuu r得3cos,5MCN∠=-……2分……2分1=22k=或……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d,S==……2分当CMN∆面积取最大时d (2)=4a=……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b=++.(1) 0a≠且1b=,求()y f x=在区间0,a⎡⎤⎣⎦上的最大值；(2) 若,a b Z∈，且()a b f x+是的零点，求所有可能b的值.解析：（1）当a>0时，()222max1[1,21],|()|21f x x ax a f x a=++∈+=+……2分当a<0时, ()222max4-4-1[,1],|()|max||,144a af x x ax f x⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0aa-≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a……1分（2）()()()20f a b a b a a b b+=++++=得22230a ab b b+++=……1分2=b-8b∆必为完全平方数……1分2222=b-8b=,()16m N m∆∈-=令m得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b mb m b m b m b m--=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n}满足，++∈+==Nnaaaannn,144,812211（1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n Λ 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分（用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分）（2）284414422221+=+≤+=+nnn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n ΛΛ…1分。