人教版九年级数学上册《24.1圆的有关性质》
)C
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3cm，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( D )
O
P
双基训练
5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 面上有油部分油面高CD= —8—c—m———
半径、弦长、弓形的高、
圆心到弦的距离
O
A
C
B
知二求二
D
6、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程， 某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm ①若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为 ___2__ dm。 ②若水深1dm，则水管截面半径为_8_._5_dm.
O
C
A
B
N
①③推 并直论且A平C线平1.=分M分B非CN弦过直所圆径对心的的弦两的条直弧②④⑤径。MAA垂⌒⌒NMN直=⊥=NM⌒⌒于BABB弦，
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的 A 长为8cm，圆心O到AB的距离 为3cm，则⊙O的半径是_____．
2．如图，在⊙O中，CD是直径， EA=EB,请些出三个正确的结论 _____________________．
圆的有关性质
垂径定理的应用
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径
｝｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
C A
N
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
B
③ ④
A⌒C=B⌒C
AM= MB
⑤
⌒
AN=
⌒
NB
M
垂径定理推论1
C
EB ·O
B ED ·O
A
双基训练 1.确定一个圆的条件是—圆—心——和—半—径——
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
3.下列说法中正确的个数是（ B）
①.直径是弦
②.半圆是弧
③.平分弦的直径垂直于弦
④.圆是轴对称图形，对称轴是直径
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
A
B
链接中考
7. 如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是
⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、
PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则
EF= ——。
5
O A
E
B F
P
8、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、 D是直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
O
E
CA
BD
9.已知:AB和CD是⊙O的两条等弦,点E,F分别在 AB和CD的延长线上且BE=DF.
求证:EF的垂直平分线经过圆心O.
D
K
C
F
O
A
L
B
E
10.在⊙O中,过圆周上一点A作弦AB和AC,且 AB=AC，M和N分别为AB及AC弦的中点. 连M和N并反向延长交圆于P和Q两点. 求证: PM=NQ.
A.1cm B.2cm C. 5cm D. 2 5cm
B
·OOE D C
A
P
A
B
10. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知 AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的
半径之比为( B)
A.3:2 B. 5: 2 C. 5:2 D.5:4
11.已知:AB 和CD 是⊙O的两条弧,且 AB =2 CD ,则( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
6.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B的整数值为（ C ）A.5，4，3B.10，9，8，7，6，5，4，3
C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
A
B
C
D
O
7.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为(
. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
C
⑴d + h = r ⑵ r2 d 2 (a )2
2
在a,d,r,h中，已知其中任
O
意两个量,可以求出其它
E
A
B
两个量.
D
课前训练
1.到点A的距离为4cm的所有点组成的图形是 _以__点__A_为__圆__心__，__4_c_m__为__半__径__的__圆___。 2.（07·广东模拟）如图，AB是⊙O的弦，半 径OC、OD分别交AB于点E、F，AE=BF，请 找出线段OE与OF的数
A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.都不对
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长
量关系，并给予证明。
O
A EF B
C
D
3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
C
A
D
B
O
4. 某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A 运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB=8cm， AB=10cm， ⊙O 的半径R=9cm，求此时P到圆 心O的距离。
A B
弓形问题中：
半径、弦长、弦心距、弓形高
O
“知二求二”
A
B
随堂训练
变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工 程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截 面半径为5dm。则水深__2_或__8____dm.
思维拓展
7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3cm，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( D )
O
P
双基训练
5.如图，水平放置的一个油管的截面半径为 13cm，其中有油部分油面宽AB=24cm，则截 面上有油部分油面高CD= —8—c—m———
半径、弦长、弓形的高、
圆心到弦的距离
O
A
C
B
知二求二
D
6、为改善市民生活环境，市建设污水管网工程， 某圆柱型水管截面如图所示，管内水面宽AB=8dm ①若水管截面半径为5dm，则污水的最大深度为 ___2__ dm。 ②若水深1dm，则水管截面半径为_8_._5_dm.
O
C
A
B
N
①③推 并直论且A平C线平1.=分M分B非CN弦过直所圆径对心的的弦两的条直弧②④⑤径。MAA垂⌒⌒NMN直=⊥=NM⌒⌒于BABB弦，
随堂训练 1．如图，在⊙O中，弦AB的 A 长为8cm，圆心O到AB的距离 为3cm，则⊙O的半径是_____．
2．如图，在⊙O中，CD是直径， EA=EB,请些出三个正确的结论 _____________________．
圆的有关性质
垂径定理的应用
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
（1）直径
｝｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（2）垂直于弦
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
C A
N
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
B
③ ④
A⌒C=B⌒C
AM= MB
⑤
⌒
AN=
⌒
NB
M
垂径定理推论1
C
EB ·O
B ED ·O
A
双基训练 1.确定一个圆的条件是—圆—心——和—半—径——
2.已知AB=10cm,以AB为直径作圆,那么在此 圆上到AB的距离等于5的点共有( C )
A.无数个 B.1个 C.2个 D.4个
3.下列说法中正确的个数是（ B）
①.直径是弦
②.半圆是弧
③.平分弦的直径垂直于弦
④.圆是轴对称图形，对称轴是直径
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
4.下列命题中正确的是( D
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16 cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截 面的半径．
A
B
链接中考
7. 如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是
⊙ O上的动点，（P与A，B不重合），连接AP、
PB，过点O分别OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则
EF= ——。
5
O A
E
B F
P
8、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、 D是直线AB上两点，且AC＝BD 求证：△OCD为等腰三角形。
O
E
CA
BD
9.已知:AB和CD是⊙O的两条等弦,点E,F分别在 AB和CD的延长线上且BE=DF.
求证:EF的垂直平分线经过圆心O.
D
K
C
F
O
A
L
B
E
10.在⊙O中,过圆周上一点A作弦AB和AC,且 AB=AC，M和N分别为AB及AC弦的中点. 连M和N并反向延长交圆于P和Q两点. 求证: PM=NQ.
A.1cm B.2cm C. 5cm D. 2 5cm
B
·OOE D C
A
P
A
B
10. 同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D,已知 AB=4,CD=2,AB的弦心距为1,则两个同心圆的
半径之比为( B)
A.3:2 B. 5: 2 C. 5:2 D.5:4
11.已知:AB 和CD 是⊙O的两条弧,且 AB =2 CD ,则( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
6.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B的整数值为（ C ）A.5，4，3B.10，9，8，7，6，5，4，3
C.10，9，8，7，6 D.10，9，8
A
B
C
D
O
7.已知:⊙O中弦AB∥CD且AB=9cm,CD=12cm, ⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为(
. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其 他问题？
C
⑴d + h = r ⑵ r2 d 2 (a )2
2
在a,d,r,h中，已知其中任
O
意两个量,可以求出其它
E
A
B
两个量.
D
课前训练
1.到点A的距离为4cm的所有点组成的图形是 _以__点__A_为__圆__心__，__4_c_m__为__半__径__的__圆___。 2.（07·广东模拟）如图，AB是⊙O的弦，半 径OC、OD分别交AB于点E、F，AE=BF，请 找出线段OE与OF的数
A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.都不对
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长
量关系，并给予证明。
O
A EF B
C
D
3、如图为一圆弧形拱桥，半径OA = 10m，拱高为4m，求拱桥跨度AB的长。
C
A
D
B
O
4. 某机械传动装置在静止状态时，连杆PA与点A 运动所形成的⊙O交于B点，现测得PB=8cm， AB=10cm， ⊙O 的半径R=9cm，求此时P到圆 心O的距离。
A B
弓形问题中：
半径、弦长、弦心距、弓形高
O
“知二求二”
A
B
随堂训练
变式：为改善市民生活环境，市建设污水管网工 程，某圆柱型水管截面管内水面宽AB=8dm，截 面半径为5dm。则水深__2_或__8____dm.
思维拓展
7.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修 人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径， 下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请你补全这个输水管道的圆形截面；
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人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案
人教版九年级数学上册《24.1 圆的有关性质》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点1 圆的有关概念（1）圆：平面上到的距离等于的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O。
（2）弦与直径：连接任意两点的叫做弦过圆心的叫做直径直径是圆内最长的。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做小于半圆的弧叫做大于半圆的弧叫做。
（4）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。
（5）圆周角：顶点在并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角。
（6）弦心距：到弦的距离叫做弦心距。
（7）等圆：能够的两个圆叫做等圆。
（8）等弧：在同圆或等圆中能的弧叫等弧。
考点2垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径这条弦并且弦所对的两条弧。
（2）推论：①平分弦（不是直径）的直径于弦并且弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过并且弦所对的两条弧。
（3）延伸：根据圆的对称性如图所示在以下五条结论中：①AC AD=③CE＝DE④AB⊥CD⑤AB是直径。
=②BC BD只要满足其中两个另外三个结论一定成立即推二知三。
考点3 弧弦圆心角之间的关系（1）定理：在同圆或等圆中相等的圆心角所对的相等所对的相等。
（2）推论：在同圆或等圆中如果两个圆心角两条弧两条弦中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点4圆周角定理及其推论。
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的的一半．如图a＝12图a图b图c（ 2 ）推论：①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．如图b ①A＝。
①直径所对的圆周角是直角．如图c＝90°。
①圆内接四边形的对角互补．如图a ①A＋＝180° ①ABC＋＝180°。
关键点:垂径定理及其运用（1）垂径定理及推论一条直线在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件就可以推出其他三条结论．称为知二得三（知二推三）。
①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）③平分弦④垂直于弦⑤过圆心（或是直径）（2）常用的辅助线作垂直于弦的直径或只画弦心距。
人教版九年级上册数学课件：24.圆的有关性质——弧、弦、圆心角
O·
又 ∠ACB=60°
B
C
∴△ABC是等边三角形，
AB=BC=CA
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC
弧等 弦等 弦等 圆心角等
2、如图，AB是⊙O的直径，B⌒C=C⌒D=D⌒E，
∠COD=35°，求∠AOE的度数。
证明： ∵ BC⌒=C⌒D=⌒DE
∴∠COB=∠COD=∠DOE =35A° ∴∠AOE=180°-3∠COD =75°
7．提升
如图，CD为⊙O的弦，在CD上取 CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O 于点A、B.
（（12））试求判证断：△A⌒CO=EB⌒FD的形状，并说明理由；
O
C EF D
A
B
ED C B
O
弧等
圆心角等
3、如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小.
解： ∵ AD=BC
A
C
∴ AD⌒=BC⌒
∴ AD⌒+A⌒C=B⌒C+⌒AC D
O
B
即 CD⌒=A⌒B
∴ CD=AB
弦等
弧等
6．小结
1.请回顾本节课我们学习同圆或 等圆中，圆心角及其所对的弧、弦之 间的关系的学习过程.
2.怎样记忆圆心角定理呢？ 要注意什么？
B
圆心角、所对弦、所对弧 2、三个相等关系：
α
Oα
A
(1) 圆心角相等 知
(2) 弧相等
一 得
A1 B1
圆心角等
(3) 弦相等
二 弧等
弦等
5．练习
1、如图3，AB、CD 是⊙O 的两条弦。
（14）如果 AB=CD，那 OE么⊥AB于E，，OF⊥CD于F，。
（2）O如E果与A⌒OBF=相C⌒D等，吗那？么为A什B=么CD？，
人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.1圆的有关性质》第1课时说课稿
人教版九年级数学上册《第二十四章圆24.1圆的有关性质》第1课时说课稿一. 教材分析《人教版九年级数学上册》第二十四章主要讲述圆的性质。
本章内容是整个初中数学的重要部分，也是学生对圆的认知的重要阶段。
通过本章的学习，学生可以深入理解圆的性质，为后续学习圆的方程和其他相关内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对平面几何图形有了一定的认识。
但是，对于圆的性质，学生可能还存在着一些模糊的认识，需要通过本节课的学习来纠正和加深理解。
此外，学生可能对圆的性质的理解停留在表面，需要通过实例分析和练习，加深对圆的性质的理解。
三. 说教学目标1.知识与技能：通过本节课的学习，学生能够理解圆的性质，并能够运用圆的性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、分析和推理，学生能够发现圆的性质，并能够运用圆的性质解决实际问题。
3.情感态度与价值观：通过本节课的学习，学生能够培养对数学的兴趣，提高对数学的认识。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆的性质的理解和运用。
2.教学难点：圆的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、提问法、小组讨论法等多种教学方法，并结合多媒体课件、实物模型等教学手段，以提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 说教学过程1.导入：通过展示一些与圆相关的实际问题，引起学生对圆的性质的兴趣。
2.讲解：讲解圆的性质，并通过实例进行分析。
3.练习：学生进行练习，巩固对圆的性质的理解。
4.拓展：通过小组讨论，引导学生发现圆的性质的证明方法。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出圆的性质的关键点。
可以采用图示、列表等形式，帮助学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价可以从学生的课堂表现、作业完成情况、测验成绩等方面进行。
通过评价，可以了解学生对圆的性质的理解程度，为后续教学提供参考。
九. 说教学反思在课后，教师应该对自己的教学进行反思，看学生是否掌握了圆的性质，教学过程中是否存在问题，以便于改进教学方法和手段，提高教学质量。
九年级数学人教版(上册)24.1.1圆课件
D
F
O
B
I
E
A
⌒ ⌒ ACD ACF
⌒⌒
AC AE
C
⌒⌒
ADE ADC
⌒
AF
⌒
A
D
课堂小结
课堂小结
1.圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本要素. 2.掌握圆的相关概念： （1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧.
重点： 1.直径是最长的弦！ 2.等圆：两个圆能够完全重合 3.等弧：能够完全重合的弧。（所在的圆的半径相等！） 4.劣弧长度<半圆长度<优弧长度 5.圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r） 6.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
圆的概念
如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋
转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．
Oo rr AA
固定的端点O叫做圆 心 线段OA叫做半径
确定圆心 确定半径大小
以点O为圆心的圆，记“⊙O”， 读作“圆O”．
确定一个圆的 两个要素
从画圆的过程可以看出：
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都 AA
作业布置
如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°， ∠D=90°， 点O是AB的中点.
求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的 同一圆上.
A O
C
BDBiblioteka 等于定长（半径r）；r
（2）到定点的距离等于定长的点
都在同一个圆上．
r OO r
BC
CB
判断几个点是否在同一个圆上。
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是: 所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
圆的两种定义
人教版九年级数学上册24.1圆的有关性质教学设计
2.结合生活中的实例，运用圆的性质和圆周角定理，设计一道与圆相关的实际问题，并尝试解决。要求同学们将问题及解答过程记录下来，下节课与同学们分享。
3.请同学们预习下一节课内容，提前了解圆的位置关系，为课堂学习做好准备。
4.针对本节课的学习，撰写一篇学习心得，谈谈自己对圆的性质及圆周角定理的理解和感悟，字数不限。
3.教师选取部分学生的答案进行展示和点评，指出解题过程中的常见错误和注意事项。
4.针对学生的掌握情况，教师进行针对性的讲解和辅导，巩固课堂所学。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：圆的性质有哪些？圆周角定理是什么？
2.学生回答，教师点评并补充：圆的性质包括半径相等、圆心角相等、圆的对称性等；圆周角定理指出，同弧或等弧所对的圆周角相等。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结：圆的性质在生活中的应用非常广泛，如建筑、工程设计等领域；圆周角定理可以用来解决与圆有关的角度问题，如圆内接四边形的对角互补等。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有代表性的练习题，涵盖圆的性质、圆周角定理等知识点，让学生独立完成。
2.学生完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（二）过程与方法
1.提高观察能力和空间想象力，通过观察圆的性质，培养学生对几何图形的认识。
2.发展逻辑思维能力和推理能力，通过推导圆的性质，使学生学会运用几何知识解决问题。
3.培养学生的动手操作能力，通过画圆、测量等实践活动，提高学生对圆的认识。
4.学会与他人合作交流，培养团队精神和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
3.教师强调圆的性质在生活中的应用，以及圆周角定理在解决实际问题中的作用。
4.布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。
3.请同学们预习下一节课内容，提前了解圆的位置关系，为课堂学习做好准备。
4.针对本节课的学习，撰写一篇学习心得，谈谈自己对圆的性质及圆周角定理的理解和感悟，字数不限。
3.教师选取部分学生的答案进行展示和点评，指出解题过程中的常见错误和注意事项。
4.针对学生的掌握情况，教师进行针对性的讲解和辅导，巩固课堂所学。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，提问：圆的性质有哪些？圆周角定理是什么？
2.学生回答，教师点评并补充：圆的性质包括半径相等、圆心角相等、圆的对称性等；圆周角定理指出，同弧或等弧所对的圆周角相等。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结：圆的性质在生活中的应用非常广泛，如建筑、工程设计等领域；圆周角定理可以用来解决与圆有关的角度问题，如圆内接四边形的对角互补等。
（四）课堂练习，500字
1.教师设计具有代表性的练习题，涵盖圆的性质、圆周角定理等知识点，让学生独立完成。
2.学生完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（二）过程与方法
1.提高观察能力和空间想象力，通过观察圆的性质，培养学生对几何图形的认识。
2.发展逻辑思维能力和推理能力，通过推导圆的性质，使学生学会运用几何知识解决问题。
3.培养学生的动手操作能力，通过画圆、测量等实践活动，提高学生对圆的认识。
4.学会与他人合作交流，培养团队精神和沟通能力。
（三）情感态度与价值观
3.教师强调圆的性质在生活中的应用，以及圆周角定理在解决实际问题中的作用。
4.布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的实践能力。
人教版九年级上册数学-第二十四章-圆--圆的有关性质--圆周角
O
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB
B
=180°-90°-80°=10°.
巩固练习
如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°， 则∠ABC＝____8_0_°．
C
A
O
B
探究新知
例2 如图，分别求出图中∠x的大小.
C A
x
60°
x
60°
D
20° B Dx
E 30°
A
B
FC
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为（
A.30°
B.40°
） A
C.50°
D.60°
课堂检测
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,如∠BOD=130°则
∠BCD的度数是（ A. 115°
）C B. 130°
C. 65°
D. 50°
C
O
B
D
A
课堂检测
能力提升题
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=
推论：圆内接四边形的对角互补.
探究新知
想一想：图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°， 同理∠B＋∠D＝180°， ∵∠BCD＋∠DCE＝180°. ∴∠A＝∠DCE.
D
A O
B
CE
探究新知
推论：圆的内接四边形的任何一个 外角都等于它的内对角.
2∠BOC. 求证：∠ACB=2∠BAC.
证明：∵ ACB 1 AOB, 2
BAC 1 BOC, 2
∠AOB=2∠BOC，
∴∠ACB=2∠BAC.
24.1 圆的有关性质(第3课时)课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
探究 任意给一个圆心角，对应出现三个量：
A
B
弧
·
圆心角
O
弦
这三个量之间有什么关系呢？
圆心角 ∠AOB 所对的弧为 AB .
圆心角∠AOB所对的弦为AB.
如图，在⊙O中将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A'OB'的位置，
你能发现哪些等量关系？为什么？
O
B
C
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
思考： 在同圆或等圆中，相等的圆心角，所对的弦的弦心距相等吗? 相等
相等的圆心角，所对的弧、弦和弦心距
C'
C
都相等。
课堂练习 1. 如果两个圆心角相等，那么 ( ) D A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦和弧分别相等 D．以上说法都不对
例题讲解
1（.如1）图如，果ABA、B=CCDD是，⊙那O么的_两_A_B条__弦_C_D.__，∠AOB=∠COD . A
E
B
（2）如果AB C，D那么____A_B_=_C, D____∠__A_O_B__=_∠__C_O. D
O
D
F C
（3）如果∠AOB=∠COD，那么__A_B_=_C__D___,
2. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于____6_0_°.
3.如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE， ∠COD = 35°，∠AOE 的度数为_3__5_°___．
ED C
A
O·
B
课堂小结 圆心角
24.1+圆的有关性质(第1课时)+课件++2024—2025学年人教版数学九年级上册
第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质
第1课时 圆
九年级上册•人教版
学习目标 1.能叙述圆的描述性定义和集合观点定义.（重点）
2.知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并能结 合图形描述它们.（重点）
情境引入 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
获取新知
观察画圆的过程，你能试着说一说圆是如何画出来的吗？
弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 也是直径.
B E
C
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 AF 和 ACF .
能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：等圆是两个半径相等的圆;反过来同圆或等圆 的半径相等
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
想一想：长度相等的弧就是等弧吗？
与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
半径是弦吗？
注意：1. 弦和直径都是线段； 2. 直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.
B
O
A
C
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以 A、B 为
端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
D
rA r O· r C rr E
例题讲解
矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A、B、C、D四 个点在以点O为圆心的圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC= 12
AC,
OB=OD=
1 2
BD.
又∵AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD.
∴A、B、C、D四个点在以点O为
第1课时 圆
九年级上册•人教版
学习目标 1.能叙述圆的描述性定义和集合观点定义.（重点）
2.知道弦、直径、弧、半圆、等圆、等弧的意义，并能结 合图形描述它们.（重点）
情境引入 观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
获取新知
观察画圆的过程，你能试着说一说圆是如何画出来的吗？
弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 也是直径.
B E
C
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 AF 和 ACF .
能够重合的两个圆叫做等圆. 容易看出：等圆是两个半径相等的圆;反过来同圆或等圆 的半径相等
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
想一想：长度相等的弧就是等弧吗？
与圆有关的概念 连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图中的 AC． 经过圆心的弦叫做直径，如图中的 AB．
B
O
A
C
半径是弦吗？
注意：1. 弦和直径都是线段； 2. 直径是弦，是经过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径.
B
O
A
C
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧. 以 A、B 为
端点的弧记作 AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
D
rA r O· r C rr E
例题讲解
矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证：A、B、C、D四 个点在以点O为圆心的圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC= 12
AC,
OB=OD=
1 2
BD.
又∵AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD.
∴A、B、C、D四个点在以点O为
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
解：每个小圆的面积为 π12a·n12＝π4na22，而大圆的面积为 π12a2＝14πa2，即每个小 圆的面积是大圆的面积的n12.
第十九页，共二十页。
第二十页，共二十页。
6．若⊙O 的半径为 6 cm，则⊙O 中最长的弦为____1_2___cm.
第七页，共二十页。
8
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD， 若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD、AC的长．
第八页，共二十页。
9
解：连接 OC．∵AB＝5 cm，∴OC＝OA＝12AB＝52 cm.在 Rt△CDO 中，由勾股
A．AB＞0
B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10
D．0＜AB≤10
4．如图，⊙O 的半径为 1，分别以⊙O 的直径 AB 上的两个四等分点 O1、O2 为
圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( B )
A．π
B．12π
C．14π
D．2π
第六页，共二十页。
7
5. 如图，分别延长⊙O 的弦 AB 与半径 OC 交于点 D，BD＝OA．若∠AOC＝120°， 则∠D 的度数是_____2_0°____.
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
圆
第一页，共二十页。
2
以练助学 名师点睛
知识点1 圆的意义及其表示 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作“圆O”． 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小．
第十九页，共二十页。
第二十页，共二十页。
6．若⊙O 的半径为 6 cm，则⊙O 中最长的弦为____1_2___cm.
第七页，共二十页。
8
7．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于点D，AD＜BD， 若CD＝2 cm，AB＝5 cm，求AD、AC的长．
第八页，共二十页。
9
解：连接 OC．∵AB＝5 cm，∴OC＝OA＝12AB＝52 cm.在 Rt△CDO 中，由勾股
A．AB＞0
B．0＜AB＜5
C．0＜AB＜10
D．0＜AB≤10
4．如图，⊙O 的半径为 1，分别以⊙O 的直径 AB 上的两个四等分点 O1、O2 为
圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为( B )
A．π
B．12π
C．14π
D．2π
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5. 如图，分别延长⊙O 的弦 AB 与半径 OC 交于点 D，BD＝OA．若∠AOC＝120°， 则∠D 的度数是_____2_0°____.
人教版九年级数学上册 《圆》圆的有关性质PPT教学课件
科 目：数学 适用版本：人教版 适用范围：【教师教学】
第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
圆
第一页，共二十页。
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以练助学 名师点睛
知识点1 圆的意义及其表示 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的 图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作 “⊙O”，读作“圆O”． 注意：确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确 定圆的大小．
人教版九年级上24.1.1圆(教案)
首先，对于圆的方程部分，我可能需要更多地结合实际例子来讲解，让学生明白方程背后的几何意义。例如，可以拿一个圆形的物体，如硬币或圆盘，通过测量半径和直径，引导学生推导出圆的方程。这样，学生们能够更直观地理解方程与实际物体之间的关系。
其次，在讲解切线和割线时，我发现学生们对这两个概念容易混淆。为了帮助学生区分，我计划在下节课中增加一些图示和实物操作，比如用绳子模拟切线和割线，让学生亲自感受两者的不同。通过这样的实践活动，我相信学生们能够更清晰地理解这些几何关系。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对圆的概念和性质掌握得还不错，但在圆的方程和切线割线的理解上存在一些困难。这让我意识到，需要从以下几个方面进行反思和调整。
我还注意到，在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是由于主题不够吸引他们或者他们对自己的观点不够自信。为了提高学生的参与度，我打算在下次讨论前，先给学生提供一些背景资料和思考问题，激发他们的兴趣，并在讨论过程中给予更多的鼓励和支持。
另外，实践活动虽然能够帮助学生加深对圆的理解，但我也发现有些学生在操作过程中关注了操作本身，却忽略了背后的数学原理。因此，我计划在下次实践活动中，增加一些引导性的问题和任务，让学生在动手操作的同时，思考这些操作与圆的性质和公式之间的联系。
-圆的面积与周长计算：掌握面积和周长的公式，是实际应用中必不可少的技能。
举例：圆以及如何根据实际问题的条件建立圆的方程。
2.教学难点
-圆的方程理解：学生需要理解方程背后的几何意义，以及如何将实际问题转化为方程求解。
其次，在讲解切线和割线时，我发现学生们对这两个概念容易混淆。为了帮助学生区分，我计划在下节课中增加一些图示和实物操作，比如用绳子模拟切线和割线，让学生亲自感受两者的不同。通过这样的实践活动，我相信学生们能够更清晰地理解这些几何关系。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对圆的概念和性质掌握得还不错，但在圆的方程和切线割线的理解上存在一些困难。这让我意识到，需要从以下几个方面进行反思和调整。
我还注意到，在小组讨论环节，有些学生参与度不高，可能是由于主题不够吸引他们或者他们对自己的观点不够自信。为了提高学生的参与度，我打算在下次讨论前，先给学生提供一些背景资料和思考问题，激发他们的兴趣，并在讨论过程中给予更多的鼓励和支持。
另外，实践活动虽然能够帮助学生加深对圆的理解，但我也发现有些学生在操作过程中关注了操作本身，却忽略了背后的数学原理。因此，我计划在下次实践活动中，增加一些引导性的问题和任务，让学生在动手操作的同时，思考这些操作与圆的性质和公式之间的联系。
-圆的面积与周长计算：掌握面积和周长的公式，是实际应用中必不可少的技能。
举例：圆以及如何根据实际问题的条件建立圆的方程。
2.教学难点
-圆的方程理解：学生需要理解方程背后的几何意义，以及如何将实际问题转化为方程求解。