2021-2022年高中数学竞赛辅导资料《涂色问题》

2021-2022年高中数学竞赛辅导资料《涂色问题》涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。有些问题，本来就属于图论的内容。有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。

1．小方格染色问题

最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.

2．线段染色和点染色

(1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.

（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.

例题讲解

1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。每一个矩形又被对角线BD分成两部分。将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部

涂上同一颜色。证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。

2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3的六方格矩形内恰好2个红方格。试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？

3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换

两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点

的对角线下方。

4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。

5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。

6．设a1，a2，a3……是一个不减的正整数序列，定义b m是使a n≥m的n的最小值，若a19=85，试求a1+a2+…+a19+b1+b2+…+b85的值。

7．有1987块玻璃片，每块上涂有红、黄、蓝三色之一，进行下列操作：将不同颜色的两块玻璃片擦净，然后涂上第三种颜色。

（1）求证：无论开始时红、黄、蓝色玻璃片各有多少块，总可以经过有限次操作而使所有的玻璃片涂有同一种颜色；

（2）求证：玻璃片最后变成哪种颜色，与操作顺序无关。

8．把集合M={1，2，…，1987}的元素用4种颜色涂色，求证：至少存在一种涂色方法，使得M中任何等差数列的10项，不是同一颜色。

9．平面直角坐标系中，纵横坐标都是整数的点称为整点称为整点。设计一种方法，将所有整点涂色，每一个整点染成白色、红色或黑色中的一种颜色，使得

（1）每一种颜色的点出现在无穷多条平行于横轴的直线上；

（2）对任意白点A、红点B及黑点C，总可以找到一个红点D，使得ABCD为一平行四边形。证明你设计的的方法符合上述要求。

10．将平面上每个点染上两种颜色中的一种，已知任一边长为1的正三角形都有两种颜色的顶点，

（1）求证：存在边长为的同色正三形（即顶点同色）；

（2）举出染色满足题设要求的平面的例子。

11．平面上有6点，任何三点都是一个不等边三角形的顶点，求证：这些三角形的边中一定有一条，它在一个三角形中是最长边，而在另一个三角形中是最短边。

12．平面上任一点都染上红、蓝、黄三色中的一种，求证：一定存在一条端点同色且长度为1的线段。

课后练习

1. 证明:用15块大小是4×1的矩形瓷砖和1块大小是2×2的矩形瓷砖，不能恰好铺盖8×8矩形的地面.

2. 世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识.

3. 空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）.求证:无论怎样染,总存在同色三角形.

4. 有17位科学家,其中每一个人和其他所有人的人通信,他们的通信中只讨论三个题目.求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目.

5. 能否把1，1，2，2，3，3，…，1986，1986这些数排成一行，使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，…，两个1986、之间夹着一千九百八十六个数？请证明你的结论.

课后练习答案

１．（分析将8×8矩形地面的一半染上一种颜色，另一半染上

另一种颜色，再用4×1和2×2的矩形瓷砖去盖，如果盖住的两种

颜色的小矩形不是一样多，则说明在给定条件不完满铺盖不可能.

证明如图29-3，用间隔为两格且与副对角线平行的斜格同色的

染色方式，以黑白两种颜色将整个地面的方格染色.显然，地面上

黑、白格各有32个.

每块4×1的矩形砖不论是横放还是竖盖，且不论盖在何处，总是

占据地面上的两个白格、两个黑格，故15块4×1的矩形砖铺盖后

还剩两个黑格和两个白格.但由于与副对角线平行的斜格总是同

色，而与主对角线平行的相邻格总是异色，所以，不论怎样放置，

一块2×2的矩形砖，总是盖住三黑一白或一黑三白.这说明剩下的一块2×2矩形砖无论如何盖不住剩下的二黑二白的地面.从而问题得证.

２．同3

３．证明设A、B、C、D、E、F是所给六点.考虑以A为端点的线段AB、AC、AD、AE、AF，由抽屉原则这五条线段中至少有三条颜色相同，不妨设就是AB、AC、AD，且它们都染成红色.再来看△BCD的三边，如其中有一条边例如BC是红色的，则同色三角形已出现（红色△ABC）；如△BCD三边都不是红色的，则它就是蓝色的三角形，同色三角形也现了.总之,不论在哪种情况下,都存在同色三角形.