矩阵论范数理论
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第二章 范数理论
在第一章我们曾利用内积定义了向量的长度，他是几何向量长度概念的一种推广。虽然当n>3时对定义的向量长度无法作出具体的几何解释，但这样规定的长度具有几何向量长度的基本性质，即非负性，齐次性和三角不等式。本章我们采用公理化的方法，八项量长度的概念推广到更一般的情形，主要讨论向量范数、矩阵范数及其有关的应用。
§2.1 向量范数
定义 2.1 若对任意n C x ∈都有一个实数x
与之对应，且满
足：
（1） 非负性：当x 0 x
0 x 0x 0 ?
==时，；当，；
（2） 齐次性：对任何C x
x l
l l ?，； （3） 三角不等式：对任意n x,y C Î
，
都有x y ,x y +?则称x
为n C 上的向量x 的范数，简称向量范数。
定义中并未给出向量范数的计算方法，只是规定了向量范数应满足的三条公理，称之为向量范数三公理。从范数定义可得范数的下列基本性质。 定理2.1 对任意，n C y x,∈有 （1）x -=x
；
（2）
x .y x
y -?
只证（2）。根据三角不等式，有
x x y y x y y =-+?+ y y x x y
x x
=-+?+
综合二式即得
x y x y
-?
证毕
例 2.1 设12n ().T n x C x x x = ，， 规定
2x =
第一章已表明
2
x
是向量x 的一种范数，并称之为向量2-范数，该范数具
有如下重要的性质，对任意n x C Î
和任意
n 阶酉矩阵U ，有
22Ux .x =
称之为向量
2-范数的
酉不变性。
例2.2 设12n x ().T n C x x x =
，，规定
11
x n
k
k x ==
å
则1x 是向量
x 的一种范数，称为向量1-范数。
证
当
1
11
x 0x 0 x 0x 0x 0.n
k k x =?>==å
时，显然；当时，的每一分量都是，故
对任意λ C , Î
有
n
111
1
x n
k
k k k x l l x
l
x l ===
==邋
又对任意12y (,,).T n n C h h h =
有
1111
1
1
1
()n n
n n
k
k k k k
k k k k k x y x y x
h x h x
m ====+=
+?
=
+
=+邋邋
故
1
x
是n C 上的一种向量范数。 例2.3 设12n x ().T n C x x x = ，，规定
1x max k
k
x = 则
x ¥
是向量x 的一种范数，称为向量¥-
范数。
证 当x 0¹时，有
x
max 0;k k
x ¥
=>当
x=0时，现然有
x
¥
=0.
对任意C ∈λ，有x max max k k k
k
x
l l x l x l ゥ===
又
对
任
意
12y (,,).
T n n C h h h = 有
x y
max max max k k k
k k
k
k
x
y
x h x h ゥ
+=+?=+
故
x
¥
是n C 上的一种向量范数。为给出其他的向量范数，先
证明如下结论.
引理 2.1 对任意实数00a b
吵和，都有p
q p q
a b a b ?
，其中
11
1q 11p q
p >>+=，，且
证 若0ab =，显然结论成立，下面就只就00a b >>和来讨论，考虑函数
()p q
t t t p q
j -=+
(0)t <<+
因为q 1
(1)
11
'()p p q q t t t
t
t j
+---+-=-= 可见，当01'()0;t t j << 时，（而当1t
?+
时，'()0t j ³（
，故总有()(1)
1 (0t )t j j ?<<+
令11q
p
t a
b
-
=，有
11
1
1
1111()
()()p q p
q q p q p p
q p q
a b a b a b ab ---?=+故结论成立。 定理2.2 对任意k , (k
1,2,,n)k C x h ? ，有
1
11
1
1
(
)()
p q n n
n
p
q
k
k k k k k k x
h x h ===£邋 （2.1）
其中p>1，q>1，且11
1.p q
+
= 证 当0(1,2,,)k k k n x h === 时，结论成立。下设k ξ不全为0，
k η也不全为
0.由引理2.1得
n
11111n n 1111
1111()(
)
()()()()p q
k k n n k
k k
k
k p q
n
n
n n
p q p q k k p q p q k k k k k k k k k k k k p q x h x h x h x h x h x h =========轾
轾
轾
犏犏犏犏犏犏犏犏犏=?犏犏犏犏
犏犏
犏
犏
犏犏犏犏臌
臌
臌
å邋邋邋邋11
1.p q
+=故结论成立。 称式（2.1）为Holder 不等式。当p=q=2时，即得Cauchy-Schwarz 不等式2
2
2
11
1
()(
)()n
n
n
k
k k k k k k x h x h ===£邋 （1.5）
例2.4 设12n x ().T n C x x x = ，，，规定
1
1
x ()
n
p
p
k p k x ==å
(1)p
?+
则
p
x
是向量x 的一种范数，称为向量p-范数。
证 易知非负性和齐次性成立，当p=1时，例2.2中已证明三角不等式成立。下设p>1，则对12y (,,).T n n C h h h = ，利
用
定
理
2.2得