【精品讲义】2016年竞赛与自主招生专题第七讲：定积分与微积分

2016 年竞赛与自主招生专题第七讲 定积分与微积分

应用

从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.

所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。

在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。 一、知识精讲

一．定积分：设函数()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点

0121n n a x x x x x b -=<<<

<<=。把区间[,]a b 分成n 个小区间，各小区间的长度

依次为1(1,2)i i i x x x i -∆=-=并作和1

()n

i i i S f f x ==∆∑，记{}12max ,,

n x x x λ=∆∆∆，

如果不论对[,]a b 怎样的分法，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i f 怎样的取法，只要当

0λ→时，和S 趋于确定的极限I ，我们称这个极限I 为函数()f x 在区间[,]a b 上的

定积分，记为0

1

()lim ()b

n

i i i a f x dx I f f x λ→===∆∑⎰。

二．定积分存在定理：

①当函数()f x 在区间[,]a b 上连续时，则()f x 在区间[,]a b 上可积；

②设函数()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积。

三．定积分的几何意义：

()0f x >时，()b

a

f x dx A =⎰，则A 表示()f x 的图像与,x a x b ==及x 轴围成的

曲边梯形面积；

若()0f x <，令()b

a

f x dx A =-⎰，则A -表示()f x 的图像与,x a x b ==及x 轴围

成的曲边梯形面积的负值。

四．微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式

如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且'()()F x f x =，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰。若记

()()()|b a

F b F a F x -=，则()()|()()b

b a a

f x dx F x F b F a ==-⎰。 牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为

求原函数问题。

五．洛必塔法则：设（1）如果当x a →时，函数(),()f x g x 都趋于零；（2）在(,)a δ内，'(),'()f x g x 都存在，且'()0g x ≠；（3）极限'()

lim

'()

x a

f x

g x →存在（或为无穷大）；则()lim

()

x a

f x

g x →存在，且()'()

lim lim ()'()x a x a f x f x g x g x →→=。

上述准则称为洛必塔法则。

六．二次曲线在某点处的切线方程：

①设00(,)P x y 是圆222x y R +=上一点，则过00(,)P x y 的圆切线方程为

200x x y y R +=；

②设00(,)P x y 是椭圆22

221x y a b +=上一点，则过点00(,)P x y 的椭圆切线方程为

00221x x y y

a b

+=； ③设00(,)P x y 是双曲线22

221x y a b -=上一点，则过00(,)P x y 的双曲线切线方程为

00221x x y y

a b

-=； ④设00(,)P x y 是抛物线22y px =上一点，则过00(,)P x y 的抛物线切线方程为

00()y y p x x =+；

七．函数的单调性：若函数f 在(,)a b 内可导，则f 在(,)a b 内递增（递减）的充要条件是'()0f x ≥（'()0f x ≤），(,)x a b ∈。

八．函数的极值：

1.定义： 已知函数()y f x =及其定义域内一点0x ，对于存在一个包含0x 的开区间内的所有点x ，如果都有

0()()f x f x ＜

则称函数()y f x =在点0x 处取得极大值，记作0()y f x =极大值，并把0x 称为函数

()y f x =的一个极大值点；如果都有

0()()f x f x ＞

则称函数()y f x =在点0x 处取得极小值，记作0()y f x =极大值，并把0x 称为函数

()y f x =的一个极小值点

极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 注意：

（1）.函数()y f x =的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值； （2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。

2.极值的必要条件：若函数f 在0x 可导，且在0x 处取得极值，则0'()0f x =。

九．两个重要的极限：

1.0sin lim 1x x x →=，

2. 1lim()x x x e x

→∞+=

三、典例精讲

例1．（2011复旦）设a 为正数，322()2f x x ax a =-+，若()f x 在区间(0,)a 上大于0，则a 的取值范围是（ ）。

（A ）(0,1] （B ）(0,1) （C ）(1,)+∞ （D ）[1,)+∞ ►答案：A

►分析与解：2'()34f x x ax =-，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)a 上单调递减，所以()f x 在(0,)a 上大于0，当且仅当()0f a ≥，即

33220,01a a a a -+≥<≤。