高中数学重要知识点及典型例题——立体几何下载地址
9.1 空间两条直线的位置关系
1、平面及基本性质
公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,,
公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P
公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）
2、空间两直线的位置关系
共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线
3、异面直线
（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b
（2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P
★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.
②向量法 |||||,cos |cos b a =><=θ （注意异面直线所成角的范围]2,0(π
）
（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；
②向量法 0=⋅⇔⊥b a b a
（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.
9.2 直线与平面的位置关系
1、直线与平面的位置关系
A a a a =⋂⊂ααα,//,
2、直线与平面平行的判定
（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )
（2）面面平行的性质：βαβα////a a ⇒⎭
⎬⎫⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质
b a b a a //,//⇒⎭
⎬⎫=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )
（1）直线与平面垂直的定义的逆用 a l a l ⊥⇒⎭
⎬⎫⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）
（3）αα⊥⇒⎭
⎬⎫⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）
（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫⊥l l // 5、射影长定理
★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜
9.3 两个平面的位置关系
1、空间两个平面的位置关系 相交和平行
2、两个平面平行的判定
（1）判定定理：
βαβαα//,,//,//⇒⎭
⎬⎫=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ） （2）βαβα//⇒⎭
⎬⎫⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题）
3、两个平面平行的性质
（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂
（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭
⎬⎫=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线平行20P ） （3）性质2：βαβα⊥⇒⊥l l ,//
（1）判定定理：βααβ⊥⇒⊂⊥a a , （线面垂直，则面面垂直50P ）
（2）性质定理：面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭
⎪⎬⎫⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）
9.4 空间角
1、异面直线所成角（9.1）
2、斜线与平面所成的角 )2,0(π
（1）求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.
（2）向量法：设平面α的法向量为，则直线AB 与平面α所成的角为θ，则
|||||,cos |sin n AB =
><=θ )2,0(πθ∈
（3）两个重要结论 最小角定理48P ：21cos cos cos θθθ= ，,26P 例4 28P 第6题
3、二面角及其平面角 ),0(π
（1）定义法，垂面法，★三垂线定理及逆定理
（2）射影面积法：S S 影
=θcos 关键是找准一个平面图形在二面角的另一个面上的射影面积
（3）向量法：设二面角的大小为θ，另个平面的法向量分别为21,n n
9.5 空间距离
1、求距离的一般方法和步骤
（1）找出或作出有关的距离；
（2）证明它符合定义；
（3）在平面图形内计算（通常是解三角形）
2、求点到面的距离常用的两种方法
（1）等体积法——构造恰当的三棱锥；
（2）向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度：d =
3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解
4、异面直线的距离
① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）
② 求法：法1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法2 转化为点面距离
向量法 d =（A ，B 分别为两异面直线上任意一点，为垂直于两异面直线的向量） 注意理解应用：
θcos 22222mn d n m l ±++= 重点例题：51P 和55P 例2
9.6 棱柱、棱锥、球
1、棱柱
（1）棱柱的性质
①棱柱的每一个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形.
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形
（2）平行六面体与长方体
①概念：底面是平行四边形的棱柱是平行六面体；侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体；底面为矩形的直平行六面体叫长方体，各侧棱长都相等的长方体叫正方体.
②性质：<1>平行六面体的对角线相交于一点且互相平分
<2>设长方体过同一顶点的三条棱长分别为c b a 、、，一条对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为γβα、、,则★)(i 体对角线的长为：222c b a l ++=
)(ii 1cos cos cos 222=++γβα
)(iii 若c b a ≥≥，则从一个顶点经表面到达相对的另一顶点的最短距离是22)(c b a ++
③公式
<1>l c S ⋅=直棱柱侧，<2>h S V ⋅=底面直棱柱
2、棱锥
（1）正棱锥：底面是正多边形且顶点在底面的射影是中心的棱锥
（2）棱锥的性质：
①平行于底面的截面与底面相似，面积之比等于相似比的平方
②正棱锥的侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（斜高）相等
★③正棱锥的高、斜高及其在底面上的射影组成一个∆Rt ——可解决侧面与底面所成二面角；高、侧棱及其在底面上的射影组成一个∆Rt ——可解决侧面与底面所成线面角.
（3）公式 ①‘正棱锥h c S ⋅=21（’h 为斜高） ★②h S V ⋅=3
1——重视等体积法求点到面的距离
（4）三棱锥的常用性质
★①各侧棱相等时顶点在底面的射影为底面三角形的 外心
★②各侧棱与底面所成角相等时顶点在底面的射影底面三角形的 外心
③顶点到底面各边距离相等且射影落在底面内顶点在底面的射影时为底面三角形的 内心
④各侧面与底面所成角相等时顶点在底面的射影为底面三角形的 内心
⑤三条侧棱两两垂直时顶点在底面的射影为底面三角形的 垂心
⑥各侧棱与其对棱垂直时顶点在底面的射影为底面三角形的 垂心
★★（5）熟练计算正三棱锥、正四面体、正四棱锥的高、斜高、体积
3、球
（1）截面圆的性质
①球心与截面圆心的连线垂直于截面
★②球心到截面圆的距离d 与求的半径R 及截面圆半径r ，满足222r d R +=
（2）两点间的球面距离
即指：在球面上，两点间的最短距离就是经过这两点的大圆上的劣弧的长度
先计算弦长AB 和球心角α=∠AOB ，再由弧长公式R l AB ⋅=α
4、球与多面体的组合体（“接”、“切”）问题，基本解法是通过接切的公共点与球心作出截面，找出球的半径与多面体的元素之间的关系.
常考题型是球与长方体、正方体、正三棱锥、正四面体的组合体
5、方法突破
（1）解决线面关系、面面关系时要重视平行的相互转化、垂直关系的相互转化；垂直问题是立体几何的核心问题之一，证明垂直问题、及二面角的求解问题时，三垂线定理及逆定理的使用时解题的关键.
（2）规范解题：证明问题中，使用定理公理要有依据且定理的条件要书写完整；空间角与距离的计算问题，也要重视论证部分阐述清楚，基本步骤（作、证、指、算、答）.
（3）立体几何主要以棱柱、棱锥为载体，考查线面关系，角与距离等，解题时，要充分挖掘棱柱、棱锥中的线面间的特定关系与性质，学会发现，善于联想，灵活应用“直线与平面”的位置关系（如“射影定理”、“线面角”、“面面角”等），它是解决空间图形的关键.
（4）几何体不同侧面上两点间的表面距离，常采用侧面展开图“化折为直”的方法转化为平面问题处理.
（5）等面积法于等体积法对求点到线的距离，点到面的距离具有优越性.
（6）向量是很好的数学工具，在立体几何的证明与计算空间角、距离是注意准确应用.使用时，准确建立空间直角坐标系，找准相应点的坐标是解决问题的关键，计算过程要详尽（写公式—代入值—化简），一定要有相应的结论.。
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高中数学之立体几何平面的基天性质公义 1假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在这个平面内 .公义 2假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线 .公义 3经过不在同向来线上的三个点，有且只有一个平面.依据上边的公义，可得以下推论.推论 1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论 2经过两条订交直线，有且只有一个平面.推论 3经过两条平行直线，有且只有一个平面.空间线面的地点关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线订交—有且只有一个公共点异面 ( 既不平行，又不订交 )直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外 )订交—有且只有一公共点(3)平面与平面订交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点异面直线的判断证明两条直线是异面直线往常采纳反证法.有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线” .线面平行与垂直的判断(1)两直线平行的判断①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行 .那②假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面订交，么这条直线和交线平行，即若 a∥α ,a β，α∩β =b, 则 a∥b. ③平行于同向来线的两直线平行，即若 a∥b,b ∥ c, 则 a∥ c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若 a⊥α， b⊥α，则 a∥b⑤两平行平面与同一个平面订交，那么两条交线平行，即若α∥β , α∩γ , β∩γ =b, 则 a∥ b⑥假如一条直线和两个订交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β =b,a ∥α ,a ∥β，则 a∥b.(2)两直线垂直的判断1.定义：若两直线成 90°角，则这两直线相互垂直 .2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直 . 即若 b∥ c,a ⊥b, 则 a⊥ c3.一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的随意一条直线. 即若 a⊥α ,bα，a⊥b.4.假如一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即若a∥α ,b ⊥α , 则 a⊥b.5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β , β⊥γ，γ⊥α , 且α∩β =a, β∩γ =b, γ∩α =c，则 a⊥b,b ⊥c,c ⊥a.(3) 直线与平面平行的判断①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行 . 即若 aα,bα，a∥b,则a∥α.③两个平面平行，此中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β ,lα，则l∥β.④假如一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行 . 即若α⊥β ,l ⊥β， lα，则l∥α.⑤在一个平面同侧的两个点，假如它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若 A α， B α， A、B 在α同侧，且 A、B 到α等距，则 AB∥α .⑥两个平行平面外的一条直线与此中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β ,aα，aβ，a∥α，则α∥β.⑦假如一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若 a⊥α ,bα，b⊥ a，则b∥α.⑧假如两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面 ( 或在这个平面内 ) ，即若 a∥b,a ∥α ,b ∥α ( 或 bα)(4)直线与平面垂直的判断①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 .②假如一条直线和一个平面内的两条订交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 . 即若 m α， n α， m∩n=B,l ⊥m,l ⊥n, 则 l ⊥α .③假如两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若 l ∥a,a ⊥α , 则 l ⊥α .④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β ,l ⊥β，则 l ⊥α .⑤假如两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a ∩β =α， lβ，l⊥ a,则l⊥α .⑥假如两个订交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ , β⊥γ , 且 a∩β =α , 则 a⊥γ .(5)两平面平行的判断①定义：假如两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β .②假如一个平面内有两条订交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若 a,bα，a∩ b=P,a∥β ,b∥β ,则α∥β .③垂直于同向来线的两平面平行. 即若α⊥ a, β⊥ a, 则α∥β .④平行于同一平面的两平面平行. 即若α∥β , β∥γ , 则α∥γ .⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条订交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,dβ ,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β .(6) 两平面垂直的判断①定义：两个平面订交，假如所成的二面角是直二面角，那么这两个平面相互垂直，即二面角α－ a－β =90° α⊥β .②假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，即若 l ⊥β ,lα，则α⊥β.. 即若α∥β，③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个α⊥γ，则β⊥γ .直线在平面内的判断(1)利用公义 1：向来线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.(2)若两个平面相互垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β ,A ∈α， AB⊥β，则 AB α.(3)过一点和一条已知直线垂直的全部直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若 A∈ a,a ⊥b，A∈α ,b ⊥α，则 a α.(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若 P α， P∈β，β∥α， P∈a,a ∥α，则 a β .(5)假如一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α ,A ∈α， A∈b,b ∥a, 则 bα .存在性和独一性定理(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；(4)与两条异面直线都垂直订交的直线有且只有一条；(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；(8)过两条相互垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个 .射影及相关性质(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点 .(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影 .和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线 .(3)图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的会合叫做这个平面图形在该平面上的射影 .当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影还是一个图形.(4)射影的相关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短 .空间中的各样角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，而且方向同样，则这两个角相等 .推论若两条订交直线和另两条订交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角( 或直角 ) 相等.异面直线所成的角(1)定义： a、b 是两条异面直线，经过空间随意一点 O，分别引直线 a′∥a,b ′∥ b, 则 a′和 b′所成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 .(2)取值范围： 0°＜θ≤ 90°.(3)求解方法①依据定义，经过平移，找到异面直线所成的角θ；②解含有θ的三角形，求出角θ的大小 .直线和平面所成的角(1)定义和平面所成的角有三种：(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 .(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角 .(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角 .(2)取值范围 0°≤θ≤ 90°(3)求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ .②解含θ的三角形，求出其大小.二面角及二面角的平面角(1)半平面直线把平面分红两个部分，每一部分都叫做半平面 .(2)二面角条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角 . 这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面构成 .若两个平面订交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来胸怀，往常以为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤ 180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上随意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角 .②二面角的平面角拥有以下性质：(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即 AB⊥平面 PCD.(ii)从二面角的平面角的一边上随意一点 ( 异于角的极点 ) 作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边 ( 或其反向延伸线 ) 上 .(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面 PCD⊥β .③找 ( 或作 ) 二面角的平面角的主要方法.(i)定义法(ii)垂面法(4)求二面角大小的常有方法①先找 ( 或作 ) 出二面角的平面角θ，再经过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα此中 S 为二面角一个面内平面图形的面积， S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小 .③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.空间的各样距离点到平面的距离(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离 .(2)求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到 ( 或作出 ) 表示距离的线段；②抓住线段 ( 所求距离 ) 所在三角形解之 .2)利用两平面相互垂直的性质 . 即假如已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离 .3)体积法其步骤是：①在平面内选用适合三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S；③由V=1S·h，求出h 即3为所求 . 这类方法的长处是不用作出垂线即可求点面距离 . 难点在于怎样结构适合的三棱锥以便于计算 .4)转变法将点到平面的距离转变为 ( 平行 ) 直线与平面的距离来求 .直线和平面的距离(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上随意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离 .(2)求线面距离常用的方法①直接利用定义求证 ( 或连或作 ) 某线段为距离，而后经过解三角形计算之.②将线面距离转变为点面距离，而后运用解三角形或体积法求解之.③作协助垂直平面，把求线面距离转变为求点线距离.空间几何体的三视图和直观图1三视图：正视图：以前去后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法（角度等于45 或许 135）4斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于x 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。
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1、平行于同一直线的两条直线互相平行2、垂直于同一平面的两条直线互相平行3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明二、判定线面平行的方法1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个 平面平行3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面三、判定面面平行的方法1、定义：没有公共点2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行3 垂直于同一直线的两个平面平行4、平行于同一平面的两个平面平行四、面面平行的性质1、两平行平面没有公共点2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面五、判定线面垂直的方法1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面六、判定两线垂直的方法1、定义：成角902、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直D中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面所成的角的正切值；。
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高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体㈠空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体.其中，这条直线称为旋转体的轴.㈡几种空间几何体的结构特征1 棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.1.2 棱柱的分类1.3 棱柱的性质⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形；⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形.1.4 长方体的性质⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-1 棱柱图1-2 长方体图1-1 棱柱的角分别是α、β、γ，那么：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2⑶ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 11.5 棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形.1.6 棱柱的面积和体积公式S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2-2 圆柱的性质⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2-4 圆柱的面积和体积公式S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心， 这样的棱锥叫做正棱锥. 3-2 正棱锥的结构特征⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形).图1-3 圆柱图1-4 棱锥3-3 正棱锥的侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成. 3-4 正棱锥的面积和体积公式S 正棱锥侧 = 0.5 c h ’ (c 为底面周长，h ’为侧面斜高) S 正棱锥全 = 0.5 c h ’ + S 底面V 棱锥 = 1/3 S 底面·h (h 为棱锥的高) 4 圆锥的结构特征4-1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥. 4-2 圆锥的结构特征⑴ 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 轴截面是等腰三角形；⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和： l 2 = r 2 + h 24-3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形. 4-4 圆锥的面积和体积的公式S 圆锥侧 = π r ·l (r 为底面半径，l 为母线长) S 圆锥全 = πr ·(r + l)V 圆锥 = 1/3 πr 2·h (h 为圆锥高) 5 棱台的结构特征5.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台. 5.2 正棱台的结构特征⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形； ⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形；⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究. 5-3 正棱台的面积和体积公式S 棱台侧= n/2 (a + b)·h ’ (a 为上底边长，b 为下底边长，h ’为棱台的斜高，n 为边数) S 棱台全 = S 上底 + S 下底 + S 侧 V 棱台 =6 圆台的结构特征6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台. 6-2 圆台的结构特征图1-5 圆锥图1-6 棱台⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆； ⑵ 圆台的截面是等腰梯形；⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究. 6-3 圆台的面积和体积公式S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r 、R 为上下底面半径) S 圆台全 = π·r 2 + π·R 2 + π·(R + r)·lV 圆台 = 1/3 (π r 2 + π R 2 + π r R) h (h 为圆台的高) 7 球的结构特征7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体.空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体. 7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r 2 = R 2 – d 2★7-3 球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是： ⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图； ⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长. 7-4 球的面积和体积公式 S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径) V 球 = 4/3 π R 3㈢ 空间几何体的视图1 三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形. 正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图. 侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图. 俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图.注意：⑴ 俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等.(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽) ⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图. 2 直观图2-1 直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是图1-7 圆台图1-8 球在平行投影下画出的空间图形.2-2 斜二测法做空间几何体的直观图⑴在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°；⑵画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面；⑶在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半.结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的2-3 解决关于直观图问题的注意事项⑴由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”；⑵由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线.二点、直线、平面之间的关系㈠平面的基本性质1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化图形语言文字语言符号语言点A在直线a上点B在直线a外A∈a B a点A在平面α内点B在平面α外A∈αBα直线a在平面α内直线b在平面α外aαbα直线a与平面α相交于点A a∩α=A 直线a与直线b相交于点A a∩b=A平面α与平面β交于直线a α∩β=a★2 平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.公理二：不共线的三点确定一个平面.推论一：直线与直线外一点确定一个平面.推论二：两条相交直线确定一个平面.推论三：两条平行直线确定一个平面.公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线).㈡空间图形的位置关系1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行.即：a∥b，b∥c a∥c1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.1.3 异面直线⑴定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.⑵判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线.即：1.4 异面直线所成的角图2-1 异面直线⑴异面直线成角的范围：(0°，90°].⑵作异面直线成角的方法：平移法.注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角.2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直)㈢平行关系(包括线面平行和面面平行)1 线面平行1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行.1.2 判定定理：1.3 性质定理：1.4 判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：l ∩α = ф ，l∥α (用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断).2 线面斜交和线面角：l ∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ.2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°3 面面平行3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行.3.2 面面平行的判定定理：⑴判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行. 即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行.即：图2-2 直线与平面的位置关系图2-3 线面角图2-4 面面平行⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行.即：3.3 面面平行的性质定理 (面面平行线面平行)⑴ ⑵⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等. ㈣ 垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面.1.2 线面垂直的判定定理：1.3 线面垂直的性质定理：⑴ 若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线.即： ⑵ 垂直于同一平面的两直线平行.即：1.4 常用的判定或证明线面垂直的依据 ⑴ 利用定义，用反证法证明. ⑵ 利用判定定理证明.⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面. ⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个.⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面. ★1.5 三垂线定理及其逆定理⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短. 如图：图2-5 判定1推论图2-6 判定2⑵ 三垂线定理及其逆定理已知PO ⊥α，斜线PA 在平面α内的射影为OA ，a 是平面 α内的一条直线.① 三垂线定理：若a ⊥OA ，则a ⊥PA.即垂直射影则垂直斜线. ② 三垂线定理逆定理：若a ⊥PA ，则a ⊥OA.即垂直斜线则垂直射影.⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用 ① 证明异面直线垂直； ② 作出和证明二面角的平面角； ③ 作点到线的垂线段. 2 面面斜交和二面角2.1 二面角的定义：两平面α、β相交于直线l ，直线a 是α内的一条直线，它过l 上的一点O 且垂直于l ，直线b 是β内的一条直线，它也过O 点，也垂直于l ，则直线a 、b 所形成的角称为α、β的二面角的平面角，记作∠α-l-β. 2.2 二面角的范围：∠α-l-β ∈[0°,180°] 2.3 二面角平面角的作法：⑴ 定义法：证明起来很麻烦，一般不用； ⑵ 三垂线法：常用方法；⑶ 垂面法：常用于空间几何体中的二面角. 3 面面垂直3.1 面面垂直的定义：若二面角α-l-β的平面角为90°，则两平面α⊥β.3.2 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 即：3.3 面面垂直的性质定理⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°； ⑵ ⑶图2-8 三垂线定理图2-9 面面垂直图2-10 面面垂直性质2 图2-11 面面垂直性质3⑷三立体几何主要难点1 三种角的对比角的类型范围解题步骤异面直线所成角0°～90°1找：利用平移法找出异面直线所成角；⑴固定一条直线，平移另一条直线，⑵将两条直线都平移至一特殊位置.2证：证明所作出的角就是异面直线所成角或其补角，常需证明线线平行；3计算：通过解三角形，算出异面直线角的角度.直线与平面所成角0°～90°1找：作出斜线与其在平面内射影的夹角，一般用三垂线定理；2证：证明所作出的角就是直线与平面所成角或其补角，常证明线面垂直；3计算：通过解三角形，求出线面角的角度.二面角的平面角0～π1作：根据二面角平面角的定义，作出这个平面角；2证：证明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂线法和垂面法；3计算：通过解三角形，求出二面角平面角的角度.2 立体几何知识网络以下为赠送内容，打印前请删除！1、天行健，君子以自強不息，地勢坤，君子以厚德载物。
2023年人教版高中数学第八章立体几何初步必考知识点归纳
(名师选题)2023年人教版高中数学第八章立体几何初步必考知识点归纳单选题QC，MN⊥MQ，1、如图在正三棱锥S−ABC中，M,N分别是棱SC,BC的中点，Q为棱AC上的一点，且AQ=12若AB=2√2，则此正三棱锥S−ABC的外接球的体积为（）πC．8√3πD．4√3πA．12πB．4√33答案：D分析：根据题意证明SA,SB,SC两两垂直，将三棱锥放入棱长为2的正方体，两者外接球体积相同，求得正方体外接球体积即可得出答案.因为在△SBC中，M,N分别是棱SC,BC的中点，所以MN//SB，因为MN⊥MQ，所以SB⊥MQ，因为三棱锥S−ABC为正三棱锥，所以SB⊥AC（对棱垂直），又因为MQ,AC⊂面SAC，MQ∩AC=Q，所以SB⊥面SAC，因为SA,SC⊂面SAC，所以SB⊥SA,SB⊥SC，在Rt△SAB中，SA2+SB2=AB2，因为三棱锥S−ABC为正三棱锥，所以△SBC是等腰三角形，△ABC是等边三角形，所以SB=SC，AB=AC,所以SA 2+SC 2=AC 2，即SA ⊥SC ，所以SA,SB,SC 两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于AB 长，为2√2,则该正方体棱长为2，外接球半径R =√(22)2+(2√22)2=√3， 正方体外接球体积V =43πR 3=43π×(√3)3=4√3π,此正三棱锥S −ABC 的外接球体积和正方体外接球体积相同，为4√3π.故选：D2、如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB ⊥BC ，D 在线段PC 上，AD ⊥PC ．将△PAD 沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBC B ．BC ⊥平面PDCC ．PD ⊥AC D ．PB ＝2AN答案：A分析：由已知利用平面与平面垂直的性质得到PD ⊥平面ABCD ，判定C 正确；进一步得到平面PCD ⊥平面ABCD ，结合BC ⊥CD 判定B 正确；再证明AB ⊥平面PAD ，得到△PAB 为直角三角形，判定D 正确；可证明平面PBC ⊥平面PDC ，若平面PAB ⊥平面PBC ，则平面PAB 与平面PDC 的交线⊥平面PBC ，矛盾，可判断A图1中AD ⊥PC ，则图2中PD ⊥AD ，又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AC ，故选项C 正确；由PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDC ，得平面PDC ⊥平面ABCD ，而平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PDC ，故选项B 正确；∵AB ⊥AD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，∴AB ⊥平面PAD ，则AB ⊥PA ，即△PAB 是以PB 为斜边的直角三角形，而N 为PB 的中点，则PB ＝2AN ，故选项D 正确．由于BC ⊥平面PDC ，又BC ⊂平面PBC∴平面PBC ⊥平面PDC若平面PAB ⊥平面PBC ，则平面PAB 与平面PDC 的交线⊥平面PBC由于AB//平面PDC ，则平面PAB 与平面PDC 的交线//AB显然AB 不与平面PBC 垂直，故A 错误故选：A3、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A −BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB =BC =CD =4，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ）A ．√32B ．√34C ．√33D ．√24答案：C分析：画出图形，取AC 的中点N ，连接MN ，BN ，可得MN //CD ，则所求为∠BMN ，易证△BMN 是直角三角形，则可得BM ，进而求解.如图，取AC的中点N，连接MN，BN，由题，AB=BC=CD=4，M为AD的中点，所以MN//CD，MN=2，则∠BMN为所求，由AB⊥平面BCD，则AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，则MN⊥平面ABC，所以△BMN是直角三角形，即∠MNB=90°，又BM=12AD=12√AB2+BD2=2√3，所以cos∠BMN=MNBM =2√3=√33，故选：C4、设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α内有无数个点到β的距离相等D．α、β垂直于同一平面答案：B分析：应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确应用立方体，如下图所示：选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；选项B：由面面平行的判定，可知B正确选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C 不一定能使α//β成立；选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；故选：B小提示：本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题5、小明同学用两个全等的六边形木板和六根长度相同的木棍搭成一个直六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，由于木棍和木板之间没有固定好，第二天他发现这个直六棱柱变成了斜六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1，如图所示.设直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2，则（）.A．V1S1>V2S2B．V1S1<V2S2C．V1S1=V2S2D．V1S1与V2S2的大小关系无法确定答案：A分析：根据柱体体积、表面积的求法，分别表示出V1S1和V2S2，分析即可得答案.设底面面积为S，底面周长为C，则V1=S⋅AA1，S1=C⋅AA1，所以V1S1=SC，设斜棱柱的高为ℎ，则V2=S⋅ℎ，S2=AB×ℎAB+BC×ℎBC+CD×ℎCD+DE×ℎDE+EF×ℎEF+FA×ℎFA >(AB+BC+CD+DE+EF+FA)×ℎ=Cℎ,所以V2S2<SℎCℎ=SC=V1S1.故选：A6、南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5m时，相应水面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148．5m上升到157．5m时，增加的水量约为（√7≈2.65）（）A．1.0×109m3B．1.2×109m3C．1.4×109m3D．1.6×109m3答案：C分析：根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0km2=140×106m2，下底面积S′=180.0km2=180×106m2，∴V=13ℎ(S+S′+√SS′)=13×9×(140×106+180×106+√140×180×1012)=3×(320+60√7)×106≈(96+18×2.65)×107=1.437×109≈1.4×109(m3)．故选：C．7、如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AA1=1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论中正确的是（）.A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ与平面A1BD垂直答案：D分析：依据线面垂直性质定理，利用反证法即可否定选项ABC；按照点Q为线段B1P的中点和点Q不为线段B1P 的中点两种情况利用反证法证明选项D判断正确.连接AB1，交A1B于H在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，AB=AA1=1，则四边形A1B1BA为正方形，则AB1⊥A1B又∠BAC=90°，即AB⊥AC，又AA1⊥AC，AB∩AA1=A，AA1⊂面A1B1BA，AB⊂面A1B1BA则AC⊥面A1B1BA，则AC⊥A1B又AB1⊥A1B，AB1∩AC=A，AB1⊂面AB1C，AC⊂面AB1C则A1B⊥面AB1C，选项A：当点Q为线段B1P的中点时，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1若DQ⊥平面A1BD，则AB1⊥平面A1BD又A1B⊥面AB1C，则面AB1C//平面A1BD，这与AB1∩A1B=H矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD不正确；选项B：当点Q为线段B1P的三等分点时，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1不成立，即DQ与AB1为相交直线，若DQ⊥平面A1BD，则DQ⊥A1B又AB1⊥A1B，DQ与AB1为相交直线，AB1⊂面AB1P，DQ⊂面AB1P则A1B⊥面AB1P，又A1B⊥面AB1C，则面AB1P//面AB1C这与面AB1P∩面AB1C=AB1矛盾，故假设不成立，即当点Q为线段B1P的点三等分时，DQ⊥平面A1BD，不正确；选项C：在线段B1P的延长线上一点Q，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1不成立，即DQ与AB1为相交直线，若DQ⊥平面A1BD，则DQ⊥A1B又AB1⊥A1B，DQ与AB1为相交直线，AB1⊂面AB1P，DQ⊂面AB1P则A1B⊥面AB1P，又A1B⊥面AB1C，则面AB1P//面AB1C这与面AB1P∩面AB1C=AB1矛盾，故假设不成立，即在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD不正确；选项D：由选项A可知，点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD不成立；假设点Q在线段B1P上，且不是中点，又D是棱CC1的中点，则DQ//AB1不成立，即DQ与AB1为相交直线，若DQ⊥平面A1BD，则DQ⊥A1B又AB1⊥A1B，DQ与AB1为相交直线，AB1⊂面AB1P，DQ⊂面AB1P则A1B⊥面AB1P，又A1B⊥面AB1C，则面AB1P//面AB1C这与面AB1P∩面AB1C=AB1矛盾，故假设不成立，即点Q在线段B1P上，且不是中点时，DQ⊥平面A1BD不正确；故不存在DQ与平面A1BD垂直.判断正确.故选：D8、设m､n是两条不同的直线，α､β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题为（）A．若m∥α,n∥α，则m∥nB．若m⊥α,n⊥α，则m∥nC．若m∥α,m∥β，则α∥βD．若m⊥α,α⊥β，则m∥β答案：B分析：在正方体中取直线和平面可排除ACD，由线面垂直的性质可得B正确.在正方体ABCD−EFGH中，记底面ABCD为α，EF为m，EH为n，显然A不正确；记底面ABCD为α，EF为m，平面CDHG为β，故排除C；记底面ABCD为α，BF为m，平面ABFE为β，可排除D；由线面垂直的性质可知B正确.故选：B9、如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是（）A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PCD答案：C分析：由线面垂直得到线线垂直，进而证明出线面垂直，面面垂直.因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD⊥AD，因为PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．故选：C10、已知正四面体P−ABC内接于球O，点E是底面三角形ABC一边AB的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为√3的截面圆，则正四面体P−ABC棱长的取值范围是（）A．[√2，√3]B．[√3，√6]C．[2√2，2√3]D．[2√3，2√6]答案：C分析：根据条件设正四面体的棱长为a，用棱长a表示出其外接球的半径R=√64a，过E点作外接球O的截面，只有当OE⊥截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时此时截面圆的半径为r=12a，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R=√64a，根据题意则12a≤√3≤√64a，从而可得出答案.如图，在正四面体P−ABC中，设顶点P在底面的射影为O1，则球心O在PO1上，O1在CE上，且|PO1|=23|CE|,连接OE､OC，设正四面体的棱长为a，则|CE|=√32a，|PO1|=23|CE|=√33a则正四面体的高PO1=√PC2−O1C2=√a2−(√33a)2=√63a，设外接球半径为R，在Rt△OO1C中，OC2=OO12+O1C2，即R2=(√63a−R)2+(√33a)2，解得R=√64a，∴在Rt△OO1E中，OE=√OO12+O1E2=(√612(√36=√24a，过E点作外接球O的截面，只有当OE⊥截面圆所在的平面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为r=√R2−OE2=√(√64a)2−(√24a)2=12a，最大截面圆为过球心的大圆，半径为R=√64a，由题设存在半径为√3的截面圆，∴12a≤√3≤√64a，解得2√2≤a≤2√3，故选:C.小提示：关键点睛：本题考查正四棱锥的外接球的截面圆的半径范围问题，解答本题的关键是用正四棱锥棱长a，得出过E点的球的截面圆的半径的范围，从而得解，属于中档题.a表示出其外接球的半径R=√6411、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为（）A．梯形B．平行四边形C．可能是梯形也可能是平行四边形D．矩形答案：B解析：利用面面平行的性质判断EF与GH的平行、EH与FG平行.因为平面ABFE//平面CGHD,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CGHD=GH,根据面面平行的性质可知EF//GH,同理可证明EH//FG.所以四边形EFGH为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.12、已知α,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD．若直线l不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l垂直的直线答案：B分析：举特例说明判断A；由平面的基本事实及线面垂直的性质推理判断B；推理说明判断C；举例说明判断D 作答.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1B1、直线B1C1都平行于平面ABCD，而直线A1B1与B1C1相交，A不正确；如图，直线l是平面α的斜线，l∩α=O，点P是直线l上除斜足外的任意一点，过点P作PA⊥α于点A，则直线OA是斜线l在平面α内射影，直线l与直线OA确定平面β，而PA⊂平面β，则平面β⊥平面α，即过斜线l有一个平面垂直于平面α，因平面的一条斜线在此平面内的射影是唯一的，则直线l与直线OA确定的平面β唯一，所以过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直，B正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，由面面垂直的判断知，平面α垂直于平面β，因此，平面α不垂直平面β，则平面α内不存在直线垂直于平面β，C不正确；如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABCD为平面α，直线BC1为直线l，显然直线l不垂直于平面α，而平面α内直线AB,CD都垂直于直线l，D不正确.故选：B双空题13、在长方体ABCD−A′B′C′D′中，互相平行的平面共有______对，与A′A平行的平面是__________.答案： 3. 平面BCC′B′，平面DCC′D′.解析：由长方体的特征即可得到答案根据长方体的特征,长方体共有6个面,相对的两个平面平行,故有3对；与A′A平行的平面是平面BCC′B′,平面DCC′D′,故答案为:3；平面BCC′B′,平面DCC′D′小提示：本题考查空间几何体的基本元素,考查长方体的特征,属于基础题14、《九章算术》是中国古代的数学专著，收有246个与生产、生活有联系的应用问题．早在隋唐时期便已在其他国家传播．书中提到了“阳马”．它是中国古代建筑里的一种构件，抽象成几何体就是一底面为矩形，其中一条侧棱与底面垂直的直角四棱锥．问：在一个阳马中，任取其中3个顶点，能构成__________个锐角三角形，一个长方体最少可以分割为___________个阳马．答案： 1 3分析：根据阳马的结构特征，排除掉所有的直角三角形，即可找到锐角三角形，结合长方体的性质及阳马的特征，可得最少分割阳马的个数.如下图示，PA⊥面ABCD，又底面为矩形，∴PA⊥CD，CD⊥AD，PA⊥CB，CB⊥AB，易知CD⊥面PAD，CB⊥面PAB，∴仅有△PBD是锐角三角形，如下图示，一个长方体最少可以分割为3个阳马：P−ABCD、P−BCC′B′、P−DCC′D′所以答案是：1, 315、已知α,β是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①l//α；②l⊥α；③l⊂α；④α⊥β；⑤α//β．当满足条件__________时，有l//β；当满足条件__________时，有l⊥β．（填序号）答案：③⑤②⑤分析：由面面平行的性质与线面垂直的判定求解即可若l⊂α，α//β，则有l//β；若l⊥α，α//β，则有l⊥β；所以答案是：③⑤；②⑤16、在三棱锥P−ABC中，AP⊥平面PBC，PB⊥PC，PA=PC=2PB=4，则三棱锥P−ABC外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且∠MPB=∠MPC，则点M的轨迹长为___________.答案：36π√34π分析：由题，先得出三棱锥P−ABC为直三棱锥，则其外接球相当于以PA、PB、PC为棱的长方体的外接球，则直径为长方体的体对角线，则可求外接球表面积；要使∠MPB=∠MPC，则M在∠BPC的角平分面上，则M的轨迹为圆，利用长方体的性质，求出球心到角平分面的距离，即可求出M的轨迹圆的半径，即可求M的轨迹长由AP⊥平面PBC，PB⊥PC得，三棱锥P−ABC为直三棱锥，其外接球相当于以PA、PB、PC为棱的长方体的√PA2+PB2+PC2=3，故三棱锥P−ABC外接球的表面积为4π×32=36π；外接球，故外接球半径为12如图，PC 中点为F ，则易得以PA 、PB 、PF 为棱的正方体PAGF −BDHE ，由正方体的对称性，要使∠MPB =∠MPC ，则M 在∠BPC 的角平分面上，即面PAHE ，故M 的轨迹为面PAHE 与外接球相交出的圆.取AP 、HE 中点I 、J ，由正方体的对称性易得面OIJ ⊥面PAHE ，且OJ =12PB =1, IJ =√22+22=2√2, OI =√22+12=√5，故cos∠IJO =2√2)2√5)22×1×2√2=√22，故IJ 上的高ℎ=OJ ⋅sin∠IJO =1⋅√1−(√22)2=√22，故M 的轨迹圆的半径r =√32−(√22)2=√342，故轨迹长为2πr =√34π.所以答案是：36π；√34π17、任意一个平面截球所得的图形是____________，任意一个平面截球面所得的图形是____________． 答案： 一个圆面 一个圆分析：根据球的特征分析即可.任意一个平面截球所得的图形是一个圆面，任意一个平面截球面所得的图形是一个圆，所以答案是：一个圆面，一个圆解答题18、（1）一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②MC//AB；③EF与MN是异面直线；④MN//CD；以上四个结论中，正确结论的序号是哪些？（无需说明理由，只要写出正确结论的序号即可）（2）如图，四面体ABCD中，AB=CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求异面直线AB和MN所成角的大小.答案：（1）①②③；（2）π3或π6.分析：（1）将展开图还原成立体图，由立体图结合正方体性质可直观作出判断；（2）可结合中位线性质，作AC的中点P，连接PM、PN，则将异面直线AB与CD转化为共面，再分类讨论∠MPN大小结合三角形性质即可求解（1）我们以正方形ACFN为底面，将展开面还原为正方体ACFN−DEMB，如图，易见①②③正确；（2）如图-3所示，取AC的中点P，连接PM、PN，则PM//AB，且PM=12AB，PN//CD，且PN=12CD，所以∠MPN为异面直线AB与CD所成角（或其补角），由题设，则∠MPN=π3，或∠MPN=2π3；若∠MPN=π3，∵PM//AB，所以∠PMN是AB与MN所成角（或其补角），又AB=CD，所以PM=PN，则△PMN是等边三角形，所以∠PMN=π3，即AB与MN所成角为π3；若∠MPN=2π3，则易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN=π6，即AB与MN所成角为π6；综上所述，AB与MN所成角为π3或π6小提示：本题考查由展开图到立体图的还原，线线关系的判断，异面直线夹角的求法，属于中档题19、如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点.（1）证明：BD⊥PF；（2）若M是棱PB上一点，三棱锥M−PAD与三棱锥P−DEF的体积相等，求M点的位置.答案：（1）证明见解析；（2）M点在PB上靠近P点的四等分点处.解析：（1）连接AC，由AC//EF，可证明BD⊥EF，BD⊥PE，从而得BD⊥平面PEF，得证线线垂直；（2）设设PMMB =λ，则PMPB=λλ+1，根据棱锥的体积公式，利用体积法得出结论，由V M−PAD=λλ+1V B−PAD=λλ+1V P−ABD，V P−DEF=14V P−ACD=14V P−ABD，可得λ值．（1）连接AC，∵PA=PD且E是AD的中点，∴PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD. ∴PE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE.又ABCD为菱形，且E、F分别为棱AD、CD的中点，∴EF//AC.∵BD⊥AC，∴BD⊥EF，又BD⊥PE，PE∩EF=E，∴BD⊥平面PEF；∴PF⊂平面PEF，∴BD⊥PF.（2）如图，连接MA、MD，设PMMB =λ，则PMPB=λλ+1，∴V M−PAD=λλ+1V B−PAD=λλ+1V P−ABD，S△DEF=14S△DAC，则V P−DEF=14V P−ACD=14V P−ABD，又V M−PAD=V P−DEF.∴λλ+1=14.解得λ=13，即M点在PB上靠近P点的四等分点处.小提示：方法点睛：本题考查由线面垂直证明线线垂直，考查由体积法求线段的比值．若M是棱锥P−ABC棱PA上一点，则V M−ABCV P−ABC =MAPA．三棱锥求体积时可以换底，这样求体积比较灵活简便．20、如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：平面EFA1∥平面BCHG．答案：证明见解析分析：证明EF//BC，进而证明出EF//平面BCHG，再证明A1E//GB，得到A1E∥平面BCHG，从而证明面面平行. 证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，∴EF//BC．∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF//平面BCHG．∵A1G=EB，且A1G//EB∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E//GB．∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG．∵A1E∩EF=E，∴平面EFA1∥平面BCHG．。
高中立体几何基础知识点全集精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
mlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：mlα1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步重点知识点大全
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步重点知识点大全单选题1、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面B1D1C且面积为√3时，线段AP的长为（）A．√2B．1C．√3D．√32答案：A分析：过点P作DB，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，BD，即可得到△PQR为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出PQ的长度，即可求出AP；解：如图，过点P作DB，A1D的平行线，分别交棱AB，AA1于点Q，R，连接QR，BD，因为BD//B1D1，所以PQ//B1D1，B1D1⊂面B1D1C，PQ⊄面B1D1C，所以PQ//面B1D1C因为A1D//B1C，所以PR//B1C，B1C⊂面B1D1C，PR⊄面B1D1C，所以PR//面B1D1C又PQ∩PR=P，PQ,PR⊂面PQR，所以面PQR//面B1D1C，则PQR为截面，易知△PQR是等边三角形，则12PQ2⋅√32=√3，解得PQ=2，∴AP=√22PQ=√2.故选：A.2、如图，某圆锥的轴截面ABC是等边三角形，点D是线段AB的中点，点E在底面圆的圆周上，且BE⌢的长度等于CE⌢的长度，则异面直线DE 与BC 所成角的余弦值是（ ）A ．√24B ．√64C ．√104D ．√144 答案：A分析：过点A 作AO ⊥BC 于点O ，过点A 作DG ⊥BC 于点G ，取AO 的中点F ，连接GE 、OE 、EF ，则有∠DEF （或其补角）就是异面直线DE 与BC 所成的角，设圆锥的底面半径为2，解三角形可求得答案.解：过点A 作AO ⊥BC 于点O ，过点A 作DG ⊥BC 于点G ，取AO 的中点F ，连接GE 、OE 、EF ，则DF //BC ，且DF =12BC ，所以∠DEF （或其补角）就是异面直线DE 与BC 所成的角，设圆锥的底面半径为2，则DF =1，OE =2，AO =2√3，所以DG =OF =√3，在Rt △GOE 中，GO =1，OE =2，所以GE =√GO 2+OE 2=√5，在Rt △GDE 中，GE =√5，DG =√3，所以DE =√GD 2+GE 2=2√2，在Rt △FOE 中，FO =√3，OE =2，FE =√FO 2+OE 2=√7，所以在△DFE 中，满足DF 2+FE 2=DE 2，所以∠DFE =90∘，所以cos∠DEF =DF DE =2√2=√24， 故选：A.3、若一个正方体的体对角线长为a ，则这个正方体的全面积为（ ）A．2a2B．2√2a2C．2√3a2D．3√2a2答案：A分析：设正方体的棱长为x，求出正方体的棱长即得解.a2，解：设正方体的棱长为x，则√3x=a，即x2=13a2=2a2．所以正方体的全面积为6x2=6×13故选：A4、中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据榫头的俯视图结合结果图，可判断卯眼的俯视图.解：根据榫头的俯视图及结果图的俯视图可判断卯眼的俯视图为B项中的图形.故选：B.，P是A1B上的一动点，5、如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=1，AB=BC=√3，cos∠ABC=13则AP+PC1的最小值为（）A．√5B．√7C．1+√3D．3答案：B分析：连接BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，判断出当A、P、C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值.分别求出∠AA1C′=120°,AA1=1,A1C′=2,利用余弦定理即可求解.连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，则有AP+PC1≥AC′.当A、P、C′三点共线时，则AC′即为AP+PC1的最小值.，由余弦定理得：AC=√AB2+BC2−2AB·BCcosB=在三角形ABC中，AB=BC=√3，cos∠ABC=13√3+3−2×3×1=2,所以A1C1=2，即A1C′=23在三角形A1AB中，AA1=1，AB=√3，由勾股定理可得：A1B=√AA12+AB2=√1+3=2,且∠AA1B=60°. 同理可求：C1B=2因为A1B=BC1=A1C1=2，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1=60°，所以在三角形AA1C′中，∠AA1C′=∠AA1B+∠BA1C′=120°,AA1=1,A1C′=2,)=√7.由余弦定理得：AC′=√1+4−2×1×2×(−12故选B.小提示：（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.6、如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，其中B′C′=C′A′=2，A′B′，A′C′分别与x′轴，y′轴平行，则BC=（）A．2B．2√2C．4D．2√6答案：D分析：先确定△A′B′C′是等腰直角三角形，求出A′B′，再确定原图△ABC的形状，进而求出BC.由题意可知△A′B′C′是等腰直角三角形，A′B′=2√2，其原图形是Rt△ABC，AB=A′B′=2√2，AC=2A′C′=4，∠BAC=90°，则BC=√8+16=2√6，故选：D.7、下列命题中，正确的是（）A．三点确定一个平面B．垂直于同一直线的两条直线平行C．若直线l与平面α上的无数条直线都垂直，则l⊥αD．若a、b、c是三条直线，a∥b且与c都相交，则直线a、b、c在同一平面上答案：D分析：利用空间点、线、面位置关系直接判断.A.不共线的三点确定一个平面，故A错误；B.由墙角模型，显然B错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线l与平面α内的两条相交直线垂直，则直线l与平面α垂直，若直线l与平面α内的无数条平行直线垂直，则直线l与平面α不一定垂直，故C错误；D.因为a//b，所以a、b确定唯一一个平面，又c与a、b都相交，故直线a、b、c共面，故D正确；故选：D.8、已知三棱锥P−ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，PA=AB=AC=2，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．12πB．16πC．20πD．24π答案：C分析：根据余弦定理、正弦定理，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可.根据题意设底面△ABC的外心为G，O为球心，所以OG⊥平面ABC，因为PA⊥平面ABC，所以OG//PA，设D是PA中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA，因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC，所以AG⊥PA，因此OD//AG，PA=1，因此四边形ODAG是平行四边形，故OG=AD=12由余弦定理，得)=2√3，BC=√AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cos120°=√4+4−2×2×2×(−12由正弦定理，得2AG=√3√32⇒AG=2，所以该外接球的半径R满足R2=(OG)2+(AG)2=5⇒S=4πR2=20π，故选：C．小提示：关键点睛：运用正弦定理、余弦定理是解题的关键.9、如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，A′O′=6，B′O′=2，则△OAB的面积是（）A．6B．12C．6√2D．3√2答案：B分析：由直观图和原图的之间的关系，和直观图画法规则，还原△OAB是一个直角三角形，其中直角边OA= 6,OB=4，直接求解其面积即可．解：由直观图画法规则，可得△OAB是一个直角三角形，其中直角边OA=6,OB=4，∴S△OAB=12OA⋅OB=12×6×4=12．故选：B．10、如图所示的正方形SG1G2G3中，E ， F分别是G1G2，G2G3的中点，现沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合为点G，则有（）A．SG⊥平面EFG B．EG⊥平面SEFC．GF⊥平面SEF D．SG⊥平面SEF答案：A解析：根据正方形的特点，可得SG⊥FG，SG⊥EG，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.由题意：SG⊥FG，SG⊥EG，FG∩EG=G，FG，EG⊂平面EFG所以SG⊥平面EFG正确，D不正确；.又若EG⊥平面SEF，则EG⊥EF，由平面图形可知显然不成立；同理GF⊥平面SEF不正确；故选：A小提示：本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.填空题11、已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的4倍，则它的侧面积扩大为原来的___________倍.答案：2分析：求出底面半径扩大为原来的2倍，从而得到侧面积扩大为原来的2倍.设圆柱的高为ℎ，底面半径为r，则体积为πr2ℎ，体积扩大为原来的4倍，则扩大后的体积为4πr2ℎ，因为高不变，故体积4πr2ℎ=π(2r)2ℎ，即底面半径扩大为原来的2倍，原来侧面积为2πrℎ，扩大后的圆柱侧面积为2π⋅2rℎ= 4πrℎ，故侧面积扩大为原来的2倍.所以答案是：212、如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为___________.答案：128√2π81分析：作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出cos∠P′OP=2π3，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：cos∠P′OP=OP2+OP′2−PP′22OP·OP′=42+42−(4√3)22×4×4=−12∴cos∠P′OP=2π3.设底面圆的半径为r,则有2πr=2π3·4,解得r=43,所以这个圆锥的高为ℎ=√16−169=8√23，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13πr2ℎ=13π×169×8√23=128√2π81.所以答案是：128√2π81.小提示：立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.13、如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有______个．①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．答案：4分析：利用线面垂直的判定定理AC⊥平面SBD，进而可判定①正确．根据AB∥CD，利用线面平行的判定定理可证②正确．根据线面所成角的定义可判定③正确．根据AB∥CD，由异面直线所成角的定义可判定④正确．因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确．因为AB∥CD，所以AB 与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．所以答案是：4.14、三条两两平行的直线可以确定平面的个数可能为______个．答案：1或3分析：讨论三条平行线是否共面，即可确定平面的个数.当三条平行线不共面时，如下图示可确定3个平面；当三条平行线共面时，如下图示确定1个平面.所以答案是：1或315、如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，CD=2AB，且AB=AD=BC=2cm，则该圆台的体积为_________cm3；侧面积为_________cm2．√3π6π答案：73分析：将圆台看成是圆O1为底的大圆锥切去圆O2为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.将圆台看成是圆O1为底的大圆锥切去圆O2为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为E，如图所示，在经过ABCD的轴截面上，从A点做垂线AF⊥CD于F，显然AF//O1O2且AF=O1O2.∵AB=2，CD=2AB=4∴O2A=12AB=1，O1D=12CD=2，O2A=12O1D又∵O2A//O1D∴O2A为△O1DE的O1D边的中位线，O1O2=O2E=12O1E∵cos∠FDA=FDAD =12，得∠FDA=π3则tan∠FDA=tan∠O1DE=O1EO1D =tanπ3=√3，解得O1E=2√3∴O2E=2√3则圆台的体积为圆O1为底，高为O1E的圆锥体积V CDE减去以圆O2为底，高为O2E的圆锥体积V ABE，即V=V CDE−V ABE=13πO1D2⋅O1E−13πO2A2⋅O2E=π3(22×2√3−12×√3)=7√33π圆台的侧面积S=12⋅2πO1D⋅ED−12⋅2πO2A⋅EA=π⋅(2×4−1×2)=6π.所以答案是：73√3π；6π.解答题16、已知正方体ABCD−A′B′C′D′.(1)G 是△BA ′C ′的重心，求证：直线DG ⊥平面BA ′C ′；(2)若AB =1，动点E ､F 在线段AD ､D ′C ′上，且DE =D ′F =a ，M 为AB 的中点，异面直线EF 与DM 所成的角为arccos√210，求a 的值.答案：(1)证明见解析(2)√24分析：（1）根据空间向量，以B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =i ⃗,B ′B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =j ⃗,B ′C ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =k ⃑⃗为基底，用基底向量表示其他向量，根据向量的数量积为0判断线线垂直，进而证明线面垂直.（2）以空间直角坐标系，写成点的坐标，根据向量的夹角与异面直线夹角间的关系，列出方程即可求解.（1）证明：设B ′A ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =i ⃗,B ′B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =j ⃗,B′C ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =k ⃑⃗， 显然i ⃗⋅j ⃗=0，j ⃗⋅k ⃑⃗=0，k ⃑⃗⋅i ⃗=0，因为G 是△BA ′C ′的重心，所以B ′G ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13(i ⃗+j ⃗+k ⃑⃗),故DG ⃑⃑⃑⃑⃑ =B ′G ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −B ′D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =B ′G ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −(B ′B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=13(i +j +k ⃑ )−(j +i +k )=−23(i +j +k ⃑ ) A ′C ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =k ⃑⃗−i ⃗；DG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅A ′C ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−23(k ⃑⃗2−i ⃗2)=0，得DG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥A ′C ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ， 同理DG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅A ′B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0，得DG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥A ′B⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ . 因为A ′C ′⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 不平行于A ′B⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以直线DG ⊥平面BA ′C ′. （2）以D 为坐标原点，射线DA 、DC 、DD ′分别是x 轴､y 轴､z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，于是E(a,0,0),F(0,a,1),M (1,12,0)，则EF⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,a,1),DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,12,0).于是cos⟨EF⃑⃑⃑⃑⃑ ,DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⟩=|EF⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||EF⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=12a √52⋅√2a 2+1=√210，解得a =√24，所以a 的值为√24.17、如图所示，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，E 为侧棱PC 的中点.（1）求证：经过A 、B 、E 三点的截面平分侧棱PD ；（2）若PA ⊥底面ABCD ，且PA =AD =2，求四面体ABEP 的体积. 答案：（1）证明见解析；（2）23.分析：（1）设截面ABE 与侧棱PD 交于点F ，连结EF,AF ，证明CD//EF.即得F 为PD 的中点，即截面ABE 平分侧棱PD ；（2）取PB 中点H ，连EH ，证明EH ⊥平面PAB ，即得解. （1）证明：设截面ABE与侧棱PD交于点F，连结EF,AF.因为底面ABCD为矩形，所以AB//CD.又AB⊄平面PCD，且CD⊂平面PCD，所以AB//平面PCD.又AB⊂平面ABE，且平面ABE∩平面PCD=EF，所以AB//EF.又因为AB//CD，所以CD//EF.因为E为PC的中点，所以F为PD的中点，即截面ABE平分侧棱PD. （2）∵PA⊥平面ABCD，BC⊆平面ABCD，∴BC⊥PA，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.取PB中点H，连EH，∵E是PC中点，∴EH//BC，即EH=1且EH⊥平面PAB，又Rt△PAB的面积S=12PA⋅AB=2.∴四面体ABEP的体积V=V E−PAB=13⋅S⋅EH=23.小提示：方法点睛：求几何体的体积常用的方法有：（1）规则的公式法；（2）不规则的割补法；（3）等体积法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.18、如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形（正四棱锥被平行于底面的平面截去一个小正四棱锥后剩下的多面体）玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10√7cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG、E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度，玻璃棒粗细均忽略不计）(1)求容器Ⅰ、容器Ⅱ的容积；(2)①将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分（水面以下）的长度；②将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分（水面以下）的长度．答案：(1)11200cm3；26176cm3；(2)①16cm；②20cm.分析：（1）利用正四棱柱和正四棱台的体积公式计算作答.（2）分别作出玻璃棒l所在的正四棱柱和正四棱台的对角面，借助解三角形知识分别求解作答.（1）容器Ⅰ的底面正方形ABCD面积S=12AC2=12×(10√7)2=350(cm2)，其容积V1=S1⋅AA1=350×32=11200(cm3)，容器Ⅱ的底面EFGH面积S1=12EG2=12×142=98(cm2)，底面E1F1G1H1面积S2=12E1G12=12×622=1922(cm2)，容器Ⅱ的容积V2=13(S1+√S1S2+S2)×32=13(98+√98×1922+1922)×32=26176(cm3).（2）①由正四棱柱的定义知，对角面ACC1A1是矩形，设玻璃棒的另一端落在CC1上的点M处，如图，由AC=10√7,AM=40得：CM=√AM2−AC2=30，sin∠CAM=CMAM =34，设AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1//CC1交AC于Q1，在容器Ⅰ中，CC1⊥平面ABCD，则P1Q1⊥平面ABCD，因此P1Q1=12，AP1=P1Q1sin∠CAM=16，所以玻璃棒l没入水中部分（水面以下）的长度为16cm.②O,O1是正四棱台两底面中心，由正四棱台的结构特征知，对角面EGG1E1是等腰梯形，点O,O1分别是两底的中点，设玻璃棒的另一端落在GG1上的点N处，如图，过G作GK//OO1交E1G1于点K，则GK⊥G1E1，GK=OO1=32，而EG=14,E1G1=62，因此，KG1=E1G1−EG2=24，GG1=√GK2+KG12=√322+242=40，sin∠EGG1=sin∠GG1K=GKGG1=45，显然∠EGG1为钝角，cos∠EGG1=−35，在△ENG中，由正弦定理得sin∠ENG=EGsin∠EGNEN =14×4540=725，cos∠ENG=2427，于是得sin∠NEG=sin(∠EGN+∠ENG)=sin∠EGNcos∠ENG+cos∠EGNsin∠ENG=45×2425+(−35)×725=35，设EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2//OO1交直线EG于Q2，在容器Ⅱ中，OO1⊥平面EFGH，则P2Q2⊥平面EFGH，因此P2Q2=12，EP2=P2Q2sin∠NEG=20，所以玻璃棒l没入水中部分（水面以下）的长度为20cm.19、在空间四边形ABCD中，AB=CD，点M､N分别为BD､AC的中点.(1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小；(2)若直线AB与CD所成角为θ，求直线AB与MN所成角的大小.答案：(1)60°(2)θ2或π−θ2分析：根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解.（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN.因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以PM//AB，PN//CD，且PM=12AB，PN=12CD，所以，∠MPN为直线AB与CD所成的角（或补角），∠PMN为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又AB=CD，所以PM=PN，即△PMN为等腰三角形.直线AB与MN所成角为60°，即∠PMN=60°，则∠MPN=180°−2×60°=60°.所以，直线AB与CD所成的角为60°.（2）（2）若直线AB与CD所成的角为θ，则∠MPN=θ或∠MPN=π−θ.若∠MPN=θ，则∠PMN=π−∠MPN2=π−θ2，即直线AB与MN所成角为π−θ2；若∠MPN=π−θ，则∠PMN=π−∠MPN2=θ2，即直线AB与MN所成角为θ2.综上所述，直线AB与MN所成的角为θ2或π−θ2.。
立体几何知识点和例题(含有答案)
【考点梳理】一、考试内容1.平面。
平面的基本性质。
平面图形直观图的画法。
2.两条直线的位置关系。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
对应边分别平行的角。
异面直线所成的角。
两条异面直线互相垂直的概念。
异面直线的公垂线及距离。
3.直线和平面的位置关系。
直线和平面平行的判定与性质。
直线和平面垂直的判定与性质。
点到平面的距离。
斜线在平面上的射影。
直线和平面所成的角。
三垂线定理及其逆定理。
4.两个平面的位置关系。
平面平行的判定与性质。
平行平面间的距离。
二面角及其平面角。
两个平面垂直的判定与性质。
二、考试要求1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（特别是平行和垂直关系）以及它们所成的角与距离的概念。
对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离。
2.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题。
对于异面直线上两点的距离公式不要求记忆。
3.会用斜二测画法画水平放置的平面图形（特别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）的直观图。
能够画出空间两条直线、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。
4.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题。
三、考点简析1.空间元素的位置关系2.平行、垂直位置关系的转化3.空间元素间的数量关系（1）角①相交直线所成的角；②异面直线所成的角——转化为相交直线所成的角；③直线与平面所成的角——斜线与斜线在平面内射影所成的角；④二面角——用二面角的平面角来度量。
（2）距离①两点之间的距离——连接两点的线段长；②点线距离——点到垂足的距离；③点面距离——点到垂足的距离；④平行线间的距离——平行线上一点到另一直线的距离；⑤异面直线间的距离——公垂线在两条异面直线间的线段长；⑥线面距离——平行线上一点到平面的距离；⑦面面距离——平面上一点到另一平面的距离；⑧球面上两点距离——球面上经过两点的大圆中的劣弧的长度。
高考数学复习第五讲：立体几何(基础知识+重点题目+参考答案)
第5讲 立体几何【问题导学】12.3(1)定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l ⇒α，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面． (2)4(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2. 5．平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念⇒二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；⇒二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (3)6.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cosβ|＝|a ·n ||a ||n |.7．求二面角的大小(1)如图⇒，AB ，CD 分别是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(2)如图⇒⇒，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)．题型一 利用空间向量证明平行问题 【典型例题1】1. 如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .证明 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)， F (0，1，1)，G (1，2，0)． ∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)， 设PB →＝sFE →＋tFG →，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面． ∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . 【对点演练1】1. 如图，在三棱锥PABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2. 求证：MN ∥平面BDE .证明 如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．由题意，可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，4，0)，P (0，0，4)，D (0，0，2)，E (0，2，2)，M (0，0，1)，N (1，2，0)． DE →＝(0，2，0)，DB →＝(2，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的一个法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n ＝(1，0，1)．又MN →＝(1，2，－1)，可得MN →·n ＝0.因为MN ⊄平面BDE ，所以MN ∥平面BDE . 考点二 利用空间向量证明垂直问题 【典型例题2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⇒底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点． (1)求证：EF ⇒平面P AD ；(2)求证：平面P AB ⇒平面PDC .证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF . 因为P A ＝PD ，所以PO ⇒AD .因为侧面P AD ⇒底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， PO ⇒平面P AD ，所以PO ⇒平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点，所以OF ⇒AB . 又ABCD 是正方形，所以OF ⇒AD .因为P A ＝PD ＝22AD ，所以P A ⇒PD ，OP ＝OA ＝a2.以O 为原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－a2，0，0， P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2，B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点，所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a 4. 易知平面P AD 的一个法向量为OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4， 且OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4＝0， 又因为EF ⇒平面P AD ，所以EF ⇒平面P AD .(2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2，CD →＝(0，－a,0)， 所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a 2，0，－a 2·(0，－a,0)＝0， 所以P A →⇒CD →，所以P A ⇒CD .又P A ⇒PD ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⇒平面PDC ， 所以P A ⇒平面PDC .又P A ⇒平面P AB ，所以平面P AB ⇒平面PDC . 思维升华 证明垂直问题的方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然 ，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：⇒证明两平面的法向量互相垂直；⇒利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可． 【对点演练2】 如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，⇒ABC ＝⇒BCD ＝90°，AB ＝BC ＝PB ＝PC ＝2CD ，侧面PBC ⇒底面ABCD .证明： (1)P A ⇒BD ；(2)平面P AD ⇒平面P AB .证明 (1)取BC 的中点O ，连接PO ，⇒平面PBC ⇒底面ABCD ，⇒PBC 为等边三角形， 平面PBC ∩底面ABCD ＝BC ，PO ⇒平面PBC ， ⇒PO ⇒底面ABCD .以BC 的中点O 为坐标原点，以BC 所在直线为x 轴，过点O 与AB 平行的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD ＝1，则AB ＝BC ＝2，PO ＝3，⇒A (1，－2,0)，B (1,0,0)，D (－1，－1,0)，P (0,0，3)， ⇒BD →＝(－2，－1,0)，P A →＝(1，－2，－3)． ⇒BD →·P A →＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，⇒P A →⇒BD →，⇒P A ⇒BD .(2)取P A 的中点M ，连接DM ，则M ⎝⎛⎭⎫12，－1，32.⇒DM →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，PB →＝(1,0，－3)，⇒DM →·PB →＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，⇒DM →⇒PB →，即DM ⇒PB .⇒DM →·P A →＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，⇒DM →⇒P A →，即DM ⇒P A .又⇒P A ∩PB ＝P ，P A ，PB ⇒平面P AB ， ⇒DM ⇒平面P AB . ⇒DM ⇒平面P AD ， ⇒平面P AD ⇒平面P AB .考点三 利用空间向量解决探索性问题 【典型例题3】1. (2019·林州模拟)如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．(1)证明 如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a2，0，P (0，0，a )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a2. EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)．∵EF →·DC →＝0，∴EF →⊥DC →，即EF ⊥CD .(2)解 设G (x ，0，z )，则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2，若使GF ⊥平面PCB ，则需FG →·CB →＝0，且FG →·CP →＝0，由FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(a,0,0)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2＝0，得x ＝a2； 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫z －a 2＝0，得z ＝0.∴G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0，0，即G 为AD 的中点．【对点演练3】1. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥CD ，PA ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．(1)证明 ∵PA ＝AD ＝1，PD ＝2，∴PA 2＋AD 2＝PD 2，即PA ⊥AD .又PA ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，AD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD .(2)解 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13，AC →＝(1,1,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，13.设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，2y ＋z ＝0，令y ＝1，则n ＝(－1，1，－2)．假设侧棱PC 上存在一点F ，且CF →＝λCP →(0≤λ≤1)，使得BF ∥平面AEC ，则BF →·n ＝0.又∵BF →＝BC →＋CF →＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，λ) ＝(－λ，1－λ，λ)，∴BF →·n ＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝12，∴存在点F ，使得BF ∥平面AEC ，且F 为PC 的中点． 考点四 求异面直线所成的角 【典型例题4】如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．(1)证明 如图所示，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1. 由∠ABC ＝120°， 可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC .在Rt△EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt△FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322，从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，AC ，FG ⊂平面AFC ， 所以EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .（2）解 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 所在直线为x 轴、y 轴，|GB →|为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz ，由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)，F ⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，22，C (0，3，0)，所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，－3，22.故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33.所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 思维升华 用向量法求异面直线所成角的一般步骤 (1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量； (3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值． 【对点演练4】1. 三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝AB ，N ，M 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则AM 与BN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.35 C.710 D.45 答案 C解析 如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，BD ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，不妨设AC ＝2，则A (0，－1，0)，M (0，0，2)，B (－3，0，0)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，2，所以AM →＝(0，1，2)，BN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，2，所以cos 〈AM →，BN →〉＝AM →·BN →|AM →|·|BN →|＝725×5＝710，故选C.考点五 求直线与平面所成的角 【典型例题5】1.(2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF . (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值． (1)证明 由已知可得BF ⊥PF ，BF ⊥EF ， PF ∩EF ＝F ，PF ，EF ⊂平面PEF ， 所以BF ⊥平面PEF .又BF ⊂平面ABFD ，所以平面PEF ⊥平面ABFD . (2)解 如图，作PH ⊥EF ，垂足为H . 由(1)得，PH ⊥平面ABFD .以H 为坐标原点，HF →的方向为y 轴正方向，|BF →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz . 由(1)可得，DE ⊥PE . 又DP ＝2，DE ＝1， 所以PE ＝ 3.又PF ＝1，EF ＝2，所以PE ⊥PF .所以PH ＝32，EH ＝32.则H (0,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，0，DP →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，32，32，HP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，32. 又HP →为平面ABFD 的法向量，设DP 与平面ABFD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈HP →，DP →〉|＝|HP →·DP →||HP →||DP →|＝343＝34.所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34. 思维升华 若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则θ＝π2－β或θ＝β－π2，故有sin θ＝|cos β|＝|l ·n ||l ||n |.【对点演练5】1.(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －PA －C 为30°，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． (1)证明 因为PA ＝PC ＝AC ＝4， O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 如图，连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，所以OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .因为OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ， 所以PO ⊥平面ABC .(2)解 由(1)知OP ，OB ，OC 两两垂直，则以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示． 由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)， A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23)．由(1)知平面PAC 的一个法向量为OB →＝(2，0，0)．设M (a ，2－a ，0)(0≤a ≤2)，则AM →＝(a ，4－a ，0)． 设平面PAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0，得⎩⎨⎧2y ＋23z ＝0，ax ＋4－a y ＝0，可取y ＝3a ，得平面PAM 的一个法向量为n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，所以cos 〈OB →，n 〉＝OB →·n |OB →||n |＝23a －423a －42＋3a 2＋a 2. 由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝cos 30°＝32，所以23|a －4|23a －42＋3a 2＋a2＝32， 解得a ＝－4(舍去)或a ＝43.所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－833，433，－43.又PC →＝(0,2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34.所以PC 与平面PAM 所成角的正弦值为34.考点六 求二面角【典型例题6】1. (2018·达州模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝2，∠ABC ＝60°，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，∠CAF ＝60°.(1)求证：BF ⊥AE ；(2)求二面角B －EF －D 的平面角的正切值．(1)证明 依题意，在等腰梯形ABCD 中，AC ＝23，AB ＝4，∵BC ＝2，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，即BC ⊥AC ，又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACEF ，而AE ⊂平面ACEF ，∴AE ⊥BC ，连接CF ，∵四边形ACEF 为菱形，∴AE ⊥FC ，又∵BC ∩CF ＝C ，BC ，CF ⊂平面BCF ，∴AE ⊥平面BCF ，∵BF ⊂平面BCF ，∴BF ⊥AE .(2)解 取EF 的中点M ，连接MC ，∵四边形ACEF 是菱形，且∠CAF ＝60°，∴由平面几何易知MC ⊥AC ，又∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，CM ⊂平面ACEF ，∴MC ⊥平面ABCD .以CA ，CB ，CM 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为C (0,0,0)，A (23，0，0)，B (0，2，0)，D (3，－1，0)，E (－3，0，3)，F (3，0，3)，设平面BEF 和平面DEF 的一个法向量分别为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，n 2＝(a 2，b 2，c 2)，∵BF →＝(3，－2，3)，EF →＝(23，0，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ BF →·n 1＝0，EF →·n 1＝0，即⎩⎨⎧ 3a 1－2b 1＋3c 1＝0，23a 1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，2b 1＝3c 1， 不妨令b 1＝3，则n 1＝(0，3，2)，同理可求得n 2＝(0，3，－1)，设二面角B －EF －D 的大小为θ，由图易知θ为锐角，∴cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝7130， 故二面角B －EF －D 的平面角的正切值为97. 思维升华 利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解．【对点演练6】1.(2018·全国Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧»CD所在平面垂直，M 是»CD 上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M －ABC 体积最大时，求平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值．(1)证明 由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，又DM ⊂平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为»CD上异于C ，D 的点，且DC 为直径， 所以DM ⊥CM .又BC ∩CM ＝C ，BC ，CM ⊂平面BMC ，所以DM ⊥平面BMC .又DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC .(2)解 以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .当三棱锥M －ABC 体积最大时，M 为»CD的中点．由题设得 D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，1，1)，AM →＝(－2，1，1)，AB →＝(0，2，0)，DA →＝(2，0，0)，设n ＝(x ，y ，z )是平面MAB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AM →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋z ＝0，2y ＝0.可取n ＝(1，0，2)，DA →是平面MCD 的一个法向量，因此cos 〈n ，DA →〉＝n ·DA →|n ||DA →|＝55， sin 〈n ，DA →〉＝255. 所以平面MAB 与平面MCD 所成二面角的正弦值是255. 2. 如图，四棱锥S －ABCD 中，△ABD 为正三角形，∠BCD ＝120°，CB ＝CD ＝CS ＝2，∠BSD ＝90°.(1)求证：AC ⊥平面SBD ；(2)若SC ⊥BD ，求二面角A －SB －C 的余弦值．(1)证明 设AC ∩BD ＝O ，连接SO ，如图①，因为AB ＝AD ，CB ＝CD ，所以AC 是BD 的垂直平分线，即O 为BD 的中点，且AC ⊥BD .[1分]在△BCD 中，因为CB ＝CD ＝2，∠BCD ＝120°，所以BD ＝23，CO ＝1.在Rt△SBD 中，因为∠BSD ＝90°，O 为BD 的中点，所以SO ＝12BD ＝ 3. 在△SOC 中，因为CO ＝1，SO ＝3，CS ＝2，所以SO 2＋CO 2＝CS 2，所以SO ⊥AC .[4分]因为BD ∩SO ＝O ，BD ，SO ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD .[5分](2)解 方法一 过点O 作OK ⊥SB 于点K ，连接AK ，CK ，如图②，由(1)知AC ⊥平面SBD ，所以AO ⊥SB .因为OK ∩AO ＝O ，OK ，AO ⊂平面AOK ，所以SB ⊥平面AOK .[6分]因为AK ⊂平面AOK ，所以AK ⊥SB .同理可证CK ⊥SB .[7分]所以∠AKC 是二面角A －SB －C 的平面角．因为SC ⊥BD ，由(1)知AC ⊥BD ，且AC ∩SC ＝C ，AC ，SC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥平面SAC .而SO ⊂平面SAC ，所以SO ⊥BD . 在Rt△SOB 中，OK ＝SO ·OB SB ＝62. 在Rt△AOK 中，AK ＝AO 2＋OK 2＝422， 同理可求CK ＝102.[10分] 在△AKC 中，cos∠AKC ＝AK 2＋CK 2－AC 22AK ·CK ＝－10535. 所以二面角A －SB －C 的余弦值为－10535.[12分] 方法二 因为SC ⊥BD ，由(1)知，AC ⊥BD ，且AC ∩SC ＝C ，AC ，SC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥平面SAC .而SO ⊂平面SAC ，所以SO ⊥BD .[6分]由(1)知，AC ⊥平面SBD ，SO ⊂平面SBD ，所以SO ⊥AC .因为AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ，所以SO ⊥平面ABCD .[7分]以O 为原点，OA →，OB →，OS →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图③，则A (3，0，0)，B (0，3，0)，C (－1，0，0)，S (0，0，3)．所以AB →＝(－3，3，0)，CB →＝(1，3，0)，SB →＝(0，3，－3)．[8分]设平面SAB 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·n ＝－3x 1＋3y 1＝0，SB →·n ＝3y 1－3z 1＝0，令y 1＝3，得平面SAB 的一个法向量为n ＝(1，3，3)．同理可得平面SCB 的一个法向量为m ＝(－3，1，1)．[10分]所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－3＋3＋37×5＝10535. 因为二面角A －SB －C 是钝角，所以二面角A －SB －C 的余弦值为－10535.[12分] 3.(2019·全国Ⅰ)如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -的底面是菱形，，︒=∠==60,2,41BAD AB AA N M E 、、分别是D A BB BC 11、、的中点。
高中数学第八章立体几何初步知识总结例题(带答案)
高中数学第八章立体几何初步知识总结例题单选题1、如图，点N为正方形ABCD的中心，ΔECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM,EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM,EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM,EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM,EN是异面直线答案：B解析：利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．如图所示，作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F．连BF，∵平面平面ABCD．EO⊥CD,EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，∴ΔMFB与ΔEON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO=√3,ON =EN=2，MF=√32,BF=52,∴BM=√7．∴BM≠EN，故选B．CDE小提示：本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形．2、如图直角△O′A′B′是一个平面图形的直观图，斜边O′B′=4，则原平面图形的面积是（）A．8√2B．4√2C．4D．√2答案：A解析：根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解. 由题意可知△O′A′B′为等腰直角三角形，O′B′=4，则OʹAʹ=2√2，所以原图形中，OB=4，OA=4√2，故原平面图形的面积为1×4×4√2=8√2.2故选：A3、如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形A1B1C1的直观图，则正确的图形是（）A．B．C．D．分析：由斜二侧画法的规则分析判断即可先作出一个正三角形A1B1C1，然后以B1C1所在直线为x轴，以B1C1边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，画对应的x′,y′轴，使夹角为45°，画直观图时与x轴平行的直线的线段长度保持不变，与y轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A4、下列空间图形画法错误的是（）A．B．C．D．分析：根据空间图形画法：看得见的线画实线，看不见的线画虚线.即可判断出答案.D选项：遮挡部分应画成虚线．故选:D.5、如图，已知正方体的棱长为a，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（）A．(8+2√2)a2B．(2+4√2)a2C．(4+2√2)a2D．(6−4√2)a2答案：C分析：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解. 由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为√2a，宽为a，所以面积为√2a2，所以拼成的几何体的表面积为4a2+2√2a2=(4+2√2)a2.故选：C.6、已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，AB=2√3，AC=AD=4，CD= 2√2，则球O的表面积为（）A．20πB．18πC．36πD．24π答案：A分析：根据AB⊥平面BCD，得到AB⊥BC，AB⊥BD，再由AB=2√3，AC=AD=4，CD=2√2，得到BC⊥BD，则三棱锥A−BCD截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥BC，AB⊥BD，∴BC=BD=√42−(2√3)2=2，在△BCD中，CD=2√2，∴CD2=BC2+BD2，∴BC⊥BD.如图所示：三棱锥A−BCD的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，设球O的半径为R，则2R=√BA2+BC2+BD2=√(2√3)2+22+22=2√5，解得R=√5，所以球O的表面积为20π，故选：A.7、下列条件中，能得出直线m与平面α平行的是（）A．直线m与平面α内的所有直线平行B．直线m与平面α内的无数条直线平行C．直线m与平面α没有公共点D．直线m与平面α内的一条直线平行答案：C分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对A ，直线m 与平面α内的所有直线平行不可能，故A 错误；对B ，当直线m 在平面α内时，满足直线m 与平面α内的无数条直线平行，但m 与α不平行；对C ，能推出m 与α平行；对D ，当直线m 在平面α内时，m 与α不平行.故选：C.8、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH 的形状为（ ）A ．梯形B ．平行四边形C ．可能是梯形也可能是平行四边形D ．矩形答案：B解析：利用面面平行的性质判断EF 与的平行、EH 与FG 平行.因为平面ABFE //平面CGHD ,且平面EFGH ∩平面ABFE =EF ,平面EFGH ∩平面CGHD =GH ,根据面面平行的性质可知EF //,同理可证明EH //FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.故选：B.小提示：本题考查长方体截面形状判断，考查面面平行的性质应用，较简单.多选题9、（多选）一个几何体有6个顶点，则这个几何体可能是（ ）A ．三棱柱B ．三棱台C ．五棱锥D ．四面体答案：ABCGH GH分析：根据棱柱、棱台、棱锥及四面体的图形分析，即可得答案.对于A ，三棱柱是上下两个三角形，有6个顶点，满足题意；对于B ，三棱台是上下两个三角形，有6个顶点，满足题意；对于C ，五棱锥是底面为五边形及一个顶点，有6个顶点，满足题意；对于D ，四面体的顶点个数为4个，不满足题意.故选：ABC.10、我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知半球内有一个方锥，方锥的底面内接于半球的底面，方锥的顶点在半球的球面上，若方锥的体积为18，则半球的说法正确的是（ ）A ．半径是3B ．体积为18πC ．表面积为27πD ．表面积为18π答案：ABC分析：作出正四棱锥的对角面，为半球的半个大圆的内接三角形，由图形可用球的半径表示出棱锥底面边长，高，由棱锥体积求得半球半径．然后计算半球体积，表面积，判断各选项．如图，是正四棱锥的对角面，设球半径为r ，AC 是半圆的直径，则正四棱锥底面边长为√2r ，棱锥体积为V =13×(√2r)2×r =23r 3=18，r =3， 半球体积为V =23πr 3=23π×33=18π，表面积为S =2π×32+π×32=27π，故选：ABC ．11、如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）PAC △PAC△A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4B．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4C．点D到面ACD1的距离为√33D．三棱柱AA1D1−BB1C1外接球半径为√32答案：BCD分析：对于A：根据异面直线的求法易得：异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C；对于B：可证B1C⊥平面ABC1D1，则直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1；对于C：根据等体积转换V D−ACD1=V D1−ACD，求点D到面ACD1的距离；对于D：三棱柱AA1D1−BB1C1的外接球即为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球，直接求正方体外接球的半径即可．连接AC、AD1∵AB∥C1D1且AB=C1D1，则四边形ABC1D1为平行四边形，∴异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C∵AC=AD1=D1C，则△ACD1为正三角形，即∠AD1C=π3A不正确；连接B1C在正方形BB1C1C中，BC1⊥B1C∵AB⊥平面BB1C1C，B1C⊂平面BB1C1C∴AB⊥B1CAB∩BC1=B，则B1C⊥平面ABC1D1∴直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1=π4 B正确；根据等体积转换可知：V D−ACD1=V D1−ACD即13×ℎ×12×√2×√2×√32=13×1×12×1×1，则ℎ=√33C正确；三棱柱AA1D1−BB1C1的外接球即为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球则外接球的半径即为正方体ABCD−A1B1C1D1体对角线的一半，即R=√32D正确；故选：BCD．12、如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为V1,V2,V3，则（）A．V3=2V2B．V3=V1C．V3=V1+V2D．2V3=3V1答案：CD分析：直接由体积公式计算V1,V2，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，由V3=V A−EFM+V C−EFM计算出V3，依次判断选项即可.设AB=ED=2FB=2a，因为ED⊥平面ABCD，FB∥ED，则V1=13⋅ED⋅S△ACD=13⋅2a⋅12⋅(2a)2=43a3，V2=13⋅FB⋅S△ABC=13⋅a⋅12⋅(2a)2=23a3，连接BD交AC于点M，连接EM,FM，易得BD⊥AC，又ED⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则ED⊥AC，又ED∩BD=D，ED,BD⊂平面BDEF，则AC⊥平面BDEF，又BM=DM=12BD=√2a，过F作FG⊥DE于G，易得四边形BDGF为矩形，则FG=BD=2√2a,EG=a，则EM=√(2a)2+(√2a)2=√6a,FM=√a2+(√2a)2=√3a，EF=√a2+(2√2a)2=3a，EM2+FM2=EF2，则EM⊥FM，S△EFM=12EM⋅FM=3√22a2，AC=2√2a，则V3=V A−EFM+V C−EFM=13AC⋅S△EFM=2a3，则2V3=3V1，V3=3V2，V3=V1+V2，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.13、正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2√3，则下列叙述正确的是（）A．正三棱锥高为3B．正三棱锥的斜高为√392C．正三棱锥的体积为27√34D．正三棱锥的侧面积为9√394答案：ABD分析：先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF,EF,PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF=√12−94=√392，EF=32×√33=√32，故PE=√394−34=3,故AB正确.而正三棱锥的体积为13×3×√34×9=9√34，侧面积为3×12×3×√392=9√394，故C错误，D正确.故选：ABD.填空题14、如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点（不含端点），则下列结论正确的是____．①平面A 1D 1P ⊥平面BB 1P ；②DC 1⊥PC ；③∠APD 1的取值范围是[π2,π)； ④三棱锥C 1−D 1PC 的体积为定值43．答案：①②④分析：由正方体的特征知A 1D 1⊥平面AA 1B 1B ，DC 1⊥对角面A 1BCD 1，由面面垂直的判定和线面垂直的性质可知①②正确；当点P 为线段A 1B 的一个四等分点且靠近点B 时，由长度关系可求得cos∠APD 1>0，知③错误；由体积桥和三棱锥体积公式可确定④正确.对于①，∵几何体是正方体，∴A 1D 1⊥平面AA 1B 1B ，又A 1D 1⊂平面A 1D 1P ，∴平面A 1D 1P ⊥平面BB 1P ，①正确；对于②，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DC 1⊥对角面A 1BCD 1，对角面A 1BCD 1，∴DC 1⊥PC ，②正确；对于③，当点P 为线段A 1B 的一个四等分点且靠近点B 时，可得：AP =√102，D 1P =√342，AD 1=2√2，由余弦定理得：cos∠APD 1=AP 2+D 1P 2−AD 122AP⋅D 1P =52+172−82×√102×√342=√85>0，此时∠APD 1<π2，③错误； 对于④，∵△D 1C 1C 的面积是定值S =12×2×2=2，点P 到面D 1C 1C 的距离为BC =2，∴三棱锥C 1−D 1PC的体积V =13×2×2=43，④正确． PC所以答案是：①②④．15、如图，在正方体中，A 、B 、C 、D 分别是顶点或所在棱的中点，则A 、B 、C 、D 四点共面的图形______（填上所有正确答案的序号）．答案：①③④分析：四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据．图①：证明AB ∥EF ，CD ∥EF ，可得AB ∥CD ；图③：证明BD ∥EF ，AC ∥EF ，可得BD ∥AC ；图④：证明GH ∥EF ，AC ∥EF ， BD ∥GH ，可得BD ∥AC ．图①：取GD 的中点F ，连结BF 、EF ，∵B 、F 均为相应边的中点，则：BF ∥HG又∵HG ∥，则BF ∥即ABFE 为平行四边形∴AB ∥EF同理: CD ∥EF则AB ∥CD 即A 、B 、C 、D 四点共面，图①正确；图②：显然AB 与CD 异面，图②不正确；AEAE图③：连结AC,BD,EF,∵BE∥DF即BDFE为平行四边形∴BD∥EF又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；图④：连结AC,BD,EF,GH,∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF同理：BD∥GH∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．所以答案是：①③④．16、一个正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的体积为________．答案：16分析：根据棱柱的体积公式直接计算即可.由题可得该正四棱柱的体积为2×2×4=16.所以答案是：16.解答题17、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱BB1的中点．(1)求证：B1D∥平面ACE．(2)若F是棱CC1的中点，求证：平面B1DF∥平面ACE．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析分析：（1）连BD，使BD∩AC＝G，连EG，由中位线定理以及线面平行判定定理证明即可；（2）证明B1F∥平面ACE，结合B1D∥平面ACE，利用面面平行判定定理证明即可.（1）连BD，使BD∩AC＝G，连EG．∵ABCD是正方形，BD∩AC＝G，∴DG＝BG．又∵E是BB1中点，∴B1E＝BE，∴DB1∥GE，又DB1⊄平面ACE，GE⊂平面ACE，∴B1D∥平面ACE．（2）∵E是棱BB1的中点，F是棱CC1的中点．∴B1E∥CF且B1E＝CF，∴四边形B1ECF是平行四边形，∴B1F∥CE，又∴B1F⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，∴B1F∥平面ACE，由（1）B1D∥平面ACE，又∵DB1∩B1F＝B1，∴平面B1DF∥平面ACE．18、用符号表示下列语句，并画出图形.（1）平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；（2）点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.答案：（1）α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B；图象见解析；（2）A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB；图象见解析分析：由题意将自然语言转化为符号语言,根据点线面的关系,借用集合符号,表示即可.（1）用符号表示：α∩β＝l,a∩α＝A,a∩β＝B，如图.（2）用符号表示：A∈α,B∈α,a∩α＝C,C∉AB，如图.小提示：本题主要考查点、线、面的关系的符号表达,属于基础题.。
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S 'S S 'S 圆柱表 圆锥表 立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义： 以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1） 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2） 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， h ' 为斜高，l 为母线）S= ch S = 2r h S = 1 ch ' S =rl 直棱柱侧面积 S= 1 (c + c )h ' 圆柱侧S 正棱锥侧面积 2 = (r + R )l 圆锥侧面积 正棱台侧面积 2 1 2 圆台侧面积 S = 2r (r + l ) S = r (r + l ) S （3） 柱体、锥体、台体的体积公式 = (r 2 + rl + Rl + R 2 )V 柱 = Sh V 圆柱 = Sh =r 2h V = 1 Sh 锥 3V 圆锥 = 1r 2h 3 V = 1 (S ' + + S )h 台 3V 圆台 = 1 (S ' + + S )h = 1(r 2 + rR + R 2 )h 3 3 （4）球体的表面积和体积公式：V = 4R 3 ； S = 4R 2球 3 球面圆台表⎪ ⎭⎭ a ⊂⎬ ⎭ 1、平面及基本性质 公理 1 A ∈ l , B ∈ l , A ∈, B ∈⇒ l ⊂公理 2 若 P ∈, P ∈ ,则⋂ = a 且 P ∈公理 3 不共线三点确定一个平面（推论 1 直线和直线外一点,2 两相交直线,3 两平行直线）2、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理 4） 异面直线3、异面直线 （1） 对定义的理解：不存在平面，使得 a ⊂ 且b ⊂（2） 判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理： P 15★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 cos =| cos < a ,b >|= | a ⋅ b | | a || b |（注意异面直线所成角的范围(0,]）2 （4） 证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0（5） 求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.9.2 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系a ⊂ , a //, a ⋂= A 2、直线与平面平行的判定 b ⊄ ⎫ （1） 判定定理: b // a ⎬ ⇒ b // (线线平行，则线面平行 P 17)a ⊂ ⎪ // ⎫（2） 面面平行的性质： a ⊂ ⎬⇒ a // (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质a //,a ⊂ ⎫⇒ a //b (线面平行，则线线平行 P ) ⋂= b ⎬ 18★4、直线与平面垂直的判定 （1） 直线与平面垂直的定义的逆用l ⊥ ,⎫ ⇒ l ⊥ a ⎭⎬ 51 ⎭ ⎭ ⎭⎭⎭ l ⊥ m , l ⊥ n ⎫⎪（2） 判定定理： m , n ⊂ m ⋂ n = A a // b ⎫⎬ ⇒ l ⊥ （线线垂直，则线面垂直 P 23 ） ⎪ ⎭（3） b ⊥ ⎭⎬ ⇒ a ⊥ （ P 25 练习 第 6 题）⊥ （4） 面面垂直的性质定理：⋂ = l ⎫ ⎪ ⇒ a ⊥（面面垂直，则线面垂直 P ） a ⊂, a ⊥ l ⎪ // ⎫（5） 面面平行是性质： l ⊥ ⎬ ⇒ l ⊥ 5、射影长定理 ★6、三垂线定理及逆定理 线垂影 ⇔ 线垂斜9.3 两个平面的位置关系1、空间两个平面的位置关系 相交和平行2、两个平面平行的判定 a //,b // ⎫ （1） 判定定理： a ,b ,a ⋂ b = P ⎬ ⇒// （线线平行，则面面平行 P 19 ） l ⊥ ⎫ （2） l ⊥ ⎬⇒ // 垂直于同一平面的两个平面平行 （3） //,//⇒ // 平行于同一平面的两个平面平行 （ P 21 练习 第 2 题）3、两个平面平行的性质（1）性质 1：// , a ⊂ ⇒ a //// ⎫ （2）面面平行的性质定理：⋂= a ,⋂= b ⎬ ⇒ a // b （面面平行，则线线平行 P 20 ） （3）性质 2：// , l ⊥ ⇒ l ⊥4、两个平面垂直的判定与性质 （1） 判定定理： a ⊥ ,a ⊂⇒⊥（线面垂直，则面面垂直 P 50 ）⎬ 51 ⎭ ⊥ （2） 性质定理：面面垂直的性质定理：⋂ = l ⎫⎪ ⇒ a ⊥ （面面垂直，则线面垂直 P ）a ⊂ , a ⊥ l⎪9.4 空间角1、异面直线所成角（9.1）2、斜线与平面所成的角 (0, 2 )（1） 求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.（2） 向量法：设平面的法向量为 n ，则直线 AB 与平面所成的角为，则sin =| cos < AB , n >|= （3） 两个重要结论| AB ⋅ n | ∈ (0,) 2最小角定理 P 48 ： cos = cos 1 cos 2 ， P 26 , 例 4 P 28 第 6 题9.5 空间距离1、求距离的一般方法和步骤（1） 找出或作出有关的距离；（2） 证明它符合定义；（3） 在平面图形内计算（通常是解三角形）2、求点到面的距离常用的两种方法（1） 等体积法——构造恰当的三棱锥；（2） 向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度： d = | AB ⋅ n | | n |3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解4、异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）② 求法：法 1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法 2 转化为点面距离| AB ⋅ n |向量法 d = | n | （ A ， B 分别为两异面直线上任意一点， 为垂直于两异面直线的向量）注意理解应用： l 2 = m 2 + n 2 + d 2 ± 2mn c os 重点例题： P 51 和 P 55 例 2“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。