复合函数及抽象函数的单调性
复合函数及抽象函数的单调性
复合函数的单调性复合函数的定义：设y=f(u)定义域A ，u=g(x)值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量复合函数的单调性复合函数的单调性由两个函数共同决定；引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
若u=g(x)y=f(u)则y=f[g(x)]规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。
“同增异减”例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．的单调区间。
：求函数例29121)(1x x f --=抽象函数例1：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a 的取值范围。
问：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0)上是增函数，问在 区间(0，+∞）上f(x)是 增函数还是减函数？例2：设f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a 的取值范围。
.2)3()()4()()()3()()()()2(1)2()1()(2的取值范围求时，满足：上的函数：定义在例x x f x f y f x f y x y f x f xy f f x f R ≤-+<>+==+.)().()()(,,1)(0)(3上的增函数是求证：有、且对于任意时，上，当定义在：函数例R x f b f a f b a f R b a x f x R x f =+∈>>例4:.]1,2[)(,2)1(,0)(),()()(,)(上的值域在区间求时，且当均有、对于任意实数已知函数--=->>+=+xffxfxyfxfyxfyxxf.,9)1()3(.),0()()2.()()1().1,0()(1,9)27(,1)1()()()()(53的取值范围求且若上的单调性，并证明在判断的奇偶性判断时当且都有、对任意实数：已知函数例aafaxfxfxfxffyfxfxyfyxxf≤+≥+∞∈<<==-=复合函数的单调性小结复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。
高一函数单调性题型大全
高一函数单调性题型大全【知识点梳理】1.函数单调性的定义：如果函数f(x)对区间D 内的任意x ₁,x ₂,当x ₁<x ₂时都有f(x ₁)<f(x ₂),则f(x)在D 内是增函数:当x ₁<x ₂时都有f(x ₁)>f(x ₂),则f(x)在D 内时减函数。
f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0f (x )在[a,b]是减函数:(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]<0f (x )在[a,b]是减函数。
(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0f (x )在[a,b]是增函数。
3.复合函数单调性的判断。
(同增异减)4.函数单调性的应用.利用定义都是充要性命题.即若f(x) 在区间D 上递增(递减)且， f (x 1)<f (x 2)x 1<x 2(x 1,x 2∈D );若f(x)在区间D 上递递减且. f (x 1)<f (x 2)x 1>x 2.(x 1,x 2∈D )5.在公共定义域内，增函数f(x)+增函数g(x)是增函数：减函数f(x)+减函数g(x) 是减函数：增函数 f(x)-减函数g(x)是增函数; 减函数f(x)-增函数g(x)是减函数。
6.函数 y =ax +b x (a⟩0,b >0)在 (−∞,−√] [√,)上单调递增：在 [−√,0)THN (0,√]上是单调递减。
1.若u=g(x), y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f[g(x)]为增函数;2. 若u=g(x), y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f[g(x)]为减函数. 列表如下：. 因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：1.将复合函数分解成基本初等函数: y=f(u), u=g(x);2.分别确定各个函数的定义域；2.单调性的定义的等价形式： 设x ₁,x ₂∈[a,b]. 那么 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0f (x )在[a,b]是增函数:7.复合函数单调性的判断 讨论复合函数y=f[g(x)]的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性. 一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：3.分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间.注若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则y=f[g(x)]为增函数；若为一增一减或一减一增,则y=f[g(x)]为减函数.题型目录：题型一：用定义法证明函数单调性题型二：抽象函数单调性的判断证明题型三：函数单调性定义的理解题型四：基本初等函数的单调性题型五：函绝对值函数的单调性判断题型六：已知函数的单调性求参数范围题型七：分段函数的单调性求参数范围题型八：复合函数单调性(同增异减)题型九：抽象函数单调性解不等式【典型例题】题型一：用定义法证明函数单调性证明函数单调性的步骤：(1)取值：设x₁，x₂是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且；x₁<x₂:(2)变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；(3)定号：判断差的正负或商与1的大小关系：(4)得出结论.【例1】证明函数f(x)=x+1x在(0, 1)上是减函数。
高中数学函数单调性的判定和证明方法(详细)
⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。
作差法：
例1.判断函数 在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝ －
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)，
根据（1）可知 f（x1-x2）＞1，f（x2）＞0．
∵f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）•f（x2）＞f（x2），
∴函数f（x）在R上单调递减．
（二）、运算性质法.
函数
函数表达式
单调区间
特殊函数图像
一次函数
当 时， 在R上是增函数；
当 时， 在R上是减函数。
二次函数
当 时， 时 单调减,
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则 为增函数，若为一增一减，则 为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，既是复合函数 的单调区间。
以上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。
例7.求 （ 且 ）的单调区间。
减函数的区间
函数
表达式
单调性
解：列表如下
由表知 是减函数的区间 ， 。
所以函数的单调增区间为
减区间为 .
（四）、同增异减法（复合函数法）.
定理1：若函数 在 内单调， 在 内单调，且集合{ ︳ ， }
（1）若 是增函数， 是增（减）函数，则 是增（减）函数。（2）若 是减函数， 是增（减）函数，则 是减（增）函数。
函数单调性判断方法
，0上是减函数。
C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞)[小结](1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．(3)函数的单调性是函数在某个区间上的“整体”性质，所以不能仅仅根据某个区间内的两个特殊变量x 1，x 2对应的函数值的大小就判断函数在该区间的单调性，必须保证这两个变量是区间内的任意两个自变量．题型二、分段函数单调性判断及应用使用情景：分段函数的单调性问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的单调性，分别计算每段函数的单调性；第三步 满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）；第四步 得出结论.【例1】 已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ） A ．()1,2 B ．(][),12,-∞+∞ C ．[]1,2 D ．()(),12,-∞+∞+∞+∞ D(2,) (1,)【变式练习3】已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是[小结] 1、最值问题使用情景：分段函数的最值问题解题模板：第一步 通过观察分析，决定如何对自变量进行分类；第二步 根据常见函数的最值，分别计算每段函数的最值；第三步 满足函数在整个区间上的最值，即比较每段函数的最值大小，谁最大谁是最大值，谁最小谁是最小值；第四步 得出结论.2、单调性问题其一是分段函数在每一个区间上的增函数（或减函数）与整体函数相同；其二是满足函数在整个区间上是增函数（或减函数），即左段的函数的最大值（或最小值）小于等于右段函数的最小值（或最大值）.题型三、抽象函数的单调性【例1】已知奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，且在[]2,0-内递减，求满足：2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围．【例2】定义在上的偶函数满足：，在区间与上分别递增和递减，则不等式的解集为 ．【变式练习1】设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A.22t -≤≤B.2t ≤-或2t ≥C.0t ≤或2t ≥D.2t ≤-或2t ≥或0t =【变式练习2】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足1(2)(2)a f f ->-，则a 的取值范围是______[小结]不等式中的数形结合问题，在解题时既要想形又要以形助数，常见的“以形助数”的方法有： (1)借助数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补运算非常有效． (2)借助函数图象性质，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法，需注意的问题是准确把握代数式的几何意义实现“数”向“形”的转化．题型四、函数单调性判断方法（性质）的应用函数单调性的性质：(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；(2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (3)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≠0)与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )单调性相反；(4)在公共定义域内，函数y ＝f (x )(f (x )≥0)与y ＝f (x )单调性相同；(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反． 【常见判断方法】方法一 定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 取值定大小：设任意，且； 第二步 作差：；第三步 变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）； 第四步 定符号； 第五步 得出结论. 【例1】 判断并证明：21()1f x x =+在(,0)-∞上的单调性．12,x x D ∈12x x <12()()f x f x -x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8,9]C ．[8,9]D ．(0,8)[方法技巧]用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(2)有时，在不等式一边没有符号“f ”时，需转化为含符号“f ”的形式．如若已知f (a )＝0，f (x －b )<0，则f (x －b )<f (a )．应用(三) 求参数的取值范围[例5] (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[易错提醒](1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的．(2)对于分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．【变式练习3】1．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( ) A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (a )>f (c )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (c )>f (b )>f (a )3．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f log 19x >0的x 的集合为________．随堂检测1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．2．讨论函数f (x )＝x ＋a x(a >0)的单调性．。
函数的单调性
函数的单调性一、 函数单调性的的判断方法除了用差分法（又称定义法）判断函数的单调性外，常用的方法还是有以下几种：1.直接法直接法就是利用我们熟知的正比例函数、一次函数、反比例函数的单调性，直接判断函数的单调性，并写出它们的单调区间，熟记以下几种函数的单调性：(1)正比例函数(0)y kx k =≠：○1当0k >时，函数y kx =在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx =在定义域R 上是减函数.(2)反比例函数(0)k y k x =≠： ○1当0k >时，函数k y x=的单调递减区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间；○2当0k <时，函数k y x=的单调递增区间是(,0),(0,)-∞+∞，不存在单调递增区间.(3)一次函数(0)y kx b k =+≠：○1当0k >时，函数y kx b =+在定义域R 上是增函数；○2当0k <时，函数y kx b =+在定义域R 上是减函数.（4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠：○1当0a >时，函数2y ax bx c =++的图像开口向上，单调递减区间是(,]2b a -∞-，单调递增区间是[,)2b a-+∞；○2当0a <时，函数2y ax bx c =++的图像开口向下，单调递增区间是(,]2b a -∞-，单调递减区间是[,)2b a-+∞. 注意：3()y f x x ==在定义域R 上是增函数，其图像如右图：2.图像法画出函数图象，根据其图像的上升或下降趋势判断函数的单调性.3.运算性质法（1）函数()()f x af x 与，当0a >时有相同的单调性，当0a <时有相反的单调性；如函数()f x x =与3()3f x x -=-的单调性相反，函数()f x x =与3()3f x x =的单调性相同；（2）当函数()f x 恒为正（或恒为负）时()f x 与1()f x 有相反的单调性，如：函数1()0f x x =->((,0))x ∈-∞是递增函数，则111()x f x x==--在区间(,0)-∞是递减函数；（3）若()0f x ≥，则()f x与如：函数2()234f x x x =++，在定义域R 上，()0f x >，且()f x 是3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数，所以函数=3(,]4-∞-上的递减函数，是3[,)4-+∞上的递增函数；（4）若()f x ，()g x 的单调性相同，则()()f x g x +的单调性与()f x ，()g x 的单调性相同.如211()x F x x x x -+==-+，令1(),()f x x g x x=-=，即 ()()()F x f x g x =+，因为函数()f x 在R 上单调递减，()g x 的单调递减区间是(,0),(0,-∞+∞），所以函数211()x F x x x x-+==-+的单调递减区间是 (,0),-∞(0,+∞）； (5) 若()f x ，()g x 的单调性相反，则()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.因为()g x -与()f x 的单调性相同，所以()()f x g x -的单调性与()f x 的相同.二、抽象函数单调性的判定没有具体函数解析式的函数，我们称为抽象函数，判断抽象函数单调性是一类重要的题型，其解法采用差分法.实例1 已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 对任意,(0,)x y ∈+∞，恒有()()()f xy f x f y =+，且当01x <<时()0f x >，判断()f x 在(0,)+∞上的单调性. 解 设,(0,),0x x h h +∈+∞>，则()()()[()]x f x h f x f x h f x h x h+-=+-⋅++ ()[()()]()x x f x h f f x h f x h x h =+-++=-++.01,()0,()0x x x f f x h x h x h<<∴>∴-<+++，()()0f x h f x ∴+-<，所以函数 ()f x 在(0,)+∞上的单调递减.二、 复合函数单调性的判定方法求复合函数(())y f g x =的单调性的步骤：（1） 求出函数的定义域；（2） 明确构成复合函数的简单函数（所谓简单函数即我们熟知其单调性的函数）:(),()y f u u g x ==;（3） 确定简单函数的单调性；（4） 若这两个函数同增或同减（单调性相同），则(())y f g x =为增函数；若这两个函数一增一减（单调性相异）则(())y f g x =为减函数简记为“同增异减”.实例2 求函数()f x =解：由解析式得2340x x +-≥，即函数的定义域为{|41}x x x ≤-≥或.令234t x x =+-，则y =y t =是增函数，而234t x x =+-在(,4]-∞上是减函数，在[1,)+∞上是增函数，∴函数()f x =[1,)+∞，递减区间为(,4]-∞.三、 单调性的应用1. 用函数的单调性比较大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小，即已知函数()y f x =在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两个值12,x x 且 12x x <，则12()()f x f x <.减函数也有类似的性质.示例3 已知函数()y f x =在[0,)+∞上是减函数，试比较3()4f 与2(1)f a a -+的大小.解：221331()244a a a -+=-+≥，34∴与21a a -+都在区间[0,)+∞内.又()y f x =在区间[0,)+∞上是减函数，23()(1).4f f a a ∴≥-+ 注意：解答这类型的题目首先要判断函数的自变量是否在所给区间内.示例4 已知()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，求x 的取值范围.解()f x 是定义在[1,1]-上的增函数，且(1)(13)f x f x -<-，∴可得不等式组111,1131,113,x x x x -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩即02,20,31.2x x x ⎧⎪≤≤⎪⎪≤≤⎨⎪⎪<⎪⎩解得102x ≤<，所以所求1[0,)2x ∈. 2. 用函数的单调性求最值在利用单调性求最值或值域时要注意以下结论：（1） 若()f x 在定义域[,]a b 是增函数，则当x a =时，()f x 取得最小值()f a 当x b =，()f x 取得最大值()f b 如图2.（2） 若()f x 在定义域[,]a b 是减函数，则当x a =时，()f x 取得最大值()f a ，当x b =，()f x 取得最小值()f b 如图3.（3）已知函数(),[,],y f x x a b a c b =∈<<，如果()f x 在[,]a c 上是单调递增（减）函数，在[,]c b 上是单调递减（增）函数，则()f x 在x c =时取得最大（小）值，在x a =或x b =时取得最小（大）值，如下图4,5.示例5 求函数32y x =--.解：令()32f x x =-，()g x =()()y f x g x =-.由题意得函数的定义域为(,2]-∞.()32f x x =-在(,2]-∞上递增，()g x =在(,2]-∞上递减，但()g x -=(,2]-∞上递增，∴32y x =-(,2]-∞上为递增函数，∴当2x =时，y 有最大值4.注意：研究函数最值时，先求定义域，再判断其单调性.3.利用单调性求参数的取值举例应用：课本40页例34.解含“f ”的不等式根据函数()y f x =在某区间上的单调性及函数值的大小，可以求自变量的取值范围即已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为增函数，若12()(),f x f x <则12x x <；若已知函数()y f x =在定义域内的某个区间上为减函数，若12()(),f x f x <则12x x >，就是增（减）函数定义的逆应用.示例6 已知函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，求实数x 的取值范围. 解：函数()y f x =是R 上的减函数，且(23)(56)f x f x ->-，2356x x ∴-<+，(3,)x ∴∈-+∞.函数的定义域和值域一、复合函数的定义域复合函数(())y f g x =的定义域，是函数()g x 的定义域中，使中间变量()u g x =属于函数()f u 的定义域全体.示例1 若函数()f x 的定义域为[1,4]，求函数(4)f x +的定义域. 解：函数()f x 的定义域为[1,4]，∴使得(4)f x +有意义的条件是144x ≤+≤,即30x -≤≤，则(4)f x +的定义域为[3,0]-.注意：这类型的题目简记为“对应法则相同，括号内的取值范围相同”. 示例2 已知(3)f x +的定义域为[0,3]，求函数()f x 的定义域. 解题分析：函数(3)f x +和()f x 中的x 并不是同一个量，若设3u x =+，则(3)f x +变成()f u ，那么u 的取值范围才是函数()f x 的定义域，即“对应法则相同，括号内的取值范围相同”.解：(3)f x +的定义域为[0,3]，03x ∴≤≤，则336x ∴≤+≤，所以 函数()f x 的定义域为[3,6].二、求函数值域的常用方法1.公式法：适用于初中所学的一次函数、二次函数、反比例函数及以后学习的基本初等函数，形如ax b y cx d +=+（0c ≠且分式不可约）的值域为{|}a y y c≠. 示例3 求函数311x y x -=+的值域 解：函数311x y x -=+，∴331y ≠≠，∴311x y x -=+的值域为{|3}y y ≠.2.图像法：适用于能画出图像的函数.如225((,2])y x x x =--∈-∞的图像如右图所示，所以值域为[6,)-+∞.3.不等式性质法（包括配方法、分离常数法、有界性法）适用于解析式只含“一个”x 或通过变形能化成只出现“一个”x 的函数，如1||,y x =-由||0x ≥，则1||1x -≤，可得(,1]y ∈-∞；又如2211172()24y x x x ==-+-+，因为2177()244x -+≥，所以2140177()24x <≤-+，所以4(0,]7y ∈. 示例4求函数23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域 解：232(1)55()2111x x f x x x x -+-===-+++，由221x x -≤≤≠-且，得 11310x x -≤+≤+≠且.令1t x =+，则130t t -≤≤≠且.结合反比例函数5y t=-的图像可知，当 130t t -≤≤≠且，即[1,0)(0,3]t ∈-时，55553t t-≤--≥或. ∴5555131x x -≤--≥++或.515()2()27131f x f x x x =-≤=-≥++或. ∴23()(221)1x f x x x x -=-≤≤≠-+且的值域为1-][7,)3∞+∞（，. 4.换元法：适用于无理式中含自变量的函. 示例5求函数y x =+.解：函数的定义域是{|1}x x ≤.t =，则[0,)t ∈+∞，2+1x t =-， 22212(21)2(1)2y t t t t t ∴=-++=--++=--+，0t ≥，结合二次函数的图像2y ∴≤，∴原函数的值域为∞（-，2].注意：解这类型的题目要注意函数的定义域,在利用换元法求函数值域时，一定要注意新变量t 的取值范围，若忽视了这点，就容易造成错误.5.判别式法：适用于形如22(,)ax bx c y a d dx ex f++=++不全为零且分式不可约的函数. 示例6 求函数2224723x x y x x +-=++的值域.解：由2224723x x y x x +-=++得2(2)2(2)370y x y x y -+-++=，当2y =时，方程无解；当2y ≠时，要使关于x 的方程有解，必须24(2)4(2)(37)0y y y ∆=---+≥， 解得9 2.2y -≤< ∴原函数的值域为92[-，2). 6.方程思想（包括判别式法、反解法）适用于可解出x 的解析式的函数.示例7 求函数2211x y x -=+的值域解：由2211x y x-=+得2(1)10y x y ++-=，当1y =-时，方程无解：当1y ≠-时，要使关于x 的方程有解，必须04(1)(1)0y y ∆=-+-≥，解得11y -≤≤.∴原函数的值域为[-1，1].示例7：求函数311x y x -=+的值域. 解：由311x y x -=+得1(1)31(3)103y y x x y x y x y ++=-⇒-++=⇒=--， 只要30,3y y -≠≠即，就有13y x y +=--.∴原函数的值域为{y |3}y ≠.。
函数单调性的判定方法
函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：1.1 定义法首先我们给出单调函数的定义。
一般地，设f 为定义在D 上的函数。
若对任何1x 、D x ∈2，当21x x <时，总有(1))()(21x f x f ≤，则称f 为D 上的增函数，特别当成立严格不等)()(21x f x f <时，称f 为D 上的严格增函数；(2))()(21x f x f ≥,则称f 为D 上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21x f x f > 时，称f 为D 上的严格减函数。
给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。
用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。
利用定义来证明函数)(x f y =在给定区间D 上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x ,D x ∈2且21x x <； （2）作差)()(21x f x f -；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21x f x f -差与0的大小）；（5）定论（即指出函数 )(x f 在给定的区间D 上的单调性）。
例1.用定义证明)()(3R a a x x f ∈+-=在),(+∞-∞上是减函数。
证明：设1x ,),(2+∞-∞∈x ，且21x x <，则).)(()()()(212221123132323121x x x x x x x x a x a x x f x f ++-=-=+--+-=-由于043)2(22221212221>++=++x x x x x x x ，012>-x x 则0))(()()(2122211221>++-=-x x x x x x x f x f ，即)()(21x f x f >，所以)(x f 在()+∞∞-,上是减函数。
函数单调性常见类型
函数的单调性题型一 判断、讨论、证明函数的单调性1判断函数y=x-x 1在其定义域上的单调性。
2讨论并证明y=x+x 1在定义域上的单调性。
3定义在R 上的函数f （x ）对任意不相等实数a ，b 总有()()ba b f a f -->0成立，则必有 A 、函数f （x ）是先增加后减小B 、函数f （x ）是先减小后增加C 、f （x ）在R 上是增函数D 、f （x ）在R 上是减函数 4已知b x k x f ++=)12()(在实数R 是减函数，则k 的取值范围为（ ）5已知函数),0(,)(2+∞∈++=x c bx x x f 是单调函数，则实数b 的取值范围为（ ） .0.≥b A 0.≤b B 0.>b C 0,<b D6已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在]4,(-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。
题型二 抽象函数的单调性 1、已知f(x)是定义在[-1,1]上的增函数，且f(x-2)<f(1-x), 求x 的取值范围.2 、f （x ）是定义在（0，+∞）上的增函数，则不等式f （x ）>f （8（x —2））的解集是A 、（2，716）B 、（—∞，716）C 、（2，+∞）D 、（2，716）题型三 用图形讨论函数单调性1函数y=|x —3|—|x+1|的单调递减区间是 。
2画出函数223.y x x =-++的图像，并指出函数的单调区间3画出函数y=|x|的图像，并判断其单调性。
4画出函数y=|x 2+2x-1|的图像，并指出其在R 上的单调性。
题型四 基本初等函数的单调性问题1.设函数243,[1,4]y x x x =-+∈，则()f x 的最小值和最大值为（ ）A.-1 ，3B.0 ，3C.-1，4D.-2，02．函数f （x ）=—x 2+2（a —1）x+2在（—∞，4）上是增函数，则a 的范围是A 、a ≥5B 、a ≥3C 、a ≤3D 、a ≤—53.已知22(2)5y ax a x =+-+在区间(4,)+∞上是减函数，则a 的范围是（ ） A.25a ≤ B.25a ≥ C.25a ≥或0a = D.0a ≤ 3.若函数242--=x x y 的定义域为[]m ,0，值域为[]2,6--，则m 的取值范围是（ ）A 、(]4,0B 、[]4,2C 、(]2,0D 、()4,2 4.函数32++=bx ax y 在(]1,-∞-上是增函数，在[)+∞-,1上是减函数，则（ ）A 、00<>a b 且B 、02<=a bC 、02>=a bD 、的符号不确定b a ,5.已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是 A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞7.已知函数(21)32f x x +=+，且()4f a =，则a =_____________8.函数]1,1[)20(32-<<++=在a ax x y 上的最大值是 ，最小值是 . 9.函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-<≤=⎨+-≤≤⎩的值域为_______________________ 10.函数212+=x y 的值域为______________________. 11．已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]上有最大值5和最小值2，则a 、b 的值是题型五 解答题1.已知函数y =(0)a <在区间(,1]-∞上有意义，求实数a 的取值范围.2.二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f .（1）求)(x f 的解析式；（2）在区间[]1,1-上，)(x f y =的图象恒在直线m x y +=2上方，试确定实数m 的取值范围.3.已知函数2,(1),()2,(11),2,(1).x x f x x x x ≤-⎧⎪=--<<⎨⎪-≥⎩4.已知函数2()(2)f x x a x b =+++满足2)1(-=-f ；（1）若方程()=2f x x 有唯一的解；求实数b a ,的值；（2）若函数()f x 在区间[]-22，上不是单调函数，求实数a 的取值范围5.已知二次函数()f x 的最小值为1，且(0)(2)3f f ==。
人教A版高中数学必修一 7复合函数的单调性
第7讲 函数的单调性（2）一、教学目标1.掌握函数单调性的定义以及函数的单调区间求法2.理解函数单调性的应用.二、知识点梳理知识点一：复合函数与抽象函数单调性1、复合函数单调性的判断一般地对于复合函数))((x g f y =，如果)(x g t =在()b a ,上是单调函数，并且)(t f y =在()()()b g a g ,或者()()()a g b g ,上也是单调函数，那么()()x g f y =在()b a ,上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”讨论复合函数单调性的步骤：① 求出复合函数的定义域；② 复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其单调性；③ 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围；④ 根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性。
例1、求函数2281)(x x x f --=的单调区间变式训练已知225)(,32)(x x g x x x f -=--=试求()x g 的单调区间2、抽象函数单调性的判断与证明没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数，求此类函数的单调性通常有两种方法：一种是“凑”凑定义或凑已知，利用定义或者已知条件得出结论；另一种是赋值，给变量赋值要根据条件与结论的关系。
例2、已知函数)(x f 对任意的R y x ∈,，总有()()()y f x f y x f +=+，且当x>0时，()0<x f .求证：()x f 在R 上为减函数。
知识点二：函数最值的求法求函数最值的方法1、配方法：主要适用于二次函数或者可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围2、换元法：用换元法一定要注意新元的取值范围3、数形结合法：对于图像较容易画出的函数的最值问题，可借助图像直观求出。
4、利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值。
例3、利用单调性求最值 求函数12-+=x x y求函数()x x x f +=1的最值利用图像求最值例4、用}{b a ,m in 表示a,b 两个数中较小值，设()}{()()x f x x x x f 则,010,2m in ≥-+=的最大值为_____二次函数最值求二次函数最值有两种类型：一是函数定义域为实数集R ，这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出；二是函数定义域为某一区间，这时二次函数最大值（最小值）由它单调性确定，而它的单调性由二次函数的开口方向和对称轴的位置来确定；当开口方向和对称轴的位置不确定时，还需进行分类讨论。
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1 2 的单调区间。 1 − 9 x 的单调区间。 例1：求函数 f ( x ) = − 2
解：由1-9x2≥0得：-1/3≤x≤1/3 得 增大时， 增大， 当-1/3≤x≤0,x增大时，1-9x2增大，f(x)减小 增大时 减小 当0<x≤1/3，x增大时，1-9x2减小，f(x)增大 增大时， 减小， ， 增大时 增大 ∴函数的单调区间是 [-1/3，0]，[0，1/3]。 ， ， ， 。
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b, 因为u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)>g(x2), 记u1=g(x1),u2=g(x2),即u1>u2，且u1,u2 (c,d).因为 函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)<f(u2), 即y=f[g(x1)]< y=f[g(x2)],故函数y=f[g(x)]在区间(a,b) 上是增函数。
•复合函数的单调性
复合函数的定义： y=f(u)定义 复合函数的定义：设y=f(u)定义 u=g(x)值域为 值域为B B， 域A，u=g(x)值域为B，若A ⊇ B， 关于x函数的y=f[g(x)] y=f[g(x)]叫做函 则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 的复合函数， 数f与g的复合函数，u叫中间量
(−∞,−1] −
(2)x∈ (-1,0]时，函数①递增，且t∈(1,2] ， )x∈ 函数①递增， ∈(1 而 t∈(1,2] 时，函数②递减， ∈(1 函数②递减， 的单调减区间； 故(-1,0] 是g ( x )的单调减区间； (3)x∈(0,1]时,函数①递减，且t∈(1,2] ， )x∈( ∈(0 函数①递减， ∈(1 ],函数 也递减， 函数② 而 t∈(1,2],函数②也递减， (0,1]是 的单调增区间； 故(0,1]是g ( x )的单调增区间；
综上： 综上： f ( x )为增函数 .
注：常用的佩凑方法: f ( x1 ) = f ( x1 + x2 − x2 ); x1 f ( x1 ) = f ( ⋅ x2 ); f ( x1 − x2 ) = f ( x1 + (− x2 )); x2
例4:
已知函数 f ( x )对于任意实数 x、 y , 均有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), 且当 x > 0时， f ( x ) > 0, f ( − 1) = − 2, 求 f ( x )在区间 [ − 2,1]上的值域 .
（4）x∈(1，+∞)时， +∞)时 函数①递减， 函数①递减，且t∈(－∞，1) 函数②递增， 而t∈(－∞，1) 时，函数②递增， +∞)是 的单调减区间． 故(1，+∞)是g ( x )的单调减区间． 综上知，所求g ( x )的增区间是 综上知，所求g
(−∞ , − 1] 和 ( 0 , 1 ]
抽象函数
是定义在实数集R上的 例1：设f(x)是定义在实数集 上的奇函数， ： 是定义在实数集 上的奇函数， 且在区间（ ， ）上是增函数， 且在区间（-∞，0）上是增函数，又 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求 的取值范围。 试求a的取值范围 试求 的取值范围。 是定义在实数集R上的奇函 问：设f(x)是定义在实数集 上的奇函 是定义在实数集 且在区间（ ， 上是增函数 上是增函数， 数，且在区间（-∞，0)上是增函数， 区间(0， ） 问在 区间 ，+∞）上f(x)是 增函数还 是 是减函数？ 是减函数？ 是定义在实数集R上的 例2：设f(x)是定义在实数集 上的偶函数， ： 是定义在实数集 上的偶函数， 且在区间（ ， 上是增函数 上是增函数， 且在区间（-∞，0]上是增函数，又 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求 的取值范围。 试求a的取值范围 试求 的取值范围。 (0<a<3)
例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8， 已知f )=－ g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间． 的单调增区间． 【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以 讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题， 应“分层剥离”为两个函数 分层剥离” t = － x 2+ 2 y = f ( t ) =－ t 2 + 2 t + 8 ① ② 【解题思路】 解题思路】 x∈某区间A 某区间A ①在A上的增减性 ②在B上的增减性 t∈某区间B 某区间B g ( x )在A上的 ⇒ 单调性
所以 f ( x )的值域为 [ − 4 , 2 ].
例 5：已知函数 f ( x )对任意实数 x、 y都有 f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) 且 f ( − 1) = 1, f ( 27 ) = 9,当0 < x < 1时 f ( x ) ∈ ( 0,1). (1)判断 f ( x )的奇偶性 .( 2 )判断 f ( x )在 ( 0,+∞ )上的单调性，并证明 . 上的单调性， ( 3 )若 a ≥ 0 且 f ( a + 1) ≤ 3 9 , 求 a的取值范围 .
∴ 对于任意 x 2 > 0 , 都有 f ( x 2 ) > 0 .
∴ f ( x1 ) − f ( x 2 ) = f ( x 2 )[ f ( x1 ) − 1] < 0 x2
∴ f ( x ) 在 ( 0 , +∞ ) 上是增函数 .
在f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )中令y = − x则
f (0) = f ( x ) + f ( − x ),
再令x = y = 0则f (0) = 2 f (0) ⇒ f (0) = 0
故f ( − x ) = − f ( x ), 从而 f ( x )为奇函数 .
∴ f (1) = − f ( −1) = 2, f ( −2) = f ( −1) + f ( −1) = −4,
满足： 例 2：定义在 R + 上的函数 f ( x )满足： (1 ) f ( 2 ) = 1 ( 2 ) f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ) ( 3 ) x > y 时， f ( x ) < f ( y ) 求 x 的取值范围 . (4) f ( x ) + f ( x − 3) ≤ 2
当0 < x 2 < 1时，f ( x 2 ) ∈ (0,1); 当x 2 = 1时， f (1) = f ( −1) = 1 > 0; 1 1 当x 2 > 1时, ∈ (0,1) ⇒ f ( ) ∈ (0,1) x2 x2 1 ∴ f (1) = f ( x 2 ) f ( ) ⇒ f ( x 2 ) = x2 1 > 1. 1 f( ) x2
上减， 解：由 ( 3 )知 f ( x )在 R + 上减，又 f ( 4 ) = f ( 2 ) + f ( 2 ) = 2
从而(4) ⇒ f ( x ( x − 3)) ≤ f (4)
x ( x − 3) ≥ 4 ⇒ x≥4 ⇒ x>0 x−3>0
例 3：函数 f ( x ) 定义在 R 上，当 x > 0 时， f ( x ) > 1 , 且对于任意 a 、 b ∈ R , 有 f ( a + b ) = f ( a ) f ( b ). 求证： 求证： f ( x ) 是 R 上的增函数 .
解：设 x1 < x 2 ⇒ x 2 − x1 > 0 ⇒ f ( x 2 − x1 ) > 0
又 f ( x 2 ) = f [( x 2 − x 1 ) + x 1 ] = f ( x 2 − x 1 ) + f ( x 1 )
∴ f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ( x 2 − x1 ) > 0即f ( x 2 ) > f ( x1 ) 故f ( x )为增函数 .
关键是A的端点如何确定？ 关键是A的端点如何确定？
【 解 】 设 t =－ x 2 + 2 ① y =－ t 2 +2 t + 8 ② 函数②的增、 代入① 函数②的增、减转折点是 t = 1，把 t = 1 代入①，得 x1=－1，x2=1，又①的增、减转折点是 x3 = 0， 的增、 于是三个关节点把数轴分成四个区间： 于是三个关节点把数轴分成四个区间： (−∞,−1] ， (−1, 0] ， ( 0 , 1 ] ，( 1 , + ∞) − (1)x∈(-∞,-1] 时,函数①递增,且t≤1,而t ∈ (-∞, 1] )x∈( ∈(函数①递增, 函数②也递增， ∞,时 ,函数②也递增 ，故 (-∞,-1] 是所求的一个单调增 区间； 区间；
当x1 < 0时令a = x1 , b = − x1则f (0) = f ( x1 ) f ( − x1 ) = 1 ⇒ f ( x1 ) =
Q f ( − x1 ) > 1∴ f ( x1 ) > 0
1 f ( − x1 )
故对于任 x 1 ∈ R 都有 f ( x 1 ) > 0 .
又 1 − f ( x 2 − x1 ) < 0 ⇒ f ( x1 ) − f ( x 2 ) < 0
1 解（）令y = −1则f ( − x ) = f ( x ) f ( −1) = f ( x ) ∴ f ( x )为偶函数 .