高考江苏卷数学试题解析(正式版)(解析版)

2016年江苏卷数学高考试题

数学I 试题

参考公式： 样本数据12,,

,n x x x 的方差2

11()n i i s x x n ==-∑2

，其中1

1=n i i x x n =∑.

棱柱的体积V Sh =，其中S 是棱柱的底面积，h 是高. 棱锥的体积1

3

V Sh =

，其中S 是棱锥的底面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ▲ . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析：{}

{}{}1,2,3,6231,2A

B x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2-

考点：集合运算

2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是 ▲ . 【答案】5

考点：复数概念

3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

173

x y -=的焦距是 ▲ .

【答案】210 【解析】 试题分析：

222227,3,7310,10,2210a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=．故答案应填：210

考点：双曲线性质

4.已知一组数据4.7，4.8，

5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 ▲ . 【答案】0.1

【解析】

试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15

?++++=，

222222

1(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15s ??∴=?-+-+-+-+-=?

?．故答案应填：0.1 考点：方差

5.函数y =2

32x x --的定义域是 ▲ . 【答案】[]

3,1-

考点：函数定义域

6.右图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .

【答案】9 【解析】

试题分析：第一次循环：5,7a b ==，第二次循环：9,5a b ==， 此时a b >，循环结束，输出的a 的值是9，故答案应填：9.学科&网 考点：循环结构流程图

7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ . 【答案】

56

【解析】基本事件总数为36，点数之和小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366

= 考点：古典概型

8.已知{n a }是等差数列，n S 是其前n 项和.若2

123a a +=-，5S =10，则9a 的值是 ▲ .

【答案】20

【解析】由510S =得32a =，因此2922(2)33,23620.d d d a -+-=-?==+?=故 考点：等差数列的性质

9.定义在区间[0，3π]上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是 ▲ . 【答案】7

考点：三角函数图象

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F 是椭圆22 2

2

1()

x y

a b

a b

+=＞＞0的右焦点，直线

2

b

y=与椭圆交于B，C两点，且90

BFC

∠=，则该椭圆的离心率是▲ .

(第10题)

6

【解析】由题意得

33

(,),C(,),

22

b b

B，故BF

????? =3

(,)

2

b

c-，CF????? =

3

(,)

2

b

c-，又90

BFC

∠=，所以22222

36

()()032

2

b

c c a e

-+=?=?=

考点：椭圆离心率

11.设()

f x是定义在R上且周期为2的函数，在区间[1,1

-)上，

,10,

()2

,01,

5

x a x

f x

x x

+-≤<

?

?

=?

-≤<

?

?

其中.

a∈R若

59

()()

22

f f

-=，则(5)

f a的值是▲ .

【答案】

2

5

-

【解析】

51911123

()()()()

22222255

f f f f a a

-=-==?-+=-?=，

因此

32

(5)(3)(1)(1)1.

55

f a f f f

===-=-+=-

考点：分段函数，周期性质

12.已知实数,x y满足

240

220

330

x y

x y

x y

-+≥

?

?

+-≥

?

?--≤

?

，

，

，

则22

x y

+的取值范围是▲ .

【答案】

4

[,13]

5

考点：线性规划

13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ?=，1BF CF ?=-，则BE CE

?的值是 ▲ .

【答案】

7

8

【解析】因为

2222

11436=42244AD BC FD BC

BA CA BC AD BC AD --?=---==（）（），

2

2

11114123234

FD BC

BF CF BC AD BC AD -?=---==-（）（），

因此2

2513

,82

FD BC ==，2

2

2

2

114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --?=---===（）（） 考点：向量数量积

14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ . 【答案】8

考点：三角恒等变换，切的性质应用

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)

在ABC △中，AC =6，4πcos .54

B C ， （1）求AB 的长； （2）求π

cos(6

A

)的值. 【答案】（1）52(2)726

20

- 【解析】

试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；(2)利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6

A π-

考点：同角三角函数的基本关系、正余弦定理、两角和与差的正余弦公式 16.(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，

1111AC A B ⊥.

求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；

（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .

（第16题）

【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】

试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.学科&网

试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C ∥AC ， 在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点， 所以//DE AC ，于是11//DE AC ，

又因为DE ?平面1111,AC F AC ?平面11AC F ， 所以直线DE //平面11AC F .

考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 17.（本小题满分14分）

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1OO 是正四棱锥的高1PO 的4倍. （1）若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？

（第17题）

【答案】（1）312（2）123PO =

考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积 18.（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :22

1214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4).

(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC=OA ，求直线l 的方程；

（3）设点T （t ，0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得,TA TP TQ +=，求实数t 的取值范围.

（第18题）

【答案】（1）22(6)(1)1x y -+-=（2）:25215l y x y x =+=-或（3）22212221t -≤≤+

所以()2

52555

m +=

+，解得m=5或m=-15.

故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 19.（本小题满分16分）

已知函数()(0,0,1,1)x

x

f x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设12,2

a b ==

. ①求方程()f x =2的根；

②若对任意x ∈R ，不等式(2)()6f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；

（2）若01,1a b <<＞

，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 【答案】（1）①0②4（2）1 【解析】

试题分析：（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求出ab 的值.

（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而0

(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.

因为'

()ln ln x

x

g x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b a

a

x b

=-

. 令'

()()h x g x =，则'

'

2

2

()(ln ln )(ln )(ln )x

x

x

x

h x a a b b a a b b =+=+，

从而对任意x R ∈，'

()0h x >，所以'

()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，

于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''

0()()0g x g x >=.

因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02

x

g g <=， 又log 2

log 2log 2(log 2)220a a a a g a

b a =+->-=，且函数()g x 在以

2

x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x .因为01a <<，所以log 20a <，又002

x

<，所

以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在0

2

x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln a

b

-

=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 20.（本小题满分16分）

记{}1,2,100U =…,

.对数列{}(

)*

n a n ∈N 和U

的子集T ，若T =?，定义0T S =；若

{}12,,k T t t t =…，，定义1

2

k T t t t S a a a =++

+.例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设

{}()*n a n ∈N 是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,T k ?…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ??≥，求证：2C C

D

D S S S +≥.

【答案】（1）13n n a -=（2）详见解析（3）详见解析

考点：等比数列的通项公式、求和

数学II（附加题）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题

．．．．．．．．．．．．．若多做，

．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修4—1几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点.

求证：∠EDC=∠ABD.

【答案】详见解析

考点：相似三角形

B.[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵

12

,

02

A

??

=??

-

??

矩阵B的逆矩阵1

1

1

=2

02

B-

??

-

??

??

??

，求矩阵AB.

【答案】

5 1

4 01??????

-??

【解析】

试题分析：先求逆矩阵的逆：

1

1

4

1

2

B

??

??

=??

??

??

??

，再根据矩阵运算求矩阵AB.

考点：逆矩阵，矩阵乘法

C.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

1

1,

2

3

x t

y

?

=+

??

?

?=

??

（t为参数），椭圆C的参数方

程为

cos,

2sin

x

y

θ

θ

=

?

?

=

?

（θ为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.

【答案】16 7

【解析】

试题分析：将参数方程化为普通方程，再根据弦长公式或两点间距离公式求弦长.

试题解析：解：椭圆C的普通方程为

2

21

4

y

x+=，将直线l的参数方程

1

1

2

3

2

x t

y

?

=+

??

?

?=

??

，代入

2

21

4

y

x+=，得

223(

)

12

(1)124t t ++=，即27160t t +=，解得10t =，2167

t =-.

所以1216

||7

AB t t =-=.

考点：直线与椭圆的参数方程

D.[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3

a

，求证：|2x +y -4|＜a . 【答案】详见解析

考点：含绝对值的不等式证明

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2

=2px (p ＞0).

（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q .

①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,)p p --； ②求p 的取值范围.

【答案】（1）x y 82

=（2）①详见解析，②)3

4

,0( 【解析】

试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：0)44(442

2

>--=?p p p ，解出p 的取值范围.

试题解析：解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为(,0)2

p

由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202

p

--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =

考点：直线与抛物线位置关系 23.（本小题满分10分）

（1）求34

67–47C C 的值； （2）设m ，n ∈N *

，n ≥m ，求证：

（m +1）C m m +（m +2）+1C m m +（m +3）+2C m m +…+n –1C m n +（n +1）C m n =（m +1）+2

+2C m n .

【答案】（1）0（2）详见解析

考点：组合数及其性质

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