高中数学：函数的奇偶性与周期性练习

高中数学：函数的奇偶性与周期性练习
(时间:30分钟)
1.(云南玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( C )
x| (B)y=x3
(A)y=|log
3
(C)y=e|x| (D)y=cos |x|
解析:对于A选项,函数定义域是(0,+∞),故是非奇非偶函数;对于B选项,函数y=x3是一个奇函数,不正确;对于C选项,函数的定义域是R,是偶函数,且当x∈(0,+∞)时,函数是增函数,故在(0,1)上单调递增,选项C正确;对于D选项,函数y=cos |x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不正确.故选C.
2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2 019)等于( B )
(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98
解析:由f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为4的周期函数,
f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(-1).
由-1∈(-2,0)得f(-1)=2,所以f(2 019)=2.故选B.
3.(石家庄一模)已知f(x)为偶函数,且当x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当x∈[2,+∞)
x,则f(-)+f(4)等于( D )
时,f(x)=log
2
(A)-+2 (B)1
(C)3 (D)+2
4=2,所以f(-)+f(4)=
解析:因为f(-)=f()=2sin =,f(4)=log
2
+2.
4.设函数f(x)=,则下列结论错误的是( D )
(A)|f(x)|是偶函数
(B)-f(x)是奇函数
(C)f(x)·|f(x)|是奇函数
(D)f(|x|)·f(x)是偶函数
解析:f(-x)==-f(x),
所以函数f(x)是奇函数,|f(-x)|=|f(x)|,
函数|f(x)|是偶函数,-f(x)是奇函数,
f(x)·|f(x)|为奇函数,f(|x|)是偶函数,
所以f(|x|)·f(x)是奇函数,所以错的是D.故选D.
5.(河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=
则g(-8)等于( A )
(A)-2 (B)-3 (C)2 (D)3
解析:法一当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,
(1-x),
则f(-x)=log
3
(1-x).
所以f(x)=-log
3
(1-x),x<0,
因此g(x)=-log
3
9=-2.
故g(-8)=-log
3
法二由题意知,
9=-2.故选A.
g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log
3
6.(南昌模拟)若定义域为R的函数f(x)在(4,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+4)为偶函数,则( D )
(A)f(2)>f(3) (B)f(2)>f(5)
(C)f(3)>f(5) (D)f(3)>f(6)
解析:因为y=f(x+4)为偶函数,
所以f(-x+4)=f(x+4),
因此y=f(x)的图象关于直线x=4对称,
所以f(2)=f(6),f(3)=f(5).
又y=f(x)在(4,+∞)上为减函数,
所以f(5)>f(6),
所以f(3)>f(6).故选D.
7.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .
解析:由于f(-x)=f(x),
所以ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,
化简得2ax+3x=0(x∈R),则2a+3=0.
所以a=-.
答案:-
8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=-,当2≤x≤3时,
f(x)=x,则f(105.5)= .
解析:f(x+4)=f[(x+2)+2]=-=f(x).
故函数的周期为4,
所以f(105.5)=f(4×27-2.5)=f(-2.5)=f(2.5),
因为2≤2.5≤3,
由题意,得f(2.5)=2.5,所以f(105.5)=2.5.
答案:2.5
9.设函数f(x)=ln(1+|x|)-,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是.
解析:由f(x)=ln(1+|x|)-,知f(x)为R上的偶函数,于是f(x)>
f(2x-1),
即为f(|x|)>f(|2x-1|).
当x≥0时,f(x)=ln(1+x)-,
所以f(x)为[0,+∞)上的增函数,
则由f(|x|)>f(|2x-1|)得|x|>|2x-1|,
两边平方,整理得3x2-4x+1<0,解得<x<1.
答案:(,1)
能力提升(时间:15分钟)
10.(吉林省实验中学模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x),当x∈[-2,0]
时,f(x)=-2x,则f(1)+f(4)等于( D )
(A)(B)1 (C)-1 (D)-
解析:因为f(x)是定义在R上的偶函数,
且f(x+4)=f(x),
所以f(x)是以4为周期的周期函数,
又因为x∈[-2,0]时,f(x)=-2x,
所以f(1)+f(4)=f(-1)+f(0)
=-2-1-20
=--1
=-.
故选D.
11.(山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( A )
(A)[-3,1]
(B)[-4,2]
(C)(-∞,-3]∪[1,+∞)
(D)(-∞,-4]∪[2,+∞)
解析:f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.故选A.
12.(2017·安徽马鞍山三模)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则f(5)等于( B )
(A)-1 (B)0 (C)1 (D)5
解析:因为函数f(x+1),f(x-1)都是奇函数,
所以f(1)=f(-1)=0,函数f(x)既关于(1,0)对称,又关于(-1,0)对称,
即f(2-x)=-f(x),f(-2-x)=-f(x),
那么f(2-x)=f(-2-x),即f(2+x)=f(-2+x),
所以f(x)=f(x+4),
因此函数的周期是4,f(5)=f(1)=0.故选B.
13.已知奇函数f(x)=则f(-2)的值等于.
解析:因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=0,
则30-a=0,
所以a=1,
所以当x≥0时,f(x)=3x-1,
则f(2)=32-1=8,
因此f(-2)=-f(2)=-8.
答案:-8
14.已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,
f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为. 解析:因为当0≤x<2时,f(x)=x3-x,
又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且f(0)=0,
则f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.
又f(1)=0,
所以f(3)=f(5)=f(1)=0,
故函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.
答案:7
15.(湖北荆州中学质检)若函数f(x)=为奇函数,g(x)=
则不等式g(x)>1的解集为.
解析:因为f(x)=为奇函数且定义域为R,
所以f(0)=0,
即=0,
解得a=-1,
所以g(x)=
所以当x>0时,由-ln x>1,
解得x∈(0,);
当x≤0时,由e-x>1,
解得x∈(-∞,0),
所以不等式g(x)>1的解集为(-∞,0)∪(0,). 答案:(-∞,0)∪(0,)。