线性代数D

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线性代数试题与答案

04184线性代数（经管类）一、二、单选题1、B:-1A:-3C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D 2、B:dA:abcdC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D 3、B:15A:18C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B 4、B:-1A:-3C:1 D:3做题结果：A 参考答案：D 6、B:15A:18C:12 D:24做题结果：A 参考答案：B 20、B:kA:k-1C:1 D:k+1做题结果：A 参考答案：B 21、行列式D如果按照第n列展开是【】A.,B.,C.,D.做题结果：A 参考答案：A22、关于n个方程的n元齐次线性方程组的克拉默法则，说法正确的是【】A:如果行列式不等于0，则方程组必有无穷多解B:如果行列式不等于0，则方程组只有零解C:如果行列式等于0，则方程组必有唯一解D:如果行列式等于0，则方程组必有零解做题结果：A 参考答案：B23、已知三阶行列D中的第二列元素依次为1、2、3，它们的余子式分别为-1、1、2，则D的值为。

【】A:-3B:-7C:3 D:7做题结果：A 参考答案：A24、A:0B:1C:-2 D:2做题结果：A 参考答案：C25、B:dA:abcdC:6 D:0做题结果：A 参考答案：D26、B:a≠0A:a≠2C:a≠2或a≠0 D:a≠2且a≠0做题结果：A 参考答案：D27、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B 28、A:-2|A|B:16|A|C:2|A| D:|A|做题结果：A 参考答案：B29、下面结论正确的是【】A:含有零元素的矩阵是零矩阵B:零矩阵都是方阵C:所有元素都是零的矩阵是零矩阵D:若A，B都是零矩阵，则A=B做题结果：A 参考答案：C30、设A是n阶方程，λ为实数，下列各式成立的是【】C.,D.做题结果：C 参考答案：C31、A.,B.,C.,D.做题结果：B 参考答案：B32、设A是4×5矩阵，r（A）=3，则▁▁▁▁▁。

《线性代数》公式大全

《线性代数》公式大全1.向量1.1向量的加法和减法v1=(x1,y1,z1)v2=(x2,y2,z2)v1+v2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)v1-v2=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)1.2向量的数量乘法v=(x,y,z),k是一个实数kv = (kx, ky, kz)1.3向量的点积v1·v2=x1x2+y1y2+z1z21.4向量的模长v，=√(x^2+y^2+z^2)2.矩阵2.1矩阵的加法和减法A = (aij),B = (bij)是两个m x n矩阵A +B = (aij + bij)A -B = (aij - bij)2.2矩阵的数量乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，k是一个实数kA = (kaij)2.3矩阵的乘法A = (aij)是一个m x n矩阵，B = (bij)是一个n x p矩阵AB = (cij)是一个m x p矩阵，其中cij = a1j*b1i + a2j*b2i+ ... + anj*bni2.4矩阵的转置A = (aij)是一个m x n矩阵A的转置为A^T = (aij)^T = (aji)2.5矩阵的逆A为可逆矩阵，A^-1为其逆矩阵，满足AA^-1=A^-1A=I，其中I为单位矩阵3.行列式3.1二阶行列式D=，abc d， = ad - b3.2三阶行列式D=，abcdeg h i， = aeI + bfG + cdH - ceG - afH - bd3.3n阶行列式D=，a11a12 (1)a21a22...a2...........an1 an2 ... ann， = (-1)^(i+j)*Mij，其中Mij为aij的代数余子4.线性方程组4.1齐次线性方程组Ax=0，其中A为一个mxn矩阵4.2非齐次线性方程组Ax=b，其中A为一个mxn矩阵，x为一个n维列向量，b为一个m维列向量4.3线性方程组的解法4.3.1矩阵消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组转化为行阶梯形或最简形4.3.2克拉默法则Ax = b的解可以表示为x = (Dx1/D, Dx2/D, ..., Dxn/D)，其中D 为系数矩阵A的行列式，Di为将第i列的系数替换为b后的行列式4.3.3矩阵求逆法若A为可逆矩阵，则Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b以上是线性代数的一些重要公式，通过理解和掌握这些公式，可以帮助我们解决线性代数相关的问题和应用。

《线性代数》课后习题答案

第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

线性代数试题4参考答案与评分标准

数学系07级专科统计实务专业《线性代数》（D ）期末考试试卷参考答案一、选择题(每题 3 分,共计15 分)1.当k 为何值时，22000.111kk＝－( D )(A) －1或０ (B) 1或－1(C)0或１ (D) 0或22.设11121n 21222n n1n2nnD=a a a a a a a a a ，则下列式子中正确的是。

( D )（A ）1122A +A ++A =0i i i i in in a a a (B) 1122A +A ++A =D i i i i in ni a a a (C) 1122A +A ++A =0j j j j nj nj a a a (D) 1122A +A ++A =D j j j j nj nj a a a3. 设n 阶方阵A 的行列式为det A ,则2A 的行列式为( B )(A) 2det A(B) n2det A(C) 2det A -(D) 4det A － 4.若A ，B 为n 阶矩阵，则正确的是( D )(A) （A ＋B ）（A －B ）＝A 2－B 2(B) A （B －C ）＝O ，且A ≠O ，必有B ＝C (C) （A －B ）2＝A 2－2AB ＋B 2 (D) det(A T B)＝detAdetB5.设A 为任意矩阵，则下列一定不成为对称矩阵的是( C ) (A) A ＋A T (B) AA T (C) A T AA T(D)（A ＋A T ）T二、判断题(每题3 分,共计 15 分)6. 12413513187487=⋅( × )7. 349352571=471214914－( × )8．n 阶矩阵A 为零矩阵的充分必要条件是detA ＝0。

( × ) 9．对方阵A ，B ，有det(A －B)＝detA －detB. ( × ) 10.若方程个数与未知量个数相等，且系数行列式0∆≠，则方程组一定有解 ( √ )三、填空题(每题 4 分,共计 20 分)11．111213212223313233(1)a a a a a a a a a ②＋③－111213213122322333313233a a a a a a a a a a a a －－－ 12.3465200 72101000a a -中的代数余子式＝2+3345(1)720=10100－－－13.设A ＝124013⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－，B ＝120311⎛⎫ ⎪⎝⎭－－，则(A －B T )T ＝221112⎛⎫⎪⎝⎭－－14．若方阵A 满足T A =A，则称A 为对称矩阵。

《线性代数》知识点归纳整理

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式 ............................................................................................................................................. - 2 -02、主对角线 ................................................................................................................................................................. - 2 -03、转置行列式 ............................................................................................................................................................. - 2 -04、行列式的性质 ......................................................................................................................................................... - 3 -05、计算行列式 ............................................................................................................................................................. - 3 -06、矩阵中未写出的元素 ............................................................................................................................................. - 4 -07、几类特殊的方阵 ..................................................................................................................................................... - 4 -08、矩阵的运算规则 ..................................................................................................................................................... - 4 -09、矩阵多项式 ............................................................................................................................................................. - 6 -10、对称矩阵 ................................................................................................................................................................. - 6 -11、矩阵的分块 ............................................................................................................................................................. - 6 -12、矩阵的初等变换 ..................................................................................................................................................... - 6 -13、矩阵等价 ................................................................................................................................................................. - 6 -14、初等矩阵 ................................................................................................................................................................. - 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵 ......................................................................................................................... - 7 -16、逆矩阵 ..................................................................................................................................................................... - 7 -17、充分性与必要性的证明题 ..................................................................................................................................... - 8 -18、伴随矩阵 ................................................................................................................................................................. - 8 -19、矩阵的标准形： ..................................................................................................................................................... - 9 -20、矩阵的秩： ............................................................................................................................................................. - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 ................................................................................................................................. - 9 -22、线性方程组概念 ................................................................................................................................................... - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）........................................................................................ - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念 ....................................................................................................... - 11 -25、线性方程组的向量形式 ....................................................................................................................................... - 11 -26、线性相关与线性无关的概念 ......................................................................................................................... - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关.............................................................................................. - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题...................................... - 12 -29、线性表示与线性组合的概念 ......................................................................................................................... - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................................................... - 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理 ....................................................................................................... - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 ........................................................................................................................... - 12 -33、线性方程组解的结构 ........................................................................................................................................... - 12 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

线性代数公式大全

线性代数基本运算①A B B A +=+②()()C B A C B A ++=++③()cB cA B A c +=+ ()dA cA A d c +=+ ④()()A cd dA c =⑤00=⇔=c cA 或0=A 。

()A ATT =()TTTB A B A ±=±()()T TA c cA =。

()TTTA B AB =()()()212112−==−n n C n n n τ n n A a A a A a D 2222222121+++=转置值不变A A T=逆值变AA11=− A c cA n =γβαγβαγββα,,,,,,2121+=+()321,,ααα=A ，3阶矩阵 ()321,,βββ=B B A B A +≠+()332211,,βαβαβα+++=+B A332211,,βαβαβα+++=+B AD11-2 线性代数公式大全 1.5元B A BA B A =∗=∗00 ()()1,=c j i E有关乘法的基本运算nj in j i j i ij b a b a b a C +++= 2211 线性性质 ()B A B A B A A 2121+=+， ()2121AB AB B B A +=+ ()()()cB A AB c B cA == 结合律 ()()BC A C AB = ()TTTA B AB =B A AB =lk lkA A A +=()kl lk A A=()kkkB A AB =不一定成立！A AE =，A EA =()kA kE A =，()kA A kE = E BA E AB =⇔=与数的乘法的不同之处()kkkB A AB =不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A 的每个多项式可以因式分解，例如 ()()E A E A E A A +−=−−3322无消去律（矩阵和矩阵相乘）当0=AB 时0=⇒/A 或0=B 由0≠A 和00=⇒/=B AB由0≠A 时C B AC AB =⇒/=（无左消去律）特别的设A 可逆，则A 有消去律。

线性代数题库及答案

《线性代数》题库及答案(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《线性代数》题库及答案一、选择题1．如果D=333231232221131211a a a a a a a a a ，则行列式33323123222113121196364232a a a a a a a a a 的值应为： A ． 6D B ．12D C ．24D D ．36D 2．设A 为n 阶方阵，R （A ）=r<n,那么：A ．A 的解不可逆B ．0=A中所有r 阶子式全不为零 D. A 中没有不等于零的r 阶子式 3．设n 阶方阵A 与B 相似，那么：A ．存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1 B ．存在对角阵D ，使A 与B 都相似于DC ．E B E A λλ-=-D ．B A ≠4．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则131211332332223121333231323232a a a a a a a a a a a a ---等于A ． 6B ． -9C ．-3D ．-6 5．设矩阵n m ij a A ⨯=)(，m<n,且R （A ）=r,那么：A ．r<mB ．r<nC ．A 中r 阶子式不为零D ．A 的标准型为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0E ，其中E 为r 阶单位阵。

6．A 为n 阶可逆矩阵，λ是A 的一个特征根，则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是：A ．nA1-λ B ．A λ C ．A 1-λ D ．nA λ7．如果⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=++050403z y kx z y z ky x 有非零解，则k 应为：____________。

A ． k =0B ． k =1C ． k =2D ． k =-28．设A 是n 阶方阵，3≥n 且2)(-=n A R ，*A 是A 的伴随阵，那么：___________。

线性代数复习

三、向量 1、定义： α = ( a1 , a 2 ,L a n ) 、
2、运算及运算律：α 、
(行、列、零、负向量行向量)
±β
kα α T β = [α , β ]
3、线性关系：组合、相关、无关。、组合、相关、无关。
4、相关性的判别：、
1) 定义与数线性组合为零向量时，系数不全为零。与数线性组合为零向量时，系数不全为零。向量个数 2) 构成矩阵 A = (α 1α 2 Lα s ) r ( A) < s (向量个数 ) 3) 个数维数时个数=维数时
A −1 =
(AB = BA = E)
A ≠0
a
−1
二阶(三阶二阶三阶) 三阶
1 * A A
r
1 = a
A* = ( Aij )T
三阶,三阶以上三阶三阶以上 ( A, E ) → L → ( E , A−1 )
5、矩阵的秩：、定义： A中不为 0 的子式的最高阶数定义：中不为求法：求法：求各阶子式的值初等变换化为标准形D，中数中数1的个数初等变换化为标准形，D中数的个数初等变换化为阶梯形B，中非零行的行数初等变换化为阶梯形，B中非零行的行数 6、分块矩阵的运算规律与技巧：、分块三角阵，分块对角阵分块三角阵，
n
i
= A
对角化的充要条件：有对角化的充要条件：A有n 个线性无关的特征向量熟练掌握：求可逆阵，使方阵对角化的方法。熟练掌握：求可逆阵P，使方阵对角化的方法。
3、实对称阵A 必能找到正交矩阵使UTAU＝Λ 、实对称阵必能找到正交矩阵U,使＝掌握求此正交阵的方法。掌握求此正交阵的方法。向量的正交化和单位化

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2．已知向量、正交， || || 3 ， || || 4 , 则 || ||
1 x 1 1 1 x
2
1 1 1 1
3．已知 D
1 1 1
1 1 1
，则 D 中 x 的系数是
。
草
稿
纸
4． A 是 3 阶方阵， | A | 2 ，则 | (| 2 A | A ) | 5． A 3b
应试人声明：我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。应试人题号得分一应试人学号二三四应试人所在院系五六七八
1 二、已知 A 2 0
3 1 0
3 页
( 共
4 页 )
六、二次型
,
（1）求与二次型对应的实对称矩阵A；（5分）（2）判定此二次型是否为正定二次型，并说明理由。（5分）
草
稿
纸
x1 x 2 x 3 x 4 1 七、设线性方程组 4 x 1 3 x 2 5 x 3 x 4 1 有3个线性无关的解，（1）证明系数矩阵 ax x 3 x bx 1 2 3 4 1
1 6．设 A 2 3
。
1 1
a
2b ，有一个特征值为 a
0 2 4 0 * 1 0 , 则( A ) 5
1，对应的特征向量为
，则 a= 的子空间 V { ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) | x1 x 2 x 3 x 4 0} 的维数为一组基为。
0 0 2
，AB=A+3B，求矩阵 B。（10 分）
一.
填空题(每小题 3 分,满分 30 分)
3 维列向量， A ( 1 , 2 , 3 ), 且 |A|=1 ，则。。
1 ．设 1 , 2 , 3 是
B | ( 2 1 3 , 2 , 3 ) | =
，
第
2页
( 共 4 页 )
三、计算行列式的值（10 分）
1 1 5 2 2 2 3 3 2 4 2 3 3 2 1 10
五．设 V 是次数不超过 3 的实多项式全体构成的实数域上的线性空间。 A : 1, x , x 2 , x 3 和
B : 1, 1 x , 1 x x , 1 x x x
2 2 3
是 V 的两组基。
（1）求基 A 到基 B 的过渡矩阵；分）（5 （2）求 f ( x ) a bx cx 2 dx 3 ，使得 f(x)在这两组基下的坐标相同。分）（5
四、设向量组 1 (1, 2, 3, 4 ) T ， 2 ( 2, 3, 4, 5) T ， 3 (3, 4, 5, 6 ) T ， 4 ( 4, 5, 6 ,7 ) T 。求
1 , 2 , 3 , 4 也是 AX=0 的一个基础解系。（10 分）
草
稿
纸
A的秩为2；（2）求a、b的值及该方程的通解。（10分）
第 4 页
( 共
4 页 )
八、设 1 , 2 , 3 , 4 为线性方程组 AX=0 的一个基础解系，若 1 1 t 2 ，
2 2 t 3 ， 3 3 t 4 ， 4 4 t 1 ，讨论实数 t 满足什么条件时，
草
由该向量组生成的向量空间 L L ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 的维数及一组基，并求这些向量中的其余向量在这组基下的坐标。（10 分）
稿
纸
第
1 f ( x1 , x 2 , x 3 ) ( x1 , x 2 , x 3 ) 0 0 0 1 1 0 x1 3 x 2 1 x 3
第
1页
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5 8． A 4 6 2 x 4 3 4 4 1 相似于对角阵 0 0 0 2 0 0 0 3
成
上海大学课程名：
2010～2011 学年秋季学期试卷
绩
，则 x
。
线性代数（D）课程号： 01014061 学分： 4