【初三数学专题】相似三角形中的相似模型(二)
1.2 怎样判定三角形相似(2)
初三数学 1.2 怎样判定三角形相似（2）导学案
一、知识回顾
1、相似三角形的定义.
2、定义即判定（用几何语言进行描述）
3、全等与相似比较
二、实验与探究
任意画⊿ABC,然后再作一个⊿AˊBˊCˊ,使∠A=∠Aˊ,∠B=∠Bˊ,观察这两个三角形，它们的形状相同吗？你会怎样描述你的发现呢？数学猜想：
探索论证：
已知：
求证：
证明：
三角形相似判定定理1：用数学语言描述为：
三基础演练
1、下列图形中两个三角形是否相似？
2. 如果两个等腰三角形有一对底角对应相等那么它们是否一定相似?有一对顶角对应相等呢?
3. 有一个角等于300的两个等腰三角形是否相似?等于1200呢?
例题变式1
如图，已知在△ABC中，AB =AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF =∠B。
求证：△BDE ∽△
CFD.
例题变式2
已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °
求证：AD·AB= AE·AC
四、课堂小结
五、课堂作业P21 练习3题4题。
24.5相似三角形性质2
式，并写出定义域；
(2)若点D是BC的中点，图中有几 对相似的三角形？
40 60
x 24
答：正方形DEFG的边长为24.
变式训练：1、已知：如图，矩形DEFG内接 于△ABC，D，E在BC上，F，G分别在AC，AB 上，且DE＝2EF，BC＝21mm，△ABC的高AH ＝14mm.求矩形的面积.
AK GF
AH BC
14-x
14 x 2x 14 21
例5 已知：如图1，在△ABC中，DE∥FG∥BC，记 S△ADE＝S1， S梯形DFGE＝S2，S梯形FBCG=S3. ①若DE∶FG∶BC＝1∶2∶4，
求 AD∶DF∶FB， S1∶S2∶S3； ②若S1∶S2∶S3＝1∶3∶5，求AD∶DF∶FB. ，
S1
s1 ( DE )2 1 s1 s2 FG 4
S2
s1
( DE )2 1
S3
s1 s2 s3 BC 9
相似三角形判定应用—基本图形拓展
A
4、如图，△ABC中，D是BC上的点，
AB=AC=5，BC=6，∠B=∠ADF.
F
(1)若BD=2，求FC的长；
(2)若D是BC边上的一动点，设 B
D
C
BD=x,AF=y，求y关于x的函数解析
x
40-x
BC=60 AH=40
x
40-x
解 设：GF=x，∵四边形DEFG是正方形 ∴ GF∥BC
∴ △AGF∽△ABC，又∵AK⊥GF，AH⊥BC ∴ AK GF
AH BC
∵四边形DEFG是正方形 ，AH⊥BC
∴ KH=EF=x，∴AK=40-x，又∵AH=40，BC=60
40 x x
27.2.3相似三角形的应用举例(2)
∵人、标杆和旗杆都垂直于地面， ∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°， ∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF∥CN，∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，
∴
AM AN
EM CN
.
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆
与人的身高的差EM都已测量出，
C
D
A
P
Q
B
五、课堂小结
谈谈你在本节课的收获.
六、布置作业
1.必做题： 教材第43-44页习题
3.备选题：
一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该 单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程.请你为 警方设计一个方案，估计该盗窃犯的大致身高.
∴能求出CN.
∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，
∴四边形ABND为矩形． ∴DN＝AB. ∴能求出旗杆CD的长度．
8.为了测量路灯（OS）的高度,把一根长1.5米的 竹竿（AB）竖直立在水平地面上,测得竹竿的 影子（BC）长为1米,然后拿竹竿向远离路灯方 向走了4米（BB‘）,再把竹竿竖立在地面上, 测 得竹竿的影长（B‘C‘）为1.8米,求路灯离地面的 高度.
方法一：利用阳光下的影子
操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处, 测出该同学的影长和此时旗杆的影长．
点拨：把太阳的光线看成是平行的.
∵太阳的光线是平行的， ∴AE∥CB，
∴∠AEB＝∠CBD.
∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE＝∠CDB，
∴△ABE∽△CBD.
∴
AB BE CD BD
.即CD=
S
hA
A'
O BC
B'
C'
初中数学相似6大模型问题(完整可编辑)
已知N1=N2 结论：AADE S AABC模型浅析如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A 型或8型相似.在做题使，我们也常常关注题 目由平行线所产生的相似三角形.模型题源【例1】如图，在ABC 中，中线AF 、BD 、CE 相交于点。
，求证:模型1: 4、 8模型相似模型OF _OE OD \加一五一下一5DE 1证法一：如图①，连接。
£七是中点，，——=一.，DE//BCBC 2OF DF 1OF I•••△EODsacoB（8 模型）.••& = &!=2.同理：—=1OC BC 2 OA 2• OF _OE _OD _1GF BF 1 证法二：如图②，过尸作"V/AC 交8。
于点G, ••加是中点，； ------ =——=-AD BC 2QF 1•；AD=CD,:.——=一・•:FG"AD, •二△G 。
/（8 模型）AD 2OF GF 1 lXi OE 1 OD 1 . OF OE OD 1 OAAD 2 OC2OB2 OAOCOB2【例2】如图，点从厂分别在菱形A8C 。
的边AB 、AO 上，且AE=O 凡BF 交DE 于点、G,延长斯交C 。
的延长AF 线于H,若——=2,DF••市一无一方一天图②求器的值.解答：:四边形A8CQ是菱形，：.AB^=BC=CD=AD.设。
/=小则OF=AE=a, AF=EB=2a. 9：HD//AB, MHFDsABFAHD DF ■ —AB AF HFFB1=一,••HD = 1.5a, 2FHBH1=-93：.FH1= -BH 3■:HD”EB,：.△DGHs NGB,：-------- =GBHDEB\.5a2a_3=-9 4.BGHB4-7练习:1 .如图，D 、上分别是△ABC 的边AB 、8C 上的点，且DE 〃AC, AE,。
相交于点0,若S ：： S^COA =1： 25.则 S/.BD E 与Szxc 的比是.DE 1解答：VDE//AC, AADOE^ACOA,又 S SOE ： S^COA = 1： 25,； -------- -AC 52 .如图所示，在248CO 中，G 是8c 延长线上的一点，AG 与BD 交于点、E,与OC 交于点F,此图中的相似三 角形共有对.解：：四边形ABCD 是平行四边形，，AD 〃BC, AB//CD，(1) AABD^ACDB ： (2) AABE^AFDE ； (3) A AED ^A GEB ：(4) AABG^AFCG^AFDA,可以组成3对相似三角形.，图形中一共有6对相似三角形.3.如图，在aABC 中，中线8。
专题07 相似三角形的五种模型(老师版)
专题07 相似三角形的五种模型相似三角形考查范围广，综合性强，其模型种类多，其中有关一线三垂直模型在前面的专题已经很详细的讲解，这里就不在重复。
模型一、A 字型A 字型（平行） 反A 字型（不平行）例.如图，在中，点分别在上，且．（1）求证：；（2）若点在上，与交于点，求证：．【答案】见解析【详解】解：（1）在△AEF 和△ABC 中，∵，，∴△AEF ∽△ABC ；（2）∵△AEF ∽△ABC ，∴∠AEF =∠ABC ，∴EF ∥BC ，∴△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ，∴,，∴．【变式训练1】已知：如图，点D ，F 在△ABC 边AC 上，点E 在边BC 上，且DE ∥AB ，CD 2＝CF •CA ．（1）求证：EF ∥BD ；（2）如果AC •CF ＝BC •CE ，求证：BD 2＝DE •BA ．ABC ∆,E F ,AB AC AE ABAF AC=AEF ABC ∆∆:D BC AD EF G EG FGBD CD=EAF BAC ∠=∠AE ABAF AC=EG AG BD AD =FG AGCD AD =EG FG BD CD=【答案】见解析【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC =CECB，∵CD2＝CF•CA．∴CDAC =CFCD，∴CFCD=CECB，∴EF∥BD；（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∵AC•CF＝BC•CE，∴ACBC =CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD =BDDE∴BD2＝BA•DE【变式训练2】如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．（1）求CE的长．（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ =PEQC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．【答案】（1）6；（2）见解析【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD=AEAE+EC，∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．（2）结论正确，理由如下，在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ =APAQ，同理可得：EPCQ=APAQ，∴DPBQ=EPCQ【变式训练3】如图，在中，，，，平分，交边于点，过点作的平行线，交边于点．（1）求线段的长；（2）取线段的中点，联结，交线段于点，延长线段交边于点，求的值．【答案】（1）4；（2）【解析】解：（1）∵平分，，∴．在中，，，，∴．在中，，，，∴．∴．∵，∴∴．∴．（3）∵点是线段的中点，∴．∵，∴∴．∴．∵，∴∴∴．模型二、8字型与反8字型相似Rt ABC∆90ACB∠=︒60BAC∠=︒6AC=AD BAC∠BC D D CA AB E DE AD MBM DE F BM AC GEFDF23EFDF=AD BAC∠60BAC∠=︒30DAC∠=︒Rt ACD∆90ACD∠=︒30DAC∠=︒6AC=CD=Rt ACB∆90ACB∠=︒60BAC∠=︒6AC=BC=BD BC CD=-=//DE CA BDE BCAV V∽23DE BDCA BC==4DE=M ADDM AM=//DE CA DFM AGM△∽△DF DMAG AM=DF AG=//DE CA BEF BAG△∽△23EF BE BDAG BA BC===23EFDF=例.如图，已知在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，点D 在BE 延长线上，且BA •BC ＝BD •BE ．（1）求证：△ABD ∽△EBC ；（2）求证：AD 2＝BD •DE ．【答案】见解析【解答】证明：（1）∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBC ，∵BA •BC ＝BD •BE ．即ABBC =BDBE ，∴△ABD ∽△EBC ；（2）∵△ABD ∽△EBC ，∴∠BAD ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠BCE ，∵∠AED ＝∠BEC ，∴∠BAD ＝∠AED ，∴△ADE ∽△BEC ，∴△AED ∽△ABD ，∴ADBD =DEAD ，即AD 2＝BD •DE ．【变式训练1】如图，AD 与BC 交于点O ，EF 过点O ，交AB 与点E ，交CD 与点F ，BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．（1）求证：∠A ＝∠D ．（2）若AE ＝BE ，求证：CF ＝DF ．【答案】【解析】证明：（1）∵BO ＝1，CO ＝3，AO =32，DO =92．∴OBOC =AODO ，∵∠AOB ＝∠COD ，∴△OAB ∽△ODC ，∴∠A ＝∠D ．（2）∵∠A ＝∠D ，∴AB ∥CD ，∴AEDF =OEOF ，BECF =OEOF ，∴AEDF =BECF ．∵AE ＝BE ，∴CF ＝DF ．【变式训练2】如图，AG ∥BD ，AF ：FB ＝1：2，BC ：CD ＝2：1，求GEED 的值【答案】32【解析】∵AG ∥BD ，∴△AFG ∽△BFD ，∴AGBD =AFBF =12，∵BCCD =2，∴CD =13BD ，∴AGCD =32，∵AG ∥BD ，∴△AEG ∽△CED ，∴GEED =AGCD =32．【变式训练3】如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q ．（1）求证：△PCQ ∽△RDQ ；（2）求BP ：PQ ：QR 的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】解：（1）∵，∴．又∵．∴．（2）∵四边形和四边形都是平行四边形，∴，．∴，．又∵点是中点，∴．由（1）知，∴，∴．又∵，∴．模型三、AX 型（A 字型及X 字型两者相结合）例.如图，△ABC 中，D ．E 分别是AB 、AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE ．（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若DF ＝2，求FC 的长度．【答案】见解析【解答】（1）证明：∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴ADAB =AEAC =13，又∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ；:3:1:2BP PQ QR =PC DR ∥PCQ RDQ ∠=∠PQC RQD ∠=∠PCQ RDQ △∽△ABCD ACED BC AD CE ==//AC DE PB PR =12PC RE =R DE DR RE =PCQ RDQ △∽△12PQ PC PC QR DR RE ===2QR PQ =3BP PR PQ QR PQ ==+=::3:1:2BP PQ QR =（2）解：∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC =AD AB =13，∠ADE ＝∠ABC ，∴DE ∥BC ，∴△DEF ∽△CBF ，∴DFCF =DECB ，即2CF =13，∴FC ＝6．【变式训练1】如图，在菱形ABCD 中，∠ADE 、∠CDF 分别交BC 、AB 于点E 、F ，DF 交对角线AC 于点M ，且∠ADE ＝∠CDF ．（1）求证：CE ＝AF ；（2）连接ME，若＝，AF ＝2，求的长．【解析】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠DAF ＝∠DCE ，又∵∠ADE ＝∠CDF ，∴∠ADE ﹣∠EDF ＝∠CDF ﹣∠EDF ，∴∠ADF ＝∠CDE ，在△ADF和△CDE 中，，∴△ADF ≌△CDE ，∴CE ＝AF ．（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，由（1）得：CE ＝AF ＝2，∴BE ＝BF ，设BE ＝BF ＝x ，∵＝，AF ＝2，∴，解得x ，∴BE ＝BF ，∵＝，且CE ＝AF ，∴＝＝，∵∠CMD ＝∠AMF ，∠DCM ＝∠AMF ，∴△AMF ∽△CMD ，∴，∴，且∠ACB ＝∠ACB,∴△ABC ～△MEC, ∴∠CAB ＝∠CME=∠ACB ，∴ME=CE=2．【变式训练2】如图，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点E ，点F 在线段BC 上，AB CD =12，BF CF =12．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ．【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴ABCD =BEED =12，CE BE CDCEME ADF CDF AD CD DAF DCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩CE BE CD CE 222x x +=11CE BE CD CE CE BE CD CE CDAFCD CMAF AM=CD CM CEAF AM BE==∵BF CF =12，∴BE ED =BFFC ，∴EF ∥CD ，∴AB ∥EF ．（2）设△ABE 的面积为m ．∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△CDE ，∴S △ABES △EDC =（ABCD ）2=14，∴S △CDE ＝4m ，∵AECE =ABCD =12，∴S △BEC ＝2m ，∴S △ABE ：S △EBC ：S △ECD ＝m ：2m ：4m ＝1：2：4．【变式训练3】如图：AD ∥EG ∥BC ，EG 交DB 于点F ，已知AD ＝6，BC ＝8，AE ＝6，EF ＝2．（1）求EB 的长；（2）求FG 的长．【答案】见解析【解答】解：（1）∵EG ∥AD ，∴△BAD ∽△BEF ，∴BEBA =EFAD ，即BE BE+6=26，∴EB ＝3．（2）∵EG ∥∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EGBC =AEAB ，即EG8=66+3，∴EG =163，∴FG ＝EG ﹣EF=103．模型四、共边角模型（子母型）例.在中，，垂足为，求的长【答案】4【解析】∵，∴，∴，∵，∴，∴，Rt ABC V 90,ACB CD AB ∠=︒⊥,8,2D AD DB ==CD CD AB ⊥90ADC CDB ∠=∠=︒90ACD A ∠+∠=︒90ACB ∠=︒90ACD BCD ∠+∠=︒A BCD ∠=∠∴，∴，∴，∴．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，ADAB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵ADAB =12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =5a ，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC ∴a 2＝CE •5a ，4a 2＝AE •5a ，∴CE =5a5，AE=45a5，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CEAE ）2=116，故选：A ．【变式训练2】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3：13D ．2：13．【答案】B【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°，∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ，∴ACBC =CDBD =64=32∴BCAC =23，故选：B ．【变式训练3】如图，在△ABC 中，AB=AC ，点P 、D 分别是BC 、AC 边上的点，且∠APD=∠B,（1）求证：AC•CD=CP •BP ；（2）若AB=10，BC=12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．【答案】见解析【解析】（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ．∵∠APD=∠B ，∴∠APD=∠B=∠C ．∵∠APC=∠BAP+∠B ，∠APC=∠APD+∠DPC ，∴∠BAP=∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，∴，∴AB•CD=CP•BP ．∵AB=AC ，∴AC•CD=CP•BP ；ADC CDB V V ∽CD ADBD CD=28216CD AD BD =⋅=⨯=4CD =BP ABCD CP=（2）∵PD ∥AB ，∴∠APD=∠BAP ．∵∠APD=∠C ，∴∠BAP=∠C ．∵∠B=∠B ，∴△BAP ∽△BCA，∴．∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．模型五、手拉手模型例.如图，在△ABC 与△ADE 中，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，连接BD 、CE ，若AC ：BC ＝3：4，则BD ：CE 为（ ）A ．5：3B ．4：3C ．5：2D ．2：3【答案】A【解析】∵∠ACB ＝∠AED ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ，∴△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，ACAB =AEAD ，∵∠BAC +∠BAE ＝∠DAE +∠BAE ，即∠CAE ＝∠BAD ，∵ACAB =AEAD ，∴△ACE ∽△ABD ，∴BDCE =AB AC ，∵AC ：BC ＝3：4，∠ACB ＝∠AED ＝90°，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5，∴BD ：CE ＝5：3，选A ．【变式训练1】如图，△ABC ∽△ADE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，AB 与DE 交于点O ，AB ＝4，AC ＝3，F 是DE 的中点，连接BD ，BF ，若点E 是射线CB 上的动点，下列结论：①△AOD ∽△FOB ，②△BOD ∽△EOA ，③∠FDB +∠FBE ＝90°，④BF =56AE ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．②③④【答案】D【解析】∵△ABC ∽△ADE ，∴∠ADO ＝∠OBE ，∵∠AOD ＝∠BOE ，∴△AOD ∽△EOB ，∴ODOB =OAOE ，∴ODOA =OBOE ，∵∠BOD ＝∠AOE ，∴△BOD ∽△EOA ，故②正确，BA BPBC BA=101210BP =253∵△AOD ∽△EOB ，△BOD ∽△EOA ，∴∠ADO ＝∠EBO ，∠AEO ＝∠DBO ，∵∠ADO +∠AEO ＝90°，∴∠DBE ＝∠DBO +∠EBO ＝90°，∵DF ＝EF ，∴FD ＝FB ＝FE ，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴∠FDB +∠FBE ＝∠FBD +∠FBE ＝90°，故③正确，在R t △ABC 中，∵AB ＝4，AC ＝3，∴BC =32+42=5，∵△ABC ∽△ADE ，∴DEAE =BCAC =53，∵BF =12DE ，∴2BFAE =53，∴BF =56AE ，故④正确，∵∠ADO ＝∠OBE ，∴∠ADO ≠∠OBF ，∴无法判断△AOD ∽△FOB ，故①错误．选D ．【变式训练2】已知：如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，点F 在DE 的延长线上，AD ＝AF ，AE •CE ＝DE •EF ．（1）求证：△ADE ∽△ACD ；（2）如果AE •BD ＝EF •AF ，求证：AB ＝AC ．【答案】见解析【解析】证明：（1）∵AD ＝AF ，∴∠ADF ＝∠F ，∵AE •CE ＝DE •EF ，∴AEDE =EFCE ，又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC ，∴∠F ＝∠C ，∴∠ADF ＝∠C ，又∵∠DAE ＝∠CAD ，∴△ADE ∽△ACD ．（3）∵AE •BD ＝EF •AF ，∴AEAF =EFBD ，∵AD ＝AF ，∴AEAD =EFBD ，∵∠AEF ＝∠EAD +∠ADE ，∠ADB ＝∠EAD +∠C ，∴∠AEF ＝∠ADB ，∴△AEF ∽△ADB ，∴∠F ＝∠B ，∴∠C ＝∠B ，∴AB ＝AC ．【变式训练3】已知，ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2α°，点D 为BC 边中点，连接AD ，点E 为线段AD 上一动点，把线段CE 绕点E 顺时针旋转2α°得到线段EF ，连接FG ，FD ．（1）如图1，当∠BAC ＝60°时，请直接写出的值；（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；V BFAE【答案】（1）1；（2）不成立，，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值＝sinα【解析】（1）连接BF，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等边三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．（2）不成立，结论：．证明：连接BF，∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．课后训练1.如图，在中，、分别是边、的中点，、分别交于点、，则图中阴影部分图形的面积与的面积之比为 A．B．C．D．【解答】B【解析】，是的中点，，，即，同理可得，，，，、分别是边、的中点，，，，AEBFDFDCBFAEAEBFACBCCECFAEBFACBCABCDY E F BC CD AE AF BD G HABCDY()7:127:2413:3613:72//BE AD E B∽∴∆∆BEG DAG∴BG12==BEDG DA13=BG BD13=DH BD13∴=GH BD1136四边形∆∆∴==AGH ABD ABCDS S SE F BC CD//∴EF BD12=EF BD∽∴∆∆CEF CBD，，图中阴影部分图形的面积，即图中阴影部分图形的面积与的面积之比为.2.如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AF FC 为（ ） A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：2【答案】D【解析】过D 作BF 的平行线，交AC 边于G ，如下图所示：∵D 为BC 中点，DG ∥BF ，∴∠CGD ＝∠CFB ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CDG ∽△CBF∴CG CF =CD CB =12，即：CG =12CF ＝FG又E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，DG ∥BF同理可得：△AEF ∽△ADG ，∴AE AD =AF AG =12，即：AF =12AG ＝FG∴AF ＝FG ＝GC ，∴AF FC =AF 2AF =12=1：2，选D ．3.如图平行四边形，为中点，延长至，使，连结交于点，则 ．【答案】2:9【解析】如图，连接∵四边形是平行四边形，，，为中点，，，，，，，∴211()24∆∆==CEF CBD S S 1148四边形∆∆∴==CEF BCD ABCD S S S ∴1176824四边形四边形⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ABCD ABCD S S Y ABCD 7:24=ABCD F BC AD E :1:3DE AD =EF DC G :DEG BGC S S ∆∆=BGABCD //∴AD BC =AD BC ∴∠=∠E CFG F BC 1122∴==FC BC AD :1:3= DE AD :1:3∴=DE BC :2:3∴=DE CF ∠=∠ E CFG ∠=∠DGE CGF ∽∴∆DGE CGF :4:9∆∆∴=DEG CFG S S为中点，，.4.如图，等边三角形ABC 中，AB ＝3，点D 是CB 延长线上一点，且BD ＝1，点E 在直线AC 上，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为 ．【分析】分两种情形分别画出图形，利用相似三角形的性质解决问题即可．【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝3，∴∠ABD ＝120°，①当点E 在边AC 上时．作EF ∥AB 交BC 于F ，如图1所示：则△EFC 是等边三角形．∴∠CFE ＝60°，EF ＝CF ＝CE ，∴∠BFE ＝120°＝∠ABD ，∵∠BAD ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△DFE ，∴AB BD =DF EF ，即31=DF EF ，∴DF ＝3EF ，∴DF ＝3CF ，∴CD ＝4CF ，∵BC ＝3，BD ＝1，∴CD ＝BC +BD ＝4，∴CF ＝1，∴CE ＝1，∴AE ＝AC ﹣CE ＝2；②点E 在AC 的延长线上时．如图2所示：∵∠ABD ＝∠DCE ＝120°，∠BAD ＝CDE ，∴△ABD ∽△DCE ，∴AB CD =BD CE ，即34=1CE ，解得：CE =43，∴AE ＝AC +CE ＝3+43=133；综上所述，当∠BAD ＝∠CDE 时，AE 的长为2或133；5.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，∠AED ＝∠B ，线段AG 分别交线段DE ，BC 于点F ，G ，且AD AC =DF CG ．（1）求证：△ADF ∽△ACG ；（2）若AD AC =37，求AF FG的值． F BC 2∆∆∴=BGC CFG S S :4:182:9∆∆∴==DEG BGC S S【解答】（1）证明：∵∠AED ＝∠B ，∠DAE ＝∠CAB ，∴△AED ∽△ABC ，∴∠ADF ＝∠C ，又∵AD AC =DF CG ，∴△ADF ∽△ACG ；（2）解：∵△ADF ∽△ACG ，∴AD AC =AF AG ，∵AD AC =37，∴AF AG =37，∴AF FG =34．6.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE 并延长，交对角线BD 于点F 、DC 的延长线于点G ．如果CE BE =23，求FE EG 的值．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ．∵AD ∥BE ，∴△BEF ∽△DAF ，∴EF AF =BE DA ．又∵BC ＝BE +CE ，CE BE =23，∴BE =35BC =35DA ，∴EF =35AF ，∴AE =3+53EF =83EF ．∵CE ∥AD ，△CEG ∽DAG ，∴GE GA =CE DA =22+3，∴GE =25GA ，∴GE =25−2AE =23×83EF =169EF ，∴FE EG =916．7．已知中，，（如图）．以线段为边向外作等边三角形，点是线段的中点，连接并延长交线段于点．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）连接，交于点．①若，求的长；②作，垂足为，求证：．【解析】（1）∵是等边三角形 ∴，在中，∴∵点是线段的中点∴∴是等边三角形∴，∴∴∴∴四边形为平行四边形；（2）①如图，连接，交于点 ∵∴∴Rt ABC V 90ACB ∠=︒30CAB ∠=︒AB ABD E AB CE AD F BCFD CD AB M 6AB =BM MN AC ⊥N 111BC AD MN+=ABD △AD AB BD ==60BAD ABD D ∠=∠=∠=︒Rt ABC V 30CAB ∠=︒60ABC ∠=︒E AB 12CE BE AE AB ===BCE V 60CEB CBE ABC ∠=∠=∠=︒BC CE =60ABD CEB ∠=∠=︒//CF BD606060180CBD D CBE ABD D ∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒//BC FD BCFD CD AB M //BC FD BCM ADM ~V V BM BC AM AD=∵，∴ ∵∴；②如图，作，垂足为∵，，∴∴，∴，∴ ∴．8.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）AE【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，；，，，；（2）解：∵四边形是平行四边形，，，．，，．在中，，，，9.如图1，在矩形中，于点．（1）求证：；（2）如图2，若点是边上一点，且．求证：．【答案】（1）见解析；（1）见解析12BC CE AB ==AB AD =12BM BC AM AD ==6AB BM AM =+=123BM AB ==MN AC ⊥N90ACB ∠=︒306090CAD BAC BAD ∠=∠+∠=︒+︒=︒MN AC⊥////BC MN DA AMN ABC V :V C CMN DA ~V V MN AN BC AC =MN CN DA CA=1MN MN AN CN AN CN AC BC DA AC CA AC AC ++=+===111BC AD MN+=ABCD A AE BC ⊥E DE F DE AFE B ∠=∠ADF DEC ∆∆∽8AB =AD =AF =AE ABCD //∴AD BC //AB CD ∴∠=∠ADF CED 180∠+∠=︒B C 180∠+∠=︒ AFE AFD ∠=∠AFE B ∴∠=∠AFD C ∽∴∆∆ADF DEC ABCD 8∴==DC AB ∽∆∆ ADF DEC ∴=AD AFDE DC =12∴=DE // AD BC ⊥AE BC ∴⊥AE AD Rt ADE ∆90∠=︒EAD 12=DE =AD ∴===AE ABCD AE BD ⊥E BE BC AE CD =g g P AD PE EC ⊥AE AB DE AP =g g【详解】证明：∵在矩形中，，，，，，，，，，，；（2）证明：，，，，，，，，，，.10.已知，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，若，的值．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）四边形是正方形，，，又，，又，，，在和中，，，；（2）过点作，设，，如图2所示：ABCD =AB CD =AD BC 90∠=︒BAD ⊥ AE BD 90∴∠=∠=︒AEB AED ∴∠+∠=∠+∠BAE ABE BAE EAD ∴∠=∠ABE DAE ∽∴∆∆ABE DAE ∴=AB BE AD AE ∴=CD BE BC AE∴=g g BE BC AE CD ⊥ AE BD ⊥PE EC 90∴∠=∠=︒AED PEC ∴∠=∠AEP DEC 90∠+∠=︒ EAD ADE 90∠+∠=︒ADE CDE ∴∠=∠EAP EDC ∽∴∆∆AEP DEC ∴=AE AP DE CD= AB CD ∴=g g AE AB DE AP ABCD E BC DE B BF DE ⊥F BF CD G CG CE =BD BE =DG =cos DBG ∠cos ∠=DBG ABCD ∴=BC DC 90∠=∠=︒BCG DCE ⊥ BF DE 90∴∠=︒GFD 180∠+∠+∠=︒ GBC BGC GCB 180∠+∠+∠=︒GFD FDG DGF ∠=∠BGC DGF ∆BGC ∆DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCG DCE BC DCCBG CDE ()∴∆≅∆BGC DEC ASA ∴=CG CE G ⊥GH BD =CE x =HD y，，又，，，，，，解得：，在中，由勾股定理得：，同理可得：，又，，在中，由勾股定理得：，= CG CE ∴=CG x =+ BE BC CE =+DC DG GC =BC DC =BE =DG ∴=+x x =x ∴=BC Rt BCD ∆6===BD 2=HD =+ BD BH HD 624∴=-=BH Rt HBG ∆===BG cos ∴∠===BH DBG BG。
【重点梳理】-初三数学-相似三角形的判定
要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，∽，
则说明点 A 的对应点是 A′，点 B 的对应点是 B′，点 C 的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为 1 时，两个三角形全等.
核心知识点二：相似三角形的判定定理
1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
\。
4.4相似三角形的性质及应用(2)
测量金字塔高度
D B
┐ C A
┐ E
例1
A
C B E
D
把一小镜子放在离树（ ） 米的点 米的点E处 把一小镜子放在离树（AB）8米的点 处，然后 沿着直线BE后退到点 后退到点D， 沿着直线 后退到点 ，这时恰好在镜子里看到树梢 顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高 顶点 ，再用皮尺量得 ， CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ 。这时树高多少？你能解决这个问题吗？
二 、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物 测量不能到达顶部的物体的高度 通常用“ 通常用 高与影长的比例” 高与影长的比例”的原理解决
三 、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解 测量不能到达两点间的距离 常构造相似三角形求解 解决实际问题时（ 测高、测距）， 解决实际问题时（如测高、测距）， 一般有以下步骤： 一般有以下步骤：①审题 ②构建图形 ③利用相似解决问题
A P B Q E N C
D M
课堂小结: 课堂小结
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面
1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的 测高 不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 不能直接使用皮尺或刻度尺量的 2 测距 不能直接测量的两点间的距离) 测距(不能直接测量的两点间的距离 不能直接测量的两点间的距离
O
练习
2.已知:梯形ABCD 2.已知:梯形ABCD 已知 ,AD∥ 中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm, AD=36,BC=60cm, 延长两腰BA,CD BA,CD交于点 延长两腰BA,CD交于点 O,OF⊥ O,OF⊥BC,交AD于 E,EF=32cm,则OF=_______. cm,则 cm,
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一: A 字型】 特征 模型 结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB C BDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD【相似模型二: X 型】 特征 模型 结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D ③ 顺着比, 交叉乘 ④ △BOC∽△DOA【相似模型三: 旋转相似】 特征 模型结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE ② △ABD∽△ACE【相似模型四: 三平行模型】 特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=【相似模型五: 半角模型】 特征模型 结论ECD BAA BDC EEDCBA90度, 45度； 120度, 60度 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六: 三角形内接矩形模型】 特征模型 结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H GFED C BA【相似模型七: 十字模型】 特征 模型结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE, 则AF=BE,②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中, CE ⊥BD, 则△CDE ∽△BCD,平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中, AB ＝AC,AB ⊥AC, ①D 为中点, ②AE ⊥BD, ③BE ：EC ＝2：1, ④∠ADB ＝∠CDE, ⑤∠AEB ＝∠CED,⑥∠BMC ＝135°, ⑦ , 这七个结论中, “知二得五”【A 型, X 型, 三平行模型】1.如图, 在△ABC 中, EF ∥DC, ∠AFE=∠B, AE=6, ED=3, AF=8, 则AC=_________, _________．F E DCBABCDE FA2. 如图, AB ∥CD, 线段BC, AD 相交于点F, 点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF=∠C, 其中AF=6, DF=3, CF=2, 则AE=_________.3.如图, 在Rt △ABD 中, 过点D 作CD ⊥BD, 垂足为D, 连接BC 交AD 于点E, 过点E 作EF ⊥BD 于点F, 若AB=15, CD=10, 则BF:FD=_____________.FEBCD AN MEDCBA4.如图, 在□ABCD中, E为BC的中点, 连接AE, AC, 分别交BD于M, N, 则BM:DN=_____________.5.如图所示, AB∥CD, AD, BC相交于点E, 过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；②；③；④．其中正确的有___________．F EDCBA图26.在△ABC中, AB=9, AC=6, 点M在边AB上, 且AM=3, 点N在AC边上.当AN= 时, △AMN与原三角形相似.7.如图, 在△ABC中, ∠C=90°, AC=8, BC=6, D是边AB的中点, 现有一点P位于边AC上, 使得△ADP与△ABC相似, 则线段AP的长为.8.如图, 已知O是坐标原点, 点A.B分别在轴上, OA=1, OB=2, 若点D在轴下方, 且使得△AOB与△OAD相似, 则这样的点D有个.9.如图, 在Rt△ACB中, ∠C=90°, AC=16cm, BC=8cm, 动点P从点C出发, 沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发, 沿BC方向运动,如果点P的运动速度均为4cm/s, Q点的运动速度均为2cm/s, 那么运动几秒时, △ABC与△PCQ相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠, 使点B落地边AC上, 记为点B＇, 折叠痕为EF, 已知AB=AC=8, BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似, 那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图, 四边形中, 平分, , , 为的中点.（1）求证: ；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若, , 求的值.13.如图, 在中, 为上一点, , , , 于, 连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形, 并证明．14.如图, 在中, , 分别是, 上的点, , 的平分线交于点, 交于点.（1）试写出图中所有的相似三角形, 并说明理由（2）若, 求的值．15.如图, 在平行四边形ABCD中, 对角线AC.BD交于点O. M为AD中点, 连接CM交BD于点N, 且ON=1.（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2, 求四边形ABNM的面积.16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB = _________.19.如图所示, AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则=__________.20.如图, 在矩形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, OE⊥BC于点E, 连接DE交OC于点F, 作FG⊥BC于点G, 则线段BG与GC的数量关系是___.21.如图, 已知点C为线段AB的中点, CD⊥AB且CD=AB=4, 连接AD, BE⊥AB, AE是∠DAB的平分线, 与DC相交于点F, EH⊥DC于点G, 交AD 于点H, 则HG的长为 .22.如图1, 在△ABC 中, 点D.E 、Q 分别在边AB.AC.BC 上, 且DE ∥BC, AQ 交DE 于点P. （1）求证: ；（2）如图, 在△ABC 中, ∠BAC=90°, 正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上, 连接AG 、AF, 分别交DE 于M 、N 两点. 如图2, 若AB=AC=1, 直接写出MN 的长；如图3, 求证MN2=DM【母子型】1.已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB=90°, CD ⊥AB 于D, S △ABC=20, AB=10。
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模型归纳：
已知，如图①②③中：∠B＝∠A C E＝∠D.
结论：△A B C∽△C D E
模型分析：
如图①，∵∠ACE＋∠DCE＝∠B＋∠A，又∵∠B＝∠ACE，∴∠DCE＝∠A．∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．
2.旋转相似模型
旋转相似又是啥意思呢？
哈哈哈哈哈哈
还是来看视频吧
模型归纳：
如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．结论：△ABD∽△ACE．
模型分析
同鞋们，上面的模型我们都学会识别的了吗？
下面我们一起进入模型应用哦！！！
典例精讲
相似模型——共线三等角模型的例题
相似模型——旋转模型的例题
专题讲解视频
好记性不如烂笔头，
快快整理笔记在笔记本上，
找题目练练哦！
题目已经给你们准备好啦
专题小练习
1．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD ＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（）
A．3B．4C．5D．6
2．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）
3.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，点E为AB的中
点，DE⊥CE．
（1）求证：△AED∽△BCE；
（2）若AD＝3，BC＝12，求线段DC的长．
4.如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，
∠CAE+∠CBE＝90°，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF．
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
5.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上
的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．。