高考文科数学练习题含解析高考常考的6大题型

课时跟踪检测（五十五） 题型上——全析高考常考的6大题型

1．(2019·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的A ，B 两点，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .

(1)求k 的取值范围；

(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q (2,0)． 解：(1)由题设可知k ≠0， 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2， 与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜12

.

直线n 的方程为y ＝－1

k x ＋2，与y 2＝4x 联立， 整理得y 2＋4ky －8k ＝0，

由Δ2＝16k 2＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2. 所以?????

k ≠0，k ＜12，

k ＞0或k ＜－2，

故k 的取值范围为(－∞，－2)∪????0，1

2. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．

由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2

k ，则M ????2k 2

－2k ，2k .同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )． 直线M Q 的斜率k M Q ＝2

k 2k 2－2k －2＝－k

k 2＋k －1，

直线N Q 的斜率k N Q ＝

－2k 2k 2＋2k －2＝－k

k 2＋k －1＝k M

Q ，

所以直线MN 过定点Q (2,0)．

2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为

3

2

. (1)求椭圆C 的方程；

(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆

C 于不同的两点M ，N ，过点

D 作AM 的垂线交BN 于点

E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为45

.

解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，

由题意得????

?

a ＝2，c a ＝3

2，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)证明：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2＜x 0＜2，所以k AM ＝y 0

x 0＋2，

因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0

y 0

， 所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0

y 0

(x －x 0)． 因为k BN ＝－

y 0

x 0－2

， 所以直线BN 的方程为y ＝－

y 0

x 0－2(x －2)． 由???

y ＝－

2＋x 0

y 0

(x －x 0)，y ＝－

y

0x 0

－2(x －2)，

解得E ????45

x 0＋25，－4

5y 0， 所以S △BDE ＝12|BD |·|y E |，S △BDN ＝1

2|BD |·|y N |，

所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝????－45y 0|－y 0|

＝4

5，

结论成立．

3．(2019·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，y 1y 2＝－4.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．

解：(1)依题意知F ????p 2，0，

当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，解得p ＝2. 当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝k ????x －p

2(k ≠0)， 由?????

y ＝k ????x －p 2，y 2＝2px ，

消去x 并整理，得y 2－2p k y －p 2＝0，

则y 1y 2＝－p 2，由y 1y 2＝－4得p 2＝4，解得p ＝2. 综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)设D (x 0，y 0)，B ????t 2

4，t ，

则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A ????

4t 2，－4t . 因为k EF ＝－t 2

，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2

t ，

则直线AD ：y ＋4t ＝2t ????x －4t 2，化简得2x －ty －4－8

t

2＝0. 由?????

2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－2ty －8－16

t

2＝0，Δ＝(－2t )2－4????－8－16t 2＝4t 2＋

64

t 2

＋32＞0恒成立， 所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t 2

. 于是|AD |＝ 1＋t 2

4

|y 1－y 0|

＝

1＋t 24

(y 1＋y 0)2－4y 1y 0＝4＋t 2

t 2＋

16

t 2

＋8， 设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝????t 2

2－t 2－4－8t 24＋t 2

＝

???

?t 2＋16t 2＋8

24＋t 2

.

所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝1

4

???

?t 2＋16t 2

＋83≥16， 当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时取等号，即△ABD 的最小值为16.

当t ＝2时，直线AD ：x －y －3＝0；当t ＝－2时，直线AD ：x ＋y －3＝0.

4．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P ????2，55是椭圆C 上的点．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→

，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．

解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2， 则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

a 2－4

＝1，

因为点P ???

?

2，

55在椭圆C 上， 所以4a 2＋15(a 2－4)＝1，解得a 2＝5或a 2＝165(舍去)，

所以椭圆C 的方程为x 25

＋y 2

＝1.

(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0， 由OA ―→＋OB ―→＝OD ―→

得，D (x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2

x 1－x 2

， 直线OD 的斜率k OD ＝

y 1＋y 2

x 1＋x 2

， 由???

x 21

5

＋y 21＝1，x

22

5＋y 22

＝1，

得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2

＝－1

5，所以k AB ·k OD ＝－1

5

.

故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－1

5

.

5．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2，0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；

(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．

从而有????? c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得?????

c ＝2，a ＝4.

又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆

C 的方程为x 216＋y 2

12

＝1.

(2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝3

2

x ＋t .

由???

y ＝3

2

x ＋t ，x 2

16＋y

2

12＝1，

得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.

因为直线l 与椭圆C 有公共点，

所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)＝144－3t 2≥0，

解得－43≤t ≤4 3.

另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得

|t |

94

＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213?[－43，4 3 ]，

所以符合题意的直线l 不存在．

6．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点

?

???1，22.

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，其中t ∈

???

?263，2，求|AB |的取值范围． 解：(1)依题意得?????

a 2＝

b 2＋1，1a 2＋1

2b 2

＝1，解得?????

a 2＝2，

b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 22

＋y 2

＝1.

(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由????

?

y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1得(1

＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，

∴Δ＝8(1－2k 2)＞0，解得k 2＜1

2

.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2

－4)＝－4k

1＋2k 2. 由OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，得P ? ??

??8k 2

t (1＋2k 2)，－4k t (1＋2k 2)，

代入椭圆C 的方程得t 2＝

16k 2

1＋2k 2

. 由

263＜t ＜2，得14＜k 2＜1

2

， ∴|AB |＝1＋k 2·

22·1－2k 2

1＋2k 2

＝22(1＋2k 2)2＋1

1＋2k 2

－1. 令u ＝

11＋2k 2

，则u ∈????12，23，

∴|AB |＝22u 2＋u －1∈????0，

253.

∴|AB |的取值范围为?

???0，

253.