2018-2019学年上海市进才中学高三下学期3月月考数学试题(解析版)

2018-2019学年上海市进才中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1．若a b R ∈，，则“22a b >”是“a b >”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 【答案】D【解析】由特殊值法，根据2a =-，1b =，得到“22a b >”不是“a b >”的充分条件；根据1a =，2b =-，得到“22a b >”不是“a b >”的必要条件，进而可得出结果. 【详解】若2a =-，1b =，满足22a b >，但不能推出a b >；所以“22a b >”不是“a b >”的充分条件；若1a =，2b =-，满足a b >，但不能推出22a b >；所以“22a b >”不是“a b >”的必要条件；因此，“22a b >”是“a b >”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念即可，属于常考题型.2．设l m n 、、表示三条直线,αβγ、、表示是三个平面,给出下列四个命题： ①若l m αα⊥⊥，，则l m //；②若m n β⊂，是l 在β内的射影,m l ⊥，则m n ⊥； ③若m m n β⊂，//，则n α//；④若αγβγ⊥⊥，，则.αβ// 其中真命题为（ ） A.①② B.①②③C.②③④D.①③④【答案】A【解析】根据线面垂直的性质，可判断①的真假；根据三垂线定理，可判断②真假；根据线面位置关系，可判断③的真假；根据面面位置关系，可判断④的真假.对于①，因为l m αα⊥⊥，，由线面垂直的性质定理可得：l m //；故①正确； 对于②，因为m n β⊂，是l 在β内的射影, m l ⊥，由三垂线定理可得：m n ⊥；故②正确；对于③，若m m n β⊂，//，则//n α或n ⊂α；故③错误；对于④，若αγβγ⊥⊥，，则α与β可能平行，也可能相交，如：正方体中共顶点的三个面；故④错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查空间中线面关系、面面关系的有关命题真假的判定，熟记空间中线线、线面、面面位置关系即可，属于常考题型.3．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．4【答案】B 【解析】【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得3(,2M N ，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为±(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线y x =和y x =联立，求得3(,22M N -，所以3MN ==，故选B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线MN 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 4．已知集合(){}|1M x y x y =+≤，，若实数对()λμ，满足:对任意的()x y M ∈，，都有()x y M λμ∈，，则称()λμ，是集合M 的“嵌入实数对”，则以下集合中,不存在集合M 的“嵌入实数对”的是（ ） A.(){}|2λμλμ-=，B.(){}22|232λμλμ+=，C.(){}22|2λμλμ-=， D.(){}22|2λμλμ+=，【答案】C【解析】根据题中条件，确定1λ≤，1μ≤；求出11λ-≤≤，11μ-≤≤，201λ≤≤，201μ≤≤；逐项求出范围，即可得出结果.【详解】 若集合(){}|1，=+≤M x y x y 存在“嵌入实数对”，则1λμ+≤x y 对任意()，∈x y M 恒成立，又1x y +≤，所以1λ≤，1μ≤；即11λ-≤≤，11μ-≤≤，201λ≤≤，201μ≤≤；所以22λμ-≤-≤，A 正确；220235λμ≤+≤，B 正确； 2211λμ-≤-≤，C 错误； 2202λμ≤+≤，D 正确.【点睛】本题主要考查曲线与方程，以及不等式的性质，熟记不等式性质即可求解，属于常考题型.二、填空题5．若集合{}{}|13|2A x x B x x =≤≤=，＜，则A B =_________.【答案】{}12x x ≤<【解析】根据交集的概念，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为集合{}{}|13|2A x x B x x =≤≤=，＜， 所以{}12A B x x ⋂=≤<. 故答案为：{}12x x ≤< 【点睛】本题主要考查集合交集的运算，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 6．方程3log log 32x x +=的解是x =________. 【答案】3【解析】根据换底公式，将方程化为lg lg 32lg 3lg +=x x，求出lg x ，即可得出结果. 【详解】因为3log log 32x x +=，所以lg lg 32lg 3lg +=x x，即()()22lg 2lg3lg lg30-⋅+=x x ， 即()2lg lg30-=x ，所以lg lg3=x ，解得3x =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查含对数的方程，熟记对数的运算性质，以及换底公式即可，属于常考题型. 7．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________。

【解析】试题分析：因为，圆锥的侧面积为，底面积为，所以，22{,rl r ππππ==解得，1,2,r l h ====高213r h π=。

【考点】圆锥的几何特征点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l 之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式。

8．若关于,x y 的方程组10{420ax y x ay +-=+-=，有无数多组解，则实数a =_________．【答案】2；【解析】当0a =时，21x y =⎧⎨=⎩，不合题意；当0a ≠时，1142a a -==-，得2a =， 综上：2a =.9．若(13)n x -展开式中各项系数的和等于64,则展开式中2x 的系数是________. 【答案】135【解析】先由各项系数的和，求出n ，再由二项展开式的通项公式，即可求出结果. 【详解】因为(13)nx -展开式中各项系数的和等于64，所以(13)64-=n，解得6n =；所以6(13)-x 展开式的通项为16(3)+=-r r r r T C x ， 令2r =，得2x 的系数为226(3)135-=C .故答案为：135 【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型. 10．设,m n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量()(),,1,1a m n b ==-，则向量,a b 的夹角为锐角的概率是___________． 5【解析】首先可以通过向量,a b 的夹角为锐角得出,m n 之间的关系，再计算出概率。

【详解】因为向量,a b 的夹角为锐角， 所以0a b >， 即0m n m n ->>，，当6m =时，n 有5种；当5m =时，n 有4种；当4m =时，n 有3种； 当3m =时，n 有2种；当2m =时，n 有1种，一共15种， 所以概率为1553612=。

【点睛】向量夹角为锐角，向量乘积为正值；向量夹角为锐角，向量乘积为负值。

11．已知函数()2019f x xx =--，若对任意的x ∈R 都有()()20f x a f ax ++<，则实数a 的取值范围是________. 【答案】()0,4【解析】先由函数奇偶性，得到函数()f x 为奇函数；再由基本初等函数的单调性，得到()2019=--f x xx 在R 上单调递减；将对任意的x ∈R 都有()()20f x a f ax ++<，转化为20x ax a ++>恒成立，得到240a a ∆=-<，求解，即可得出结果. 【详解】 因为()2019=--f x xx ，x ∈R ，所以()20192019()()()-=----=+=-f x x x x x f x ， 所以()f x 为奇函数； 又函数2019=-y x 为减函数，y x =-也是减函数，所以()2019=--f x xx 在R 上单调递减；因为对任意的x ∈R ，都有()()20f x a f ax ++<，所以()()2+<-f x a f ax ，即()()2+<-f x a f ax 恒成立，所以20x ax a ++>恒成立；因此，只需240a a ∆=-<，解得04a <<. 即实数a 的取值范围是()0,4.故答案为：()0,4 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.12．设1m >，当实数,x y 满足不等式组{21y xy x x y ≥≤+≤时，目标函数z x my =+的最大值等于3，则m 的值是__________． 【答案】4 【解析】【详解】画出不等式组{21y xy x x y ≥≤+≤表示的平面区域如上图，结合图形可以看出：当动直线11y x z m m =-+经过点12(,)33P 时，在y 轴上的截距1z m 最大，其最大值为max12333z m =+=，解之得4m =，应填答案4。

13．在ABC ∆中，()20-⋅=AB AC CB ，则角A 的最大值为_______(结果用反三角形式表示).【答案】arccos3【解析】先记ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，根据()20-⋅=AB AC CB ，得到2cos 0+=CB CA CB C ，推出222-=c b a ，再由余弦定理得到222222cos 23+-+==b c a b c A bc bc，结合基本不等式，即可求出结果. 【详解】记ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，因为()20-⋅=AB AC CB所以()0-⋅=CB AC CB ，即20+⋅=CBCA CB ，即2cos 0+=CB CA CB C ，所以222202+-+⋅=a b c a ab ab ，整理得2223-=c b a ，所以22222222223cos 22333-+-+-+===≥=c b b c b c a b c A bc bcbc bc ，当且仅当c =等号成立又()0,A π∈ 因此arccos3≤A . 故答案为：arccos 3【点睛】本题主要考查解三角，根据向量的数量积运算，以及余弦定理与基本不等式，即可求解，属于常考题型.14．已知数列{}n a 是首项为1,公差为2m 的等差数列,其前n 项和为n S ，设()*2nn n S b n N n =∈⋅，若数列{}n b 是递减数列,则m 的取值范围是__________. 【答案】[)0,1【解析】先由等差数列求和公式，根据题意，得到(1)=+-n S n mn n ，求出(1)122-+==⋅n n n nS m n b n ，再由数列{}n b 是递减数列，得到1n n b b +<，推出(2)10-+>m n ，分别讨论0m =，0m >，0m <三种情况，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 是首项为1,公差为2m 的等差数列，所以其前n 项和为(1)12(1)2-=⨯+⨯=+-n n n S n m n mn n ，又数列{}n b 是递减数列， 所以1n n b b +<，即11(1)122++-+<n nmn m n ，化简整理得：(2)10-+>m n ， 所以*n N ∀∈，(2)10-+>m n ； 当0m =时，10>显然成立；当0m >时，(2)121=-+=-+y m n mn m 为单调递增函数，所以min (12)11=-+=-y m m ，因此只需10m ->，解得1m <，所以01m <<； 当0m <时，(2)121=-+=-+y m n mn m 为单调递减函数，无最小值，不满足题意； 综上，01m ≤<. 故答案为：[)0,1 【点睛】本题主要考查由数列的增减性求参数的问题，熟记等差数列的求和公式，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型. 15．已知函数()21030x a x x f x x ax x ⎧++->=⎨-+≤⎩，，的最小值为1a +，则实数a 的取值范围是_____.【答案】{[]21,2---【解析】根据题意，分别讨论0a -≤，01a <-≤和1a ->三种情况，判断函数单调性，求出最小值，结合题意，列出不等式求解，即可求出结果. 【详解】（1）当0a -≤，即0a ≥时，()221,011021,13030a x x a x x f x x a x x ax x x ax x +<<⎧⎧++->⎪==+-≥⎨⎨-+≤⎩⎪-+≤⎩，，，，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，最小值为(0)3f =， 在()0,∞+上最小值为(1)1=+f a ；由题意，只需13a +≤，解得2a ≤，所以02a ≤≤； （2）当01a <-≤，即10a -≤<时，()2221,01,11021,13030x a x aa a x x a x x f x x a x x ax x x ax x --+<<-⎧⎪+-≤<⎧++->⎪==⎨⎨+-≥-+≤⎩⎪⎪-+≤⎩，，，，所以当(],0x ∈-∞时，()f x 在(,)2a-∞上单调递减，在(,0)2a 上单调递增，所以2min()324⎛⎫==- ⎪⎝⎭a a f x f ；当()0,x ∈+∞时，()f x 在(0,)a -上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以min ()1=+f x a ；由题意，只需2314-≥+a a，解得22--≤≤-+a又10a -≤<，所以10a -≤<； （3）当1a ->，即1a <-时，()2221,011,11021,3030x a x a x a x a x x f x x a x a x ax x x ax x --+<<⎧⎪--≤<-⎧++->⎪==⎨⎨+-≥--+≤⎩⎪⎪-+≤⎩，，，，所以当(],0x ∈-∞时，()f x 在(,)2a-∞上单调递减，在(,0)2a 上单调递增，所以2min()324⎛⎫==- ⎪⎝⎭a a f x f ；当()0,x ∈+∞时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增，所以min ()1=--f x a ；由题意，只需2314-=+a a，解得2a =-±，因为1a <-，所以2a =--； 综上，实数a的取值范围是{[]21,2---.故答案为：{[]21,2---【点睛】本题主要考查由分段函数的最值求参数的问题，熟记二次函数与一次函数单调性，灵活运用分类讨论的思想求解，即可，属于常考题型.三、解答题(1)求三棱锥E PAD -的体积；(2)证明：无论点E 在边BC 的何处,都有⊥AF PE .【答案】（1）13E PAD V -=；（2）证明见解析 【解析】（1）根据题意，得到112∆=⋅=EAD S AD AB ，再由13--∆==⋅E PAD P EAD EAD V V S PA ，即可求出结果； （2）根据线面垂直的判定定理，证明AF ⊥平面PBC ，进而可得出结论成立.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1==PA AB ，2AD =， 所以112∆=⋅=EAD S AD AB ， 所以1133--∆==⋅=E PAD P EAD EAD V V S PA ； （2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，又因为1==PA AB ，且点F 是PB 的中点，所以⊥AF PB ；又PA BC ⊥，BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB ；又AF ⊂平面PAB ，所以BC AF ⊥； 由BC AF AF PB PB BC B ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩可得AF ⊥平面PBC ；又PE ⊂平面PBC ，所以无论点E 在边BC 的何处,都有⊥AF PE .【点睛】本题主要考查求三棱锥的体积，以及线线垂直的证明，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.17．已知函数()()0f x x ωω=>的部分图像如图所示，P Q 、分别是图像上相邻的一个最高点和最低点，R 为图像与x 轴的交点,且四边形OQPR 为矩形.(1)求点P 的坐标并求()f x 解析式；(2)将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后,得到函数()y g x =图像,已知:()3522g αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，求()f α的值.【答案】（1）()2f x x π=；（2【解析】（1）先设函数()()0f x x ωω>的最小正周期为T ，得到4⎛ ⎝T P ，3,4⎛ ⎝T Q ，根据四边形OQPR 为矩形，得到0⋅=OQ OP ，求出4T =，得出2πω=，从而可求出结果；（2）先由题意得到()24ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭g x x ，求出1sin 243ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得到cos 243ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()2244ππππααα⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦f ，根据两角和的正弦公式，即可求出结果.【详解】（1）设函数()()0f x x ωω=>的最小正周期为T ，由题意可得：4⎛ ⎝T P ，3,4⎛ ⎝T Q ， 因为四边形OQPR 为矩形，所以⊥OQ OP ，因此0⋅=OQ OP ，即233016-=T ，解得4T =，由24πω==T 得2πω=；所以(P ，()2f x x π=；（2）由（1），将()y f x =的图像向右平移12个单位长度后， 得到()12224πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x x x ， 因为()α=g24ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭1sin 243ππα⎛⎫-= ⎪⎝⎭； 又3522，α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,242πππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，因此cos 243ππα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭， 所以()2244ππππααα⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦fcos sin 244244ππππππαα⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13⎛== ⎝⎭【点睛】本题主要考查由三角函数的部分图像求解析式，以及三角恒等变换给值求值的问题，熟记正弦型函数的图像与性质，以及两角和的正弦公式即可，属于常考题型. 18．已知我国华为公司生产某款手机的年固定成本为40万元，每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完，每万只的销售收入为()R x 万元，且24006,(040)()740040000(40)x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩. (Ⅰ)写出年利润W (万元）关于年产量x (万只）的函数的解析式；(Ⅱ)当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大？并求出最大利润.【答案】(Ⅰ) 2638440(040)40000167360(40)x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩；（Ⅱ）见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式； （2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．试题解析：（1）当040x <≤时，()()21640638440W xR x x x x =-+=-+-， 当40x >时，()()400001640168360W xR x x x x=-+=--+， 所以2638440,04040000168360,40x x x W x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩. （2）①当040x <≤时，()26326104W x =--+，所以()max 326104W W ==； ②当40x >时，40000168360W x x=--+，由于40000161600x x +≥=， 当且仅当4000016x x=，即()5040,x =∈+∞时，取等号， 所以W 的最大值为6760，综合①②可知，当50x =时，W 取得最大值为6760.19．如图，由半圆()22200，+=≤>x y r y r 和部分抛物线()()2100y a x y a =-≥>，合成的曲线C 称为“羽毛球开线”，曲线C 与x 轴有A B、两个焦点，且经过点()23.，(1)求a r 、的值；(2)设()02N ，，M 为曲线C 上的动点，求MN 的最小值；(3)过A 且斜率为k 的直线l 与“羽毛球形线”相交于点、、P A Q 三点，问是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。