2017-2018年上海七宝中学高三下数学三模

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上海市七宝中学高三数学5月(三模)试题文沪教版

上海市七宝中学高三数学5月（三模）试题文沪教版一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．１．i 为虚数单位，复数11i-的虚部是＿＿＿＿． 2．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则C 的准线方程为_____．3．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取4.5．若θ67人有够自理”，-1代表“生活不能自理”.则随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是_____（用分数作答）.8．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是_________.9．已知函数()2xf x =,点P(,a b )在函数1(0)y x x=>图象上，那么()()f a f b ⋅ 的最小值是____________.10．在平面上，12AB AB ⊥，12||1,||2MB MB ==,12AP AB AB =+.若||1MP <，则||MA 的取值范围是_____. 11．函数()(21)(2)xxf x a -=--的图象关于1x =对称，则()f x 的最大值为___.12．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，开始结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数是5．正确的命题是________13．已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.当方程有实根时，则点),(y x 的轨迹方程为______. 14. 已知向量序列：12,,,n a a a 满足如下条件：1||4||2a d ==，121a d ⋅=-且1n n a a d --=（2,3,4,n =）.若10k a a ⋅=，则k =___；12||,||,,||n a a a 中第___项最小.二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（）（Ａ）（Ａ）2sin()23x y π=+ （Ｂ）2sin(2)6y x π=-（Ｃ）2sin(2)6y x π=+（Ｄ）2sin()23x y π=- 16．若,x y 满足约束条件,1,3 3.x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）617．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）318．若直线4ax by +=和圆224x y +=没有公共点，则过点(,)P a b 的直线l 与椭圆22194x y +=的公共点（）（A ）至少有一个（B ）有两个（C ）只有一个（D ）不存在三、解答题解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定侧视图俯视图主视图区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为060，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4的圆柱的内切球为O . （1）求球O 的体积和表面积；（2）AB 是与底面距离为1的平面和球的截面圆M内的一条弦，其长为AB 两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.设椭圆()222210y x a b a b+=>>两顶点(,0),(,0)A b B b -焦距为2，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段,C D 中点Q 的轨迹方程；（3）若直线AC 的斜率为1，在椭圆上求一点M ，使三角形22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，其中11a =，n S 是n a 的前n 和. （1）求23456,,,,a a a a a ；（2）求n a ；（3）求n S .23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()(1|1|)f x a x =--，a 为常数，且1a >.DCBA（1）求()f x 的最大值；（2）证明函数()f x 的图象关于直线1x =对称；（3）当2a =时，讨论方程(())f f x m =解的个数.文科答案 1、12；2、x=-2；3、(0,1]；4、5；5、12k πθπ=+或5()12k k Z πθπ=+∈； 6、4；7、287/300；8、直线；9、4；10、||MA ∈；11、1/4； 12、．①②③④；13、22(1)(1)2x y -+-=；14、9；3. BDBB 19．设南、北门分别为点A 、B ，东、西建筑物分别为点C 、D.在BCD 中，2220304023040cos601300CD =+-⋅⋅⋅=，CD =分由于AB 为BCD 的外接圆直径，所以sin 60CD AB ===41.63≈. 所以广场直径约为41.63米. 12分DCBA20．（1）3432233V π=⋅π⋅=球，…… 3分 24216S =π⋅=π表面积 …… 6分（2）23AOB π∠=， …… 12分所以AB 两点间的球面距离为43π. …… 14分21．（1）椭圆方程为22154y x +=. …… 3分（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，(,)Q x y ，则2211154y x +=①，2222154y x +=②①-②得 21212121()()5()()4y y y y x x x x -⋅+=--⋅+， …… 5分因21212121,4y y y y y y x x x x x x-+==--+，所以544y y x x ⋅=--，即2252040x x y -+= （01x ≤≤）. ……8分用代入法求解酌情给分。

上海市浦东新区高考2017-2018学年数学三模试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年上海市浦东新区高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为______．2．计算：=______．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=______．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=______．5．关于x方程=0的解为______．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为______．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=______．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为______．（结果用数值表示）9．已知，则目标函数z=20x+10y的最大值为______．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为______．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围______．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x 的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=______．13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n=f（a n），n∈N*，若要+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围______．14．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．D．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明：EF∥平面PAC；（2）求三棱锥E﹣PAD的体积．20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：AM⊥BC．23．已知无穷数列{a n}满足a n=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，求证：当p∈（，）时，数列{a n}是单调递减数列．2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为y=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．【解答】解：由，得x2=﹣4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．2．计算：=1．【考点】极限及其运算．【分析】先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结果．【解答】解：===1．故答案为：1．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵||=2， |=3，且、的夹角为，∴•=||||cos=2×=3，则|3﹣2|2=9||2﹣12•+4||2=9×4﹣12×3+4×9=36﹣36+36=36，则|3﹣2|=6，故答案为：6．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=|﹣2+i+1|=|﹣1+i|==．故答案为：．5．关于x方程=0的解为x=或x=，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵．【分析】由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．【解答】解：由=0，得4sinxcosx﹣1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为{﹣1，0， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，∴若B⊆A，则若a=0，即B=∅时，满足条件B⊆A．若a≠0，则B={x|ax﹣1=0}={}，要使B⊆A，则=﹣1或=3，解得a=﹣1，或a=．综上a=0或a=﹣1或a=，∴由a的值构成的集合为{﹣1，0， }．故答案为：{﹣1，0， }．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15﹣1=14种，则其概率为；故答案为．9．已知，则目标函数z=20x+10y的最大值为100．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求得目标函数的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图（图中实点），化目标函数z=20x+10y为y=﹣2x+，由图可知，当直线y=﹣2x+过点A（5，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为100．故答案为：100．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，连接BD，BD1，可得∠，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=，在Rt△D1DB中，解直角三角形求得DD1，求出直角梯形ADD1A1的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接BD，BD1，则∠，在底面正方形中，由AB=1，得BD=，在Rt△D1DB中，由BD=，∠，求得，∴A1A=C1C=D=，则，∴多面体的体积为V=．故答案为：．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围{0}∪[，+∞）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】联立方程组消元，令方程无解或只有一解得出k的范围．【解答】解：把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+（2k﹣2）x+1=0，（1）若k=0，则﹣2x+1=0，方程只有一解，故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意．（2）若k≠0，△=（2k﹣2）2﹣4k2=4﹣8k．∵直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，∴△=4﹣8k≤0，解得k．∴k或k=0．故答案为：{0}∪[，+∞）．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理；极限及其运算．【分析】画出函数f（x）=的图象，若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，数形结合可得圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，进而得到答案．【解答】解：当0≤x＜2时，（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）其图形是以（1，0）点为圆心以1为半径的上半圆，当x≥2时，函数f（x）=f（x﹣2）表示函数的周期为2，故函数f（x）=的图象如下：若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，由于g（x）的零点个数为2n+1则直线y=k n x与第n+1个半圆相切，圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，即有k12+k22+k32+…+k n2=．∴（k12+k22+k32+…+k n2）=，故答案为：=f（a n），n∈N*，若要13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围{﹣9}∪[﹣3，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．{a n}+1为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，再对a1讨论，①当a1＜﹣5时，②若﹣5≤a1＜﹣3，③若a1≥﹣3，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．【解答】解：当x≥﹣3时，f（x）=3x+15﹣2x﹣6=x+9；当﹣5≤x＜﹣3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；当x＜﹣5时，f（x）=﹣3x﹣15+2x+6=﹣x﹣9．﹣a n=9；当a n≥﹣3时，a n+1﹣a n=4a n+21≥4×（﹣5）+21=1；当﹣5≤a n＜﹣3时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣9＞﹣2×（﹣5）﹣9=1．当a n＜﹣5时，a n+1∴对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．+1即a n≥a n，即{a n}为无穷递增数列．+1又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，=f（a n）=a n+9，由于{a n}为等差数列，从而a n+1因此公差d=9．①当a1＜﹣5时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣9，又a2=a1+d=a1+9，故﹣a1﹣9=a1+9，即a1=﹣9，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣3，=f（a n）=a n+9，而a2=a1+9，故当a1=﹣9时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；∴a n+1②若﹣5≤a1＜﹣3，则a2=f（a1）=5a1+21，又a2=a1+d=a1+9，∴5a1+21=a1+9，得a1=﹣3，应舍去；=f（a n）=a n+9，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．③若a1≥﹣3，则由a n≥a1得到a n+1综上可知：a1的取值范围为{﹣9}∪[﹣3，+∞）．故答案为：{﹣9}∪[﹣3，+∞）．14．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：129．【考点】子集与真子集．【分析】设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B 中，但不能都不在B中．由此能求出a n，当n=6时，代值计算即可．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k ﹣1，可在A 中，故A 的个数为：C k ﹣10+C k ﹣11+C k ﹣12+…+C k ﹣1k ﹣1=2k ﹣1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：C n ﹣k 1+C n ﹣k 2+…+C n ﹣k n ﹣k =2n ﹣k ﹣1，从而集合对（A ，B ）的个数为2k ﹣1•（2n ﹣k ﹣1）=2n ﹣1﹣2k ﹣1，∴a n =（2n ﹣1﹣2k ﹣1）=（n ﹣1）•2n ﹣1﹣=（n ﹣2）•2n ﹣1+1．当n=6时，a 6=（6﹣2）×25+1=129 故答案为：129．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 15．若a 、b ∈R ，则“a ＜b ＜0”是“a 2＞b 2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断出“a ＜b ＜0”则有“a 2＞b 2”，通过举反例得到“a 2＞b 2”成立推不出“a ＜b ＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a ＜b ＜0”则有“a 2＞b 2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a 2＞b 2”但不满足“a ＜b ＜0” ∴“a ＜b ＜0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件，故选A ．16．设P 为双曲线﹣y 2=1（a ＞0）的上一点，∠F 1PF 2=，（F 1、F 2为左、右焦点），则△F 1PF 2的面积等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用双曲线的定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，利用余弦定理求出|PF 1|•|PF 2|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F 1PF 2的面积．【解答】解：∵双曲线方程﹣y 2=1（a ＞0），∴b=1，不妨设P 是双曲线的右支上的一个点，则由双曲线的定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，∵，∠F 1PF 2=，∴4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1|•|PF 2|cos =|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|•|PF 2|=（|PF 1|﹣|PF 2|）2+3|PF 1|•|PF 2|，即4c2=4a2+3|PF1|•|PF2|，即3|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2=4，则|PF1|•|PF2|=，∴=|PF1|•|PF2|sin=××=，故选：C．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0＜a≤2r），用a 表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值．【解答】解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr=2×=．∴r=．设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0＜a≤）．则截面等腰三角形的高h==．∴截面面积S===≤=2．当且仅当即a=2时取等号．故选：B．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）求出，由a1•a2∉{a n}，知（1）错误；（2）由，推导出命题（2）正确；（3）不是“封闭等比数列”；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”．【解答】解：（1）∵{a n}是a1=3，q=2的等比数列，∴，由题意得a1•a2=3×6=18∉{a n}，故命题（1）错误；（2）∵，∴，故命题（2）正确；（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明：EF∥平面PAC；（2）求三棱锥E﹣PAD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC、EF，证明EF∥PC，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAC，（2）求出对面三角形EAD的面积，利用等体积法转化求解几何体的体积即可．【解答】解：（1）证明：连结AC、EF∵点E、F分别是边BC、PB的中点∴EF∥PC…．又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC…∴当点E是BC的中点时，EF∥平面PAC…（2）∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…∴…20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=（x﹣100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分所以：．…4分当且仅当x=y=100时，等号成立．所以：当x=y=100米时，平方米．…6分（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy…8分=x2+2+x=x2﹣200x+40000=（x﹣100）2+30000．…10分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把不等式f（x）＞0恒成立转化为ax2﹣+1＞0恒成立，分离参数a后得到a，求出不等式右边在[1，2）上的最大值得答案；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案．【解答】解：（1）f（x）＞0⇔ax2﹣+1＞0⇒a在x∈[1，2）上恒成立，∵x∈[1，2），∴x2∈[1，4），∈[，），则∈[﹣2，），∴a，则a的取值范围是[）；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，当a＞0时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，∴，，故①，或②或③．解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．综上，a的取值范围为[1，4]．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：AM⊥BC．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用新定义，通过s＞2，0＜s＜2，分别求出s即可．（2）求出l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，分别与椭圆方程联立，利用判别式为0，求出|k1|，|k2|，然后推出|k1k2|=．（3）写出椭圆E，椭圆H的方程，求出k AM，k BC，推出向量乘积为﹣1，即可证明AM⊥BC．【解答】（1）解：显然椭圆E的方程为=1，由椭圆E与F相似易得：当s＞2时⇒s=4；…2分当0＜s＜2时⇒s=1，…4分所以s=4或1…4分（2）证明：易得所以l1、l2的方程分别为、y=k2x+1依题意联立：⇒（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0又直线l1与椭圆G相切则△1=0（又0＜λ＜1），即|k1|=…6分依题意再联立：⇒（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即|k2|=…8分故|k1k2|=．…10分（3）解：显然椭圆E：=1，椭圆H：=1．…11分由椭圆H上的任意一点C（x0，y1）于是=1…12分椭圆E上的点M（x0，y2），即2=1又y1y2＞0，则y1=2y2…13分又，则k AM=，k BC=…15分又=﹣1所以AM⊥BC…16分．23．已知无穷数列{a n}满足a n=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，求证：当p∈（，）时，数列{a n}是单调递减数列．【考点】数列递推式．【分析】（1）令n=2、1依次代入递推公式列出方程，求出a2、a1的值；（2）根据条件分两种情况：当p=0，q≠0时由数列的递推公式对n分奇数和偶数求出S n；当p≠0，q=0时由数列的递推公式可知是等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出S n；（3）由题意求出数列的递推公式，由p的范围先比较a1与a2，令n取n﹣1列出式子后，﹣a n”的符号，即两式相减化简后利用基本不等式求出a n的范围，根据p的范围判断出“a n+1可证明结论．=p•a n+，∴a3=p•a2+，【解答】解：（1）由题意知，a n+1∵p=，q=2，且a3=，∴，解得，…2分当时，同理求得a1=1或4；当时，无解，所以，a1=1或4 …4分（2）若p=0，q≠0，，∴，…5分所以当n为奇数时，；…6分当n为偶数时，，所以…7分=p•a n，…8分若p≠0，q=0时，a n+1所以…10分证明：（3）由题意知，当时，可得①…12分由和，两式相减得，…14分因为成立，则有a n•a n﹣1＞4p当时，，即②…16分由①②可知，当a n＜a n﹣1时，恒有a n+1＜a n…17分对于任意的自然数n，a n+1＜a n恒成立．…18分．2016年9月28日。

2017-2018学年上海市七宝中学高三10月月考数学试题

2017-2018七宝中学高三月考数学卷2016.10一. 填空题1. 已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，则()()y f x f x =+-的定义域是2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是3. 锐角△ABC 中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则A =4. 二项式921()x x -的展开式中常数项为 (结果用数值表示) 5. 若函数cos(2)y x ϕ=+(||)2πϕ<的图像关于点4(,0)3π中心对称，则ϕ= 6. 若122log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是7. 已知0x >，0y >，1211x y +=+，则x y +的最小值为 8. 已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||2AB = ，||3AC = ，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥，则实数λ的值为9. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有种 10. 设函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于直线3x =-对称，其中min{,}a b 表示,a b 中的最小值，则实数t =11. 右侧程序框图的运行结果：S =12. 已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数 (32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6a a π-+-=-，则2016S = 14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于二. 选择题15. 无穷等比数列{}n a *()n N ∈的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的只可能是（） A.12 B. 12- C. 14 D. 14- 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 17. 对于平面向量x 和给定的向量a ，记()2()f x x x a a =-⋅，若()()f x f y x y ⋅=⋅r r r r对任意向量,x y 恒成立，则a的坐标可能是（）A. 1)2-B.C. 31(,)44D. 1(2-18. 函数()sin(2)f x A x θ=+(0,||)2A πθ>≤部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的12,[,]x x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（）A. )(x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B. )(x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 C. )(x f 在5(,)36ππ上是减函数 D. )(x f 在5(,)36ππ上是增函数三. 解答题19. 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =--；（1）解不等式|()|5g x <；（2）若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围；20. 某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点， △11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点；（1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB；（2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求含有点A 的那部分体积；22. 已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，(1)nn S a a n n=+-；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3(1)n n n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若12a =，2016n n n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数p 、q ，使得k p q c c c =？若存在，求出p 、q 的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由；23. 已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数；（1）若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；（2）若1a ≤-，[1,0]D =-，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值；（3）若0a >，在[0,]a 上存在n 个点i x (1,2,,.3)i n n =≥ ，满足10x =，n x a =，12n x x x <<< ，使得12231|()()||()()||()()|8n n f x f x f x f x f x f x --+-++-= ，求实数a 的取值范围；七宝中学2016第一学期高三10月考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题(每题4分，共56分)： 1. 已知函数()f x 的定义域是[1 2]-，，则()()y f x f x =+-的定义域是 [1 1]-，. 2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是 (7 0)-，3. 在锐角中ABC ∆，角 A B 、所对的边长分别为 a b 、. 若2sin a B b =，则A =6π.4. 二项式921()x x-的展开式中常数项为 (结果用数值表示)84-． 5. 若函数cos(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图像关于点4(0)3π，中心对称，则ϕ= 6π-. 6. 若212log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是4a >.7. 已知0 0x y >>，，1211x y +=+，则x y +的最小值为. 8. 已知向量与AC 的夹角为120 ，且||2 ||3A B A C == ，，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为 1279. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有种22142443343472P P C P C P ===.10. 设函数()min{|| ||}f x x x t =+，的图像关于直线3x =-对称，其中min{ }a b ，表示 a b 、中的最小值. 则实数t = 6. 11. 右侧程序框图的运行结果：S = 1320.12. 已知函数10()420xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，，，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 23a <≤.13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6a a π-+-=-，则2016S = 6048.14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于 52π.二、选择题(每题5分，共20分)：15. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的只可能是 ( C )A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-. 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的 ( D ) A.充分非必要条 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件17. 对于平面向量x 和给定的向量a ，记()2()f x x x a a =-⋅．若()()f x f y x y ⋅=⋅r r r r 对任意向量 x y 、恒成立，则a 的坐标可能是 ( D )A．1 )2- B． C ．31( )44， D．1(2- 18. 函数()sin(2)(0 ||)2f x A x A πθθ=+>≤，部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的12 [ ]x x a b ∈，，，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则 ( B ) A.)(x f 在5( )1212ππ-，上是减函数 B.)(x f 在5( )1212ππ-，C.)(x f 在5( )36ππ，上是减函数D.)(x f 在5( )36ππ，上是增函数三、解答题：19. (12分)已知函数322)(++-=x a x x f ，()12g x x =--. (1)解不等式()5g x <；(2)若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围. 解：(1)由|()|||1|2|5g x x =--<得3|1|7x -<-<，∴|1|7x -<，解得68x -<<．所以原不等式的解集为{|68}x x -<<；(2)∵{|()}y y y f x ∈=是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，所以{|()}{||()|}y y f x y y g x =⊆=，又()223232f x x a x a =-++-≥+-，()||1|2|0g x x =--≥ 所以32a +≥，解得：1a ≥-或5a ≤-.20. (14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x (万元)，若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30 0)-，，且()C x 的最小值是75-. 若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-. 每千件商品售价为50万元. 通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)依题意，当080x <<(千件)时，设2()(30)C x a x x =+，则22575a -=-解得13a =，即21()(30)3C x x x =+，此时21()50[250()]402503L x x C x x x =-+=-+-当80x ≥(千件)时，10000()50[250()]1200()L x x C x x x=-+=-+∴2140250 0803()100001200() 80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩，，(2)当080x <<(千件)时，21()(60)9503L x x =--+，此时，max ()(60)950L x L ==；当80x ≥(千件)时，10000()1200()1000L x x x=-+≤(当且仅当100x =时等号成立) 此时，max ()(100)1000L x L ==，综上所述，当年产量100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，为1000万元. 21. (14分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．(1)若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； (2)平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求含有点A 的那部分体积．解：取BC 中点为N ，连结1 MN C N ，， ∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11AC ，∴11,,,A M N C 四点共面，且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N =又DE Ü平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ，∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点，∴13CE EB =．(2)因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC，又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A∵122AB AA ==，又11A MC ∆是等腰三角形，所以111AM AC ==如图，将几何体11AA M CC N -补成三棱柱11AA M CC F - ∴几何体11AA M CC N -的体积为：1111111111111232232212V AM AA AC CF CC NF =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=MEDC 1B 1 A A 1B C NF22. (16分)已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)nn S a a a n n==+-，. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3(1)n n n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围； (3)若12a =，2016nn n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数 p q 、，使得k p q c c c =？若存在，求出 p q 、的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由. 解：(1)11(1)(1)nn n n S a a a n na S a n n n==+-⇒=+-， {1111(1)22(1)(1)n n n n n n n n na S a n nna na an a a a n a S an n ++++=+-⇒-=⇒-=+=++∴{}n a 是以11a =为首项，2d a =为公差的等差数列，∴12(1)n a a n =+- (2)11113(1)3(1)n n n n n n n n b b a a ++++<⇔+-<+-,即(1)[1(21)]3n n a n -+-<若n 为奇数，则31(1 3 5 )21n a n n +>-=- ，，，恒成立，考察31()21n f n n +=--，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n f n f n n n n n +++--++-=-+=<+-+-即(1)(3)(5)f f f >>> ，∴(1)4a f >=-；若n 为偶数，则31(2 4 6 )21n a n n -<=- ，，，恒成立，考察31()21n g n n -=-，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n g n g n n n n n +---++-=+=>+-+-即(2)(4)(6)g g g <<< ，∴8(2)3a g <=；综上所述，843a -<<；(3)由(1)2016n n n a n c n ==+，.假设对任意*k N ∈，总存在正整数 p q 、，使k p q c c c =，则(2016)201620162016k p q k q p k p q q k+=⋅⇒=+++-令1q k =+，则(2017)p k k =+(或2q k =，则22016p k =+；…) ∴(2017)1k k k k c c c ++=(或220162k k k c c c +=；…)23. (18分)已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数. (1)若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；(2)若1[10]a D ≤-=-，，，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值； (3)若0a >，在[0,]a 上存在n 个点(1,2,,.3)i x i n n =≥ ，满足10x =，n x a =，12n x x x <<< ，使得12()()f x f x -23()()f x f x +-+ 1()()n n f x f x -+-8=，求实数a 的取值范围.解：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立， ∴||||x x a x x a -=+，即0ax =对任意x ∈R 恒成立，∴0a =；(2)2222() 24()||()24a a x x a f x x x a a a x x a ⎧--≥⎪=-=⎨⎪--+<⎩，，，11 ∵1a ≤-，∴[1 0][ )a -⊆+∞，，，∴22()()24a a f x x =--，[1 0]x ∈-， ①当21a -≤≤-时，1122a -≤≤-，()f x 在[1 ]2a -，上递减，在[ 0]2a ，递增，2min [()]4a f x =- ②当2a <-时，12a <-，()f x 在[1 0]-，上单调递增，min [()](1)1f x f a =-=+ 综上所述，2 21()41 2a a g a a a ⎧⎪--≤≤-=⎨⎪+<-⎩，，，若21a -≤≤-，则11()4g a -≤≤-；若2a <-，则()1g a <- ∴当1a =-时，max 1[()]4g a =- (3)∵0a >，且()f x 在[0 ]2a ，上单调递增，在[ ]2a a ，上单调递减， ∴max min ()()()(0)2a f x f f x f ==，而12231max min |()()||()()||()()|2[()()]n n f x f x f x f x f x f x f x f x --+-++-≤-要使满足条件的点存在，必须且只需2[()(0)]82a f f -≥，即282a ≥，解得4a ≥为所求.。

2017-2018年上海市七宝中学高三下开学考

2018年七宝中学高三下开学考试卷一、填空题1. 向量(3,4)a =r 在向量(1,1)b =-r方向上的投影为____________．2. 若椭圆221mx y +=的一个交点与抛物线24y x =的焦点重合，则m =____________．3. 已知集合{}M x x a =?，{}2,0,1N =-，若{}2,0M N =-I ，则a 的取值范围是____________．4. 若无穷等比数列{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____________．5. 若函数()12f x x x a =+++的最小值是3，则正实数a 的值是____________．6. 将函数cos ()sin x f x x=按向量(,0)a m =r 平移（0m >），若所得图像对应的函数为偶函数，则m的最小值是____________．7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°方向上，行驶600米后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =____________米．8. 函数2()4coscos 2sin ln(1)22x f x x x x p 骣÷ç=---+÷ç÷ç桫的零点个数为____________． 9. 设{}n a 是等差数列，其首项12a =，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则d =____________．10. 已知圆22:1O x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是____________．11. 已知向量a r 、b r满足2a b a b==?r r r r ，若向量c r满足()()0a c bc -?=r r r r ，则2c b -r r的最大值是____________． 12. 已知函数()sin f x x p =，若存在12,,,m x x x L 满足120m x x x ?<<L ，且*()()()()()()2018,(2,)f x f x f x f x f x f x m m N -+-++-=澄L ，则m x +的最小值为____________．二、选择题13. 设集合{{}22(,),(,)1M x y y x N x y x y =>+=+?，则命题“点P M Î”是命题“点P N Î”的（）条件 A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要14. 已知函数(),y f x x R =?，点(,)P a b 是函数()()()F x f x f x =--图像上任意一点，则下列各点中一定在()F x 图像上的是（）A. 1(,)P a b -B. 2(,)P a b --C. 3(,)P a b -D. 3(,)P a b -15. 已知四个函数：①y x =-；②1y x=-；③53y x =；④14y x =，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为（）A.16B.13C.12D.2316. 定义在区间[1,)+?上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x =；②当24x ＃时，()13f x x =--，则集合{}()(2035)S x f x f ==中的最小元素是（） A. 13B. 21C. 45D. 51三、解答题17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ^平面ABC ，1,2,60PA AB AC BAC ===?o ．（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）求λ的值，使得λPM MC =uuu r uuu r且AC BM ⊥．18. 已知ABC V 顶点坐标分别为(,4),(0,),(,0)A a B b C c ．（1）若3,0,5a b c ===，求sin A 的值；（2）若虚数2(0)x ai a =+>是实系数方程250x cx -+=的根，且A ∠是钝角，求b 的取值范围．19. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 上放置一个边长为1的正方形PABC ，此正方形PABC 沿x 轴滚动（向左或向右均可），滚动开始时，点P 位于原点处，设顶点(,)P x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式(),y f x x R =∈，该函数相邻两个邻点之间的距离为m ．（1）写出m 的值并求出当0x m ≤≤，点P 运动路径的长度l ；（2）写出函数[](),42,42,y f x x k k k Z =∈-+∈的表达式；并研究该函数除周期外的基本性质（无需证明）．20. 已知双曲线C过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线,PM PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；（3）若直线l 过点(1,0)，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅uuu r uuu r为常数？若存在，求出点Q 坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．21. 已知数列{}n a 各项不为0，前n 项和为n S ．（1）若*4,n n S a n N +=∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，已知2log n n b a =，分别求12*12()()k n n n k n n n f n a C a C a C a C n N =+++++∈L L 和12*12()()k n n n k n n n g n b C b C b C b C n N =+++++∈L L 的表达式；（3）证明：{}n a 是等差数列的充要条件是：对任意*n N ∈，都有：1223111111n n n n a a a a a a a a +++++=L ．参考答案一、填空题1. 2-2.123. [0,1)4. 1(2,0)0,4⎛⎤- ⎥⎝⎦U5. 86.3p7. 8. 3个 9. 1-10.111.1 12. 1011二、选择题 13. A 14. B 15. C16. C三、解答题 17. （1（2）1λ2= 18. （1）sin A =；（2）131643b b b ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 19. （1）4,12m l p ⎛==+⎝⎭；（2）函数24114()41142k x k k x kf x k x k k x k -≤≤-⎪-≤≤⎪=⎨≤≤+⎪+≤≤+，k Z ∈奇偶性：偶函数；递增区间：[]4,42,k k k Z +∈；递减区间[]42,4,k k k Z -∈；零点：4,x k k Z =∈ 20. 略21. 略。

2017年上海市七宝中学高考模拟数学试题

绝密★启用前2017年上海市七宝中学高考模拟数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若z ∈C ，i 为虚数单位，且234||55z i z =- ，则复数z 等于（） A ．3455i + B ．3455-i C ．5534i - D ．4355i - 2．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（）. A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线3．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭,1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,函数1,()=22(1),x x A f x x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩,若0x A ∈,且()0f f x A ∈⎡⎤⎣⎦,则0x 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题4．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-?Z ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有（）第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题5．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为_____．6．5051﹣1被7除后的余数为_____．7．已知直线l的参数方程是10.820.6x ty t=+⎧⎨=+⎩（t为参数），则它的普通方程是_____．8．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为_____（结果用小数表示）9．已知地球的半径为R，在北纬45︒东经30︒有一座城市A，在北纬45︒西经60︒有一座城市B，则坐飞机从城市A飞到B的最短距离是．(飞机的飞行高度忽略不计) 10．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为_____．11．已知定义在R上的增函数()y f x=满足()()40f x f x+-=，若实数,a b满足不等式()()0f a f b+≥，则22a b+的最小值是______．12．已知点P是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-的底面1111DCBA上一点(包括边界)，则PA PC⋅u u u r u u u r的取值范围是_________.13．椭圆22221(0)43x yaa a+=>的左焦点为F，直线x m=与椭圆相交于点A B、，则FAB∆的周长的最大值是__________．14．已知函数45(),()sin213xf xg x a x axπ-+==++（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2].使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是_______．15．在直角坐标平面上，已知点A(0,2)，B(0,1)，D(t,0)(i>0)，M为线段AD上的动点,若|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值为________.16．设ω为正实数.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得sinωa+sinωb=2，则ω的取值范围是______.四、解答题…………○………………线…………○…：___________班级：________…………○………………线…………○…17．如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是BD 的中点，E 是棱CC 1上任意一点．（1）证明：BD ⊥A 1E ；（2）如果AB =2，CE =OE ⊥A 1E ，求AA 1的长．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =米，AD =米，记BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.19．若函数y =f （x ）对定义域的每一个值x 1，在其定义域均存在唯一的x 2，满足f （x 1）f （x 2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断21y x=，y =2x 是否为“依赖函数”；（2）若函数y =a +sinx （a ＞1），[,]22x ππ∈-为依赖函数，求a 的值，并给出证明． 20．已知椭圆22122:1x y C a b += （a ＞b ＞0）长轴的两顶点为A 、B ，左右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c 且a =2c ，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在双曲线22:143x y T -= 上取点Q （异于顶点），直线OQ 与椭圆C 交于点P ，若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，试证明：k 1+k 2+k 3+k 4为定值；（3）在椭圆C 外的抛物线K ：y 2=4x 上取一点E ，若EF 1、EF 2的斜率分别为12,k k ''，求121k k ''的取值范围． 21．设T n 为数列{a n }的前n 项的积，即T n =a 1•a 2…•a n ．（1）若T n =n 2，求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }满足T n =12（1﹣a n ）（n ∈N *），证明数列1{}n T 为等差数列，并求{a n }的通项公式；（3）数列{a n }共有100项，且满足以下条件： ①121002a a a ⋅⋅⋅=L ；②1211002k k a a a a a k ++=+L L （1≤k ≤99，k ∈N *）．（Ⅰ）求5a 的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？参考答案1．B 【解析】【分析】设复数z 代数形式，再根据复数的模以及复数相等求结果. 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，则2222223434(),()5555x yi i x x y y x y x y +=-∴=+⨯=-+⨯+2222222223434()01,,,5555x y x y x y x y x y z i ∴+=++≠∴+===-=-Q故选：B 【点睛】本题考查复数的模以及复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．D 【解析】【详解】设m 在平面α上的投影'm ，'m 与直线l 交于点O .在平面α上，以O 为原点、直线l 为y 轴建立直角坐标系.则设'm 的方程为y kx =. 又设点P （x ， y ）.则点P 到直线l 的距离x ，点P 到直线'm.从而，点P 到直线m 的距离平方等于()2221y kx a k -++，其中，a 为直线m 到平面α的距离.因此，点P 的轨迹方程为()22221y kx a x k-+=+，即为双曲线.3．C 【解析】【分析】根据0x A ∈以及10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭,可以求出()0f f x ⎡⎤⎣⎦的表达式,再根据()0f f x A ∈⎡⎤⎣⎦求出0x【详解】 ∵0102x <…,∴()0011,122f x x ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭,∴()()0000112121222f f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯-+=⨯-⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴()0f f x A ∈⎡⎤⎣⎦,∴0110222x ⎛⎫⨯-< ⎪⎝⎭…,∴01142x <…，又∵0102x <…,∴01142x <<.故选：C 【点睛】本题考查了复合函数与分段函数的综合应用,考查了数学运算能力. 4．ABD 【解析】【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M +?. 【详解】∵224(1)(1)n n n =+--，∴4n M Î.∵2241(21)(2)n n n +=+-，∴41n M +?. ∵2243(22)(21)n n n +=+-+，∴43n M +?. 若42n M +?，则存在,Z x y Î使得2242x y n -=+，则42()(),n x y x y x y +=+-+和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42n M +?. 故选：ABD.本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高. 5．[﹣2，0] 【解析】【分析】根据cosx 范围确定函数f （x ）自变量，再根据条件确定值域. 【详解】∵f （x ）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx ∈[﹣1，1]，故f （cosx ）的值域是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点睛】本题考查函数定义域与值域，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．0 【解析】【分析】先根据二项式定理展开，再研究整除后的余数. 【详解】5151051150505151515151501(491)14949491C C C C -=+-=++++-L 05115050515151494949C C C =+++L因为49是7的倍数，所以5051﹣1被7除后的余数为0. 故答案为：0 【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．3x ﹣4y +5=0 【解析】【分析】根据加减消元得普通方程.10.83438345020.6x t x y x y y t=+⎧∴-=-⇒-+=⎨=+⎩Q 故答案为：3450x y -+= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．0.388 【解析】【分析】先求其对立事件概率，再根据对立事件概率关系求结果. 【详解】一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护， ∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率： p =1﹣0.9×0.8×0.85=0.388．故答案为：0.388．【点睛】本题考查对立事件概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．3R π【解析】【分析】欲求坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【详解】解：由已知地球半径为R ，则北纬45R ，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L ==R ，则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角∠AOB 3π=，则A 、B 两地之间的距离是3R π．故答案为3R π．【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题． 10．1 【解析】【分析】根据复数几何意义确定复数z 对应点轨迹，根据轨迹确定模的最大值. 【详解】复数z 满足|z +i |+|z ﹣i |=2（i 是虚数单位），复数z 的几何意义是到虚轴上的点到A （0，1），B （0，﹣1）的距离之和等于2，因此复数z 对应点轨迹为线段AB,因此|z |的最大值为：1，故答案为：1．【点睛】本题考查复数几何意义以及复数的模，考查基本分析求解能力，属中档题. 11．8 【解析】【分析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果. 【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x Q 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min8a b ∴+== 本题正确结果；8 【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.12．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立空间直角坐标系,设(),,0P x y ,[](),0,1x y ∈.可得,()()22111111222PA PC x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ，即可得出答案.【详解】如图所示：建立空间直角坐标系.则()()()10,0,0,0,0,1,1,1,1A A C . 设(),,0P x y ，[](),0,1x y ∈.则(),,1PA x y =--u u u v， ()1,1,1PC x y =--u u u v.()()111PA PC x x y y ∴⋅=----+u u u v u u u v22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.[],0,1x y ∈Q ,∴当11,22x y ==时, PA PC⋅u u u v u u u v 有最小值12. 当点P 取()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0时,PA PC ⋅u u u v u u u v有最大值1.故答案为:1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考在空间直角坐标系中两向量数量积的坐标表示:121212+a b x x y y z z ⋅=+v v及其取值范围的求解;建立合适的空间直角坐标系是求解本题的关键;着重考查学生的运算能力和知识迁移能力; 属于中档题. 13．8α 【解析】设椭圆的右焦点为M ，椭圆的长轴为2×2a=4a ， △FAB 的周长AF +FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a ，故答案为：8a点睛：本题充分体现了解析几何的思想方法：数形结合，利用椭圆的定义结合三角形的基本性质得到周长的最值.14．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】先将恒成立存在性问题转化为对应函数值域包含关系，即()g x 在[0,2]上值域包含于()f x 在[0,2]上值域，再分别求对应值域，最后根据集合包含关系列式求解. 【详解】459[0,2]()4[1,5]11x x f x x x -+∈∴==-+∈-++Q [0,2],0,()[2,3]x a g x a a ∈>∴∈Q由题意得21,05[2,3][1,5]0353a a a a a a ≥->⎧⊆-∴∴<≤⎨≤⎩故答案为：50,3⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数恒成立存在性问题、函数值域以及根据集合包含关系求参数取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题.15【详解】设M(x,y).由22242,39AM BM x y ⎛⎫≤+-≥ ⎪⎝⎭得. 故线段AD 恒在阿波罗尼斯圆222439x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的外部.当t 最小时，线段AD 与圆相切，从而，:12AD x yl t +=.233t =⇒=.16．ω∈[94,52]∪[134,+∞)【解析】【分析】由sinωa +sinωb =2⇒sinωa =sinωb =1. 而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]，故已知条件等价于：存在整数k 、l(k <l)，使得ωπ≤2k π+π2<2l π+π2≤2ωπ ①，再对ω分类讨论求出ω的范围. 【详解】由sinωa +sinωb =2⇒sinωa =sinωb =1.而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]，故已知条件等价于：存在整数k 、l(k <l)，使得 ωπ≤2k π+π2<2l π+π2≤2ωπ. ①当ω≥4时，区间[ωπ,2ωπ]的长度不小于4π，故必存在k 、l 满足式①. 当0<ω<4时，注意到，[ωπ,2ωπ]⊆(0,8π). 故只要考虑如下几种情形：（1）ωπ≤π2<5π2≤2ωπ，此时，ω≤12，且ω≥54，无解；（2）ωπ≤5π2<9π2≤2ωπ，此时，94≤ω≤52；（3）ωπ≤9π2<13π2≤2ωπ，此时，134≤ω≤92⇒134≤ω<4.综上，并注意到ω≥4也满足条件，知ω∈[94,52]∪[134,+∞).故答案为：ω∈[94,52]∪[134,+∞)【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.17．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱柱性质得AA1⊥平面ABCD，即得AA1⊥BD，根据正方形性质的AC⊥BD，再根据线面垂直判定定理得BD⊥平面ACC1A1，即可得结论；（2）根据勾股定理列等量关系，解得结果.【详解】（1）证明：连结AC，A1C1，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1E．（2）∵AB=2，∴AO=CO，A1C1，设AA1=a，则C1E=a，∴OE2=4，A1O2=a2+2，A1E2=（a）2+8=a2﹣a+10，∵OE⊥A1E，∴A1O2=OE2+A1E2，即a2+2=4+a2﹣a+10，解得a=AA1=【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理，考查基本分析论证能力，属基础题. 18．（1）sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）πθ6=或πθ3=时，L 取得最大值为)201米．.【解析】【分析】（1）解直角三角形求得得EH 、FH 、EF 的解析式，再由 L=EH +FH +EF 得到污水净化管道的长度L 的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t ，根据函数 L=201t - 在[12上是单调减函数，可求得L 的最大值．所以当t =πθ6= 或πθ3= 时，L 取得最大值为)201+米．【详解】()1由题意可得10EH cos θ=，10FH sin θ=，10EF sin θcos θ=，由于 BE 10tan θ=≤10AF tan θ=≤tan θ≤≤ππθ,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 101010L cos θsin θsin θcos θ∴=++，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2设sinθcosθt+=，则2t1sinθcosθ2-=，由于ππθ,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π1sinθcosθtθ.42+⎛⎫∴+==+∈⎪⎝⎭⎣由于20Lt1=-在⎣上是单调减函数，∴当t=时，即πθ6=或πθ3=时，L取得最大值为)201米．【点睛】三角函数值域得不同求法：1.利用sin x和cos x的值域直接求2.把所有的三角函数式变换成()siny A xωϕ=+(),0Aω≠的形式求值域3.通过换元，转化成其他类型函数求值域19．（1）21yx=不是，y=2x是（2，证明见解析【解析】【分析】（1）根据“依赖函数”的定义进行判断即可，（2）只需要函数y=a+sinx的最大值和最小值满足f（x1）f（x2）=1即可，建立方程关系进行求解即可．【详解】（1）解：（1）函数21yx=，由f（x1）f（x2）=1，得221222121111x xx x⋅=∴=，对应的x1、x2不唯一，所以21yx=不是“依赖函数”；对于函数y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得12122210x x x x⋅=∴+=，所以x2=﹣x1，可得定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2满足条件，故函数y=2x是“依赖函数”．（2）当[,]22xππ∈-时，函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a +sinx （a ＞1），[,]22x ππ∈-为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f （x 1）f （x 2）=1即可，则函数的最大值为a +1，最小值为a ﹣1，则由（a +1）（a ﹣1）=1得a 2﹣1=1，得a 2=2，因为a ＞1，所以得a．【点睛】本题考查函数新定义以及三角函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.20．（1）22143x y += （2）0（3）5(,0)(0,)24-⋃+∞【解析】【分析】（1）由椭圆的通径公式及a =2c ，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程方程；（2）根据直线的斜率公式，求得112132x k k y +=-， 234232x k k y +=，由,OP OQ u u u r u u u r 共线，得1212x x y y =，即可求得结论；（3）先用E 点坐标表示12,k k ''，再根据函数单调性即可求得121k k ''的取值范围．【详解】（1）由题意a =2c ，椭圆的通径为22b a=3，因为a 2=b 2+c 2，所以a =2，bc =1，∴椭圆的标准方程：22143x y +=；（2）由（1）可知：A （﹣2，0），B （2，0），F 1（﹣1，0），F 2（1，0），设P （x 1，y 1），则2211143x y +=，则12k k +=111122y y x x ++-=1111221122443x y x y yx =--1132x y =-设Q （x 2，y 2），则2222143x y -=，则则34k k += 222222y y x x ++-=2222222222443x y x y y x =-=2232x y ，又,OP OQ u u u r u u u r 共线，∴1212x x y y =，12340k k k k ∴+++= （3）设2(,)4y E y ，由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：222383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由E 在椭圆C 外的抛物线K ：y 2=4x 上一点，则283y >，则EF 1 、EF 2的斜率分别为1222,1144k y k y yy ''==+-，（28,23y y >≠±）则42222121611()1616161y y t k y k t y y t ==-'--=='，（8,43t t >≠）在（83，4），（4，+∞）上分别单调递增，∴121k k ''的取值范围5(,0)(0,)24-⋃+∞．【点睛】本题考查椭圆方程、椭圆中定值与范围问题，考查综合分析求解能力，属中档题.21．（1）221,1,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（2）2121n n a n -=+（3）（Ⅰ）见解析（Ⅱ）299【解析】【分析】（1）（1）利用作商法求a n ；（2）利用等差数列的定义证明数列1{}nT 为等差数列，并求得{a n }的通项公式；（3）（Ⅰ）由题意联立方程组求得T 4，T 5，则由a 5=54T T 即得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T k 是方程x 2﹣（k +2）x +2=0的一个实根（△＞0），当数列前k （2≤k ≤98）项确定后，其前k 项积T k 确定，由T k +1可得到两个a k+1，即得符合条件的数列共有299个．【详解】（1）当n =1时，a 1=T 1=1；当n ≥2时，a n =221(1)n n T n T n -=-， ∴221,1,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（2）当n =1时，a 1=T 1=12（1﹣a 1），所以a 1=13，当n ≥2时，2T n =1﹣a n =1﹣1nn T T -，所以n 1T ﹣11n T -=2，数列{n 1T }为等差数列 n 1T =3+2（n ﹣1）=2n +1，T n =121n +，a n =1﹣2T n =2121n n -+ （3）（Ⅰ）由121002a a a ⋅⋅⋅=L ，12451006a a a a a +=L L ；可得T 4，由121002a a a ⋅⋅⋅=L ，12561007a a a a a +=L L ；可得T 5所以554T T a ==（Ⅱ）121002a a a ⋅⋅⋅=L ，121003a a a +=L ，所以a 1=1或2 T k 是方程x 2﹣（k +2）x +2=0的一个实根（其中△＞0），当数列前k （2≤k ≤98）项确定后，其前k 项积T k 确定，由T k +1可得到两个a k +1 所以符合条件的数列共有299个【点睛】本题考查根据递推关系求通项、等差数列定义以及解一元二次方程，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。

2017年上海市高三数学第三次模拟测试试卷

2017年上海市高三数学第三次模拟测试试卷2017.5.18考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 1. 已知集合{}{}2=lg ,230A x y x B x xx ==--<，则A B È=____________.2. 如果(1)(1)i mi ++是实数，则实数=m _________________.3. 已知圆锥母线的轴截面的母线与轴的夹角是3p，母线长为3，则过圆锥顶点的截面面积的最大值=_________________________.4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若723742,S a a a =++则=_______________.5. 圆22:(2)4C x y -+=，直线12:,:1l y l y kx ==-，若12,l l 被圆C 所截得的弦长之比是1:2，则=k _______________. 6. 已知4()ln()f x x a x=+-，若对任意的m R Î，均存在00x >，使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是________________________.7. 若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影分别是,,2M N BN AM =且，则=k _____________. 8. 某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是__________.9. 已知动点(,)x y 满足条件2123y x y x ì?ïïíï?+ïî，则y x 的取值范围是_________. 10. 若{},1,2,3,,11a b Î ，构造方程22221x y a b+=，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{}(,)11,9x y x y <<内的椭圆的概率是_________________. 11. 已知ABC D ，若存在111A B C D ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称111A B C D 是ABC D 的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是___________：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°； ③A=75°，B=75°，C=30°．12. 已知函数2(),()11x f x g x mx m x -==+--的图象相交于点,A B 两点，若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程是________________________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2017项，则判断框内的条件是（）A ．n ≤2014B ．n ≤2016C ．n ≤2015D ．n ≤201714. 已知三条直线,,a b c 两两互相垂直，P 为空间一个定点，则在过点P 的直线中，分别与,,a b c 所成的角都相等的直线有（）A.1条B.3条C.4条D.无数条15. 在锐角ABC D 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若221sin cos ,2C C -=则下列各式正确的是( )A.2a b c +=B.2a b c +?C.2a b c +<D.2a b c +? 16. 已知集合{}22(,)1M x y xy =+?，若实数,l m 满足：对任意的(),x y M Î，都有(),x y M l m Î，则称(),l m 是集合M的“和谐实数对”，则下列选项中，可以作为集合M 的“和谐实数对”的是( )A.{}(,)+=4l m l mB.{}22(,)+=4l m l mC.{}2(,)4=4l m lm - D.{}22(,)=4l m l m -三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

上海市七宝中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题

上海市七宝中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题一、填空题1．已知集合}0{2|M x x =+≥，{|10}N x x =-<，则M N ⋂=． 2．已知复数23z i(i)=+（i 为虚数单位），则z 的实部为． 3．函数tan()6πy x =-+的最小正周期为．4．记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a ，平均数为b ，则a b -=． 5．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中41x 的系数为．6．已知函数()3,13,1x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，则()3log 2f 的值为7．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为． 8．已知数列{}n a 满足1n n a a +<，点(21,)n n P n a +在双曲线22126x y -=上，则1lim n n n P P +∞+→=． 9．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有种.10．用(),f X Γ表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值．已知22:1O x y +=e 及()221:44O x y -+=e ，设P 为O e 上的动点，则()1,f P O e 的最大值为．11．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩216W xy =．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为．12．空间中A B 、两点间的距离为8，设123PP P V 的面积为S ，令||i i i P A P B λ=⋅u u u r u u u r，若3123ii λ==∑，则S 的取值范围为．二、单选题13．已知0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．2ab b <C ．b a a b> D ．1a bb+> 14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（）．A ．123r r r >>B ．231>>r r rC ．132r r r >>D ．321r r r >>15．已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A ．122x x +=B ．12103x x +=C ．122x x =D ．12103x x =16．已知OA 是圆柱1OO 下底面的一条半径，1OA =，110OO =，P 为该圆柱侧面上一动点，PB 垂直下底面于点B ，若P B A O B =∠，则对于下述结论：①动点P 的轨迹为椭圆；②动点P的轨迹长度为；以下说法正确的为（）．A ．①②都正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①②都错误三、解答题17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin c A =． (1)求sin C 的值；(2)若3c =，求ABC V 面积S 的最大值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，四边形11ACC A 是边长为2的正方形.(1)证明：BC ⊥平面11ABB A ；(2)若直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为30°，求二面角1B AC A --的余弦值．19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ．(1)求2P ；(2)证明：数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；若10132024n P >，求n 的最大值．20．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆22:12+=x E y 的左、右顶点分别为,A B ，上顶点为D ．(1)若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；(2)设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；(3)若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，试判断ABC V 的垂心M 是否都在椭圆E 上，并说明理由．21．设0t >，函数()y f x =的定义域为R ．若对满足21x x t ->的任意12x x 、，均有21()()f x f x t ->，则称函数()y f x =具有“()P t 性质”．(1)在下述条件下，分别判断函数()y f x =是否具有(2)P 性质，并说明理由； ①3()2f x x =； ②()10sin2f x x =； (2)已知3()f x ax =，且函数()y f x =具有(1)P 性质，求实数a 的取值范围；(3)证明：“函数()y f x x =-为增函数”是“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”的充要条件．。

2018年高三第三次模拟考数学测试卷(文科)含答案

2017 — 2018学年度高三第三次调研测试文科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1 •答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3•请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

本大题共 12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有个是符合题目要求。

设全集 U =Z , A ={-1,1,3,5,7,9}, B ={-1,5,7}，贝V AplG u B)二B. {-1,5,7}D. {-1,1,3,5,9}__nA . -P ： X 。

R,X o 2 乞3X oB . -p: x R,x 22< 3x2C . — p: 一x R,x ■ 2 3xnD . _p: x 0 R,x 0 2 _ 3x 。

2. 已知复数 i z =1—i（i 为虚数单位），则z 的虚部为3.1 .A. i2已知命题P ：X o1 .B.i 2R,x ； 2 3x 0，则命题 1 C.2p 的否命题为D.4. F 列各组向量中，可以作为基底的是A. q =(0,0), e ? =(1,2)B.eiC.e 1 = (3,5), e 2 = (6,10)D.6 = (-1,2),0 = (5,7)、选择题: 1.A. {1,3,9}C.{-1,1,3x - y 3 _ 0设x, y 满足约束条件*x + yZ0，则z = 3x + y 的最小值是x 兰2S n ,则 S n =，定点的坐标是是某几何体的三视图，则该几何体的体积为C. D.5.6. A. -5 B. 4 C. -3D. 11已知等差数列｛务｝的公差不为0,可=1，且32,34,38成等比数列，设｛a n ｝的前n 项和A.n( n 1) 2B.2C. n 2 12 D.n(n 3) 47.以抛物线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线X 二-2相切，这些圆必过一定点，则8. 9. A. (0,2)B. (2, 0)执行如图所示的程序框图，当输出则输入n 的值可以为A.B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为 C.S =210 时,1,粗实线画出的 (4, 0) D. (0, 4)——n = n - 1否甲S = n ・S(■结束2)A.14二B.310二3 5-J IS = 1C 开始3*/ 输入n // 输岀S /n < 5 ?是俯视图正视图F I +•B 8；侧视图-10.已知锐角：•满足cos( ) =cos2＞，则sin〉cos 等于414 411.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中如像招数”五问有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤•只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为：官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出 64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.这个问题中，前5天应发大米12•对于定义域为 R 的函数f(x)，若同时满足下列三个条件：①且 X = 0 时，都有 xf (x)0 ；③当 x 1 ::: 0 x 2，且 I 片 |=| x 2 |时，都有 f (xj ::： f (x 2),则称f(x)为偏对称函数”.现给出下列三个函数：3 3 2 x ] ln(1—x), x 兰 0 f i (x)-X x ； f 2(x) = e - x-1； f 3(x)二212x, x > 0则其中是偏对称函数”的函数个数为 A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共 4个小题，每小题5分。

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19. 业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投
入资金为 A（ A 为常数）元，之后每年会投入一笔研发资金，n 年后总投入资金记为 f (n) ，
经计算发现当 0 n 10 时，
f (n) 近似地满足
f (n)
9A p q an
，其中 a
2
2 3
，
p、q为
12. 给定曲线族 2(2sin cos 3)x2 (8sin cos 1) y 0 ，为参数，则这些曲线在
直线 y 2x 上所截得的弦长的最大值是
二. 选择题
13. 若椭圆 C 的方程为： x2 y2 1 （ l 0 ， m 0 ），则 l m 是曲线 C 的焦点在 x 轴 lm
的重心的坐标.
21. 设函数 f (x) 在[1, ) 上有定义，实数 a 和 b 满足1 a b ，若 f (x) 在区间 (a,b] 上不存在最小值，则称 f (x) 在区间 (a,b] 上具有性质 P . （1）当 f (x) x2 Cx ，且 f (x) 在区间 (1, 2]上具有性质 P ，求常数 C 的取值范围；（2）已知 f (x 1) f (x) 1 （ x 1 ），且当1 x 2 时， f (x) 1 x ，判别 f (x) 在区间 (1, 4]上是否具有性质 P ；（3）若对于满足1 a b 的任意实数 a 和 b ， f (x) 在区间 (a,b] 上具有性质 P ，且对于任意 n N * ，当 x (n, n 1) 时，有| f (n) f (x) | | f (x) f (n 1) || f (n) f (n 1) | ，证明：当 x 1 时， f (2x) f (x) .
常数， f (0) A ，已知 3 年后总投入资金是研发启动投入资金的 3 倍，问：
（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动投入资金的 8 倍？
（2）研发启动后第几年的投入资金最多？
20. 平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 : y2 2 px（ p 0 ）的焦点为 F ，过 F 的直线 l 交于 B 、 C 两点. （1）若 l 垂直于 x 轴，且线段 BC 的长为 1，求的方程；（2）若 l 的斜率为 k ，求 tan BOC ；（3）设抛物线上异于 B 、C 的点 A 满足| AB || AC | ，若 ABC 的重心在 x 轴上，求 ABC
2018届上海七宝中学高三模拟卷
2018.05
一. 填空题
1. 若 logx 2 1，则 x 2. 已知直线 l 垂直于直角坐标系中的 y 轴，则 l 的倾斜角为
3. 在复平面内，点 A(2,1) 对应的复数 z ，则| z 1|
4. 若角的终边经过点 P(2, 2) ，则 arctan(tan ) 的值为
参考答案
一. 填空题 1. 2 5. 1 9. 20
2. 0
6. ( 13,0)
10. 2
3. 2 7. 2 11. 1
4. 4
1 8.
3
12. 8 5
10. 解 OA OD AD ， OB OE EB ， OC OE CE OD DC ，所以
OA 2OB 3OC OA OC 2(OB OC) 2OD 4OE ，|OA 2OB 3OC| 2
旋转一周，所得到的几何体的体积为
8. A 、 B 二校各推荐两篇课题放在一起进行评比，则四篇课题在排序中没有本校课题相邻
的概率为
Hale Waihona Puke 9.已知平面直角坐标系中两点 A(a1, a2 ) 、B(b1,b2 ) ，有 SAOB
1 2 | a1b2
a2 1b
| ，设 (x1, y1) 、
(x2 , y2 ) 、(x3, y3 ) 是平面曲线 x2 y2 2x 4y 上任意三点，则 T x1 y2 x2 y1 x2 y3 x3 y2
A. ( 3,2]
B. [1,2]
C. (0, 2]
D. ( 3 ,1] 2
16. 实数 a 、 b 满足| a | 1，| a b | 1 ，则 (a 1)(b 1) 的取值范围是（）
A. [0, 9 ] 4
B. [2, 9] 4
C. [0,2]
D. [2,2]
三. 解答题
17. 已知圆柱的底面圆半径为 r ，上底面圆心为 O ，正六边形 ABCDEF 内接于下底面圆 O1 ， OA 与母线所成角为 30°. （1）试用 r 表示圆柱的表面积 S ；（2）若圆柱体积为 9 ，求点 C 到平面 OEF 的距离.
5. 若不等式| ax | 6 的解集为 (1,t) ，则实数 t 等于
6.
由参数方程
x y
2 csc 3cot
（
为参数，
n
，nZ
）所表示的曲线的右焦点的坐标为
7. 直角坐标系 xOy 内有点 A(2,1) 、B(2, 2) 、C(0, 2) 、D(0,1) ，将四边形 ABCD 绕直线 y 1
上的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 方程 arccos 4 arccos( ) arcsin x 的解有（）
5
5
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
15. 已知实数 x 、 y 满足 x2 ( y 2)2 1， x 3y 的取值范围是（） x2 y2
18. 已知向量 a (1 , 1 sin x 3 cos x) 和向量 b (1, f (x)) ，且 a ∥ b .
22
2
（1）求函数 f (x) 的最小正周期和最大值；
（2）已知 ABC 的三个内角分别为 A 、 B 、 C ，若有 f ( A ) 3 ， BC 7 ， 3
sin B 21 ，求 AC 的长度. 7
的最大值为
10. 设点 O 在 ABC 的内部，点 D 、 E 分别为边 AC 、 BC 的中点，且| OD 2OE | 1，
则| OA 2OB 3OC |
11.
设函数
f (x)
x2 x 1 ，数列{an} 的首项 a1
1 2
，且
an1
f (an ) ，n N * ，若数列{an}
不是单调递增数列，则 a1 的取值范围是