高二数学变化率问题与导数的概念PPT优秀课件
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高中数学人教A版选修22.变化率问题及导数的概念精品PPT课件
高中数学 人教A版 选修22 .变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
B
y'|x=x0 = 2x0 k=3.31
高中数学 人教A版 选修22 .变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
1.函数的平均变化率 f ( x) f (x2 ) f ( x1)
合作探究
问题3：函数的平均变化率
B A
称为函数y=f(x)从x1到x2 的平均变化率.
高中数学 人教A版 选修22 .变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
平均变化率
？
思考： 平均变化率的几何意义是什么?
A 、B两点变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
合作探究
导数的概念
1.瞬时速度与平均变化率
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值–13.1”.
？
思考：
运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
高中数学 人教A版 选修22 .变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
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同理可得
高中数学 人教A版 选修22 .变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
总结归纳
导数的概念
求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法: 1.求函数的增量
2.求平均变化率 3.求极限
一差、二比、 三极限
练一练
1.求函数f (x) = -x2 + x在x=-1的导数． f'(-1)=3
B
y'|x=x0 = 2x0 k=3.31
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1.函数的平均变化率 f ( x) f (x2 ) f ( x1)
合作探究
问题3：函数的平均变化率
B A
称为函数y=f(x)从x1到x2 的平均变化率.
高中数学 人教A版 选修22 .变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
平均变化率
？
思考： 平均变化率的几何意义是什么?
A 、B两点变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
合作探究
导数的概念
1.瞬时速度与平均变化率
表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值–13.1”.
？
思考：
运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
高中数学 人教A版 选修22 .变化 率问题 及导数 的概念 课件- 精品课 件ppt( 实用版)
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同理可得
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总结归纳
导数的概念
求函数 y=f(x)在x=x0处的导数的一般方法: 1.求函数的增量
2.求平均变化率 3.求极限
一差、二比、 三极限
练一练
1.求函数f (x) = -x2 + x在x=-1的导数． f'(-1)=3
5-1导数的概念及其意义课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
v(2) lim y lim (t 6) 6
x x0
x0
在第2 h 附近，汽车的速度 每秒大约增加 2m / s
在第6 h 附近，汽车的速度 每秒大约减少 6m / s
练习
设f (x) x ，求f (1)
解：f (1) lim f (1 x) f (1)
x0
x
(1 x) 1
lim
x0
记为 lim h(1 t) h(1) 5
t 0
t
当时间间隔 | t | 无限趋近于0 时，平均速度v 就无限趋近于t 1 时的瞬时速度。
因此，运动员在t 1 s 时的瞬时速度v(1) 5 m / s
思考 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h ( 单位：m)
与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系
在第2 h 时，原油温度的瞬时变化率是 f (2)
y f (2 x) f (2)
x
x
在第6 h 时，原油温度的瞬时变化率是f (6)
y f (6 x) f ()
x
x
(2 x)2 7(2 x) 15 (22 7 2 15) x
4x x2 7x x 3 x
f (2) lim y lim (x 3) 3
t 0
t 0
质点A 在t 2.7 s 时的瞬时速度为10.8 m / s
3.设函数f (x) x2 1 ，求 (1)当自变量x 由1 变到1.1 时，函数的平均变化率
(2) 函数在x 1 处的导数
解：(1) f (1.1) f (1) (1.1)2 1 (12 1) 2.1
4.8 9.8t0)
4.8 9.8t0
lim x 0
x0
《变化率问题教学》课件
详细描述
在变化率问题中，建立数学模型是解决问题的第一步。首先需要对问题进行抽象 和简化，然后使用数学符号和公式来表示问题中的变量、参数和关系。通过建立 数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，便于进行定量分析和求解。
导数的计算和运用
总结词
导数在变化率问题中具有重要应用，通过计算导数可以分析函数的变化趋势和极值点。
变化率与函数图像的关系
单调性
如果一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果一阶 导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
凹凸性
如果二阶导数大于0，则函数在该区间内是凹的；如果二阶导 数小于0，则函数在该区间内是凸的。
04
变化率问题解决策略
建立数学模型
总结词
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，便于分析和求解。
学Байду номын сангаас参与度与反馈
分析学生在课堂上的参与 情况，以及他们对变化的 反应和反馈，以便更好地 调整教学方法和内容。
学生自我评价与反馈
学生自我评价
引导学生反思自己在本次教学中 对变化率问题的理解程度，以及 自己的学习方法和态度是否有所
改进。
学习困难与问题
鼓励学生提出自己在理解变化率问 题时遇到的困难和问题，以便教师 更好地了解学生的学习需求和困难 。
变化率的应用场景
要点一
总结词
变化率的应用场景非常广泛，包括物理、工程、经济、生 物等领域。
要点二
详细描述
在物理学中，变化率用于描述速度、加速度等物理量的动 态变化。在工程领域，变化率可以用于预测和优化系统的 性能，如机械振动、流体动力学等。在经济领域，变化率 用于分析经济增长、通货膨胀等经济指标的变化趋势。在 生物领域，变化率可以用于描述物种数量、种群动态等生 态现象的变化趋势。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.4.1 导数的加法与减法法则课件42高二选修22数学课件
x 2 2 x f ( x) g ( x) 2 x 2 x ln 2.
第八页，共十七页。
( 2 )函数 y x ln x 是 f ( x ) x 与
函数 g ( x ) ln x 的差 ,由导数公式表 ,
分别得出
f ( x ) 1 , g ( x ) 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则
方程。点P处的切线方程为L：y -14/3=5(x-2)。即：15x-3y-16=0。导数的加法与减法法则是什么。几个常见的函数的导
数是什么
No
Image
12/8/2021
第十七页，共十七页。
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
第十三页，共十七页。
练习移3动. ，已设知p点处p的在切曲线线的(q倾ūxiàyn斜) 角x为3α，x则α32的取上
值范范围为
02或 34
解因为k=f(x)=3x2 1≥ -1即tanα≥-1 所以(suǒyǐ)α角的取值范围0 为2或 34
第十四页，共十七页。
练习4:
已知曲线(qūxiàny) 13x3+x上一点P(2,134),
求:(1)点P处的切线L的斜率和方程;
(2).切线L和坐标轴所围成的三角形面积。
解 :(1)由 导 数 公 式 得 :f(x) 1 3x31 1 33x21x21.
故 点 P 的 切 线 斜 率 是 :f(x0)2215.
可得 :
x ln x
f ( x ) g ( x )
1
1.
2x x
提示 : (tíshì)
对于(duìyú)常见的几
个函数的导数,
可以熟记,以便
第八页，共十七页。
( 2 )函数 y x ln x 是 f ( x ) x 与
函数 g ( x ) ln x 的差 ,由导数公式表 ,
分别得出
f ( x ) 1 , g ( x ) 1 .
2x
x
利用函数差的求导法则
方程。点P处的切线方程为L：y -14/3=5(x-2)。即：15x-3y-16=0。导数的加法与减法法则是什么。几个常见的函数的导
数是什么
No
Image
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第十七页，共十七页。
(2)y=x4-x2-x+3.
y' 4x3 2x 1
第十三页，共十七页。
练习移3动. ，已设知p点处p的在切曲线线的(q倾ūxiàyn斜) 角x为3α，x则α32的取上
值范范围为
02或 34
解因为k=f(x)=3x2 1≥ -1即tanα≥-1 所以(suǒyǐ)α角的取值范围0 为2或 34
第十四页，共十七页。
练习4:
已知曲线(qūxiàny) 13x3+x上一点P(2,134),
求:(1)点P处的切线L的斜率和方程;
(2).切线L和坐标轴所围成的三角形面积。
解 :(1)由 导 数 公 式 得 :f(x) 1 3x31 1 33x21x21.
故 点 P 的 切 线 斜 率 是 :f(x0)2215.
可得 :
x ln x
f ( x ) g ( x )
1
1.
2x x
提示 : (tíshì)
对于(duìyú)常见的几
个函数的导数,
可以熟记,以便
高中数学新教材选择性必修第二册《5.1导数的概念及其意义》课件
又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为
√A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析 ΔΔyx＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
12345
2.物体运动方程为 s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 v＝
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答案 割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－fx0x0.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有 什么关系？
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]， [x3，x4]上平均变化率分别为 fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fxx44－－fx3x3，结合图 象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
12345
5.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝_1_时该物体的瞬时速度为1.
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值 越小，越能准确体现函数的变化情况.
利用导数定义求导数：
(1)取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时分母不为 0. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关. (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt. Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为
√A.2.1
B.1.1
C.2
D.0
解析 ΔΔyx＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
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2.物体运动方程为 s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若 v＝
思考1 割线PPn的斜率kn是多少？ 答案 割线 PPn 的斜率 kn＝fxxnn－－fx0x0.
思考2 当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有 什么关系？
答案 kn无限趋近于切线PT的斜率k.
梳理 (1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P
解析 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]， [x3，x4]上平均变化率分别为 fxx22－－fx1x1，fxx33－－fx2x2，fxx44－－fx3x3，结合图 象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].
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5.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝_1_时该物体的瞬时速度为1.
(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值 越小，越能准确体现函数的变化情况.
利用导数定义求导数：
(1)取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时分母不为 0. (2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关. (3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.
2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s. 解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s. 又ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0＝(2t0＋1)＋Δt. Δlit→m0ΔΔst＝Δlit→m0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.
高中数学 第二章 变化率与导数 2.2 导数的概念及其几何意义课件2高二选修22数学课件
B．f′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0
C．f′(x0)＝lim [f(x0＋Δx)－f(x0)] Δx→0
【答案D】．Df′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
12/8/2021
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教材整理 2 导数的几何意义 阅读教材 P61“练习”以下至 P62“例 4”以上部分，完成下列问题． 1．如图 3-2-1 所示，设函数 y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可 以看出：当 Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线； 当 Δx 趋于零时，点 B 将沿着曲线 y＝f(x)趋于点 A，割 线 AB 将绕点 A 转动最后趋于直线 l.直线 l 和曲线 y＝f(x) 在点 A 处“相切”，称________为曲线 y＝f(x)在点 A 处 的切线．
＝ lim
Δx→0
x0＋Δx3－x0＋Δx2＋1－x30－x20＋1 Δx
＝3x20－2x0.
由题意知，3x20－2x0＝1，解得 x0＝－13或 x0＝1.
12/8/2021
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于是切点的坐标为－13，2237或(1,1)． 当切点为－13，2237时，2237＝－13＋a，a＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a，a＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为－13，2237.
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求切点坐标一般先设出切点坐标，然后根据导数的几何意义，表示出切线 的斜率，与已知斜率建立关于切点横坐标的方程，求出切点的横坐标，又因切 点在曲线上，可得切点的纵坐标.
《变化率问题》课件
生物种群动态
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问 题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表 示函数在某一点的变化率。通过 求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念， 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中，积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题，奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题 的应用领域不断扩大，如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问 题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表 示函数在某一点的变化率。通过 求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念， 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中，积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题，奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题 的应用领域不断扩大，如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。
5.1.2导数的概念及其几何意义课件高二下学期数学人教A版选择性
作业布置
课本70页习题5.1 （4、5、7）
所以
表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
课堂ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习
1 根据导数的定义求下列函数的导数． (1)求函数 在x＝1处的导数； (2)求函数 在 处的导数．
解：
(2)
∴
∴
∴
∴
合作探究
求函数 y＝f(x) 在点 处的导数的三个步骤
课堂练习
2 已知函数 f(x)在 处导数的4，则
12
解：
注：
（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的 增量与分母中的增量必须保持一致．
前者只有一条，而后者包括了前者.
新知讲解
导数的概念
③ 函数 f (x)的导函数
导数概念的理解 (1) 导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x) 在 处及其附近的函数值有 关，与无关． (2) 是一个常数，即当时，存在一个常数与 无限接近．
合作探究
例1 设 ，求 解：
合作探究
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：）为 . 计算第 2 h 与第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：
解： 我们用曲线 h(t)在处的切线的斜率，刻画曲线 h(t)在上述三个时刻附近 的变化情况.
合作探究 （1） 当时，曲线 h(t)在 处的切线 平行于 t 轴，. 这时，在 这时，在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降.
（2）当时，曲线 h(t)在 处的切线 的斜率. 这时，在 附近曲线下降，即函数 h(t)在附近单调递减.
根据导数的定义，
合作探究 所以
人教新课标版数学高二课件 变化率问题_ 导数的概念
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示， 则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√ B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义
知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率
(3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝_2__.
解析 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及 邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔyx ＝_Δ_x_.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
解析 答案
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化
A.4
B.4.1 √
C.0.41
D.3
3＋2.12－3＋22
解析 v ＝
0.1
＝4.1
12345
解析 答案
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变D.－2
5.1.1+变化率问题(教学课件)-高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第二
探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面 的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系
h(t) 4.9t 2 4.8t 11. 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢?
如果用运动员在某段时间内的平均速度v 描述其运动状态,那么
当0 t 0.5 时,运动员的平均速度为 v h(0.5) h(0) 2.35(m/s)；
y 的变化量为用Δy 表示，其中∆y＝f(x0＋Δx)－f(x0).
我们把比值ΔΔxy
＝f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
叫做函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 的
平均变化率． y
把平均变化率的极限，即 lim 叫做瞬时变化率. x0 x
例 1 已知质点 M 做直线运动，且位移随时间变化的函数为 s＝2t2＋3(位移单位： cm，时间单位：s). (1)当 t＝2，Δt＝0.01 时，求ΔΔst ；(2)当 t＝2，Δt＝0.001 时，求ΔΔst ； (3)求质点 M 在 t＝2 时的瞬时速度．
0.5 0
当1 t 2 时,运动员的平均速度为 v h(2) h(1) 9.9(m/s).
21
一般地，当t1 t t2 时,运动员的平均速度为
v
h(t2 ) h(t1 ) t2 t1
4.9(t1
t2 )
4.8.
思考 计算运动员在0 t 48 这段时间里的平均速度，并思考下列问题：
变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率.
问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面 的高度h (单位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系