华罗庚学校五年级数学(上册)教材(第1-8讲,共15讲)
本系列共15 讲
第一讲数的整除问题
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一．基本概念和知识
1．整除——约数和倍数
一般地，如 a、b、c 为整数，b≠0，且a÷b = c，即整数 a 除以整数b（b≠0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b 整除（或者说b 能整除a）。记作b︱ a。否则，称为a不能被b整除（或b不能整除a）。
如果整数a能被整数b整除，a 就叫做b的倍数，b 就叫做a
的约数（或因数）。
2．数的整除性质
性质1：如果a、b 都能被c整除，那么它们的和与差也能被c
整除。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。性质3：如果b、c 都能整除a，且b和c互质，那么b与c的
积能整除a。
性质4：如果c能整除b，b 能整除a，那么c能整除a。
3．数的整除特征
y y y y ① 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、2、4、6、8 的整
数。
② 能被 5 整除的数的特征：个位是 0 或 5。
③ 能被 3（或 9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被 3
（或 9）整除。
④ 能被 4（或 25）整除的数的特征：末两位数能被 4（或 25） 整
除。
⑤ 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125） 整
除。
⑥ 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数数位上的数字之
和与偶数数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。
⑦ 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数 与
末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被 7
（11 或 13）整除。
二． 例题
例 1：已知 45︱ 1993 x ，求所有满足条件的六位数 1993 。 x
解：∵ 45=5×9，
∴ 根据整除“性质 2”可知
5︱ 1993 x ，9︱ 1993 ， x
y y ∴ y 可取 0 或 5。
当 y =0 时，根据 9︱
当 y =5 时，根据 9︱ 1993 x
1993 x 及数的整除特征③可知 x =5； 及数的整除特征③可知 x =9。
∴ 满足条件的六位数是 519930 或 919935。
例 2：李老师为学校一共买了 28 支价格相同的钢笔，共付人民 币 9□.2□元，已知□处数字相同，请问每支钢笔多少元？
解：∵ 9□.2□元=9□2□分
28=4×7
∴ 根据整除“性质 2”可知
4 和 7 均可能整除 9□2□。
4︱2□，可知□处只能填 0 或 4 或 8。
因为 7 不能整除 9020，7 不能整除 9424，所以□处不能填 0 和
4；
因为 7︱9828，所以□处应该填 8。
又因为 9828 分=98.28 元
所以 98.28÷28=3.51（元）
答：每支钢笔 3.51 元。
例 3：已知整数 1 2 3 4 5 a a a a a 能被 11 整除，求所有满足这个条件 的整数。
得的数 解：∵ 11︱ 1 2 3 4 5 ， a a a a a
∴ 根据能被 11 整除的数的特征可知：
1＋2＋3＋4＋5 的和与 5a 之差应是 11 的倍数，即：
11︱（15－5a ），或 11︱（5a －15）。
但是 15－5a=5（3－a ）， 5a －15=5(a －3)，又（5，11）=1，因 此
11︱(3－a)或 11︱(a －3).
又∵ a 是数位上的数字，∴ a 只能取 0～9， 所以只
有 a =3 才能 11︱（3－a ）或 11︱（a －3）。 即当 a =3
时，11︱15－5a 。
∴ 符合题意的整数只有 1323334353。
例 4：把三位数 3 ab 接连重复地写下去，共写 1993 个 3 ，所
ab
3 3 ...3 ab ab ab (1993个3 ) ab 恰是 91 的倍数，求 =？ ab
解：∵ 91=7×13，且（7，13）=1，
∴ 7 能整除 3 3 ...3 ab ab ab ，13 能整除 3 3 ...3 。 ab ab ab
根据一个数能被 7 或 13 整除的特征可知：
原数3 3 ...3 ab ab ab 能被 7 以及 13 整除，
当且仅当 3 ...3 ab ab （1992 组3 ab ）－3 ab 能被 7 以及 13 整除，
也就是3 ...3 000 （1991 组）能被 7 以及 13 整除。 ab ab
因为（7，10）=1，（ 13，10）=1，所以 7 能整除 3 ...3 000（1991
ab ab
组 ），13 能整除 3 ...3 000（1991 组），也就是 7 能整除 3 ...3 （1991 ab ab
组 ）， 13 能整除 3 ...3 ab ab ab ab （1991
组），因此，用一次性质（特征）， 就去掉了两组 3 ab ；反复使用性质 996 次，最后转化成：原数能被 7 以及 13 整除当且仅当 3ab 能被 7 以及 13 整除。
又∵ 91的倍数中小于 1000的只有91×4=364的百位数字是 3，
∴ 3 =364，∴ =64。
ab ab 例 5：在 865 后面被上三个数字，组成一个六位数，使它能分
别被 3、4、5 整除，且使这个数值尽可能的小。
分析 设补上数字后的六位数是 865 abc ，
因为这个六位数能分 别被 3、4、5 整除，所以它应该满足以下三个条件： 第一，数字和（8＋6＋5＋a ＋b ＋c ）是 3 的倍数；
第二，末两位数字组成的两位数 是 4 的倍数；
bc
第三，末位数字 c 是 0 或 5。
因为能被 4 整除的数的个位数字不可能是 5，所 以 ，c 只能取 0， 因
而 b 只能取自 0，2，4，6，8 中之一。
又因为 3︱ 865 0 ，且（8＋6＋5）除以
3 余 1， ab 所以 a ＋b 除以 3 余 2。 为满足题意“数值尽可能
小”，只需取 a =0,b=2. 所以，要求的六位数是
865020。
y y y y y y 例 6： 求能被 26 整除的六位数 分析 因为 26=2×13，
1991 。 x
所以 1991 x 能分别被
2 和 1
3 整除。 所以，解此题可以从 2︱ 1991 x
入手考虑。 解：因为 2︱ 1991 x
所以，y 可能取 0，2，4，5，6，8。
又因为 13︱ 1991 ， x
所以，13 能整除 19与91 x 的差。
当 y =0 时，由于 13︱910，而 13 又要整除 19 与
910 之差， x 所以，13︱
又因为 19 。
x 19 =100x+19=（7×13+9）x+19=7×13x+9x+13+6,
x 所以，根据整除“性质 1”，有 13︱9x+6.
经试验可知只有当 x =8 时，13︱9x+6.
所以，当 y =0 时，符合题意的六位数是 819910。
当 y =2 时，因为 13︱ 19912 ，所以 13 整除 x 19 与（910+2）之
x 差，也即 13 整除 19 与 2 之差；与前相仿， x 19 =7×13x+13+9x+6， x 所以 13 整除 9x+6-2.
即：13︱9x+4。
经试验可知只有当 x =1 时，13︱9x+4.
y 所以，当 y =2 时，符合题意的六位数是 119912。
同理，当 y =4 时，13︱9x+6-4，即 13︱9x+2. 经
试验可知当 x =7 时，13︱9x+2.
所以，当 y =4 时，符合题意的六位数是 719914.
同理，当 y =6 时，13︱9x+6-6，即 13︱9x.
经试验可知 x 无解（因为 x 是 1991 x 的最高位数码，x ≠0）.
所以，当 y =6 时，找不到符合题意的六位数。
同理，当 y =8 时，13︱9x+6-8，即 13︱9x-2。 经
试验只有当 x =6 时，13︱9x-2。
所以，当 y =8 时，符合题意的六位数是 619918。
答：满足本题条件的六位数共有 819910、119912、719914 和
619918 四个。
习 题 一
1，已知 72︱x931y ，求满足条件的五位数。
2，已知五位数 154xy 能被 8 和 9 整除，求 x ＋y 的值。
3，若五位数 32x5y 能同时被 2、3、5 整除，试求满足条件的所 有
这样的五位数。
4，将自然数 1、2、3、4、5、6、7、8、9 依次重复写下去组
成一个 1993 位数，这个数能否被 3 整除？
5，一
本陈
老帐
上记
着：
72 只
桶，
共□
67.9□
元。
这里
□处
字
迹不清，请把□处数字补上，并求桶的单价。
6，证明：任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定能同时被7、11、13 整除。本系列共15 讲
第二讲质数、合数和分解质因数
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一．基本概念和知识
1．质数和合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
要特别记住：1 不是质数，也不是合数。
2．质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的
质因数。
二．例题
例1：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
∵ 210=2×3×5×7
∴可知这三个数是5、6、7。
例2：两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？
解：把40 表示为两个质数的和，共有三种形式：
40=17＋23=11＋29=3＋37
∵17×23==391＞11×29=319＞3×37=111，
∴所求的最大值是391。
例3：自然数123456789 是质数，还是合数？为什么？
解：123456789 是合数。
因为它除了约数1和它本身，至少还有约数3，所以它是一个合数。
例4：连续9个自然数中至多有几个质数？为什么？解：如果这连续九个自然数在1与20 之间，那么显然其中最
多有4个质数（如：1~9 中有4个质数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然数中最小的不小于13，那么其中的偶
数显然为合数，而其中奇数的个数最多有 5 个。这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个奇数是合数。这样，至多另4个奇数都是质数。
综上所述，连续九个自然数中至多有4个质数。
例5：把5、6、7、14、15 这五个数分成两组，使每组数的乘积相等。
解：∵ 5=5，7=7，6=2×3，14=2×7，15=3×5。这些数中质因数2、3、5、7 各共有2个，所以如把14（=2×
7）放在第一组，那么7和6（=2×3）只能放在第二组，继而15（=3×5）只能放在第一组，则5必须放在第二组。
这样，14×15=210=5×6×7。
∴这五个数可以分为14 和15，5、6 和7两组。
例6：有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，且三数的乘积是42560。求这三个自然数。
分析先大概估计一下，30×30×30=27000，远小于42560，40×40×40=64000，远大于42560。因此，要求的三个自然数在30~40 之间。
解：42560=26×5×7×19
=25×（5×7）×（19×2）
=32×35×38（合题意）
∴要求的三个自然数分别是32、35 和38。
例7：有三个自然数a、b、c，已知a×b=6，b×c=15，a×c=10。求a×b×c 是多少？
解：∵ 6=2×3，15=3×5，10=2×5。
∴ (a×b)×(b×c)×(a×c)
=(2×3)×(3×5)×(2×5)
∴ a2×b2×c2=22×32×52
∴ (a×b×c)2=(2×3×5)2
∴ a×b×c=2×3×5=30
在例7中有a2=22,b2=32,c2=52，其中22=4，32=9，52=25，像4、9、25 这样的数，推及一般情况，我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或叫做平方数。
如：12=1，22=4，32=9，42=16，…，112=121，122=144，…其中1，4，9，16，…，121，144，…都叫做完全平方数。
下面让我们观察一下，把一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数有什么特征。
例：把下列各完全平方数分解质因数。
9，36，144，1600，275625。
解：9=32 36=22 ×32 144=32 ×24 1600=26 ×52 275625=32×54×72
可见，一个完全平方数分解质因数后，各质因数的指数均是偶数。
反之，如果把一个自然数分解质因数之后，各个质因数的指数都是偶数，那么这个自然数一定是完全平方数。
如上例中，36=62，144=122，1600=402，275625=5252。
例8：一个整数a与1080 的乘积是一个完全平方数，求a的
最小值与这个完全平方数。
分析∵ a 与1080 的乘积是一个完全平方数。
∴乘积分解质因数后，各质因的指数一定全是偶数。
解：∵ 1080×a=23×33×5×a，
又∵ 1080=23×33×5 的质因数分解中各质因数的指数都是奇数。
∴ a 必含质因数2、3、5，因此，a 最小为2×3×5。
∴ 1080×a=1080×2×3×5=1080×30=32400。
答：a 的最小值为30，这个完全平方数是32400。例
9：360 共有多少个约数？
分析360=23×32×5
为了求360 有多少个约数，我们先来看32×5 有多少个约数，然后再把所有这些约数分别剩以1、2、22、23，即得到23×32×5（=360）的所有约数。为了求32×5 有多少个约数，可以先求出5有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1、3、32，即得到32×5 的所有约数。
解：记5的约数个数为Y1，32×5 的约数个数为Y2。
360（=23×32×5）的约数个数为Y3。
由上面的分析可知：
Y3=4×Y2，Y2=3×Y1，
显然Y1=2（5 只有1和5两个约数）。因
此Y3=4×Y2=4×3×Y1=4×3×2=24。
所以，360 共有24 个约数。
Y3=4×Y2 中的“4 ”即为“1、2、22、23”中数的个数，也就是其中2的最大指数加1，也就是360=23×32×5 中质因数2的个数加1；Y2=3×Y1 中的“3”即为“1、3、32”中数的个数，也就是
23×32×5 中质因数3的个数加1；而Y1=2 中的“2”即为“1、5”中数的个数，即23×32×5 中质因数5的个数加1。因此
Y3=（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）=24。对于任何一个合
数，用类似于23×32×5（=360）的约数个数
的讨论方式，我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重要结论：
一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个数（即指数）加1的连乘积。
例10：求240 的约数的个数。
解：∵ 240=24×31×51，
∴ 240 的约数的个数是：
（4＋1）×（1＋1）×（1＋1）=20 个，
∴ 240 有20 个约数。
请你列举一下240 的所有约数，再数一数，看一看是否是20
个？
习题二
1．边长为自然数，面积为105 的形状不同的长方形共有多少
种？
2．11112222 个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖列的棋子数多1个。这个长方阵每一横行有多少个棋子？3．五个相邻自然数的乘积是55440，求这五个自然数。
4．自然数a乘338，恰好是自然数b的平方。求a的最小值以及自然数b。
5．求10500 的约数共有多少个？
本系列共15 讲
第三讲最大公约数和最小公倍数
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缘一．基本概念和知识