学高中数学不等式和绝对值不等式三个正数的算术几何平均不等式学案

学高中数学不等式和绝对值不等式三个正数的算术几何平均不等式学案Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】3.三个正数的算术-几何平均不等式1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程． 2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 三个正数的算术-几何平均不等式 阅读教材P 8～P 9定理3，完成下列问题．1．如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均． 已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为2D.最大值为2【解析】 a b ＋b c ＋ca ≥33ab ×bc ×c a ＝3，当且仅当a b ＝b c ＝c a，即a ＝b ＝c 时，取等号． 【答案】 A教材整理2 基本不等式的推广阅读教材P 9～P 9“例5”以上部分，完成下列问题．对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．教材整理3 利用基本不等式求最值阅读教材P 9～P 9“习题1.1”以上部分，完成下列问题．若a ，b ，c 均为正数，①如果a ＋b ＋c 是定值S ，那么a ＝b ＝c 时，积abc 有最大值；②如果积abc 是定值P ，那么当a ＝b ＝c 时，和a ＋b ＋c 有最小值．设x ＞0，则y ＝x ＋4x2的最小值为( )A ．2B ．2 2C ．3 2D.3【解析】 y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3·3x 2·x 2·4x2＝3，当且仅当x 2＝4x2时取“＝”号．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]证明简单的不等式设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b2＋c 2(a ＋b ＋c )2≥27.【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用a ＋b ＋c ≥33abc ，结合不等式的性质证明．【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ＋c ≥33abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0. 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c2>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2＋1b2＋1c 2(a ＋b ＋c )2 ≥331a 2b 2c2·93a 2b 2c 2＝27，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．[再练一题]1．设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a3＋1b3＋1c 3(a ＋b ＋c )3≥81.【证明】 因为a ，b ，c 为正数， 所以有1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a3·1b 3·1c 3＝3abc＞0.又(a ＋b ＋c )3≥(33abc )3＝27abc ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a3＋1b3＋1c 3(a ＋b ＋c )3≥81， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．用平均不等式求解实际问题如图1-1-2所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝ksin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？图1-1-2【精彩点拨】 根据题设条件建立r 与θ的关系式，将它代入E ＝k sin θr2，得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．【自主解答】 ∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2. ∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ ≤k 232⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108， 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22时，等号成立．∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大．因此选择灯的高度为2米时，才能使桌子边缘处最亮．1．本题的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的函数关系式进行变形求得E的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．[再练一题] 2．制造容积为π2立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】 设圆柱形桶的底面半径为r 米，高为h 米，则底面积为πr 2平方米，侧面积为2πrh 平方米．设用料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . ∵桶的容积为π2，∴πr 2h ＝π2，∴rh ＝12r.∴y ＝30πr 2＋20r π＝10π⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π×333，当且仅当3r 2＝1r时，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为393米，高为392米．[探究共研型]探究1 利用不等式a ＋b ＋c3≥3abc 求最值的条件是什么？【提示】 “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．探究2 如何求y ＝4x4＋x 2的最小值？【提示】 y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22≥334x 4·x 22·x 22＝3，当且仅当4x 4＝x 22，即x ＝±2时，等号成立，∴y min ＝3.其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件．若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为4x 4＝x 24＝34x 2时x 无解，不能求出y 的最小值． 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．【精彩点拨】 为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12，求出最值后再开方．【自主解答】 ∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427. 当且仅当2x 2＝1－x 2， 即x ＝33时等号成立． ∴y ≤239，∴y 的最大值为239.1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )·(1＋x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2－2x ＋1＋x 33＝12.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术-几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．[再练一题]3．若2a ＞b ＞0，试求a ＋4?2a －b ?b 的最小值.【解】 a ＋4?2a －b ?b ＝2a －b ＋b 2＋4?2a －b ?b＝2a －b 2＋b 2＋4?2a －b ?b≥3·32a －b 2·b 2·4?2a －b ?b ＝3，当且仅当2a －b 2＝b 2＝4?2a －b ?b ，即a ＝b ＝2时取等号． 所以当a ＝b ＝2时，a ＋4?2a －b ?b有最小值为3.[构建·体系]平均不等式—⎪⎪⎪⎪—平均不等式的理解—利用平均不等式求最值—利用平均不等式证明1．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z的最小值为( ) A ．336 B ．2 2 C ．12 D ．1235 【解析】 ∵x ＋2y ＋3z ＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥332x ·22y ·23z ＝332x ＋2y ＋3z ＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时，等号成立．【答案】 C 2．若a ＞b ＞0，则a ＋1b ?a －b ?的最小值为( )A ．0B ．1C ．2 D.3【解析】 ∵a ＋1b ?a －b ?＝(a －b )＋b ＋1b ?a －b ?≥33?a －b ?·b ·1b ?a －b ?＝3，当且仅当a ＝2，b ＝1时取等号，∴a ＋1b ?a －b ?的最小值为3.故选D.【答案】 D3．函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________，最小值为________． 【解析】 ∵y 2＝16sin 2x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x )≤8⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427，∴y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ，即tan x ＝±2时取等号． ∴y max ＝893，y min ＝－89 3.【答案】89 3 －893 4．函数f (x )＝5x ＋20x2(x >0)的最小值为________.【解析】 ∵f (x )＝5x ＋20x 2＝52x ＋52x ＋20x 2≥3353＝15.当52x ＝20x 2，即x ＝2时取等号． 【答案】 155．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 【证明】 因为x >0，y >0，所以1＋x ＋y 2≥ 33xy 2>0,1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy . 我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评（三） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知正数x ，y ，z ，且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( ) A ．(－∞，lg 6] B ．(－∞，3lg 2] C ．[lg 6，＋∞)D.[3lg 2，＋∞)【解析】 ∵6＝x ＋y ＋z ≥33xyz ，∴xyz ≤8.∴lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2. 【答案】 B2．已知x ∈R ＋，有不等式：x ＋1x≥2x ·1x ＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x ＋axn ≥n ＋1(n ∈N ＋)，则a 的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1【解析】 x ＋a xn ＝＋a xn ，要使和式的积为定值，则必须n n＝a ，故选A.【答案】 A3．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为( ) A.18 B ．1 C.3183 D.427 【解析】 ∵0<x <1， ∴0<1－x <1，∴x (1－x )2＝12·2x ·(1－x )·(1－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋?1－x ?＋?1－x ?33＝427. 当且仅当x ＝13时，等号成立．【答案】 D4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【解析】 由a ，b ，c 大于0，易知a ＋b ＋c3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a 2＋b 2＋c 23，x 2＝?a ＋b ＋c ?29， 且x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2?ab ＋bc ＋ca ?9≤3?a 2＋b 2＋c 2?9＝a 2＋b 2＋c 23，∴x 2≤z 2，则x ≤z ， 因此z ≥x ≥y . 【答案】 B5．设x ，y ，z ＞0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为( ) A ．2 B ．7 C ．8D.1【解析】 ∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，∴x 2y 3z ≤1，当x2＝y ＝4z 时，取“＝”，即x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.【答案】 D 二、填空题6．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是________．【解析】 由题意知a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c2，(a ＋b )*(a ＋c )＝?a ＋b ?＋?a ＋c ?2＝2a ＋b ＋c2，所以a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )． 【答案】 a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )7．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1?a －2??b －3?的最小值为________．【解析】 ∵a ＞2，b ＞3，∴a －2＞0，b －3＞0，则a ＋b ＋1?a －2??b －3?＝(a －2)＋(b －3)＋1?a －2??b －3?＋5≥33?a －2?×?b －3?×1?a －2??b －3?＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1?a －2??b －3?，即a ＝3，b ＝4时等号成立．【答案】 88．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，对于下列不等式：①abc ≤127；②1abc≥27；③a 2＋b 2＋c 2≥13. 其中正确的不等式序号是________．【解析】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc ，0<abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，1abc≥27， 从而①正确，②也正确．又a ＋b ＋c ＝1，∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝1，因此1≤3(a 2＋b 2＋c 2)，即a 2＋b 2＋c 2≥13，③正确． 【答案】 ①②③三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c)2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．【证明】 因为a ，b ，c 均为正数，由算术-几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，① 1a ＋1b ＋1c≥3(abc )-13. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )-23. ② 故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2 ≥3(abc )23＋9(abc )-23.又3(abc )23＋9(abc )-23≥227＝63， ③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )-23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原式等号成立．10．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝3.(1)求1x ＋1y ＋1z的最小值； (2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.【解】 (1)因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz>0， 所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z≥3， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＝1y ＝1z取最小值3. (2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝≥x 2＋y 2＋z 2＋2?xy ＋yz ＋zx ?3＝?x ＋y ＋z ?23＝3. 又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )<0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2<9.[能力提升]1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( )A ．V ≥πB ．V ≤πC ．V ≥18πD ．V ≤18π 【解析】 设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号．【答案】 B2．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥3312xy ·12xy ·x 2＝3314?x 2y ?2＝3344＝3. 【答案】 C3．已知关于x 的不等式2x ＋1?x －a ?2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．【解析】 ∵2x ＋1?x －a ?2＝(x －a )＋(x －a )＋1?x －a ?2＋2a .又∵x －a ＞0， ∴2x ＋1?x －a ?2≥33?x －a ??x －a ?1?x －a ?2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1?x －a ?2，即x ＝a ＋1时，取等号． ∴2x ＋1?x －a ?2的最小值为3＋2a . 由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2.【答案】 24．如图1-1-3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1-1-3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．图1-1-3 【解】 设正六棱柱容器底面边长为x (0＜x ＜1)，高为h ，由图可有2h ＋3x ＝3，∴h ＝32(1－x )， V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x ) ＝9×x 2×x 2×(1－x )≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 2＋1－x 33＝13. 当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立． 所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13.。