2019届一轮复习全国通用版 第69讲绝对值不等式 学案

第十二章 不等式选讲 第69讲 绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，那么||a ＋b ≤||a ＋||b ，当且仅当__ab ≥0__时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么||a －b ≤||a －c ＋||c －b ，当且仅当__(a －c )(c －b )≥0__时，等号成立．2．含绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式||x ＜a ，||x ＞a 的解集(2)≤c (c ＞0)和≥c (c ＞0)型不等式的解法 ①||ax ＋b ≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②||ax ＋b ≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .1．思维辨析(在括内打“√”或打“×”)．(1)对||a ＋b ≥||a －||b 当且仅当a ＞b ＞0时等号成立．( × ) (2)对||a －||b ≤||a －b 当且仅当||a ＞||b 时等号成立．( × ) (3)对||a －b ≤||a ＋||b 当且仅当ab ≤0时等号成立．( √ ) (4)||ax ＋b ≤c 的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( √ ) (5)不等式||x －1＋||x ＋2＜2的解集为∅.( √ ) 2．设ab ＜0，a ，b ∈R ，那么正确的是( C ) A ．||a ＋b ＞||a －b B ．||a －b ＜||a ＋||b C ．||a ＋b ＜||a －bD ．||a －b ＜||||a －||b解析 由ab ＜0，得a ，b 异号，易知|a ＋b |＜|a －b |，|a －b |＝|a |＋|b |，|a －b |＞||a |－|b ||， ∴C 项成立，A ，B ，D 项均不成立． 3．不等式1＜||x ＋1＜3的解集为( D ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0)D ．(－4，－2)∪(0,2) 解析 1＜|x ＋1|＜3⇔1＜x ＋1＜3或－3＜x ＋1＜－1⇔0＜x ＜2或－4＜x ＜－2. 4．不等式|2x －1|＜2－3x 的解集是( C ) A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ＜35C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜35D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞35解析 |2x －1|＜2－3x ⇔3x －2＜2x －1＜2－3x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x －2＜2x －1，2x －1＜2－3x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＜35⇔x ＜35.5．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为__(5,7)__． 解析 由|3x －b |＜4得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b3，∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则⎩⎨⎧0≤－4＋b 3＜1，3＜4＋b3≤4⇒⎩⎪⎨⎪⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，∴5＜b ＜7.一 绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x 的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简单．若x 的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解析 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0，令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5， 则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象，如图所示．由图可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0，∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．二 绝对值不等式的证明(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．【例2】 设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，若|a |≤1，求证：|f (x )|≤54.证明 方法一 ∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1.又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－122＋54≤54. 方法二 设g (a )＝f (x )＝ax 2＋x －a ＝(x 2－1)a ＋x . ∵－1≤x ≤1，当x ＝±1，即x 2－1＝0时，|f (x )|＝|g (a )|＝1≤54；当－1<x <1，即x 2－1<0时，g (a )＝ax 2＋x －a 是单调递减函数． ∵|a |≤1，∴－1≤a ≤1，∴g (a )max ＝g (－1)＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54；g (a )min ＝g (1)＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54. ∴－54≤g (a )≤54，∴|f (x )|＝|g (a )|≤54.三 绝对值不等式的综合应用对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．【例3】 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥6；(2)若不等式f (x )≥3a 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当a ＝0时，求得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋2，x ＜－12，4，－12≤x ≤32，4x －2，x ＞32，由f (x )≥6⇒x ≤－1或x ≥2.所以不等式的解集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． (2)因为|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4.所以f (x )min ＝4＋a ，要使f (x )≥3a 2对一切实数x 恒成立， 只要4＋a ≥3a 2，解得－1≤a ≤43.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，43. 【例4】 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1<x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一， 所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 故a 的取值范围是[－1,1]．1．解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.解析 ①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③x ≥12，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－25或x ＞2.2．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2， 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{}x |－1≤x ≤3.(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ， 当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解． 当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．3．(2018·陕西西安模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R . (1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对于x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解析 (1)f (x )<|x |＋1⇔|x |－|2x －1|＋1>0，当x <0时，－x ＋(2x －1)＋1>0，得x >0，∴无解；当0≤x ≤12时，x ＋(2x －1)＋1>0，得x >0，∴0<x ≤12；当x >12时，x －(2x －1)＋1>0，得x <2，∴12<x <2，故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}． (2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)| ≤2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.4．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23<x <2.(2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)．易错点 不能正确处理好整体与个体的关系错因分析：先由已知求得x 和y 的取值范围，再代入求证，致使取值范围扩大造成错误． 【例1】 已知||x ＋y ＜13，||2x －y ＜16，求证：||x －y ＜29.证明 设m (x ＋y )＋n (2x －y )＝x －y ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝1，m －n ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝－13，n ＝23，∴||x －y ＝⎪⎪⎪⎪－13(x ＋y )＋23(2x －y )≤13||x ＋y ＋23||2x －y ＜19＋19＝29. 【跟踪训练1】 (2016·江苏卷)设a ＞0，||x －1＜a 3，||y －2＜a3，求证：||2x ＋y －4＜a .证明 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a3＝a .课时达标 第69讲[解密考纲]对本考点的考查以填空题和解答题为主，填空题主要涉及绝对值不等式的解法和柯西不等式的应用等，解答题涉及含有两个绝对值的问题，难度中等．1．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－|x －a |＋a (a ∈R )． (1)解不等式f (x )≤5；(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到－1和2对应点的距离之和，而－2对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5,3对应点到－1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f (x )≤5的解集为[－2,3]．(2)若不等式f (x )≥g (x )恒成立，即|x －2|＋|x －a |≥a 恒成立． 而|x －2|＋|x －a |≥|(2－x )＋(x －a )|＝|a －2|， ∴(|x －2|＋|x －a |)min ＝|a －2|， ∴|a －2|≥a ，∴a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)2≥a 2，a >0，解得a ≤1，故a 的取值范围为(－∞，1]．2．设f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3；(2)若对任意的x ∈R ，f (x )≥4，求实数a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－1，2，－1<x ≤1，2x ，x >1，其图象如下．根据图象易得f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32或x ≥32. (2)由于f (x )＝|x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|， 对任意的x ∈R ，f (x )≥4等价于|a －1|≥4， 解得a ≥5或a ≤－3，故实数a 的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝|x －2|－|2x －a |，a ∈R . (1)当a ＝3时，解不等式f (x )>0；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围． 解析 (1)当a ＝3时，f (x )>0， 即|x －2|－|2x －3|>0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤32，x －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧32<x <2，－3x ＋5>0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，－x ＋1>0，解得1<x ≤32或32<x <53或无解．∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <53. (2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )＝2－x －|2x －a |， ∴f (x )<0 可化为|2x －a |>2－x ， 即2x －a >2－x 或2x －a <x －2，即a <3x －2或a >x ＋2恒成立，∵x <2，∴a ≥4. 故a 的取值范围是[4，＋∞)．4．设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立． (1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关于x 的不等式|x －3|－2x ≤2m －12. 解析 (1)设f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|， 则有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－6－2x ，x <－7，8，－7≤x ≤1，2x ＋6，x >1，当x <－7时，f (x )>8，当－7≤x ≤1时，f (x )＝8， 当x >1时，f (x )>8.综上，f (x )有最小值8，所以m ≤8，故m 的取值范围为(－∞，8]． (2)当m 取最大值时，m ＝8.原不等式等价于|x －3|－2x ≤4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3，x －3－2x ≤4或⎩⎪⎨⎪⎧x <3，3－x －2x ≤4，等价于x ≥3或－13≤x <3.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－13. 5．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x <－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x >2.当x <－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x . 而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 6．设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.解析 (1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4. 因为方程|x －2|＋|x －1|＝4的解为x 1＝－12，x 2＝72，所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫72，＋∞. (2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1， 而f (x )≤1的解集是[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，所以1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)．所以m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫1m ＋12n ＝2＋2n m ＋m2n≥4.。