高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件
高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.2 含有绝对
1.2．2 绝对值不等式的解法课标解读1.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集不等式a＞0a＝0a＜0|x|＜a {x|－a＜x＜a}∅∅|x|＞a {x|x＞a，或x＜－a}{x∈R，且x≠0}Rax b c ax b c c(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3．|x－a|＋|x－b|≥c与|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法：(1)利用绝对值不等式的几何意义求解；(2)利用零点分段法求解；(3)构造函数，利用函数的图像求解．1．当c＜0时，|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c的解集分别是什么？【提示】c＜0时，|ax＋b|≤c的解集为∅.|ax＋b|≥c的解集为R.2．当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集是什么？【提示】因为|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|.∴当|a－b|＞c时，不等式|x－a|＋|x－b|＞c的解集为R.事实上，对于一切x∈R，有|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|a－b|＞c.|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等式的解法解下列不等式：|x 2－x ＋2|＞x 2－3x －4.【思路探究】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 ∵x 2－x ＋2＝(x －12)2＋74＞0，∴|x 2－x ＋2|＝x 2－x ＋2.原不等式等价于x 2－x ＋2＞x 2－3x －4， 解之得x ＞－3.∴原不等式的解集为{x |x ＞－3}．1．(1)解绝对值不等式，等价转化(去绝对值)是解题的关键．(2)先挖掘性质，避免繁杂讨论，简化了运算．2．一般地，形如|f (x )|＞g (x )，我们可以借助|ax ＋b |＞c 的解法转化为f (x )＜－g (x )或f (x )＞g (x )，当然|f (x )|＜g (x )⇔－g (x )＜f (x )＜g (x )．而如果f (x )的正负能确定的话，也可以直接去掉绝对值再解；如果f (x )的正负不能确定，也可以用分段讨论的方法求解．解不等式|x 2－12|＞2x .【解】 ①若2x ＜0，即x ＜0. ∵|x 2－12|≥0对任意的x ∈R 恒成立，∴|x 2－12|＞2x (x ＜0)恒成立，∴x ＜0是原不等式的解．②若2x ＝0，即x ＝0.∵|x 2－12|＝|02－12|＝12＞2x ＝2×0＝0.∴x ＝0是原不等式的解． ③若2x ＞0，即x ＞0.|x 2－12|＞2x ⇒x 2－12＞2x 或x 2－12＜－2x .由x 2－12＞2x 得x ＜2－62或x ＞2＋62；由x 2－12＜－2x ，得－2－62＜x ＜－2＋62.∴x ＞2＋62或0＜x ＜－2＋62是原不等式的解．综上，原不等式的解集是{x |x ＞1＋62，或x ＜62－1}．|x －a |＋|x －b |≥c 型不等式 的解法解不等式|2x －1|＜|x |＋1.【思路探究】 考虑|2x －1|与|x |的零点，分区间讨论．【自主解答】 ①当x ＜0时，原不等式可化为－2x ＋1＜－x ＋1解之得x ＞0，与x ＜0矛盾，此时无解；②当0≤x ＜12时，原不等式可化为－2x ＋1＜x ＋1，解之得x ＞0，又∵0≤x ＜12，从而有0＜x ＜12；③当x ≥12时，原不等式化为2x －1＜x ＋1，∴x ＜2.因此12≤x ＜2.综合①②③知，原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．分区间去绝对值时切忌忽视端点也称为零点的值；这种解法中三个不等式组的解都适合原来的不等式，因此最后原不等式的解集是这三个不等式组解集的并集，不要误求为交集．(2013·青岛检测)不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( ) A ．[－5,7] B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)【解析】 法一 当x ≤－3时，原不等式可化为5－x －x －3≥10， 即2x ≤－8，∴x ≤－4，此时不等式的解集为{x |x ≤－4}． 当－3<x ≤5时，原不等式可化为5－x ＋x ＋3≥10，此时无解． 当x >5时，原不等式可化为x －5＋x ＋3≥10，解得x ≥6， 此时不等式的解集为{x |x ≥6}．综上可知，原不等式的解集为{x |x ≤－4或x ≥6}，故选D.法二 由绝对值的几何意义可知，|x －5|＋|x ＋3|表示数轴上的点x 到点－3和5两点的距离之和，又点－4和6到点－3和5的距离之和都为10，如图，故满足|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．【答案】 D绝对值不等式的综合问题已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【思路探究】 解f (x )≤3，由集合相等，求a . 求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 范围． 【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|， 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，5，2x ＋1，x ＜－3，－3≤x ≤2，x ＞2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 应有实数m 的取值范围是(－∞，5]．1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a2}．由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.1．不等式|x |·(1－2x )＞0的解集是( ) A ．(－∞，12)B ．(－∞，0)∪(0，12)C ．(12，＋∞)D ．(0，12)【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x ＞0，解得x ＜12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪(0，12)．【答案】 B2．不等式|x －2|＞x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)【解析】 原不等式同解于x －2＜0，即x ＜2. 【答案】 A3．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．【解析】 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}． 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 【答案】 34．(2013·江西高考)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________． 【解析】 由于||x －2|－1|≤1，即－1≤|x －2|－1≤1， 即|x －2|≤2，所以－2≤x －2≤2，所以0≤x ≤4.【答案】[0,4]一、选择题1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( )A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2) 【解析】由1＜|x＋1|＜3，得1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1，∴0＜x＜2或－4＜x＜－2.∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．【答案】 D2．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )A．1，－1 B．2，－2C．1，－2 D．2，－1【解析】|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示．设z＝x＋2y，作l0：x＋2y＝0，把l0向右上和左下平移，易知：当l过点(0,1)时，z 有最大值z max＝0＋2×1＝2；当l过点(0，－1)时，z有最小值z min＝0＋2×(－1)＝－2.【答案】 B3．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是( )A．0 B．1C．－1 D．2【解析】由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，即a≤1.故实数a的最大值为1.【答案】 B4．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足( )A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3【解析】 由|x －a |＜1得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2得x ＜b －2或x ＞b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2， 即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 【答案】 D 二、填空题5．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是________． 【解析】 法一 不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|， 两边平方得(x ＋1)2≥(x －3)2，解得x ≥1， 故不等式的解集为[1，＋∞)．法二 不等式等价转化为|x ＋1|≥|x －3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x 到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x ＝1，故不等式的解集为[1，＋∞)．【答案】 [1，＋∞)6．(2013·重庆高考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵|x －5|＋|x ＋3|＝|5－x |＋|x ＋3|≥|5－x ＋x ＋3|＝8， ∴(|x －5|＋|x ＋3|)min ＝8，要使|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，只需a ≤8. 【答案】 (－∞，8]7．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋|a －14|＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵方程x 2＋x ＋|a －14|＋|a |＝0有实根，∴Δ＝12－4(|a －14|＋|a |)≥0，即|a －14|＋|a |≤14.根据绝对值的几何意义，知0≤a ≤14.【答案】 [0，14]三、解答题8．(2012·课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．9．如图所示，O 为数轴的原点，A 、B 、M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示C 与原点的距离，y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？【解】 (1)依题意y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30.(2)由题意，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30，(*)①当0≤x ≤10时，不等式组(*)化为4(10－x )＋6(20－x )≤70， 解之得9≤x ≤10；②当10＜x ＜20时，不等式组(*)化为4(x －10)＋6(20－x )≤70， 解之得10<x ＜20；③当20≤x ≤30时，不等式组(*)化为4(x －10)＋6(x －20)≤70， 解之得20≤x ≤23.综合①②③知，x 的取值范围是9≤x ≤23.10．(2013·辽宁高考)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{}x |1≤x ≤2，求a 的值．【解】(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5. 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{}x |x ≤1或x ≥5. (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{}x |1≤x ≤2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.1．对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________． 【解析】 当x ≥2时，不等式化为x ＋10－x ＋2≥8，即12≥8，成立． 当x ≤－10时，不等式化为－x －10＋x －2≥8，即－12≥8，不成立．当－10<x <2时，不等式化为x ＋10＋x －2≥8，即x ≥0 所以0≤x <2.综上，得原不等式的解集为{x |x ≥0}． 【答案】 [0，＋∞) 2．设函数f (x )＝|2x －4|＋1.11 (1)在给定坐标系中画出函数y ＝f (x )的图像；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．【解】 (1)由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ＜2，2x －3，x ≥2，则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像可知，当且仅当a ≥12或a ＜－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图像有交点．故不等式f (x )≤ax 的解集非空时，a 的取值范围为(－∞，－2)∪[12，＋∞)．。
高中数学 1.2.2 绝对值不等式的解法课件 新人教A版选修45[1]
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成立的 x 值,依据“大于取两边,小于取中间”的法则写出不等式的解集
即可.
(2)(分段讨论法)分段讨论去掉绝对值符号,以 a,b 为分界点,将实数
集分为三个区间,在每个区间上 x-a,x-b 的符号都是确定的,从而去掉绝
对值符号.
∴x-8≥3,或 x-8≤-3.∴x≥11,或 x≤5.
∴原不等式的解集为{x|x≥11 或 x≤5}.
本题题型已成为“公式”型的问题,即解不等式时,套用|ax+b|≥c 型
的转化方法,进而解之,而数形结合是从函数图象的角度解释不等式,从
中可找到适合的 x.
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问题
(wèntí)导
学
KETANG HEZUO TANJIU
预习(yùxí)
导引
预习交流
如何用分段讨论法解含绝对值的不等式?
提示:用分段讨论法解含绝对值的不等式时,先求出使每一个绝对
值符号内的多项式等于零的未知数的值(称为零点),再将这些值依次在
数轴上标注出来,它们把数轴分成若干个区间,讨论每一个绝对值符号
内的多项式在每一个区间上的符号,去掉绝对值符号,使之转化为不含
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
3
2
(3)当 x≥1 时,|x+2|+|x-1|<4⇔x+2+x-1<4⇔2x<3⇔x< ,即
≥ 1,
3
的解集为 1, .
2
| + 2| + |-1| < 4
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.1绝对值不等式课件
∴|x－A|<2ε，|y－A|<2ε是|x－y|<ε 成立的充分条件．
反之，若|x－y|<ε，则可以取|x－A|<34ε，|y－A|<4ε ，而使得
条件|x－A|<2ε，|y－A|<2ε得不到满足．
因此，|x－A|<2ε，|y－A|<2ε是|x－y|<ε 成立的充分而不必要条
件．
答案： A
数学D 选修4-5
数学D 选修4-5
第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
3．已知|a＋b|<－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式： ①a<－b－c；②a>－b＋c；③a<b－c；④|a|<|b|－c； ⑤|a|<－|b|－c. 其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式 的序号都填上)．
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第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
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预习学案
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第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
课堂讲义
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1．绝对值的几何意义 |a|表示数轴上__表__示__数__a_的__点__到_原__点___的距离． |a－b|表示数轴上表__示__数__a_的__点____到_表__示__数__b_的__点__的距离． 2．不等式关于“运算”的基本性质 加法性质：_a_>__b_⇒_a_＋__c_>_b_＋__c_______. 乘法性质：__a_>__b_且__c>__0_⇒_a_c_>_b_c_；__a_>_b_且__c_<_0_⇒__a_c_<_b_c_____.
高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2.2绝对值不等式的解法课件北师大版选修4_5ppt版本
§2 含有绝对值的不等式
2．2 绝对值不等式的解法
学习目标
重点难点
1.根据不等式的性质，利用绝对值的 几何意义，会求解|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞
1.重点是利用绝对值 的几何意义求解含绝
g(x)型不等式．
对值的不等式．
2．掌握运用分段讨论法、图像法、几 何意义法求解形如
(2)解不等式x2－12＞2x.
解：①当 2x＜0，即 x＜0 时， ∵不等式x2－12≥0 对任意的 x∈R 恒成立， ∴不等式x2－12＞2x(x＜0)恒成立． ∴x＜0 满足原不等式．
②当 2x＝0，即 x＝0 时， ∵x2－12＝02－12＝12＞2x＝2×0＝0， ∴x＝0 满足原不等式． ③当 2x＞0，即 x＞0 时， x2－12＞2x⇒x2－12＞2x 或 x2－12＜－2x. 由 x2－12＞2x，得 x＜2－2 6或 x＞2＋2 6；
法二 原不等式等价于
2≤x－4＜3 或－3＜x－4≤－2，
即 6≤x＜7 或 1＜x≤2.
所以原不等式的解集为{x|1＜x≤2 或 6≤x＜7}．
(3)由原不等式，可得
x＋1＞2－x 或 x＋1＜x－2.
解得 x＞12.
所以所求不等式的解集为xx＞12
.
|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c
单＞0击)型此不处等编式的辑解母法版文本样式
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法三 将原不等式转化为 |x＋7|－|x－2|－3≤0， 构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，即 y＝－2x＋122，，x－＜－7≤7，x≤2，
6，x＞2. 作出函数的图像如图所示， 由图可知当 x≤－1 时，有 y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0. 所以原不等式的解集为{x|x≤－1}．
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.2绝对值不等式1.2.2绝对不等式的解法
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[规范解答] (1)当 a＝1 时，f(x)≥12等价于|x＋1|－|x| ≥12.(1 分)
①当 x≤－1 时，不等式化为－x－1＋x≥12，无解； ②当－1＜x＜0 时，不等式化为 x＋1＋x≥12， 解得－14≤x＜0；
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所以原不等式的解集为 {x|x≤ －1 或 2≤x≤3 或 x≥6}．
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类型 2 |x－a|＋|x－b|≥c 或|x－a|＋
|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
[典例 2] (2016·全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝|x＋1|－|2x －3|.
当且仅当 θ＝π4时等号成立． 所以 b 的取值范围为( 2，＋∞)．(10 分)
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思路 3：令 g(a)＝ a＋ 1－a， x＝ a，
因为 0≤a≤1，设 y＝ 1－a，
则 x2＋y2＝1，0≤x≤1，0≤y≤1. 问题转化为在 x2＋y2＝1，0≤x≤1，0≤y≤1 的条件 下，求 z＝x＋y 的最大值．
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类型 3 绝对值不等式的综合应用(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 10 分)设函数 f(x)＝|x＋ a|－ |x－ 1－a|.
(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥12的解集； (2)若对任意 a∈[0，1]，不等式 f(x)≥b 的解集为空 集，求实数 b 的取值范围．
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高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的
【做一做3】 解不等式|2x-5|-|x+1|<2.
分析:利用零点分区间法解题.
解:令 2x-5=0,得 x= 5 . 令x+1=0,得 x=-1.
2
(1)当 x≤-1 时,原不等式等价于-(2x-5)+(x+1)<2,
即-x+6<2,即 x>4,无解.
(2)当-1<x<
5 2
时,原不等式等价于-(2x-5)-(x+1)<2,
题型一 题型二 题型三
解法一:(几何法)如图,设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B,则A,B 两点的距离是3,因此区间[-2,1]上的数都不是原不等式的解.为了求 出不等式的解,关键要在数轴上找出与点A,B的距离之和为5的点. 将点A向左移动1个单位到点A1,这时有|A1A|+|A1B|=5;
同理,将点B向右移动1个单位到点B1,这时也有|B1A|+|B1B|=5. 从数轴上可以看到,点A1与B1之间的任何点到点A,B的距离之和 都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都 大于5. 所以,原不等式的解集是(-∞,-3]∪[2,+∞).
2.2 绝对值不等式的解法
1.会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围. 2.会解|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c四种类 型的绝对值不等式.
1.(1)解绝对值不等式的主要依据 解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义、绝对值的几 何意义及不等式的性质. (2)绝对值不等式的解法
【做一做1】 解下列绝对值不等式: (1)|x|<3;(2)|x|>4.
2018_2019学年高中数学第一章不等关系与基本不等式1.2含有绝对值的不等式1.2.1含有绝对值的不等式课件北师
证明:∵|x|>m≥|a|,|x|>m≥|b|,|x|>m≥1, ∴|x|2>|b|.
������ ������ ������ ������ |������| |������| |������| |������|2 ∴ ������ + ������2 ≤ ������ + ������2 = |������| + |������|2 < |������| + |������|2 = 2. 故原不等式成立.
当ab≤0时,等号成立.
【做一做】 已知|x-a|< ������ , ������ − ������ < ������,
2
2
求证: |(������ + ������) − (������ + ������)| < ������.
分析:利用不等式的性质证明即可.
证明:|(x+y)-(a+b)|=|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+|y-b|.①
①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.
A.①和② B.①和③C.①和④
D.②和④
解析:∵ab>0,∴a,b同号,
∴|a+b|=|a|+|b|,∴①和④正确.
答案:C
1
2
3
4
5
高中数学人教A版选修课件：1.2.2 绝对值不等式的解法
-5-6 < 0
-1 < < 6.
∴-1<x<2或3<x<6.
∴原不等式的解集为{x|-1<x<2或3<x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二:作函数y=x2-5x的图象,如图所示.
|x2-5x|<6表示函数图象中直线y=-6和直线y=6之间相应部分的自
故原不等式等价于x2-x+2>x2-3x-4.
∴x>-3.∴原不等式的解集为{x|x>-3}.
反思本题形如|f(x)|>g(x),我们可以借助形如|ax+b|>c的解法转化
为f(x)<-g(x)或f(x)>g(x),当然|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x).如果f(x)的
正负能确定的话,也可以直接去掉绝对值号再解不等式.
解法二:3≤|x-2|<4⇔3≤x-2<4或-4<x-2≤-3⇔5≤x<6或-2<x≤-1.
∴原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.
题型一
题型二
题型三
题型四
【例2】 不等式|5x-x2|<6的解集为(
)
A.{x|x<2或x>3} B.{x|-1<x<2或3<x<6}
C.{x|-1<x<6}
借助函数的图象,用数形结合来解得a的范围.而理解这几种表述方
式对掌握本节知识有很好的帮助.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 解|ax+b|≥c(c>0)和|ax+b|≤c(c>0)型的不等式
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第一章 不等关系与基本不等式
预习学案
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课后练习
1．若 A＝{x||x－1|＜2}，B＝x|x－x 2＞0，则 A∩B 等于(
)
A．{x|－1＜x＜3}
B．{x|x＜0，或 x＞2}
C．{x|－1＜x＜0，或 2＜x＜3}
D．{x|－1＜x＜0}
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3．如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＞a的解集是全体实数 ，则a的取值范围是________．
解析： 由绝对值的几何意义可知， |x－3|＋|x－4|≥1， 故a＜1. 答案： (－∞，1)
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4．运用分段讨论法解绝对值符号里是一次式的不等式(特 别是含两个或两个以上绝对值符号的)，其一般步骤是：
(1)令每个绝对值里的代数式__为__零__，并求出相应的根(又 叫零点)；
(2)把这些根由__小__到__大__排__列__，把不等式的存在域(未知数 的取值范围)分成若干段；
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(3)在每一段上去掉_绝__对__值__符__号___组成若干个不等式(组)， 解这些不等式(组)，求出交集；
(4)取这些不等式(组)的解集的___并__集_就是原不等式的解集 ．
在变形的过程中要特别注意保证同解，还要注意步骤的简 捷与表达的明晰．区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”， 同时还要分清端点是否包括在内．
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2．2 绝对值不等式的解法
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[学习目标]
1．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c；|x－a|＋|x－b|≤c.
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解析： A＝{x|－1＜x＜3}， B＝{x|x＞2，或x＜0}， ∴A∩B＝{x|－1＜x＜0，或2＜x＜3}． 答案： C
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2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( ) A．{x|－4＜x＜－2或0＜x＜2} B．{x|－4＜x＜－2} C．{x|0＜x＜2} D．{x|－4＜x＜2} 解析： ∵1＜|x＋1|＜3， ∴1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1. ∴0＜x＜2或－4＜x＜－2. 答案： A
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|ax＋b|≥c，|ax＋b|≤c型不等式的解法
解不等式3≤|8－x|. [思路点拨] 在|ax＋b|＜c与|ax＋b|＞c(c＞0)型的不等式中 ，如果a是负数，为了方便，可以先把a化成正数，并写成标准 形式后再求解．
所以原不等式的解集为x－74≤x≤94 .
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含多个绝对值的不等式的解法
解不等式|x＋3|＋|x－3|＞8. [思路点拨] 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为 了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，可以进行分类讨论 ；也可以借助数轴利用绝对值的几何意义；还可以画出左、右 两边相应函数的图象，利用图象法直观求解．
2．明确绝对值不等式解题的关键及方法步骤．
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[学法指要]
1．以选择题的形式考查绝对值不等式的解法，同时常与 集合相结合，在集合的交、并、补运算中考查解法．(重点)
2．考查含参数的绝对值不等式的解法中分类讨论、等价 转化的数学思想．(重点、难点)
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1．解不等式|4x－1|＋2≤10. [思路点拨] 含有一个绝对值的不等式，可以把绝对值内 的部分作为一个整体，应用|x|＜a或|x|＞a(a＞0)，即可解决问 题．
解析： |4x－1|＋2≤10⇔|4x－1|≤10－2⇔|4x－1|≤8⇔－ 8≤4x－1≤8⇔－7≤4x≤9⇔－74≤x≤94，
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4．解不等式|1－2x|＞5. 解析： |1－2x|＞5⇔|2x－1|＞5⇔2x－1＞5或2x－1＜－ 5⇔2x＞6或2x＜－4⇔x＞3，或x＜－2， 所以原不等式的解集为{x|x＞3，或x＜－2}， 即(－∞，－2)∪(3，＋∞)．
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第一章 不等关系与基本不等式
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第一章 不等关系与基本不等式
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1．绝对值不等式表示为__|a_＋__b_|_≤_|a_|_＋__|b_| ___. 2．在绝对值不等式定理2中，有___|_a_－__c_| __≤|a－b|＋|b－ c|.
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第一章 不等关系与基本不等式
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课后练习
1．a＞0时，|x|＜a⇔_－__a_<_x_<_a___，|x|＞a⇔_x_<_－__a_或__x_>_a__. 2．c＞0时，|ax＋b|≤c⇔______－__c_≤_a_x_＋__b_≤_c____，|ax＋ b|≥c⇔__a_x_＋__b_≥_c_或__a_x_＋__b_≤_－__c____. 3．一般地说，解含绝对值不等式的基本思想是___等__价___ ___转__化__，就是采用正确的方法，化去绝对值符号，方法有公 式法(同解原理法：如|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)，不必讨 论g(x)的正负)、平方法、分段讨论法等．
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第一章 不等课后练习
[解题过程] ∵|8－x|＝|x－8|， ∴原不等式即为|x－8|≥3. 化简，得x－8≥3，或x－8≤－3. 解得x≥11，或x≤5. ∴原不等式的解集是{x|x≥11，或x≤5}．
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第一章 不等关系与基本不等式