北师大版八年级数学下册 因式分解-教案

《1因式分解》教案

教学目标

1、教学知识点：

使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系．2、能力训练要求：

通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力．3、情感与价值观要求：

通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系．

教学重难点

教学重点：

1．理解因式分解的意义．

2．识别分解因式与整式乘法的关系．

教学难点：

通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系．

教学过程

Ⅰ．创设问题情境，引入新课

［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？

［生］会．（a+b）（a－b）=a2－b2．

［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的．从式子（a+b）（a-b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？

［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立．

［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题．

Ⅱ．讲授新课

1．讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流．

［生］993－99能被100整除．

因为993－99=99×992－99=99×（992－1）=99×9800=99×98×100，其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除．

［师］993－99还能被哪些正整数整除？

［生］还能被99，98，980，990，9702等整除．

［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式．2．议一议．

你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．

［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．

［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）．

3．做一做．

（1）计算下列各式：

①（m+4）（m－4）=__________；

②（y－3）2=__________；

③3x（x－1）=__________；

④m（a+b+c）=__________；

⑤a（a+1）（a－1）=__________．

［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16；

②（y－3）2=y2－6y+9；

③3x（x－1）=3x2－3x；

④m（a+b+c）=ma+mb+mc；

⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a．

（2）根据上面的算式填空：

①3x2－3x=（）（）；

②m2－16=（）（）；

③ma+mb+mc=（）（）；

④y2－6y+9=（）2．

⑤a3－a=（）（）．

［生］把等号左右两边的式子调换一下即可．即：

①3x2－3x=3x（x－1）；

②m2－16=（m+4）（m－4）；

③ma+mb+mc=m（a+b+c）；

④y2－6y+9=（y－3）2；

⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）．

［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？

［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式．

［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解．

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）．

4．想一想．

由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a

（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？

［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反．

［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反．

［师］非常棒．下面我们一起来总结一下．

如：m（a+b+c）=ma+mb+mc（1）

ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）

联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式．

区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算．

等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解．

所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形．

5．例题．

下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？

（1）4a（a+2b）=4a2+8ab；

（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）；

（3）a2－4=（a+2）（a－2）；

（4）x2－3x+2=x（x－3）+2．

［生］（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；

（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3）和（2）相同，是因式分解；

（4）是因式分解．

［师］大家认可吗？

［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x－3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解．

Ⅲ．活动与探究

已知a=2，b=3，c=5．

求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值．

解：当a=2，b=3，c=5时，

a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）

=a（a+b－c）+b（a+b－c）－c（a+b－c）

=（a+b－c）（a+b－c）

=（2+3－5）2=0

Ⅳ．课时小结