平面向量及其应用综合练习题 百度文库

一、多选题1．题目文件丢失！

2．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则

下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=

D ．()

4BC a b ⊥+

3．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（ ） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB +=

D ．0PA PB PC ++=

4．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.

B ．若4A

C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =

D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 5．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

6．下列各式中，结果为零向量的是（ ） A ．AB MB BO OM +++ B ．AB BC CA ++ C ．OA OC BO CO +++ D ．AB AC BD CD -+-

7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是

（ ）

A ．若a b >，则sin sin A

B >

B ．若sin 2sin 2A B =，则AB

C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形

D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形

8．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．11

22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133

BM BA BD =

+ D ．12

33

CM CA CD =

+

9．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）

A ．()10,0e =，()21,1=e

B ．()11,2e =，()22,1e =-

C ．()13,4e =-，234,55??=-

???

e D ．()12,6=e ，()21,3=--e

10．在下列结论中，正确的有（ ）

A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B ．平行向量又称为共线向量

C ．两个相等向量的模相等

D ．两个相反向量的模相等

11．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ?中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ?中，不等式sin cos A B >恒成立

C ．在ABC ?中，若cos cos a A b B =，则ABC ?必是等腰直角三角形

D ．在ABC ?中，若060B =，2b ac =，则ABC ?必是等边三角形 12．（多选题）下列命题中，正确的是（ ） A ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b +≤+； B ．若0a b ?=，则00a b ==或； C ．对于任意向量,a b ，有||||||a b a b ?≤ D ．若,a b 共线，则||||a b a b ?=±

13．点P 是ABC ?所在平面内一点,满足20PB PC PB PC PA --+-=,则ABC ?的形状不可能是( ) A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

14．题目文件丢失！ 15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

17．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，且1

||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形

D ．等边三角形

18．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosC

a b c

==，则

∠B 的大小是（ ） A ．

12

π

B ．

6

π C ．

4

π D ．

3

π

19．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为

1S ，ABC 的面积为2S ，则

1

2

S S = A ．310 B ．38

C ．

2

5

D ．

421

20．在ABC ?中，D 为BC 中点，且1

2

AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1

B ．23

-

C ．13

-

D ．34

-

21．在ABC ?中，设2

2

2AC AB AM BC -=?，则动点M 的轨迹必通过ABC ?的（ ） A ．垂心

B ．内心

C ．重心

D ． 外心

22．已知20a b =≠，且关于x 的方程2

0x a x a b ++?=有实根，则a 与b 的夹角的

取值范围是( ) A ．06

,π??????

B ．,3ππ??

?

???

C ．2,33ππ???

???

D ．,6ππ??

?

???

23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠?＝，BD 与

AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）

A 62

B ．

1

(62)2

C 62

D ．

1

(62)2

24．在ABC ?中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则

()AG AW BC +?=（ ）

A ．4

B ．6

C ．10

D ．14

25．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得

45BDC ∠=?，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）

A ．102

B ．106

C ．103

D ．10

26．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点

C ，

D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）

A ．10,2?? ???

B ．10,3?? ???

C ．1,02??

-

??? D ．1,03??- ???

27．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在

OC 方向上的投影相同，则a =（ ）

A ．12

-

B ．

12

C ．-2

D ．2

28．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若

AB AF 3→→=，则AE BF

→→的值为（ ） A ．0

B ．

83

C ．-4

D ．4

29．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

3

π B ．

23

π C ．

56

π D ．

6

π 30．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+=（ ）

A ．1-

B ．12

-

C ．2-

D ．32

-

31．已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且

???PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A ．重心外心垂心 B ．重心外心内心 C ．外心重心垂心 D ．外心重心内心

32．已知点O 是ABC ?内一点，满足2OA OB mOC +=，

4

7

AOB ABC S S ??=，则实数m 为（ ） A ．2

B ．-2

C ．4

D ．-4

33．在ABC ?中，下列命题正确的个数是（ ）

①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ?的内心，且

()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?为等腰三角形；④0AC AB ?>，则

ABC ?为锐角三角形．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

34．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且

a b =，则cos B 等于（ ）

A

B ．

14

C

D

35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若

()2

2S a b c +=+，则cos A 等于（ ）

A ．

45

B ．45

-

C ．

1517

D ．1517

-

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无 2．ABD 【分析】

A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；

B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；

C. 根据，利用数量积运算判断；

D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长 解析：ABD 【分析】

A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；

B.根据2AB a =，

2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1

,2

a AB

b BC =

=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】

A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；

B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；

C. 因为1,2a AB b BC =

=，所以11

22cos120122

a b BC AB ?=?=????=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()

2

444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()

4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

3．CD 【分析】

转化为，移项运算即得解 【详解】 由题意： 故 即 , 故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

解析：CD 【分析】

转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解 【详解】

由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=

0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=

故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

4．ABD 【分析】

根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】

解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图

解析：ABD 【分析】

根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】

解：由正弦定理得2

24sin sin30AB R ACB =

==∠?

，故A 正确；

对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当

1

22

x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；

当AD AB AC <<，即1

22

x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．

故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．

【点睛】

本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．

5．ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；

对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中

解析：ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确； 对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误； 对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确； 对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C

R B C

+=+＝左边，故该选项正确.

【详解】

对于A ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2

π

，∴a ＝b 或a 2+b 2

＝c 2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

6．BD 【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】

对于选项：，选项不正确； 对于选项： ，选项正确； 对于选项：，选项不正确； 对于选项： 选项正确. 故选：

解析：BD 【分析】

根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案. 【详解】

对于选项A ：AB MB BO OM AB +++=，选项A 不正确； 对于选项B ： 0AB BC CA AC CA ++=+=，选项B 正确； 对于选项C ：OA OC BO CO BA +++=，选项C 不正确；

对于选项D ：()()

0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确. 故选：BD

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.

7．AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判

解析：AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】

对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确； 对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2

A B π

+=

，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；

对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，

所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，

sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，

因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2

A π

=，ABC 是直角三角形，故③正确；

对D ，因为2

2

2

0a b c +->，所以222

cos 02a b c A ab

+-=>，A 为锐角.

但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.

8．ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.

对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确； 对于B 选项，，由于为三

解析：ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11

22

AD AB AC =

+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，

2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；

对于C 选项，()

2212

=3333

BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()

2212

3333

CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD

【点睛】

本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.

9．ACD 【分析】

依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】

A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；

B 中，不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属

解析：ACD 【分析】

依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】

A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；

B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.

10．BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；

C. 相等向量方向相同，模相等，正确；

D. 相反向量方向相反，模相等，故正确； 故选：BCD 【点睛】

本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.

11．ABD 【分析】

对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得

解析：ABD 【分析】

对于选项A 在ABC ?中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >?>?>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ?中，由

02

2

A B π

π

>>

->，可得

sin sin()cos 2

A B B π

>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ?中，由

cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ?中，利用余弦定理可得：

2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =?，即可得到ABC ?的形状，即

可判断出正误. 【详解】

对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ?中，A ，(0,

)2

B π

∈，

2

A B π

+>

，∴

02

2

A B π

π

>>

->，

sin sin()cos 2

A B B π

∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；

对于C ，在ABC ?中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：

sin cos sin cos A A B B =， sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，

22A B ∴=或222A B π=-，

A B

∴=或2

A B π

+=， ABC ?∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.

对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，

可得2

()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===?，故正确.

故选：ABD . 【点睛】

本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.

12．ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项. 【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当时，，故选项B 错误； 因为，故选项C 正确； 当共线同向时，， 当共线反

解析：ACD 【分析】

利用向量数量积的定义和运算法则逐项判断后可得正确的选项.

【详解】

由向量加法的三角形法则可知选项A 正确； 当a b ⊥时，0a b ?=，故选项B 错误；

因为||cos ||||a b a b a b θ?=≤，故选项C 正确； 当,a b 共线同向时，||||cos 0||||a b a b a b ?==，

当,a b 共线反向时，||||cos180||||a b a b a b ?=?=-，所以选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】

本题考查向量加法的性质以及对向量数量积的运算规律的辨析，注意数量积运算有交换律，但没有消去律，本题属于基础题.

13．AD 【解析】 【分析】

由条件可得，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是所在平面内一点，且， ∴， 即， ∴，

两边平方并化简得， ∴，

∴，则一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形， 故

解析：AD 【解析】 【分析】

由条件可得||||AB AC AC AB -=+，再两边平方即可得答案. 【详解】

∵P 是ABC ?所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， ∴|||()()|0CB PB PA PC PA --+-=， 即||||CB AC AB =+， ∴||||AB AC AC AB -=+， 两边平方并化简得0AC AB ?=， ∴AC AB ⊥，

∴90A ?∠=，则ABC ?一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，

故不可能是钝角三角形，等边三角形， 故选：AD. 【点睛】

本题考查向量在几何中的应用，考查计算能力，是基础题.

14．无 15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】

cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即

()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，

0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，

0B π<<，所以，2

B π

=，因此，ABC 是直角三角形.

故选：A. 【点睛】

本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 17．D 【分析】

先根据0||||AB AC BC AB AC ??

+= ? ???

，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状． 【详解】

解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，

1

cos ||||2

AB AC A AB AC =

=，

3

A π

∴∠=

，

3

B C A π

∴∠=∠=∠=

，

∴三角形为等边三角形．

故选：D ． 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 18．D 【分析】

根据正弦定理，可得

111

tan tan tan 235

A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得

到B 的大小. 【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosC

a b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C

A B C ==，

即

111

tan tan tan 235

A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1

A C

B A

C A C +=-+=-，

∴273101k k k =

-

，解得3

k =

，

∴tan 3B k ==B ＝3

π

．

故选：D . 【点睛】

本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键

19．A 【解析】

∵2350OA OB OC ++=，∴()()

23OA OC OB OC +=-+． 设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且

32

OM ON

=

，

∴3613

225

5410OAC

OMC

CMN

ABC ABC S

S

S

S S ??==?=?= ???

，即

123

10

S S =．选A ． 20．B 【分析】

选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】

13BE AE AB AD AB =-=

-，1

()2

AD AB AC =+ ， 51

66

BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，

56λ∴=-，1

6μ=，23

λμ∴+=-.

故选：B. 【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 21．D 【分析】

根据已知条件可得()

2

2

2AC AB AC AB BC AM BC -=+?=?，整理可得

()

0BC MC MB ?+=，若E 为BC 中点，可知BC ME ⊥，从而可知M 在BC 中垂线

上，可得轨迹必过三角形外心. 【详解】

()()()

2

2

2AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+?-=+?=?

()

20BC AC AB AM ∴?+-=

()()

0BC AC AM AB AM BC MC MB ??-+-=?+=

设E 为BC 中点，则2MC MB ME +=

20BC ME ∴?= BC ME ?⊥

ME ?为BC 的垂直平分线 M ∴轨迹必过ABC ?的外心 本题正确选项：D 【点睛】

本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题，关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简，整理为两向量垂直的关系，从而得到结论. 22．B 【分析】

根据方程有实根得到2

4cos 0a a b θ?=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2

θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】

关于x 的方程2

0x a x a b ++?=有实根 2

40a a b ∴?=-?≥

设a 与b 的夹角为θ，则2

4cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2

θ∴≤

又[]0,θπ∈ ,3πθπ??∴∈????

本题正确选项：B 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 23．A 【分析】

由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105

°，代入正弦定理sin30sin105

AE AB

=??

，化简求得AE =-

． 【详解】

由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°

＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故

∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．

再由 sin105°＝sin （60

°+45°）＝sin60

°cos45°+cos60°sin45°4

=， △ABE 中，由正弦定理可得

sin30sin105AE AB

=??

，

∴

1

2

AE

=，∴AE =）， 故选:A ． 【点睛】

本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题． 24．C 【解析】 【分析】

取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ?的重心和外心，则0DW BC ?=，

再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】

解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ?的重心和外心 0DW BC ∴?=

()()

22113323

AG AD AB AC AB AC ∴=

=?+=+ ()

1

2

AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()

115326

AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=

++++=++ ()()()

5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ??

∴+?=?=???++++???

()

5

6

AB A BC C =?+ ()()

5

6

C AC AB AB A =?+- ()

()2222421055

66

AC AB =

-=-= 故选：C

【点睛】

本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 25．B 【分析】

设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有3

x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高． 【详解】

设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，

从而有BC=

3x ，AC=3

x ， 在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD

BDC CBD

=

可得，BC=

10sin 45sin 303

x ==.

则；

所以塔AB 的高是米； 故选B ． 【点睛】

本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解． 26．D 【分析】

设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据

3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x

的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，

则()

()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ??∈ ???

，

又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ??∈- ???

. 故选：D 【点睛】

本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般. 27．A 【分析】

根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】

由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点， 根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则

OA OC OB OC OC

OC

??=

,

即OA OC OB OC ?=?，可得4152415a +?=?-?，解得12

a =-. 故选：A. 【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 28．C 【分析】

先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果. 【详解】 如图所示，

AB AF

2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=?=

=→→=?=?=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()(

)

230,3,3,1,,33B F

E ??

? ???

，

因此(

)

BF

AE

BF

23

3,2,3232643

→=

-→→=

?-?=-=-，故选C.

【点睛】

平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ?=?；二是坐标公式

1212a b x x y y ?=+；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进