高中数学专题-基本不等式
基本不等式-高考数学复习
2 ＋2.
2 ＋2，当且仅当 x
(2)已知正实数 a ， b 满足 a ＋4 b ＝1，则 ab 的最大值为
1
16
.
1
1
+4 2
1
正实数 a ， b 满足 a ＋4 b ＝1，则 ab ＝ × a ·4 b ≤ ×
＝ ，当且
4
4
2
16
1
1
仅当 a ＝ ， b ＝ 时等号成立.
2
8
方法总结
配凑法求最值的实质及关键点
∵ a ＞0， b ＞0，4 a ＋3 b ＝6，
1
1 3＋+3
∴ a ( a ＋3 b )＝ ·3 a ( a ＋3 b )≤
3
3
2
2
1
6 2
＝ ×
＝3，当且仅当3
3
2
2
a ＝ a ＋3 b ，即 a ＝1， b ＝ 时， a ( a ＋3 b )的最大值是3.
3
2.
8
(2024·山西忻州模拟)已知 a ＞2，则2 a ＋
(200－1.5 y )2＋ y 2＋(200－1.5 y ) y ＝1.75 y 2－400 y ＋40 000＝1.75 ቀ −
800 2
120 000
400
ቁ ＋
0 < ＜
，
7
7
3
800
200 21
200
当y＝
时， PQ 有最小值
，此时 x ＝
.
7
7
7
200
800
即 AP 长为
米， AQ 长为
∴2 x ＋ y ＝(2 x ＋ y )
2
(完整版)高考数学-基本不等式(知识点归纳)
高中数学基本不等式的巧用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
(完整版)高中数学基本不等式题型总结
专题 基本不等式【一】基础知识基本不等式：)0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件： ；（2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号.2.几个重要的不等式（1）；（2）；()24a b ab +≤(),a b R ∈)+0,0a b a b ≥>>【二】例题分析【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=41x y+【变式1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=4x x y+【变式2】（2013年天津）设， 则的最小值为 .2,0a b b +=>1||2||a a b+【例2】（2012河西）已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b +【变式】已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b+=2a b ab ++【例3】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>280x y xy +-=x y +【例4】已知正数满足，则的最小值为 .,x y 21x y +=8x y xy+【例5】已知，若不等式总能成立，则实数的最大值为 . 0,0a b >>212m a b a b+≥+m【例6】（2013年天津市第二次六校联考）与圆相交于两点，()1,0by a b +=≠221x y +=,A B 为坐标原点，且△为直角三角形，则的最小值为 . O AOB 2212a b +【例7】（2012年南开二模）若直线始终平分圆的周长，()2200,0ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=则的最小值为 . 11a b+【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足12,e e 12,F F P ，则的最小值为120PF PF ⋅= 22214e e +【例9】已知，则的最小值是（ ）0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=11x y+A ．6B ．5C ．D ．3+【例10】已知函数，若，且，则的最小值为 .()4141x x f x -=+120,0x x >>()()121f x f x +=()12f x x +【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,若直线与轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且与圆,m n R ∈:10l mx ny +-=x l 相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 .224x y +=2O AOB ∆【例2】设，，若，，则的最大值为_______.,x y R ∈1,1a b >>2x y a b ==28a b +=11x y+【例3】若实数满足，则的最大值为 .,x y 221x y xy ++=x y +【例4】（2013年南开一模）已知正实数满足，则的最小值为 .,a b 21a b ab ++=a b +【例5】设，若直线与圆相切，则的取值范围是,m n R ∈()()1120m x n y +++-=()()22111x y -+-=m n +（ ）（A ） （B ）1⎡+⎣(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ） （D ）22⎡-+⎣(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知，且成等比数列，则的最小值为 . 1,1x y >>11ln ,,ln 44x y xy 【例7】（2015天津）已知 则当的值为 时取得最大值.0,0,8,a b ab >>=a ()22log log 2a b ⋅【例8】（2011年天津）已知，则的最小值为 .22log log 1a b +≥39a b +【例9】下列说法正确的是（ ）A ．函数的最小值为x x y 2+=B ．函数的最小值为)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．函数的最小值为x x y 2+=D ．函数的最小值为x x y lg 2lg +=【例10】设的最小值是（）,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则A ．10B ．C ．．。
高中数学精品课件：第一章 基本不等式
(2)若 x<23，则 f(x)＝3x＋1＋3x－9 2有
A.最大值0
√C.最大值－3
B.最小值9 D.最小值－3
∵x<23，∴3x－2<0， f(x)＝3x－2＋3x－9 2＋3 ＝－2－3x＋2－93x＋3 ≤－2 2－3x·2－93x＋3＝－3. 当且仅当 2－3x＝2－93x，即 x＝－13时取“＝”.
教材改编题
1.已知 x>2，则 x＋x－1 2的最小值是
A.1
B.2
C.2 2
√D.4
∵x>2， ∴x＋x－1 2＝x－2＋x－1 2＋2≥2 x－2x－1 2＋2＝4， 当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时，等号成立.
2.(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.ba＋ab≥2
√B.ab≤a2＋2 b2
第一章
§1.4 基本不等式
考试要求
1.了解基本不等式的推导过程. 2.会用基本不等式解决简单的最值问题. 3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
知识梳理
1.基本不等式： ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b (3)其中 2 叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数a，b的几何 平均数.
方法一 9－xy＝x＋3y≥2 3xy， ∴9－xy≥2 3xy， 令 xy＝t， ∴t>0， ∴9－t2≥2 3t， 即 t2＋2 3t－9≤0， 解得 0<t≤ 3，
∴ xy≤ 3，∴xy≤3， 当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二 ∵x＝91－＋3yy， ∴x·y＝91－＋3yy·y＝9y1－＋3yy2
新高一基本不等式专题讲义
5
申老师高中数学讲义
基本不等式
【例 2】若 x，y 是正数，则 (x + 1 )2 + ( y + 1 )2 的最小值是（ ）
2y
2x
A．3
B． 7 2
C．4
D． 9 2
配有视频讲解
【例
3】（2011•湖南）设
x, y ∈ R ，且
xy
≠
0 ，则 x2
+
1 y2
1 x2
+ 4 y2 的最小值为
)
2| x| y +1
A． 1 2
B． 1 4
C． 3 4
D． 5 4
4
申老师高中数学讲义
基本不等式
配有视频讲解
类型 3 常规凑配法
模型一： mx + n = m(x − a) + n + ma ≥ 2 mn + ma(m > 0, n > 0) ，当且仅当 x − a =
x−a
x−a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n 时等号成立； m
【例 5】已知 0 < x < 3 ，则 2 + 4 的最小值为 2 x 3− 2x
3
申老师高中数学讲义
基本不等式
【例 6】（2013•天津）设 a + b = 2 ， b > 0 ，则 1 + | a | 的最小值是
．
2|a| b
配有视频讲解
【例 7】若 m > 1, n > 0 ，
m
+
n
=3 ，则
2 m−
1
+
1 n
的最小值为__________．
基本不等式高中数学
基本不等式高中数学
基本不等式是高中数学中常见的一个重要概念。
不等式是比较两个数大小关系的数学表达式，而基本不等式则是一些常用的不等式模式，可以帮助我们简化和解决复杂的不等式问题。
以下是几个常见的基本不等式：
1. 加法不等式：对于任意实数a、b和c，有a < b，则a + c < b + c。
2. 减法不等式：对于任意实数a、b和c，有a < b，则a - c < b - c。
3. 乘法不等式：对于任意正实数a、b和c，有a < b，则ac < bc；对于任意负实数a、b和c，有a < b，则ac > bc。
需要注意的是，当a、b和c中存在0时，乘法不等式的性质会有所不同。
4. 平方不等式：对于任意实数a，有a² ≥ 0。
这个不等式告诉我们，任何实数的平方都大于等于0。
5. 绝对值不等式：对于任意实数a，有|a| ≥ 0。
绝对值不等式告诉我们，任何实数的绝对值都大于等于0。
这些基本不等式可以作为解决不等式问题的基础，可以通过运用它们来简化和推导更复杂的不等式，进而求解不等式方程。
在解决不等式问题时，还需要注意不等式的性质和特殊情况的处理，例如分段函数、绝对值函数等。
高中6个基本不等式的公式
高中6个基本不等式的公式高中6个基本不等式的公式总的来说，高中数学中的6个基本不等式公式是：(一)、二次不等式：ax²+bx+c>0；(二)、三角不等式：sinα+cosα>1；(三)、平方和不等式：a²+b²>2ab；(四)、指数不等式：an>bn；(五)、对数不等式：lnA<lnB；(六)、比较不等式：a>b。
一、二次不等式所谓的二次不等式，指的是形如ax²+bx+c>0的不等式结构，它是十分重要的，用来描述我们一类由双曲线组成的函数。
双曲线函数是一类非线性函数，受到各种外部因素的作用不会改变函数的存在形式，尽管其具体的参数可能会发生变化。
二、三角不等式三角不等式是一类与三角学相关的不等式，它们非常重要，有助于我们正确推理出三角形的其他特征。
其中最为重要的是sinα+cosα>1，这个不等式说明了在三角形内，任意一个角的正弦值是小于它的余弦值的，而它们的和则要大于1.三、平方和不等式平方和不等式有助于我们正确推断出空间里的形状的特性，它的形式如a²+b²>2ab，它推断了如果有两个边的长度为a和b，其和的平方要大于两者的乘积，也就是说任何一个正方形都有其两条边之和要大于两边乘积的特性。
四、指数不等式指数不等式是一类非常重要的数学不等式，它们由an>bn构成，例如4²>2³，这种不等式用来推断出当前指数的大小的变化，即指数不等式可以用来推断出更大的数值要比较小的数值大。
五、对数不等式对数不等式是由lnA<lnB构成的一类逆函数，即任何一个大于0的数值，当它们取反数之后所得到的值都是小于0的，但是它们仍然可以用来推断出比较大小的特性。
六、比较不等式比较不等式是一类用来推断出大小的不等式，它们最为重要的形式就是a>b，它们能够用来快速准确的推断出大数比小数大的情况，不需要拆分细节就可以迅速的把握出其大小之间的差异。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
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高中数学专题-基本不等式（第1课时）32**学习目标**1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.**要点精讲** 1．基本不等式：2a bab +³ (0,0a b >>)，即：两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立．注：上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。
2．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．a ≥0,b ≥0 3．基本不等式的变形公式： （1）20,0a a ≥≥（a R ∈）； （2）2222(,)a b abab a b R +吵?；（3）22(,)2a b ab a b R +Ｎ； （4）2(,)a b ab a b R ++澄；（5）2()(,)2a b ab a b R ++Ｎ。
4．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若 a i ≥0(i=1,2,…,n), 则1212nn n a a a a a a n++鬃?鬃祝(n>1,n ÎN)；**范例分析**例1．（1）如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2. （2）已知0,0a b >>，求证：2a bab +³ ，你能解释2a b ab +≤（,a b R +∈）的几何意义吗？例2. 利用基本不等式证明下列不等式：(1) 已知a>0,求证 a+12a ³； (2) 已知a>3,求证 a+473a ³-；例3. (1). 已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (1111)(1)(1)8x y z--->(2). 已知0,0x y ≥≥，求证：()()21124x y x y +++≥。
例4．（1）已知,,a b c 为任意实数，求证：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca ； （2）已知a+b+c=1, 求证a 2+b 2+c 2≥13。
４．已知a , b , c 不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:c b a cb a ++>++111 注意：利用基本不等式证明时要交代等号为何不能成立．规律总结1．均值不等式（不等式链）：若,a b R +∈，则21/1/2a b a b +≤≤≤+其中，21/1/2a b a b ++,a b 的调和平均数（H ）、几何平均数（G ）、算术平均数（A ）、平方平均数（P ），即有H G A P ≤≤≤。
基本功能有：（1）P A ≥，将平方和与两数和互化； （2）A G ≥，将和与积互化； （3）A H ≥，将和与倒数和互化；（4≤≤,a b 为正数。
2．学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．3．均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；用均值不等式证明时，为达到目标可先宏观，后微观；均值不等式和不等式的基本性质的联合运用是证明不等式行之有效的方法。
**基础训练** 一、选择题1．下面推导“222a b a b ab ++⎛⎫≥⇒≥ ⎪⎝⎭） .A 没有考虑等号成立的条件 .B 没有考虑,a b 的值应当非负的限制 .C 没有考虑0ab <而不能开方的情况 .D 没有考虑0ab >是可以开方的条件2．若a>1,b>1则a+b,2ab,2ab ,22b a +中最大的一个是（ ）A a+b,B 2ab,C 2ab ,D 22b a +3．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是（ ） A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+ C ．b a b a 22222+≥++ D ．b a b a -≥-||4．如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ）Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一5．已知x,y ∈R ，M=x 2+y 2+1，N=x+y+xy ，则M 与N 的大小关系是（ ） A 、M ≥N B 、M ≤N C 、M=N D 、不能确定二、填空题6． 比较大小：lg9lg11 1；7．已知0>>a b ，且1=+b a ，将下列五个数221,2,,,2a b ab b a +按从大到小顺序排列 是 。
8．有一组数据：)(,,2121n n x x x x x x ΛΛ≤≤，它们的算术平均值为10，若去掉其中最大的n x ，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的1x ，余下数据的算术平均值为11。
则1x 关于n 的表达式为___________；n x 关于n 的表达式为___________。
三、解答题9．证明：（1）若+∈R b a ,，则ba ab +≥b a +。
（2）已知,,a b c R +∈，求证：bc ca aba b c a b c ++≥++。
10．（1）已知,,a b c R +∈，求证：111111222a b c b c c a a b++≥+++++； （2）已知a , b , c ∈R +, 且a+b+c=1, 求证: 9111≥++cb a 。
.四、能力提高11．若a 、b 是正数，则2b a +、ab 、ba ab+2、222b a +这四个数的大小顺序是（ ）A.ab ≤2b a +≤b a ab +2≤222b a +B.222b a +≤ab ≤2b a +≤ba ab+2C.b a ab +2≤ab ≤2b a +≤222b a +D.ab ≤2b a +≤222b a +≤ba ab+212．已知,,a b c R +∈，1abc =111a b c≤++。
3．4．1基本不等式例1．解：（1）221S a b =+，22S ab =，由12S S ≥知，222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立；（2）见要点精讲。
例2.（1）因为0a >，所以12a a +≥=，当且仅当1a =时等号成立；（2）因为3a >，所以()44333733a a a a +=-++≥=--； 当且仅当433a a -=-，即5a =时等号成立；例3.（1）因为,,x y z 是互不相等的正数，且x+y+z=1，所以11y z x x +-=>……①11z x y y +-=>11x y z z +-=>……③ 三式相乘得1111)(1)(1)8x y z--->。
（2）证明：因为0,0x y ≥≥，所以2x y+≥ ()()2111124244x y x y x y x y +⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦≥=。
例4．证明：（1）因为()()()222222102a b c ab bc ca a b b c c a ⎡⎤++---=-+-+-≥⎣⎦，得证。
或222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，三式相加得证。
（2）方法1：()()222222212223a b c a b c ab bc ca a b c=++=+++++≤++，所以a 2+b 2+c 2≥13，当且仅当13a b c ===时等号成立； 方法2：因为()()()()222222a ba b a b a b +=++-≥+，所以()()222222221131*********a b c a b c c c c ⎛⎫++≥++=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立； **参考答案** 1~5 BDBAA ；5．提示：()()()22211102M N x y x y ⎡⎤-=-+-+-≥⎣⎦； 6．<； 7．a ab b a b >>>+>22122；8．()121,9n x n x n =-=+。
9．证明：（1≥≥ （2）证明：2bc ca c a b +≥，2ca ab a b c +≥，2bc ab b a c+≥，相加得证。
10．（1）因为()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭，所以114a b a b +≥+， 同理，114b c b c +≥+，114a c a c+≥+，相加得证。
（2）提示：()11139b a c a c b a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++++≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
11．C ；提示：方法1，特殊赋值，令a =1，b =2，则2b a +=23，ab =2，b a ab +2=34， 222b a +=241+=25=5.2. 选C 。
方法2，严格证明，由恒等式()()()22222a b a b a b++-=+得2ba +≤222b a +；由20≥，得ab ≤2b a +ba ab+2≤ab 。
选C 。
12．证明1：因为,,a b c R +∈，1abc =，所以11a b +≥=11b c+≥11c a+≥证明2：11bc ca a b+=+≥=，下同证法1。