《函数的初步认识》
初步认识函数
初步认识函数函数是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学领域都有广泛的应用。
函数可以描述不同变量之间的关系，并且在计算机编程中起到了关键的作用。
本文将从数学和计算机两个角度对函数进行初步的认识。
一、数学中的函数在数学中，函数是指一种特殊的映射关系，将一个集合中的元素与另一个集合中的元素进行对应。
简而言之，函数就是将输入映射为输出的规则。
函数通常用符号表示，例如 f(x) = 2x + 1。
在这个例子中，f(x) 是函数的名称，x 是自变量，2x + 1 是根据函数规则计算得到的因变量。
我们可以给函数一个输入值 x，然后计算出对应的输出值。
函数的定义域是指能够被输入到函数中的所有可能的值的集合，而值域是指函数所有可能的输出值的集合。
函数的图像可以通过在平面直角坐标系上绘制函数的输入和输出值的对应关系来表示。
二、函数在计算机科学中的应用在计算机科学中，函数被用来封装一段特定的代码，以便在需要的时候进行调用。
这样可以提高代码的重用性和可读性。
在大多数编程语言中，函数由函数头和函数体组成。
函数头定义函数的名称和参数列表，函数体则包含了函数要执行的具体代码。
通过调用函数并传递参数，我们可以在程序中多次使用该函数，并且每次使用可以传递不同的参数值。
函数可以用于实现各种不同的功能，例如计算数值，处理数据结构，执行算法等。
在编写程序时，我们可以通过编写自定义函数来解决问题，而不需要重复编写相同的代码。
三、函数的特征和分类函数有以下几个重要的特征：1. 唯一性：每个输入值只能对应一个输出值，同一个输入值不能对应多个输出值。
2. 一致性：对于相同的输入值，函数的输出值应该是相同的。
3. 可逆性：有些函数可以通过逆运算得到原来的输入值。
例如，如果一个函数将输入值加倍，逆运算就是将输出值除以2。
函数可以根据其性质和关系进行不同的分类。
例如，线性函数是指函数的图像是一条直线；多项式函数是指函数形式为多项式的函数；三角函数是指函数的输入和输出之间有特定的三角关系。
七年级数学上册《函数的初步认识》教案、教学设计
1.通过实际问题导入，引导学生自主探究函数的定义，培养独立思考和合作交流的方法，提高学生的动手能力。
3.利用信息技术手段，如几何画板等，让学生观察函数图像的变化，培养学生直观想象和空间思维能力。
4.通过分析典型例题，引导学生运用函数知识解决实际问题，提高学生的问题解决能力。
-设想活动：课堂小结时，让学生分享学习体会，同伴之间相互评价对方的学习成果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在新课导入阶段，我们将通过一个贴近学生生活的实例来激发学生的学习兴趣，并引导学生思考背后的数学原理。
1.情境创设：以学校附近的公交站点的公交车发车时间为例，提出问题：“同学们，你们是否注意过公交车发车的时间间隔？这些时间间隔是否有什么规律？”通过这个问题，让学生意识到现实生活中存在一定的规律性。
（二）教学设想
1.引入生活实例：通过引入与学生生活密切相关的实例，如气温变化、物体运动等，让学生感知函数的存在和意义，激发学生的学习兴趣。
-设想活动：让学生记录一周的气温变化，并将其转化为函数模型，分析气温的日变化规律。
2.概念建构：采用探究式教学法，引导学生从具体实例中发现函数的普遍特征，逐步建构起函数的概念。
（四）课堂练习
在此环节，我们将进行课堂练习，以检验学生对函数知识点的掌握情况。
1.练习设计：设计具有代表性的练习题，包括选择题、填空题、解答题等，涵盖函数的定义、表示方法和性质等方面。
2.学生练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，关注学生的解答过程和答案。
3.评价反馈：对学生的练习结果进行评价，及时反馈，纠正错误，巩固知识。
（三）学生小组讨论
在此环节，我们将组织学生进行小组讨论，以增强他们的合作能力和思维能力。
青岛版(新)数学七年级上册 5.5函数的初步认识
青岛版（新）数学七年级上册 5.5函数的初步认识1. 什么是函数在数学上，函数是一种特殊的关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
简单来说，函数就是输入一个值，通过某种规则运算后输出一个值。
数学中常用的表示函数的方式是用一个小写的字母表示函数，例如 f(x)，其中 f 就是函数的名称，x 表示输入的值。
在数学中，我们通常将输入的值称为自变量，输出的值称为因变量。
2. 函数的形式描述函数可以通过不同的形式来进行描述，常见的有以下几种：2.1. 函数的图像描述函数的图像描述是通过绘制函数的图像来表示函数的关系。
在二维坐标系中，自变量通常用 x 表示，因变量用 y 表示。
我们将所有的自变量与因变量的对应关系用线段连接起来，就得到了函数的图像。
例如，我们有一个函数 f(x) = x^2，可以通过绘制图像来表示这个函数的关系。
图像是一个开口向上的抛物线。
2.2. 函数的公式描述函数也可以用公式来表示，通过给出函数的计算规则，我们可以根据自变量的值来计算出因变量的值。
例如，函数 f(x) = 2x + 1 就是一个通过公式进行描述的函数。
我们可以根据给定的 x 值，通过计算 2x + 1 的结果来获取函数的值。
2.3. 函数的表格描述除了图像和公式，函数还可以通过表格来进行描述。
我们将自变量的取值和相应的函数值放在一张表格中，以展示函数的关系。
例如，下表展示了函数 f(x) = x^2 在自变量 x 取不同值时的函数值：x f(x)-24-11001124表格的每一行表示一个点，两列分别是自变量和因变量的取值。
3. 函数的性质函数有一些重要的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
3.1. 定义域和值域定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
对于函数 f(x) = x^2，其定义域是所有实数，因为任何实数都可以作为自变量。
而值域是所有大于等于 0 的实数，因为平方得到的结果总是大于等于 0。
【教案】 函数的初步认识
5.5函数的初步认识一、教与学目标：1.能说出函数的概念，在具体的情景中分清哪个是变量是自变量，谁是谁的函数，会由自变量的值求出函数值．2.能从具体实例中抽象出函数，发展抽象思维能力，感悟运动变化的观点．3.能通过具体情景建立函数关系式的，提高认识变化规律、预测发展趋势的能力．二、教与学重点难点：函数、自变量、函数值的概念三、教与学方法：问题教学法，分组讨论法、自主学习，自主探究，互动学习，合作探究。
学生通过自主探究、合作学习体会函数及自变量的意义．四、教与学过程：（一）、情境导入：（利用幻灯片出示下列问题）[问题一]：一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它合多少厘米？[问题二]：如果某种电视机屏幕的对角线长是x 英尺，换算为公制是y 厘米，试写出y 与x 之间的关系式；[问题三]：在y 与x 的关系式中，哪写是常量？哪些是变量？y 的值是由x 的取值确定的；当x=34英寸时，y=2.54×34=86.36（厘米）[问题四]；说一说，你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？[问题五]：研究5.3节、5.4节中的例子，你会发现变量y 与x 之间有什么关系？ 小组讨论函数的概念： ．注意事项：（1）在“同一个变化过程”中“两个变量”（2）y 的取值由x 的取值“惟一”确定，通过多媒体手段，向学生出示有关生活中电视机的问题，一方面让学生感受数学与现实生活的联系，增强学生数学学习的应用意识；另一方面让学生初步建立函数解析式模型．（二）、探究新知：1、问题导读：（1）、在 中，有 变量 ，变量 是由 的值惟一确定的，我们把y 叫做x 的函数，其中 是自变量．（引导学生举例加深对函数定义的理解）（2）、结合P 117完成下列问题例1人行道由小正方形水泥地转铺设而成，如图是小正方形水泥地砖的一种铺设方式：① ② ③①按照图①，②，③次序这样铺下去，下个图形中有多少块小正方形水泥地砖？ ②如果用n 表示上述图形中的序号，S 表示相应图中小正方形水泥地砖的块数，写出S与n之间的关系式．指出在这个问题中哪些量是常量，哪些量是变量，哪个量是哪个量的函数．③在序号为100的图形中，一共有多少块小正方形水泥地砖？2、合作交流：学生通过自学问题导读，对有疑惑的问题展开交流合作，进而达成共识．3、精讲点拨：（1）、对于函数的定义教学时注意一下几点：①突出“同一变化过程”、“两个变量”、“y的值有x的值惟一确定”；②函数有多种表示方式，如列表、图像、解析式等；③并不是所有的函数都能表示．（2）、对于例题鼓励学生观察图形，独立思考，并与其他同学交流，发现规律．（三）、学以致用：1、巩固新知：（1）、如果三角形一边的长为x厘米，这条边上的高为6厘米，那么这个三角形的面积y=_________平方厘米；当x=4厘米时，y=________平方厘米（2）、某种型号的计算器单价为40元，商家为了扩大销售量，现按八折销售，如果卖出x台这种计算器，共卖得y 元请写出用x表示y的关系试，在这个问题中，哪些量是变量？哪些量是自变量？（3）、已知1立方米的质量是7.8克，写出一个立方体的钢块的质量y（克）与着个立方体的棱长x（厘米）之间的关系式。
七年级数学上册第五章代数式与函数的初步认识5.5《函数的初步认识》课件(新版)青岛版
[问题一]：一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸， 它合多少厘米？(提示:1英寸═2.54厘米)
[问题二]：如果某种电视机屏幕的对角线长是x英尺， 换算为公制是y厘米，试写出y与x之间的关系式；
[问题三]：在y与x的关系式中，哪些是常量？哪些是 变量？
[问题四]:说一说，你家的电视机是多少英 寸的，合多少厘米？ [问题五]： 通过研究，你会发现变量y与x之 间有什么关系？
学习小结
半径（cm） 面积（cm2）
1
1.5
2
2.6
Байду номын сангаас
3.2
由此可以看出，圆的半径越大，面积就 ____.
学习目标:
1.通过实例进一步认识常量与变量，理解自 变量与函数的定义，能列出实例中的两个变量 之间的等量关系，从而写出简单的函数关系式。 2.经历从具体实例中抽象出函数的过程，发 展观察分析抽象概括等思维能力。 3.使学生认识到数学知识来源于生活，从而 体会到学习函数的必要性，提高学习数学的兴 趣。
(2)如果用n表示上述图形中的序号，s表示相应图 形中小正方形水泥地砖的块数，写出s与n之间的关 系式。指出在这个问题中哪些是常量，哪些是变量， 哪个量是哪个量的函数。
(2)根据(1)中发现的规律，第n个图形中地
砖的块数应当是5(2n+1),即s═5(2n+1).
(3)铺设序号为100的图形中，一共有多少块小正方 形水泥地砖？ 当n=100时，S=5×（2×100+1）=1005（块）。
飞行时间t（秒） 1
路程m(公里)
5
10 15 20 …
117 156 …
7.8
39 78
变式题：观察下图，根据表格中的问题回答下列问题：
函数的初步认识的教学教案
函数的初步认识的教学教案有关函数的初步认识的教学教案目标1.理解坐标平面内点的坐标特征并会应用；2.能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析；3.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。
重点能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系难点能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系问题1：象限点的`坐标特征：1.已知平面直角坐标系中两点A（x，1）、B（－5，y）.（1）若点A、B 关于x轴对称，则x=____，y=____；（2）若点A、B关于y轴对称，则x=____，y=_____；（3）若点A、B关于原点对称，则x=____，y=_____．2.已知点P（2m一5，m一1），当m 时，点P在二、四象限的角平分线上；当m 时，点P在一、三象限的角平分线上．3.在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′则与点B′关于x轴对称的点的坐标是【相关题型】1. P31 例2 例32. P32 课堂训练2、4、6、73. P33 课外巩固1、5、拓展题问题2：自变量的取值范围：函数中自变量x的取值范围是【相关题型】 1. P31 例12. P32 课外巩固4问题3：结合实际问题看图象1.小颖从家出发，直走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是（）2.如图所示，在直角坐标系中，图（1）中的图案“A”经过变换分别变成图（2）至图（6）中的相应图案（虚线对应于原图案）．试写出图（2）至图（6）中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化，对应点的坐标之间有什么关系?【相关题型】 1. P32 课堂训练1、3、53. P33 课外巩固2、3、备注巩固案1.在直角坐标系中，点A（2，1）向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后的坐标为（）A. （4，3）B. （－2，－1）C. （4，－1）D. （－2，3）2.在直角坐标系中，点M（sin50°，－cos70°）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3.点A（－2，－3）和点B（2，3）在直角坐标系中（）A. 关于x轴对称B. 关于y轴对称C. 关于原点对称D. 不关于坐标轴和原点对称4.数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为( )A．6或－6 B．6 C．－6 D．3或－35.在直角坐标系中，点A（－3，m）与点B（n，1）关于x轴对称，则m=________，n=________．6.点P（a+1，a－1）在直角坐标系的y轴上，则点P坐标为_____．7.在直角坐标系中，点A（－1，1），将线段OA（O为坐标原点）绕点O 逆时针旋转135°得线段OB，则点B的坐标是______．8.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=4，试建立适当的直角坐标系，写出各顶点的坐标．9.在平面直角坐标系中，分别描出点A（－1，0），B（0，2），C（1，0），D（0，－2）．（1）试判断四边形ABCD的形状；（2）若B、D两点不动，你能通过变动点A、C的位置使四边形ABCD成为正方形吗？若能，请写出变动后的点A、C的坐标．10.如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程的两个根，且OA>OB（1）求的值．（2）若E为x轴上的点，且求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．。
函数的初步认识
•函数的基本概念•函数的分类与运算•常见函数解析式目•函数的应用场景•函数的实际应用案例录函数的定义函数是一种数学模型，它描述了一个输入值（或多个输入值）与一个输出值（或多个输出值）之间的对应关系。
在函数中，输入值被称为自变量，输出值被称为因变量。
函数的表示方法函数对应每个输入值只有一个输出值。
单值性封闭性连续性可导性函数的定义域和值域之间存在一种封闭关系，即通过函数关系转换后的值不会超出原始值的范围。
函数在定义域内的每一点都是连续的，即函数不会突然跳跃或中断。
函数在某一点处可导，即该点的切线存在。
函数的基本性质超越函数有理函数复合函数初等函数由常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算加法减法乘法三角运算除法幂运算定义域值域复合运算规则030201定义图像性质一次函数定义图像性质图像正比例函数的图像是一条直线。
定义一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数。
性质当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
1 2 3定义图像性质定义对数函数的图像与底数a的取值有关，不同的底数a对应不同的图像。
图像性质定义图像幂函数方程求解统计分析热学电学力学成本核算函数在成本核算中发挥着重要作用，如总成本、平均成本等。
市场需求预测函数可以帮助预测市场需求，从而制定合理的销售策略。
投资回报分析函数可以用来分析投资回报，为投资者提供参考。
函数在经济领域的应用03软件设计01算法实现02数据处理函数在计算机领域的应用利用函数解决实际问题的方法结果解释和评估模型训练和应用特征提取和选择数据探索和可视化利用函数进行数据分析数据预测和时间序列分析最优化决策和规划风险评估和风险管理机器学习和人工智能应用决策结果解释和实施利用函数进行预测与决策。
《函数的初步认识》课件ppt文档
用
实际的 问题情境
字 母 表
示
数
代数式
代数 式的值
常量 变量
函数 函数值
2020/12/13
2
知识点一：用字母表示数
用字母表示数，能简明地把__数___和_数__量__关__系__
表达出来，从而为叙述和研究问题带来方便．
注意：
(1)字母与字母相乘时应写成省略乘号的形式;
间为 t 时,应得报酬为 m 元. 填写下表:
表7-1 工作时间t(时) 1 5 10 15 20
t
报酬m(元) 16 80 160 240 320
16t
怎样用关于 t 的代数式来表示m?
m = 16 t
2020/12/13
13
二、自主探究，合作交流
在以下问题中,哪些是变量? 哪些是常量?
2. 跳远运动员按一定的起跳姿势,其跳远的距离 (米) 与助跑的速度 (米/秒)有关.根据经验,跳远的距离 s = 0.085v2 (0<v<10.5).填写下表:
3.举例说明什么叫函数值.
2020/12/13
7
【知识回顾】
1.正方形的周长c与边长a的关系式为_____________， 其中常量是________________， 变量是___________________. 2.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下 列关系：S=__________. 利用这个关系式，试求出半径1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、 3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
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11
一、创设情境，导入问题
2、在跳远比赛中，根据经验，
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对应训练：
1.每种商品的单价是每只5元，它的销售额y（元） 与所授商品数量x（只）之间的关系式是 （ ），其中（ ）是（ ）的函数。 2.如图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与 抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度．该图 中的变量是（ ）与（ ），其中（ ） 是自变量（ ）的函数．
3.课本练习题3题。
1 1.5 2 2.6 3.2
学习目标
1.结合实例，知道自变量与函数的意义，能够区分自变 量与函数. 2.对于给定的函数，能根据自变量的值求出函数的值.
【学习重点与难点】 重点：对于给定的函数，能根据自变量的值求 出函数的值. 难点：正确区分自变量与函数.
新知探究（一）自变量与函数 1.自学要求： 自主学习课本124页，完成下列问题： (1) 什么是函数？什么是自变量？ (2) 什么是一个函数的函数值？怎样求？
吧，找出它们之间的联系与区别.
2.自变量每取一个值，函数都有唯一的值对应。
பைடு நூலகம்例剖析
例：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩 形面积s(m2)与一边长l(m)之间的关系式。并指 出式中的常量与变量，并判断是否是函数关系 式，若是，指出 自变量与函数。
说明：解决此类问题，关键是了解常量与变量， 自变量与函数的意义。
梯形个数n
图形周长l
1
5
2
8
3
11
4
14
5
17
……
……
1.写出l与n的关系式，在这个关系式中，哪个量是常量，哪个 量是变量？ 2.求n=11时的图形周长.
对应训练：
1. 课本练习题1，2题 2.习题5.5题。
课堂检测站
1.举三个日常生活中遇到的函数关系的例子． 答：(1)___________________________________ __； (2)___________________________________________； (3)___________________________________________．
探究（二）利用给定的函数，能根据自变量的值求 出函数的值. 自学要求：自学课本124页的内容，弄清以下问题： 1.什么是函数值？
2.如何求函数值？
3.例1中s的与n分别代表什么？它们之间的函数关系 式是什么？ 4.在序号为100的图形中，100在函数关系式中代表 什么？
例1.变式题：观察下图，根据表格中的问题回答下列问题：
2.函数y=-3x +7中，当x＝2时，函数值为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 3.写出下列函数关系式，指出自变量与函数. 一辆汽车从南京开出，行驶在去上海的高速公路上，速 度为120km／h，南京至上海约270km，则该汽车离上海的 路程s与行驶时间t之间的函数关系； 4.印刷一张矩形的张贴广告(如图17—5)，它的印刷面积为 ， 上下空白各1dm，两边空白各0.5dm，设印刷部分从上到下 的长是x dm，四周空白面积为S ，求S与x的函数关系式，并 求出当x＝8dm时，S的值．
预习效果检测
①下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A.矩形的一条边长是6 cm，它的面积S cm与另一边 长x cm的关系 B.正方形的面积与周长的关系 C.圆的面积与周长的关系 D.某图形的面积与它所在的平面的位置关系 ②一般地，如果在一个______________中，有两 个________， 例如x和y，对于x的每—个值，y都有 ______________与之对应，我们就说x是 ________________，y是________________，此时也 称y是x的__________ 点拨： 1.必须有两个变量 通过以上的练习，你一定知道函数和自变量了？和同桌交流一下
学习小结
1.你学到了哪些知识？要 注意什么问题？ 2.在学习的过程 中你有什么 体会？
教后反思
本节课主要让学生明白函 数的定义，分清哪个是自变量， 哪个是因变量，会由自变量的 值求出函数值。判断两个变量 是否有函数关系，关键要看一 个x值，是否对应唯一的一个 y值。
第 5章
代数式与函数的初步认识
【知识回顾】
1.正方形的周长c与边长a的关系式为_____________， 其中常量是________________， 变量是___________________. 2.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足 下列关系：S=__________. 利用这个关系式，试求出半径1cm、1.5cm、2cm、2.6cm 、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表： 半径（cm） 圆面积（ cm2） 由此可以看出，圆的半径越大，面积就_________.