人教A版高中数学选修4-2-1.1.1.5 切变变换-课件PPT
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切变变换
温故而知
将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩 阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投 影变换。
熟记几种常见的投影变换矩阵及几何意义
1 0 0 0
该矩阵使得平面上点的横坐标不变，
纵坐标变为0，该变换将平面内的点沿垂直
于x轴方向投影到直线x轴上。
0 0 0 1
该矩阵使得平面上点的纵坐标不
即，T
:
x y
x y
a
ky
b
k
R
M
1 0
k 1
建构数学：切变变换、切变变换矩阵
1 k 1 0
象由矩阵 0 1 k 1 确定的变换通常叫做切变变换，
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
说明：
1.矩阵
1 0
k 1
把平面上的点
P(x, y)
沿
x
轴方向平移|ky|个单位.
ky 0时，沿x轴正方向移动；
则由题设知： | k | 21 2 。
所以k的值为2或-2。
练习2
如图，矩形OABC的顶点O（0，0），A（-2，0）， B（-2，-1），C（0，-1）.将矩形OABC绕坐标原点O 旋转180°得到矩形OA1B1C1；再将矩形OA1B1C1沿x 轴正方向作切变变换，得到平行四边形OA1B2C2，且 点C2的坐标为 ( 3,1) ，
求将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换 对应的矩阵。
解：因为矩形OA1B1C1是矩形OABC绕原点O旋转180°得到的，
所以 A1(2,0), B1(2,1), C1(0,1)
又矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换得到平行四边形OA1B2C2， 且C2的坐标为 ( 3,1) ，所以点B2的坐标为( 3 2,1)
当kx=0时，原地不动,在此变换作用下,轴上的点为不动点。
例题应用：
例1、已知矩形的顶点A(2,0), B(2,0),C(2,2), D(2,2)
⑴求矩形ABCD在矩阵
1
1
2
作用下变换
得到的几何图形。
0 1
答案：菱形
1
⑵求矩形ABCD在矩阵
1
得到的几何图形。 2
0
1
作用下变换
答案：正方形
△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
解：由题设得
MN
k 0
0 0 ，1 1
1 0 0 1
k 0
0 k 0 2 2 0 0 k
由 1 0 0 0
1
0
2
2
k 可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（ ，-2）。
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是| k | ，
d 2
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线
（或点），所以可取直线 y 3x上的两(0，0)，(1，3)，
由
1
1
1
1
0 0
。
0 0
1 ， 1
1
1
1 3
2 2
得：
点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是
（0，0），（-2，2），从而直线 y 3x
在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为 y x
(巩固练习) 已知二阶矩阵
M
1c
b1 ，矩阵M对应的变换将点（2，1），
变换成点（4，-1）。求矩阵M将圆 x2 y 2 1 变换后的曲线方程。
解：由已知得
M
12
4
1,即1c
b112
4
1
2 b 4
2c
1
, 1
解得bc
2 1
M 112 1
设 P(x, y)是圆 x2 y 2 1上的任意一点，变换后的点为
1
2
1 2
1 2
1 2
该变换将平面内的点沿垂直于直线y=-x 方向 投影到直线y=-x上。
1 1
M
2
2
1 1
2 2
该变换将平面内的点沿垂直于直线y=x 方向投 影到直线y=x上。
L
探究：
1、切变变换有什么特征？
图3
图4
O、A两点保持不变，其他点的纵坐标保持不变，
横坐标都向右移动一定单位。
设将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵为
a c
b ， d 则
ca
b d
0
1
1
3
ca
b d
2 1
1
3
2 ,
a Байду номын сангаас,
所以 b 3,
c 0,
因此所求矩阵为
0
1
1
3
d 1.
回顾反思：
1．切变变换与切变变换矩阵的概念；
2．1 0
k 1
是沿x轴方向的切变变换，x轴上的点是不动点。
变，横坐标变为0，该变换将平面内的
点沿垂直于y轴方向投影到直线y轴上。
1 0 1 0
1 0 1 0
矩阵M使得平面上点的横坐标 不变，纵坐标变为与横坐标相等。
该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y=x上。
矩阵M使得平面上点的横坐标 不变，纵坐标变为横坐标相反数。
该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y=-x上。
例题讲解
已知矩阵M=
1 b
a
1
，N
c 0
2 d
，且MN
2 2
0
0
（Ⅰ）求实数 a,b, c, d 的值；
（Ⅱ）求直线 y 3x 在矩阵M所对应的线性变换下的像的
方程。
c 0 2
【解析】（Ⅰ）由题设得
2 ad bc 0
0 2
，解得
a 1 b 1 c 2
2b d 0
ky 0时，沿x轴负方向移动；
ky=0时，原地不动，在此变换作用下，轴上点为不动点.
2．1k
0 1
是沿y轴方向的切变变换，对于原图形中
的任意一点，横坐标保持不变，而纵坐标依横坐
标的比例增加，它把平面上的点沿y轴方向平移
|kx|个单位，
当kx>0沿y轴正方向移动； 当kx<0时，沿y轴负方向移动；
2、考察其中一个特殊点B:
图3
图4
B(a,b) B(a m,b) (m R)
T
:
a
b
x y
a
b
m
1 0
m b 1
a b
M 1 0
m
b
1
3、在矩阵M中，不妨设k m ,即m kb, b
一般地，对图中任意一点(x,y)，纵坐标保持不变，
横坐标依纵坐标的比例增加，(x, y) f (x ky, y)
3．1 k
0 1
是沿y轴方向的切变变换，y轴上的点是不动点。
4．切变变换保持图形面积不变。
13.不要因为没有掌声而放弃你的梦想。 32.每种创伤，都是种成熟。 41.人生是一种无法抗拒的前进。 33.有时候，垃圾只是放错位置的人才。 96.忧伤并不是人生绝境坎坷并非无止境，没有谁能剥夺你的欢乐，因为欢乐是心灵结出的果实。欢乐将指引你在人生正确方向里寻找自己的 错误，寻找自己人生的正确目标，并执著的走下去。
P'(x', y'，)则
M
x
y
x'
y'
所以
x'
y'
x2 x
yy,,从而xy
1 3 1 3
(x'2 y' (x' y')
)
练习1
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。
k 设k为非零实数，矩阵M= 0
0 1
,N=
0 1
1 0
点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A，1、B1、C1，
温故而知
将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩 阵,我们称之为投影变换矩阵, 相应的变换称做投 影变换。
熟记几种常见的投影变换矩阵及几何意义
1 0 0 0
该矩阵使得平面上点的横坐标不变，
纵坐标变为0，该变换将平面内的点沿垂直
于x轴方向投影到直线x轴上。
0 0 0 1
该矩阵使得平面上点的纵坐标不
即，T
:
x y
x y
a
ky
b
k
R
M
1 0
k 1
建构数学：切变变换、切变变换矩阵
1 k 1 0
象由矩阵 0 1 k 1 确定的变换通常叫做切变变换，
对应的矩阵叫做切变变换矩阵。
说明：
1.矩阵
1 0
k 1
把平面上的点
P(x, y)
沿
x
轴方向平移|ky|个单位.
ky 0时，沿x轴正方向移动；
则由题设知： | k | 21 2 。
所以k的值为2或-2。
练习2
如图，矩形OABC的顶点O（0，0），A（-2，0）， B（-2，-1），C（0，-1）.将矩形OABC绕坐标原点O 旋转180°得到矩形OA1B1C1；再将矩形OA1B1C1沿x 轴正方向作切变变换，得到平行四边形OA1B2C2，且 点C2的坐标为 ( 3,1) ，
求将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换 对应的矩阵。
解：因为矩形OA1B1C1是矩形OABC绕原点O旋转180°得到的，
所以 A1(2,0), B1(2,1), C1(0,1)
又矩形OA1B1C1沿x轴正方向作切变变换得到平行四边形OA1B2C2， 且C2的坐标为 ( 3,1) ，所以点B2的坐标为( 3 2,1)
当kx=0时，原地不动,在此变换作用下,轴上的点为不动点。
例题应用：
例1、已知矩形的顶点A(2,0), B(2,0),C(2,2), D(2,2)
⑴求矩形ABCD在矩阵
1
1
2
作用下变换
得到的几何图形。
0 1
答案：菱形
1
⑵求矩形ABCD在矩阵
1
得到的几何图形。 2
0
1
作用下变换
答案：正方形
△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
解：由题设得
MN
k 0
0 0 ，1 1
1 0 0 1
k 0
0 k 0 2 2 0 0 k
由 1 0 0 0
1
0
2
2
k 可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（ ，-2）。
计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是| k | ，
d 2
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线
（或点），所以可取直线 y 3x上的两(0，0)，(1，3)，
由
1
1
1
1
0 0
。
0 0
1 ， 1
1
1
1 3
2 2
得：
点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是
（0，0），（-2，2），从而直线 y 3x
在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为 y x
(巩固练习) 已知二阶矩阵
M
1c
b1 ，矩阵M对应的变换将点（2，1），
变换成点（4，-1）。求矩阵M将圆 x2 y 2 1 变换后的曲线方程。
解：由已知得
M
12
4
1,即1c
b112
4
1
2 b 4
2c
1
, 1
解得bc
2 1
M 112 1
设 P(x, y)是圆 x2 y 2 1上的任意一点，变换后的点为
1
2
1 2
1 2
1 2
该变换将平面内的点沿垂直于直线y=-x 方向 投影到直线y=-x上。
1 1
M
2
2
1 1
2 2
该变换将平面内的点沿垂直于直线y=x 方向投 影到直线y=x上。
L
探究：
1、切变变换有什么特征？
图3
图4
O、A两点保持不变，其他点的纵坐标保持不变，
横坐标都向右移动一定单位。
设将矩形OABC变为平行四边形OA1B2C2的线性变换对应的矩阵为
a c
b ， d 则
ca
b d
0
1
1
3
ca
b d
2 1
1
3
2 ,
a Байду номын сангаас,
所以 b 3,
c 0,
因此所求矩阵为
0
1
1
3
d 1.
回顾反思：
1．切变变换与切变变换矩阵的概念；
2．1 0
k 1
是沿x轴方向的切变变换，x轴上的点是不动点。
变，横坐标变为0，该变换将平面内的
点沿垂直于y轴方向投影到直线y轴上。
1 0 1 0
1 0 1 0
矩阵M使得平面上点的横坐标 不变，纵坐标变为与横坐标相等。
该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y=x上。
矩阵M使得平面上点的横坐标 不变，纵坐标变为横坐标相反数。
该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y=-x上。
例题讲解
已知矩阵M=
1 b
a
1
，N
c 0
2 d
，且MN
2 2
0
0
（Ⅰ）求实数 a,b, c, d 的值；
（Ⅱ）求直线 y 3x 在矩阵M所对应的线性变换下的像的
方程。
c 0 2
【解析】（Ⅰ）由题设得
2 ad bc 0
0 2
，解得
a 1 b 1 c 2
2b d 0
ky 0时，沿x轴负方向移动；
ky=0时，原地不动，在此变换作用下，轴上点为不动点.
2．1k
0 1
是沿y轴方向的切变变换，对于原图形中
的任意一点，横坐标保持不变，而纵坐标依横坐
标的比例增加，它把平面上的点沿y轴方向平移
|kx|个单位，
当kx>0沿y轴正方向移动； 当kx<0时，沿y轴负方向移动；
2、考察其中一个特殊点B:
图3
图4
B(a,b) B(a m,b) (m R)
T
:
a
b
x y
a
b
m
1 0
m b 1
a b
M 1 0
m
b
1
3、在矩阵M中，不妨设k m ,即m kb, b
一般地，对图中任意一点(x,y)，纵坐标保持不变，
横坐标依纵坐标的比例增加，(x, y) f (x ky, y)
3．1 k
0 1
是沿y轴方向的切变变换，y轴上的点是不动点。
4．切变变换保持图形面积不变。
13.不要因为没有掌声而放弃你的梦想。 32.每种创伤，都是种成熟。 41.人生是一种无法抗拒的前进。 33.有时候，垃圾只是放错位置的人才。 96.忧伤并不是人生绝境坎坷并非无止境，没有谁能剥夺你的欢乐，因为欢乐是心灵结出的果实。欢乐将指引你在人生正确方向里寻找自己的 错误，寻找自己人生的正确目标，并执著的走下去。
P'(x', y'，)则
M
x
y
x'
y'
所以
x'
y'
x2 x
yy,,从而xy
1 3 1 3
(x'2 y' (x' y')
)
练习1
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。
k 设k为非零实数，矩阵M= 0
0 1
,N=
0 1
1 0
点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A，1、B1、C1，