量子力学习题第一部分
北京大学量子力学习题集1
[2] 波函数的归一化及 x2, p2 的计算
一维运动的粒子处于状态
ψ
(
x)
=
⎧ ⎨
Axe−
λ
x
,
⎩ 0,
x≥0 x<0
上，其中 λ > 0 ，A为待求的归一化常数，求(1)
粒子坐标的概率分布函数；(2)粒子坐标的平均
值 x 和粒子坐标平方的平均值 x2；(3)粒子动量 的概率分布函数；(4)粒子动量的平均值 p 和粒
则有
⎡⎢− ⎣
=2 2m
⋅
d2 dx2
+V (x)⎤⎥ψ E (x)
⎦
=
Eψ E (x)
V
(x)
=
E
+
=2 2m
ψ
1 E (x)
⋅
d2 dx2
ψ
E
( x),
−∞< x<∞
(1)
如果给定一个定态波函数ψ E (x) ，则由式(1)
可给出 V (x) − E ，欲分别求出 E和 V (x)，还需
要附加条件,例如设定 V (x) 的零点.
∑ (En − Em )2 n x m 2 n
∑ = − (Em − En ) m x n (En − Em ) n x m n
∑ =
−
⎛ ⎜⎝
−
i=
μ
⎞2 ⎟⎠
n
m pn
n pm
∑ =2
= m p n n pm
μ2
n
=2 =
m
p2
n
μ
式(2)得证.以上利用了完备公式
∑ n n =1
n
∑ (En − Em ) n x m 2 n
chapter1 量子力学基础知识习题解答
= 9.403×10-11m
(3) λ = h = h p 2meV
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s
2× 9.109 ×10−31kg ×1.602×10−19 C × 300V
= 7.08×10−11m
4
乐山师范学院 化学与生命科学学院
【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为 200kV，计算电子 加速后运动时的波长。
图 1.2 金属的 Ek ~ ν 图
3
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h = Ek = ∆Ek ν −ν 0 ∆ν
即 Planck 常数等于 Ek − v 图的斜率。选取两合适点，将 Ek 和 v 值带入上式，即可求出 h 。
例如：
h
=
(2.7 −1.05) ×10−19 J (8.50 − 6.00) ×1014 s−1
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01.量子力学基础知识
本章主要知识点
一、微观粒子的运动特征
1.
波粒二象性： E
= hν , p =
h λ
2. 测不准原理： ∆x∆px ≥ h, ∆y∆py ≥ h, ∆z∆pz ≥ h, ∆t, ∆E ≥ h
3. 能量量子化
二、量子力学基本假设
1. 假设 1：对于一个量子力学体系，可以用坐标和时间变量的函数ψ (x, y, z,t) 来
相反的两个电子。或者说：对于多电子体系，波函数对于交换任意两个电子是反
对称的。
三、箱中粒子的 Schrödinger 方程及其解
1. 一维无限势阱的 Schrödinger 方程：
− 2 d2ψ 2m dx2
= Eψ
其解为：ψ n (x) =
第一章 量子力学基础 例题与习题
第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。
( )解：光子波长自由电子300g小球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。
解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。
其值是多少？若无，求其平均值。
解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。
(2)二维势箱中的10个电子。
(3)三维方势箱中的11个电子。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。
当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。
和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。
大学物理 第16章量子力学基本原理-例题及练习题
∴ n = 2,6,10...... 时概率密度最大
nhπ 6 × 10 = =1时 (3) n=1时： E = =1 2mL L
2 2 2 2 2 −38
A 例题3 例题3 设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ψ ( x ) = 方向运动， 1 + ix
( n = 1,2,3,...)
E n=4
p2 E = 2m p= nπh nh 2 mE = = a 2a
n=3 n=2 n=1
h 2a λ= = p n
二者是一致的。 二者是一致的。
( n = 1, 2, 3,...)
o a
x
例题2 粒子质量为m, 在宽度为L的一维无限 的一维无限深势 例题2 P516例1：粒子质量为m, 在宽度为 的一维无限深势 中运动，试求( 粒子在0 阱中运动，试求(1)粒子在0≤x≤L/4区间出现的概率。并 ≤ / 区间出现的概率。 求粒子处于n=1 状态的概率。 在哪些量子态上， 求粒子处于 1和n=∞状态的概率。(2)在哪些量子态上， 状态的概率 (2)在哪些量子态上 Ｌ/4处的概率密度最大？(3)求n=1时粒子的能量 补充 。 /4处的概率密度最大 (3)求 =1时粒子的能量(补充 处的概率密度最大？ =1时粒子的能量 补充)。 2 nπ x 由题得： 解:(1) 由题得： 概率密度 |ψ | = sin
2 2 2 2 0
2
2
2
2
0
0
k
0
2
2
2 k
0
k
k
k
0
h ∴λ = = p
hc 2E m c + E
2 k 0
量子力学第一章习题答案
第一章习题1.1 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求德布罗意波长。
解： A 09.71009.7210=⨯≈==-m mEh p h λ1.2 用单色光和金属钠作光电效应实验发现，当入射光波长A 3000=λ时，打出的光电子动能为1.85eV ；当A 4000=λ时，光电子的动能为0.82eV 。
求：（1）Planck 常数h 的数值；（2）用电子伏特为单位表示的钠的逸出功； （3）钠金属光电效应的截止波长。
解： 钠金属光电效应已知：A 30001=λ 1k E =1.85eVA 40002=λ 2k E =0.82eV① 求Planck 常数。
设钠的逸出功为W ，则有W -11νh E k =，W -22νh E k = ，两式相减得：)1-1()-(E -E 2121k2k1λλννhc h ==所以：78192110)4131(109979.2106021.103.1)1-1()(21⨯-⨯⨯⨯=-=-λλc E E h k k S J ⋅⨯=-34106.6053② 逸出功82.0106021.1104109979.2106053.619783422-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=---k E h W νeV 27.282.06021.14/109979.26053.60=-⨯⨯⨯=③ 截止频率0W -E K ==νh∴W h =min νh W /min =ν 3419106053.6/106021.127.2--⨯⨯⨯= z H ⨯=1410506.51.3 设)(11)(t x i e x af ωαψ-=和)(22)(t x i e x bf ωβψ-=分别表示微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态21ψψψ+=时的相对几率分布。
a ，b 为复常数，1f ，2f 为实函数。
解：2)(22)(12212||||||||t x i t x i e bf e af ωβωαψψψ--+=+=21)()(222212)(21)(21][)(||)(||f f e ab be a x f b x f a e f f ab e f bf a x i x i xi x i βαβαβαβα-*--*-**--**+++=++代入2=a，i b =得ie ef f x f x f xi x i 24)()(4||)()(2122212--++=---βαβαψx f f x f x f )sin(4)()(4212221βα-++=1.4 计算下面两个定态波函数的几率流密度，并说明其物理意义。
（完整版）高等量子力学习题汇总
（完整版）⾼等量⼦⼒学习题汇总第⼀章1、简述量⼦⼒学基本原理。
答：QM 原理⼀描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的⽮量,只相差⼀个复数因⼦的两个⽮量，描写挺⼀个物理状态。
QM 原理⼆ 1、描写围观体系物理量的是Hillbert空间内的厄⽶算符(A)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、⼀个任意态总可以⽤算符A ?的本征态ia 展开如下：ψψi i i iia C a C==∑；⽽物理量A 在ψ中出现的⼏率与2i C 成正⽐。
原理三⼀个微观粒⼦在直⾓坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[]ij j i i p x δη=?,? 原理四在薛定谔图景中，微观体系态⽮量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔⽅程给()()t H t ti ψψ?=??η在海森堡图景中，⼀个厄⽶算符()()t A H ?的运动规律由海森堡⽅程给出：()()()[]H A i t A dt d H H ?,?1?η= 原理五⼀个包含多个全同粒⼦的体系，在Hillbert 空间中的态⽮对于任何⼀对粒⼦的交换是对称的或反对称的。
服从前者的粒⼦称为玻⾊⼦，服从后者的粒⼦称为费⽶⼦。
2、薛定谔图景的概念？答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态⽮随时间⽽变⽽x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来⾃()t ψ⽽x 来⾃x ，这叫做薛定谔图景.3、已知.10,01= =βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=±>=±x S 4、已知：P 为极化⽮量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为：求证：答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2则：P x =2(x 1x 2+y 1y 2) P y =2(x 1y 2-x 2y 1) P z =x 12+y 12-x 22-y 22 P 2=P x 2+P y 2+P z 2=4(x 1x 2+y 1y 2)2+4(x 1y 2-x 2y 1)2+(x 12+y 12-x 22-y 22)2=4(x 12x 22+y 12y 22+x 12y 22+x 22y 12)+(x 14-2x 12x 22-2x 12y 22-2x 22y 12-2y 12y 22-2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x14+2x 12x 22+2x 12y 22+2x 22y 12+2y 12y 22+2x 22y 22+y 14+x 24+y 24) =(x 12+y 12+x 22+y 22)2 =(|C 1|2+|C 2|2)2 5、6、证明不确定关系.————答案:对于两个可观测量A ∧和B ∧成⽴不等式：（1）先证明⼀个引理----schwarz 不等式：对于两个态⽮|α?和|β?，必有：（2）此不等式类似于对实欧式空间的两个⽮量a,b ，必有：（3）对任意复常数λ，我们有：（4）取||βαλββ??=-，代⼊上式可得（2）.现在证明（1）式：取（5）这⾥⽤态|?来强调对任何ket ⽮量都适⽤，于是（2）式给出：（6）因：（7）其中对易⼦,,A B A B ∧∧∧∧=???是⼀个反厄⽶算符，它的平⽅值恒为纯虚数，⽽反对易⼦},A B ∧∧是厄⽶算符，它的平⽅值恒为实数，于是：的模的平⽅等于。
第一章量子力学基础习题
第一章 量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3；（D ）9 。
[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a（C） （D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====， 故选（A ）。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
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量子力学习题第一部分
一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。
二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer 实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark 效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。
三简单证明：
1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。
2. 由薛定谔方程证明几率守恒。
3. 证明定态的叠加不是定态。
4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。
5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。
6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是
解，且对应于同一能级。
7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。
8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动，
则波函数及其一阶导数连续。
9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。
10. 证明坐标和动量的对易关系。
11. 证明角动量间的对易关系。
12. 证明坐标和角动量的对易关系。
13. 证明动量和角动量的对易关系。
14. 证明厄米算符的本征值是实数。
15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符
16. 证明厄米算符的本征值必为实数。
17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简
并的。
18. 证明书中求和规则（两题）。
19. 证明（σ
⋅A ）(σ ⋅B ) =B A ⋅+ i σ ⋅(B A ⨯) 20. 证明a 和a + 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的
表示。
四 计算：
1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。
2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。
3. 设一维运动粒子用gauss 波包描述，验证测不准关系。
4．一维自由运动粒子，求波函数。
5. 粒子处于一维无限深势阱中，求能级和波函数。
6. 二维无限深势阱中运动的粒子，求能级和波函数，并讨论简并度。
7. 求平面转子的能级和波函数。
8. 求角动量z分量的本征值和本征态。
9. 粒子处于一维无限深势阱中，求坐标和动量的平均值，并对结果
给予解释。
10. 求带电谐振子处于外电场中时的能级和波函数。
11. 确定三维中心力场中运动粒子体系的力学量的完全集。
12. 对正常Zeeman效应，确定体系的守恒量。
13. 对反常Zeeman 效应，确定体系的守恒量。
14. 计及自旋-轨道耦合，确定中心立场中运动粒子的守恒量。
15. 利用周期性边界条件，求自由运动粒子的波函数。
16. 利用不确定关系估算谐振子的基态能量。
17. 证明在离散的能量本征态（束缚态）下，动量平均值为零。
18. 证明在L z 的本征态下，求L x ，L y ，L z的平均值。
19. 设体系处于态C1Y11+ C2Y20，求L z的可能测值及平均值；求L2
的可能测值及相应几率。
20. 求力学量的平均值随时间的演化规律。
21. 设有两个全同的自由粒子，都处于动量的本征态，分别讨论不计
交换对称性、波色子和费米子情况下它们在空间的相对距离的概率分布。
22. 三个全同粒子体系，设单粒子有三个态，确定对称化和反对称化
态的个数，并写出这些态。
23. 求氢原子能级的简并度（计及自旋和不计自旋）。
24，求氢原子的电流分布和磁矩。
25. 求坐标算符和动量算符在坐标表象中的表示。
26. 求坐标算符和动量算符在动量表象中的表示。
27. 中心力场中的自旋为1/2的粒子，考虑到轨道于自旋耦合，写出
体系的哈密顿量，确定体系力学量完全集合，求体系耦合表象下的基。
28. 定量解释碱金属原子光谱的双线结构。
29. 定量分析正常塞曼效应。
30. 定量解释反常塞曼效应。
31. 求两自旋为1/2全同例子体系的波函数。
32. 求自旋单态和自旋三重态下，S2和S z的本征值。
33. 在σz表象下，求σx的本证态。
34. 在σz表象下，求σn的本证态。
35. 在σz本征态下，求（ΔS x）2和（ΔS y）2的平均值。
36. 对在外电场中的线性谐振子，用微扰论和精确解分别求解。
37. 定量分析氢原子的一级Stark效应。