优选第一章量子力学基础习题
《物质结构导论》习题集第一章量子力学基础
《物质结构导论》习题集第一章 量子力学基础1．K 的电子逸出功是2.2 eV ，Ni 的电子逸出功是5.0 eV ，而1 eV=1.6×10-12 erg ，波长为4000 Å的紫光能否引起金属K 和Ni 的光电效应？ 2．考虑相对论效应，则以速度υ运动的粒子的动能为2022201c c c T μυμ--=其中0μ为粒子的静止质量。
试证明当c <<υ时，2021T υμ≈。
3．计算红光λ=6000 Å和X 射线λ=1 Å的一个光子的能量、动量和质量。
4．试求下列各粒子的de Broglie 波长 (a) 100 eV 的自由电子。
(b) 0.1 eV ，质量为1g 的粒子。
5．质量为m 的粒子，在弹性力kx -作用下运动，试写出其Schrödinger 方程。
6．写出一个被束缚在半径为a 的圆周上运动的粒子的Schrödinger 方程，并求其解。
7．已知在一维方势阱中运动的粒子的波函数为⎪⎭⎫⎝⎛=x an a πψsin 2，其中a 为势阱的长度。
试计算： (a)粒子动量的平方。
(b)n 取何值时粒子在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 41,0的几率最大。
8．用不确定原理和virial 定理判断下列论断是否正确：中子是由相距小于10-13cm 的质子和电子用Coulomb 力结合起来的粒子。
9．证明kx e x =)(ψ是x P 的本征函数，并说明k 的取值情况。
10．试计算Li 2+离子s 2和p 2轨道上电子的电离能。
11．忽略电子的自旋轨道相互作用，但考虑电子的自旋状态，试确定主量子数是n 的氢原子电子能级的简并度。
12．在求解氢原子电子的Sc hrödinger 方程时，曾忽略了万有引力的作用。
质子和电子在万有引力作用下的势能为r GM V μ='其中万有引力常数G =6.67×10-8 cm 3.g -1.s -1。
第一章 量子力学基础 例题与习题
第一章量子力学基础例题与习题一、练习题1．立方势箱中的粒子，具有的状态量子数，是A． 211 B． 231 C． 222 D． 213。
解：(C)。
2．处于状态的一维势箱中的粒子，出现在处的概率是多少？A．B．C．D．E．题目提法不妥，以上四个答案都不对。
解：(E)。
3．计算能量为100eV光子、自由电子、质量为300g小球的波长。
( )解：光子波长自由电子300g小球。
4．根据测不准关系说明束缚在0到a范围内活动的一维势箱中粒子的零点能效应。
解：。
5．链状共轭分子在波长方向460nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估计该分子的长度。
解：6．设体系处于状态中，角动量和有无定值。
其值是多少？若无，求其平均值。
解：角动量角动量平均值7．函数是不是一维势箱中粒子的一种可能的状态？如果是，其能量有没有确定值？如有，其值是多少？如果没有确定值，其平均值是多少？解：可能存在状态，能量没有确定值，8．求下列体系基态的多重性。
(2s+1) (1)二维方势箱中的9个电子。
(2)二维势箱中的10个电子。
(3)三维方势箱中的11个电子。
解：(1)2，(2)3，(3)4。
9．在0－a间运动的一维势箱中粒子，证明它在区域内出现的几率。
当，几率P怎样变？解：10．在长度l的一维势箱中运动的粒子，处于量子数n的状态。
求 (1)在箱的左端1/4区域内找到粒子的几率？(2)n为何值，上述的几率最大？(3)，此几率的极限是多少？(4)(3)中说明什么？解：11．一含K个碳原子的直链共轭烯烃，相邻两碳原子的距离为a，其中大π键上的电子可视为位于两端碳原子间的一维箱中运动。
取l＝(K－1)a，若处于基组态中一个π电子跃迁到高能级，求伴随这一跃迁所吸收到光子的最长波长是多少？解：12．写出一个被束缚在半径为a的圆周上运动的质量为m的粒子的薛定锷方程，求其解。
解：13．在什么条件下?解：14．已知一维运动的薛定锷方程为：。
和是属于同一本征值得本征函数，证明常数。
量子力学第一章习题答案
量⼦⼒学第⼀章习题答案第⼀章1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：⿊体辐射的普朗克公式为：)1(833-=kT h e c h νννπρ∵ v=c/λ∴ dv/dλ= -c/λ2⼜∵ρv dv= -ρλdλ∴ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(ehc/λkT-1)] 令x=hc/λkT ,则ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1)求ρλ极⼤值，即令dρλ(x)/dx=0，得：5(e x -1)=xe x可得： x≈4.965∴ b=λm T=hc/kx≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23)≈2.9*10-3（m K ）1.2√. 在0 K 附近，钠的价电⼦能量约为3电⼦伏，求其德布罗意波长。
解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J故其德布罗意波长为：07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ?1.3 √.氦原⼦的动能是E=32KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原⼦的德布罗意波长。
解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原⼦的质量约为=-26-2711.993104=6.641012kg , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K故其德布罗意波长为：λ= 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2≈01.2706A或λ= ⽽KT E 23=601.270610A λ-==?1.4利⽤玻尔-索末菲量⼦化条件，求：a ）⼀维谐振⼦的能量：b ）在均匀磁场作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。
chapter1 量子力学基础知识习题解答
在零点能；（4）没有经典运动轨道，只有概率分布；（5）存在节点，节点越多，
能量越高。以上这些特点是所以量子力学体系都有的特点。
2
乐山师范学院 化学与生命科学学院
本章习题解答
【1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是 Li 原子由电子组态 (1s)2(2p)1
→(1s)2(2s)1 跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以 kJ ⋅ mol−1 为单位的能量。
描述，它包括体系的全部信息。这一函数称为波函数或态函数，简称态。
不含时间的波函数ψ (x, y, z) 称为定态波函数。在本课程中主要讨论定态波函
数。 由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒
子的几率正比于ψ *ψ ，所以通常将用波函数ψ 描述的波称为几率波。在原子、分 子等体系中，将ψ 称为原子轨道或分子轨道；将ψ *ψ 称为几率密度，它就是通常 所说的电子云；ψ *ψ dτ 为空间某点附近体积元 dτ 中电子出现的几率。
花粉： ∆x
=
h m∆v
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s 10−13 kg ×1×10%m ⋅ s−1
=
6.63×10−20 m
5
乐山师范学院 化学与生命科学学院
电子： ∆x
=
h m∆v
=
6.626 ×10−34 J ⋅ s 9.1.0910−31kg ×1000 ×10%m ⋅ s−1
=
7.27 ×10−6 m
相反的两个电子。或者说：对于多电子体系，波函数对于交换任意两个电子是反
对称的。
三、箱中粒子的 Schrödinger 方程及其解
1. 一维无限势阱的 Schrödinger 方程：
基本习题和答案解析量子力学
WORD格式整理量子力学习题(一)单项选择题 1. 能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A. 1.2 A. B. 1.5 A. C. 2.1 A. D. 2.5 A. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 0 0 0 0 A.1.3 A. B. 0.9 A. C. 0.5 A. D. 1.8 A. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie 波长是 0A.1.4 A.B.1.9 0C.1.17 10J 2 A.D. 2.04.温度T=1k 时, 具有动能 010J 2 A. 0 A. =—k B T ( k B 2 为Boltzeman 常数）的氦原子的DeBroglie 波长是 0 A.8 A. B. 5.6 5.用 Bohr-Sommerfeld 0 A. 0 A. D. 12.6 0A. A. E n 二 n ，.B.C. 10 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n 二0,1,2,…） E n = （n ：）；. 2 C. E n =（n 1） ? ■ .D. E n =2n •. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其 0 0A.5.2 A.B. 7.1 A.C. 8.4 De Broglie 波长是 0 A. 7. 钾的脱出功是2ev ，当波长为 最大能量为 A. 0.25 10J 8J. B. 1.25 C. 0.25 1046 J.D. 1.25 0A. D. 9.4 03500 A 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的 10」8J. 10J 6J. 8. 当氢原子放出一个具有频率--的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生 的频率改变为 h A. . B. 2 . C.2七 2心 9. C ompton 效应证实了A.电子具有波动性.B.C.光具有粒子性.D. -2 '2走.D. PC .光具有波动性• 电子具有粒子性. 10. D avisson 和Germer 的实验证实了 A.电子具有波动性.B.光具有波动性. C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. U （x ）斗0,0：X7中运动，设粒子的状态由 [°°,x E0,X11.粒子在一维无限深势阱 J(x)二Csin 描写，其归一化常数C 为aA ^r 1. B. . C. .a• a■ a12.设t(x)—(x)，在x-x ，dx 范围内找到粒子的几率为 22.D.13.设粒子的波函数为2A.屮（x, y, z） dxdydz.'■ （x, y,z），在x—x • dx范围内找到粒子的几率为2B.屮（x, y,z） dx.2 2C.( '- (x, y, z) dydz)dx .D. . dx dy dz'- (x, yz)14.设：Mx）和：2（x）分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c「i（x）dd）的几率分布为2 2A.|汕1 +对2 .2 2 *B. |G屮l| +C2屮2 +C1C2屮1屮2.2 2 *C.k 屮1 +C2 屮2 +2GC2屮1屮2.2 2 * * * *D.- c^;2 +。
第一章量子力学基础习题
第一章 量子力学基础一．选择题1. 已知某色光照射到一金属表面、产生了光电效应，若此金属的逸出电势是0U （使电子从金属逸出需做功0eU ）则此单色光的波长λ必须满足： A（A ）0/eU hc ≤λ （B ）()o hc eU λ≥（C ）()()0/eU hc λ≤ （D ）()()0/eU hc λ≥2. 用强度为I ，波长为λ的X 射线（伦琴射线）分别照射锂（Z=3）和铁（Z=26），若在同一散射角下测得康普顿散射的X 射线波长分别Li λ和()11,Fe L F λλλλ>，它们对应的强度分别为1L I 和Fe I ，则（A ）11,L Fe L Fe I I λλ>< （B ）11,L Fe L Fe I I λλ== （C ）11,l Fe L Fe I I λλ=>（D ）11,L Fe L Fe I I λλ<> [ C ]3. 根据玻尔氢原子理论，氢原子中的电子在第一和第三轨道上运动时速度大小之比21:v v 是： （A ）1； （B ）19； （C ）3；（D ）9 。
[ C ]4. 若外来单色光将氢原子激发至第三激发态，则当氢原子跃迁回低能态时，可发出的可见光光谱的条数是： C （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ） 65. 电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后，其德布罗意波长是0.40A ，则U 约为（A ）150V （B ）330V （C ）630V （D ）940V（普朗克常量34606310.h j s -=⨯） [ D ] 6. 若α粒子（电量为2e ）在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 （A ）()2h eRB （B ）()h eRB（C ）()12eRBh （D ）)1eRBh [ A ] 7. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()32x x a πφ=（-a ≤x ≤a ）那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： （A ）1/（2a ） （B ）1/a（C） （D） [ ]解答：()2222531516cos cos 242ax a a aπρϕπ====， 故选（A ）。
第一章 量子力学基础习题1
sin β φ = sin (φ + 2π )
若上式成立, 若上式成立,则:
β =n
β 2π = n 2π
n = 0,±1,±2,
n 2 2 E = 2 ma 2
β = n2
inφ
Φ (φ ) = ce
=
1 inφ e 2π
习题
1.26正方体箱中的粒子处于状态和时,其几率密度最大处的 正方体箱中的粒子处于状态和时, 正方体箱中的粒子处于状态和时 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面? 坐标是什么?若不考虑边界,各有几个节面?表示这些节面 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分? 的方程是什么?这些节面将整个正方体箱分成几个部分?你 能不能不用计算而直接得出这些答案? 能不能不用计算而直接得出这些答案?
基本知识
5.态叠加原理
为某一微观体系的可能状态, 若Ψ1, Ψ2, Ψi, Ψn为某一微观体系的可能状态,由 它们线性组合也是该体系的可能状态. 它们线性组合也是该体系的可能状态.
Ψ = c1ψ 1 + c2ψ 2 + … cnψ n = ∑ ciψ i
i =1
n
式中Ci是任意常数,数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小.
A
x
z
θ
r
o
z
y
y
体系的能量 算符
x
P
2 1 2 1 = H [ 2 (r )+ 2 (sin θ ) 2m r r r r sin θ θ θ 1 2 + 2 2 ] + V (r ) 2 r sin θ φ
习题
因为是自由粒子, 因为是自由粒子,V(r)=0.又因为 .又因为r=a 因此体系的能量算符变为
量子习题第一章
第一章 量子力学的实验基础1-1 求证：﹙1﹚当波长较短(频率较高)。
温度较低时，普朗克公式简化为维恩公式；﹙2﹚当波长较长(频率较低)，温度较高时，普朗克公式简化为瑞利—金斯公式。
1-2 单位时间内太阳辐射到地球上每单位面积的能量为1324J.m -2.s -1，假设太阳平均辐射波长是5500A，问这相当于多少光子？ 1-3 一个质点弹性系统，质量m=1.0kg ，弹性系数k=20N.m -1。
这系统的振幅为0.01m 。
若此系统遵从普朗克量子化条件，问量子数n 为何？若n 变为n +1，则能量改变的百分比有多大？1-4 用波长为2790A和2450A 的光照射某金属的表面，遏止电势差分别为0.66v 与1.26v 。
设电子电荷及光速均已知，试确定普朗克常数的数值和此金属的脱出功。
1-5 从铝中移出一个电子需要4.2ev 能量，今有波长为2000A 的光投射到铝表面，试问：（1）由此发射出来的光电子的最大动能是多少？（2）铝的红限波长是多少？1-6 康普顿实验得到，当x 光被氢元素中的电子散射后，其波长要发生改变，令λ为x 光原来的波长，λ'为散射后的波长。
试用光量子假说推出其波长改变量与散射角的关系为2sin 42θπλλλmc =-'=∆ 其中m 为电子质量，θ为散射光子动量与入射方向的夹角（散射角）1-7 根据相对论，能量守恒定律及动量守恒定律，讨论光子与电子之间的碰撞：（1）证明处于静止的自由电子是不能吸收光子的；（2）证明处于运动状态的自由电子也是不能吸收光子的。
1-8 能量为15ev 的光子被氢原子中处于第一玻尔轨道的电子吸收而形成一光电子。
问此光电子远离质子时的速度为多大？它的德布罗意波长是多少？1-9 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化光子的波长最大是多少？1-10 试证明在椭圆轨道情况下，德布罗意波长在电子轨道上波长的数目等于整数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Aˆ Bˆu(x) BˆAˆ u(x) 0
若两算符对易，则二力学量同时有确定值。
基本知识
3.本征函数
Aˆ a
若某一力学量A的算符 Aˆ作用于某一状态ψ后，
等于一常数a乘以ψ，则力学量A有确定值,a是
算符 的本征Aˆ 值,ψ是算符 的本Aˆ征函数(或 本征态)， ψ=aAˆψ称为本征方程。
Aˆ a
基本知识
2.算符：
微观体系的每一个可观测力学量(如能量 、 动量、角动量、坐标、时间等)都与一个线性厄 米算符相对应。
线性算符 Fˆ[c1u1x c2u2 x cnun x] c1Fˆu1x c2Fˆu2 x cnFˆun x
厄米算符
u1*Fˆu2dx u2 (Fˆu1)* dx
算符对易
[ Aˆ, Bˆ] 0
则体系处于这个状态 时没有确定值，可计 算平均值。
a a (r)ˆ (r)d (r) (r)d
a a *(r)ˆ (r)d (是归一化的)
基本知识
4.Schrodinger方程
在量子力学中，决定微观体系运动状态的是定态Schrodinger 方程:
Hˆ (r) E (r) [ 2 2 V (r)] (r) E (r)
p mｖ h ｖ h
m
mn 1.675 10 27 kg
（1）电子：
ｖ
h me
6.626 1034 Js 9.111031kg0.1109 m
Ee 1 mｖ2 6.626 1034 Js 2 / 2 9.111031 kg 0.1109 m 2 2
2.41 1017 J
Pe h / 6.6261034 Js / 0.1109 m 6.631024 Js / m
Aˆ i ai i
a
Ci 2ai Ci 2
n i 1
ci
2
ai
基本知识
三.简单应用
1.一维箱中粒子
x 2 sin nx x
aa
2.三维箱中粒子 三个方向一维箱的叠加。
E
nx2
h2 8ma
2
(xyz) 8 sin nx x sin ny y sin nz z
abc a
b
c
E
(
nx2 a2
优选第一章量子力学基础习题
基本知识
• 3.电子衍射：电子照射到晶体表面上时发生衍射，能够在 屏幕上获得明暗相间的环纹。 说明电子不仅具有粒子性，还具有波性。
Bragg公式： 2 d sin =n
：衍射线与晶面之间的夹角，衍射角；
：2，反射光与入射光方向的夹角；
d：晶体的面间距
n：衍射级数 ：电子的De-Broglie波长
基本知识
二.量子力学的五个基本假定
1.波函数： 是体系中所有粒子坐标的函数， 也是时间的函数。
(xyzt)= (x1y1z1,x2y2z2,t）
在化学中所有涉及的波函数均为定态波函数。 定态：几率密度不随时间t改变而变化。 物理意义：∣(r,t)∣2＝ * 在原子、分子等体系中，代表原子轨道或分子轨道，将* 称为几率密度，即通常所说的电子云。
（2）中子:
En 1.311020 J
Pn 6.631024 Js / m
习题1.9 试求下列粒子的de Broglie波长
（1）能量为100eV的自由电子。
（2）能量为0.1eV的自由电子。 （3）能量为0.1eV，质量为1g的粒子。
（1）Ee 100eV E P2 / 2m
h / P h / 2mE
解:由爱因斯坦的光子学说 （1）
E mc 2 pc h .c 6.626 10 34 J.s 2.998 10 8 m / s 3.31 10 19 J
600 10 9 m
P mc h 6.626 10 34 Js 1.10 10 27 Jsm 1
600 10 9 m
m h
6.626 10 34 J.s
2m
实质是能量算符的本征方程。
解法：一维箱 精确求解 三维箱 分离变量法 平面刚性转子
基本知识
5.态叠加原理
若Ψ1、 Ψ2、••• Ψi、••• Ψn为某一微观体系的可能状态，由 它们线性组合也是该体系的可能状态。
n
c11 c2 2 cn n ci i i 1
式中Ci是任意常数，数值的大小反应了Ψi对Ψ的贡献 的大小。
• Cs：λλ＝400nm λCs＝600nm求v。
c
E
1 mｖ2 2
h
h o
hc
h c
o
hc
1
1
o
1
ｖ
2hv v0 /
m
2 6.626 1034
3.0
108
400
1 109
1 600 109
2
6.03105 ms1
习题பைடு நூலகம்
1.8 求波长为0.1nm的电子和中子的动能和动量。
me 9.11 10 31 kg
1
6.6261034 Js /(2 9.1101031kg100eV 1.6021019 J / eV )2
1.231010 m 123pm
（2）0.1eV的自由电子
n 9.04 10 11 m 90.4 pm
(3) 0.1eV, 1g的粒子
1.17 1022 m
习题
1.10 用速度ν＝1×109 cm/s的电子进行衍射试验,若所用晶体粉末MgO的面间 距离为242pm,晶体粉末离底板距离为2.5cm,求第2条和第3条衍射环纹的半径.
3.68 10 36 kg
c 600 10 9 m 2.998 10 8 m / s
（2） 0.1nm 11010 m
E 1.991015 J
P 6.631024 Jsm1 m 2.21 10 32 kg
习题
• 1.3计算波长λ＝400nm的光照射到金属铯上，金属铯所放 出来的光电子的初速度。已知铯的临阈波长为600nm。
h p
h mｖ
基本知识
波性 粒子性 二象性
光与实物粒子的波粒二象性
光
c
E mc2 p mc
E h
p h
u
实物粒子 u：实物粒子 波的传播速度
E 1 mｖ2＋V( r ) 2
p mｖ
v：实物粒子 的运动速度
E h
p h
当粒子V(r)=0时
h 1 mｖ2；h u 1 mｖ2
2
2
mvu 1 mｖ2；ｖ＝2u 2
n
2 y
b2
nz2 c2
h2 )
8m
立方箱：简并态：能量相同的不同状态； 简并度：能量相同的不同状态数。
3.刚性转子（平面）
“生活远不止意味着拥有许多 财富，而是应当对获取成功 过程中自己的所作所为与成 功的结果同等重视”
——诺特丹大学·商学院
习题
1.2 分别计算红外光λ＝600nm， X射线λ＝0.1nm的一个光子的能量、动量和质量。