高中数学-组合与组合数
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高中数学 组合与组合数公式
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴 中 美 中 古 中 俄 美 中 中国—古巴 美国—俄罗斯 美 古 美 俄 古 中 古 美 古 俄 中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯 俄 中 俄 美 俄 古
（2） 冠 军 亚 军
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 m 组合数，用符号 C 表示
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 组合问题 共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
abc abd acd bcd
求A 可分两步考虑： 3 4 求 可分两步考虑：
P4
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
3
3
3
CA
3 4
3 3
.
P A 从而C 4 C3 3 P3
3
3
A
3 4 4
3 4
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
高二数学组合与组合数
課堂練習：
8.九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三 张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问 可以组成多少个三位数？
解：可以分为两类情况：①
若取出6，则有2(A
2 8
+
C12C17C17 )
种方法；
②若不取6，则有
C17
组合数计算公式
复习
(1)C m
Am n
n(n 1)(n 2)(n m 1)
n
An
m!
(2)C m m n!
n m!(n m)!
组合数性质1： C
m n
C nm n
c c c 组合数性质2： m m m1
n1
n
n
C
0 n
=1
常用的组合数性质公式还有：
补充
1、Cn0 Cn1 Cnn 2n 2、Cn0 Cn2 Cn1 Cn3 3、kCnk nCnk11
3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30 个.
4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这
两组平行线相交，可以构成 Cm2 Cn2 个平行四边形 .
5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个，
第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，
可构成
Cm2 Cn2C
2 t
2 6
C
2 4
C
2 2
=
90
种方法；
②“1、2、3型”即（4）中的分配情况，有C16
C
2 5
C33
A
3 3
=
360
种方法；
③“1、1、4型”，有
高中数学选修2-3优质课件：组合与组合数公式
第十五页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝ 120××19＝45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的 选法．
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
第六页，编辑于星期一：点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
第十页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
)
A．4 或 9
B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8
时，解得 x＝9.
答案：A
第十八页，编辑于星期一：点 三十六分。
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
解：(1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数为 C210＝ 120××19＝45. (2)可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C62种选法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C42种选法． 根据分类加法计数原理，共有 C62＋C42＝15＋6＝21 种不同的 选法．
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
第六页，编辑于星期一：点 三十六分。
与组合数有关的计算
[例 2] (1)计算：C140－C37·A33； (2)已知C15m－C16m＝107Cm7 ，求 C8m＋C58－m. [解] (1)原式＝C140－A73＝140××39××28××17－7×6×5＝210 －210＝0. (2)原式＝m！55！－m！－m！66！－m！ ＝7×71－0×m7！！m！，
第十页，编辑于星期一：点 三十六分。
解：(1)原式＝C38＋C2100×1＝83× ×72× ×61＋1020××199＝56＋4 950 ＝5 006. (2)原方程可变形为CC53nn－ －31＋1＝159，Cn5－1＝154Cn3－3， 即n－1n－2n5－！3n－4n－5 ＝154·n－3n3－！4n－5，化简整理，得 n2－3n－54＝0.解此 二次方程，得 n＝9 或 n＝－6(不合题意，舍去)，所以 n＝9 为所求.
)
A．4 或 9
B．4
C．9
D．其他
解析：当 x＝3x－8 时，解得 x＝4；当 28－x＝3x－8
时，解得 x＝9.
答案：A
第十八页，编辑于星期一：点 三十六分。
2．某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服
【高中数学】组合与组合数公式课件 高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
排列
联系
组合
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念
不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙 3
问题1
从已知的3个不
同元素中每次取
有
出2个元素，按
顺
照一定的顺序排
序
成一列.
排列
问题2
从已知的3个
不同元素中每
次取出2个元
无 顺
素，并成一组
序
组合
组合的概念 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素并成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
6.2.3 组合与组合数公式
1．理解组合与组合数的概念． 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值． 3．会用组合数公式解决简单的组合问题．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1
名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
A
2 3
6
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种
因此：Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) (n m 1) m!
这里 m，n N*，且 m n，这个公式叫做组合数公式．
因为
Anm
(n
n! m)!
所以，上面的组合数公式还可以写成
Cnm
n! m!(n m)!Fra bibliotek另外，我们规定：Cn0 1 .
例2.计算 (1) C170
(2) C130
乙丙
排列 甲乙，乙甲
甲丙，丙 甲
乙丙，丙乙
例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a，b，c，d，e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？ (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个游览，有多少种不同的方法?
高中数学 1.2.2.1 组合与组合数公式课件 新人教A版选修23
2.题(2)证明的关键是什么？
第十九页，共43页。
【探究提示】1.选用组合数公式的乘积式，
即
Cmn
A mn A mm
n(n－1)(n－2)…(n－m 1) . m!
2. 有关组合数恒等式的证明，关键是化简，应先考虑利用组合数
的阶乘( jiē chénɡ)式形式作答.
第二十页，共43页。
【自主(zìzhǔ)解答】(1)原C式140－＝A37＝140392－8717×6×5 ＝210－210＝0.
【证明】右边=
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m
!
n!
m!n－m
!
Cnm
,
左边= Cmn ,所以左边=右边,所以原式成立.
第二十二页，共43页。
【方法技巧】关于组合数公式的选取技巧
(1)涉及具体数字的可以直接用
n n－m
Cm n－1
n n－m
n－1! m! n－1－m !
第十三页，共43页。
知识点2 组合数与组合数公式 1.组合数公式的两种形式的适用范围
形式
适用范围
乘积式
含具体数字的组合数的求值
要注阶意乘性式质(xìngzhì)含字母的组合的数顺的用有、关逆变用形、变及形证用明.顺用是将一
个组合数拆成两Cmn个1 ；C逆nm用 则Cnm是－1“合二为一”；变形式
=
(2)
C18 20
C220
20 19 21
190.
答案：190
(3)
C399
C929＝C1300
100 99 98 3 21
161
700.
答案：161 700
组合与组合数(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
解法二：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3
件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即：
3
100
−
3
98
98 × 97 × 96
= 161700 −
= 9604
3！
探究新知
题型探究
题型一
有限制条件的组合问题
[学透用活]
[典例 1]
课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女
解：分两类情况：
第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的 11 名学生中选取 5 人
有 C511＝462 种选法．
第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，
有 C411＋C411＝660 种选法．
所以至多有 1 名队长被选上的方法有 462＋660＝1 122 种.
探究新知
2. 有男运动员 6 名，女运动员 4 名，其中男女队长各 1 名．选派 5 人外出比赛，
典型例题
例2 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分.古人
认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、
木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素
，则2类元素相生的选取方案共有多少种？
解：从5类元素中任选2类元素， 它们相生的选取有：火土，土金，金水，
思考：（1）分别观察例1中（1）与（2），（3）与（4）的计算结果，
有什么发现？
分析：例1中（1）与（2）的计算结果相同，（3）与（4）的计算结果相同.
（1）与（2）都是从10个元素中取部分元素的组合，其中，（1）取出3个元素，
（2）取出7个元素，二者取出元素之和为总元素个数10.（3）与（4）同理.
人教版数学高二《组合与组合数公式》 名师课件
高中数学
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
(2)原方程可化为Cx＋3x－2＝110Ax＋33， 即Cx＋35＝110Ax＋33，8分 ∴5！x＋x－32！！＝x1＋0·x3！！， ∴120x－1 2！＝10·xx－11·x－2！， ∴x2－x－12＝0，10分 解得x＝4或x＝－3， 经检验：x＝4是原方程的解.12分
高中数学
• [题后感悟] 含有组合数的方程或不等式的 解法：
＝2×6＋52× ×41＝32.
高中数学
(3)方法一：原式＝Cn＋1n·Cn1＝
n＋1！ n！
·n＝
n＋1·n！ n！
·n
＝(n＋1)n＝n2＋n.
方法二：原式＝(Cnn＋Cnn－1)·Cnn－1＝(1＋Cn1)·Cn1＝(1＋ n)n＝n2＋n.
高中数学
(1)已知C15m－C16m＝107C7m，求C8m. (2)解方程：Cx＋2x－2＋Cx＋2x－3＝110Ax＋33.
• (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后
把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有
多少个？
高中数学
• 解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3 个)是进行排列还是组合，即确定是与顺序 有关还是无关．
高中数学
• [解题过程] (1)当取出3个数字后，如果改变 三个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问 题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺 序有关，是排列问题．
高中数学
练考题、验能力、轻巧夺冠
高中数学
• ②五个队进行单循环比赛的分组情况；
• ③由1,2,3组成两位数的不同方法数；
• ④由1,2,3组成无重复数字的两位数．
• A．①③
B．②④
• C．①②
高中数学D．①②④
• 2．如果Cn2＝28，则n的值为( )
高中数学 122第1课时组合与组合数公式课件 新人教A版选修23
顺序排成一列”．
2．
• 组合数与组合数公式
组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所__有__不__同__组__合 定义 _的__个__数_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
表示法
_C_mn__
组合数 公式
乘积形式 阶乘形式
n（n－1）…（n－m＋1）
Cmn = _________m_！_______
Cmn =
n！
_m__！_（ __n_－__m_）__！__
性质 备注
Cmn =_C_nn_－_m_；
Cmn＋1＝ _C_mn_+__C_nm_－_1_ ①n，m∈N*且m≤n ②规定 C0n＝_1_
试一试：试求 C28＋C83＋C29的值． 提示 C82＋C38＋C29＝C93＋C29＝C130＝130××29××18＝120.
含字母的组合数的有关变形及证明
3.对等式 Cmn ＝Cnn－m的理解 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，剩下 n－m 个元素．因 为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合，与剩下 的 n－m 个元素的每一个组合一一对应，所以从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数，等于从这 n 个元素中取出 n －m 个元素的组合数．即 Cmn ＝Cnn－m.
1.2.2 组 合
第1课时 组合与组合数公式
•【 课 标 要
1．理解组合求与】组合数的概念． 2．会推导组合数公式，并会应用公式求值． 3．了解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．
【核心扫描】
1．• 组合的概念及组合与组合数的区别．(易错点)
2．
• •
组合数公式的推导．(难点) 组合数公式的应用．(重点)
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教学重点：组合与组合数的定义． 教学难点：组合与组合数的定义应用及组合与排列的
关系
问题引入
有5本不同的书： ▪ （1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，
有几种不同的分法？ ▪ （2）取出4本给甲，有几种不同的取法？
问题（1）中，书是互不相同的，人也互不相同， 所以是排列问题．
问题（2）中，书不相同，但甲所有的书只有数 量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2）不是 排列问题．
引例２
引例2：从不在同一条直线上的三点 A、B、C中，每次取出两个点作一
条直线，问可以得到几条不同的直线？
引例3
1. 北京、上海、广州三个民航站之间的 直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？
2. 北京、上海、广州三个民航站之间 的直达航线，有多少种不同的飞机票价？
引例总结
以上引例所研究的问题是不同的， 但是它们有数量上的共同点，都是：
n! m !(n
m) !
C
m n
.
课堂小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念
作业
P23
A 1,2
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素
的组合数Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数Amm ．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：C
m n
(1)
C4 10
及
C3 7
；
(2)
3
C
3 8
2
C
2 5
；
C A (3) 已知 3 2 , 求 n ．
n
n
例２
求
证
:
C
m n
m 1 nm
C
m1 n
.
证明:
C
m n
n！ m（! n m）! ,
m 1 nm
C m1 n
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
记作：Cnm．
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合” 区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个
元素的所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次
取出两个元素的所有组合.
a
b
c
bcd c d
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习:
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排
邀请赛，通过单循环决出冠亚军． （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
我们怎么去求组合数呢？
组合问题
(握4)手10相人互聚问会候，，见共面需后握每手两多人少之次间?要组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览,
组合问题 有多少种不同的方法?
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景
点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
组合数
从 n 个不同元素中取出 m（ m n） 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个 不同元素中取出 m个元素的组合数．
知识链接
▪ 1：什么叫做排列？排列的特征是什么？
▪ 2：什么叫做排列数？它的计算公式是 怎样的？
引例１
▪ 引例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2 名去参加一项活动，有多少种不同的选 法？
从3名同学中选出2名，不同的选法有3种： 甲、乙 乙、丙 丙、甲
所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、 甲是同一种选法．
高二数学
教学目标：
（一）知识目标： 1.理解组合与组合数的定义. 2.会运用组合与组合数的定义解决相应的问题
（二）过程与方法目标 通过类比引入、分类讨论、数形结合、化归与转化等数学
思想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的能力。 （三）情感态度与价值观
培养学生良好的思维品质，感受为真理而执着追求的精神， 进行辩证唯物主义教育。
从3个不同的元素里每次取出2个元素， 不管顺序并成一组，一共有多少不同组？
组合定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个（不m同元n素）中个取元出素m并个成元一素组的，一叫个做组从合n．
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一 组”．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序 无关，这是它的根本区别．
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个
学习小组，共有多少种分法?
Anm Amm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nn 1n 2
m!
n m 1
这里m、n N，* 且 m n，这个公式叫做组合
数公式．
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
例1 计算：
关系
问题引入
有5本不同的书： ▪ （1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，
有几种不同的分法？ ▪ （2）取出4本给甲，有几种不同的取法？
问题（1）中，书是互不相同的，人也互不相同， 所以是排列问题．
问题（2）中，书不相同，但甲所有的书只有数 量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2）不是 排列问题．
引例２
引例2：从不在同一条直线上的三点 A、B、C中，每次取出两个点作一
条直线，问可以得到几条不同的直线？
引例3
1. 北京、上海、广州三个民航站之间的 直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？
2. 北京、上海、广州三个民航站之间 的直达航线，有多少种不同的飞机票价？
引例总结
以上引例所研究的问题是不同的， 但是它们有数量上的共同点，都是：
n! m !(n
m) !
C
m n
.
课堂小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念
作业
P23
A 1,2
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素
的组合数Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数Amm ．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：C
m n
(1)
C4 10
及
C3 7
；
(2)
3
C
3 8
2
C
2 5
；
C A (3) 已知 3 2 , 求 n ．
n
n
例２
求
证
:
C
m n
m 1 nm
C
m1 n
.
证明:
C
m n
n！ m（! n m）! ,
m 1 nm
C m1 n
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
记作：Cnm．
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合” 区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个
元素的所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次
取出两个元素的所有组合.
a
b
c
bcd c d
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习:
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排
邀请赛，通过单循环决出冠亚军． （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
我们怎么去求组合数呢？
组合问题
(握4)手10相人互聚问会候，，见共面需后握每手两多人少之次间?要组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览,
组合问题 有多少种不同的方法?
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景
点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
组合数
从 n 个不同元素中取出 m（ m n） 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个 不同元素中取出 m个元素的组合数．
知识链接
▪ 1：什么叫做排列？排列的特征是什么？
▪ 2：什么叫做排列数？它的计算公式是 怎样的？
引例１
▪ 引例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2 名去参加一项活动，有多少种不同的选 法？
从3名同学中选出2名，不同的选法有3种： 甲、乙 乙、丙 丙、甲
所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、 甲是同一种选法．
高二数学
教学目标：
（一）知识目标： 1.理解组合与组合数的定义. 2.会运用组合与组合数的定义解决相应的问题
（二）过程与方法目标 通过类比引入、分类讨论、数形结合、化归与转化等数学
思想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的能力。 （三）情感态度与价值观
培养学生良好的思维品质，感受为真理而执着追求的精神， 进行辩证唯物主义教育。
从3个不同的元素里每次取出2个元素， 不管顺序并成一组，一共有多少不同组？
组合定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个（不m同元n素）中个取元出素m并个成元一素组的，一叫个做组从合n．
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一 组”．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序 无关，这是它的根本区别．
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个
学习小组，共有多少种分法?
Anm Amm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
nn 1n 2
m!
n m 1
这里m、n N，* 且 m n，这个公式叫做组合
数公式．
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
例1 计算：