高中数学-组合与组合数

知识链接
▪ 1：什么叫做排列？排列的特征是什么？
▪ 2：什么叫做排列数？它的计算公式是 怎样的？
引例１
▪ 引例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2 名去参加一项活动，有多少种不同的选 法？
从3名同学中选出2名，不同的选法有3种： 甲、乙 乙、丙 丙、甲
所选出的2名同学之间并无顺序关系，甲、乙和乙、 甲是同一种选法．
组合问题
(握4)手10相人互聚问会候，，见共面需后握每手两多人少之次间?要组合问题 (5)从4个风景点中选出2个安排游览,
组合问题 有多少种不同的方法?
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景
点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
源自文库 组合数
从 n 个不同元素中取出 m（ m n） 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个 不同元素中取出 m个元素的组合数．
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有 3个元素的子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上 共需准备多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个
学习小组，共有多少种分法?
引例２
引例2：从不在同一条直线上的三点 A、B、C中，每次取出两个点作一
条直线，问可以得到几条不同的直线？
引例3
1. 北京、上海、广州三个民航站之间的 直达航线，需要准备多少种不同的飞机票？
2. 北京、上海、广州三个民航站之间 的直达航线，有多少种不同的飞机票价？
引例总结
以上引例所研究的问题是不同的， 但是它们有数量上的共同点，都是：
高二数学
教学目标：
（一）知识目标： 1.理解组合与组合数的定义. 2.会运用组合与组合数的定义解决相应的问题
（二）过程与方法目标 通过类比引入、分类讨论、数形结合、化归与转化等数学
思想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的能力。 （三）情感态度与价值观
培养学生良好的思维品质，感受为真理而执着追求的精神， 进行辩证唯物主义教育。
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序 无关，这是它的根本区别．
概念理解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
１）元素相同； ２）元素排列顺序相同.
元素相同
思考三:组合与排列有联系吗?
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造 组合就是其中一个步骤.
教学重点：组合与组合数的定义． 教学难点：组合与组合数的定义应用及组合与排列的
关系
问题引入
有5本不同的书： ▪ （1）取出3本分给甲、乙、丙三人每人1本，
有几种不同的分法？ ▪ （2）取出4本给甲，有几种不同的取法？
问题（1）中，书是互不相同的，人也互不相同， 所以是排列问题．
问题（2）中，书不相同，但甲所有的书只有数 量的要求而无“顺序”的要求，因而问题（2）不是 排列问题．
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素
的组合数Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数Amm ．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因此：C
m n
n! m !(n
m) !
C
m n
.
课堂小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
组合的概念 组合数的概念
作业
P23
A 1,2
从3个不同的元素里每次取出2个元素， 不管顺序并成一组，一共有多少不同组？
组合定义
一般地，从 n 个不同元素中取出 m 个（不m同元n素）中个取元出素m并个成元一素组的，一叫个做组从合n．
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一 组”．
记作：Cnm．
注意：
Cnm 是一个数，应该把它与“组合” 区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个
元素的所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次
取出两个元素的所有组合.
a
b
c
bcd c d
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
(1)
C4 10
及
C3 7
；
(2)
3
C
3 8
2
C
2 5
；
C A (3) 已知 3 2 , 求 n ．
n
n
例２
求
证
:
C
m n
m 1 nm
C
m1 n
.
证明:
C
m n
n！ m（! n m）! ,
m 1 nm
C m1 n
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
练习:
中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排
邀请赛，通过单循环决出冠亚军． （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
中
中
美
美
美
古
古
古
俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄
中
美
古
我们怎么去求组合数呢？
Anm Amm
nn 1n 2
m!
n m 1
这里m、n N，* 且 m n，这个公式叫做组合
数公式．
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
例1 计算：