东北育才学校刘春杨

东北育才学校刘春杨沈阳市英才学校郑玉伟图形与变换是新课程标准明确规定的重要内容之一,有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文试就旋转变换思想在中考数学试题中的应用加以说明。

★、关于旋转变换知识归纳：1．定义:在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。

旋转变换分为全等变换和相似变换。

2．旋转的三个基本要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.3．基本特征：（1）图形上的每个点同时都按相同方式转动相同的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线所成的夹角都是旋转角，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；（2）旋转中心在旋转过程中始终保持不动，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；（3）旋转不改变图形的大小和形状（即旋转前后的两个图形是全等图形），只是位置发生了变化.★应用情况常见的题型有填空、选择、作图、综合题等。

常结合平移、轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用。

解这类题要求考生具备扎实数学的基本功,较强的观察力,丰富的想象力及综合分析问题的能力,解题时要切实把握几何图形运动过程,并注意运动过程中特殊位置,在"动"中求"静",在"静"中探求"动"的一般规律.抓住图形旋转前后哪些是不变的量，哪些是变化的量。

现就07年全国各省市中考试题中出现的一些典型试题加以说明。

一、四边形作旋转（一）正方形作旋转例1．（07年台州市）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图1）．试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．分析：（1）由已知正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，所以可得；（2）要证明线段与线段相等只需证明这两条线段所在的两个三角形是否全等即可；或证明⊿GHB是否为等腰三角形也可以。

解：．证法1：连结，四边形，都是正方形．．由题意知，又．，．证法2：连结．四边形都是正方形，．由题意知．．．．例2．（2007四川资阳市）如图2-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.(1) 求证：BP=DP；(2) 如图2-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .分析：⑴在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP..⑵当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立. 不是总成立 .⑶连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图2-1中，可证四边形PECF为正方形，同时可证△PEC≌△PFC . 从而有BE=DF .略解：⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.⑵ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图2-1中，可证四边形PECF为正方形，在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC . 从而有BE=DF .（二）梯形作旋转例3．（2007湖北孝感）如图3－1，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左平移6个单位长度得到梯形.（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形；（2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转90°得到梯形，请你画出梯形．分析：根据平移的两要素（方向、距离）、旋转三要素准确画图即可。

图3－1 图3－2二、三角形作旋转（一）直接运用旋转知识解题例题4．（07年泰安市）如图4，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转至，点的坐标为（0，4）．（1）求点的坐标；（2）求过，，三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线上是否存在点，使以为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）本题平面直角坐标系中求点的坐标可以求出线段A’B’、OB’的长；绕点按逆时针方向旋转至，所以A`B`＝AB、OB`=OB;而中，，，所以可求。

（2）由，，三点坐标可直接求出抛物线解析式。

（3）因为三点皆可能为直角顶点，所以应分三种情况讨论。

解：（1）过点作垂直于轴，垂足为则四边形为矩形在中，点的坐标为（2）∵C（0,4）在抛物线上，A（4,0），，在抛物线上解之得所求解析式为．（3）①若以点为直角顶点，由于，点在抛物线上，则点为满足条件的点．②若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为或，经计算知；此两点不在抛物线上．③若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为或，经计算知；此两点也不在抛物线上．综上述在抛物线上只有一点使为等腰直角三角形．例题5．（07年德阳市）如图5，把一副三角板如图5－1放置，其中，，∠D＝30°，斜边AB=6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图5－2．这时AB与相交于点，与AB相交于点F．（1）求的度数；（2）求线段的长．（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转得，这时点B 在的内部、外部、还是边上？证明你的判断．分析：（1）考虑外角知识=∠1+∠B即可；（2）考虑特殊三角形边角关系即可；（3）通过计算得到CB′，然后判断CB`与CB大小即可。

解：（1），，，．又，．（2）连结．，，又，．又，，，，．又，．在中，．（3）点在内部．理由如下：设（或延长线）交于点．，在中，，又，即，点在内部．例题6．（07年临沂市）如图6－1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。

(1)在图6－1中，DE交AB于M，DF交BC于N。

①证明DM＝DN；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图6－2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图6－3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。

分析：本题三个问题只要证明△BMD≌△CND即可。

解：⑴①证明:连接DB.在Rt△ABC中，AB＝BC,AD＝DC.∴DB＝DC＝AD,∠BDC＝90°，方法一:∴∠ABD＝∠C＝45°.∵∠MDB＋∠BDN＝∠CDN＋∠BDN＝90°,∴∠MDB＝∠NDC,∴△BMD≌△CND,∴DM＝DN.方法二:∴∠A＝∠DBN＝45°.∵∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝90°,∴∠ADM＝∠BDN,∴△ADM≌△BDN,∴DM＝DN②四边形DMBN的面积不发生变化，由①知△BMD≌△CND,∴,∴⑵DM＝DN仍然成立,证明:连结DB.在Rt△ABC中，AB＝BC,AD＝DC.∴DB＝DC,∠BDC＝90°，∴∠DCB＝∠DBC＝45°,∴∠DBM＝∠DCN＝135°.∵∠NDC＋∠CDM＝∠BDM＋∠CDM＝90°,∴∠CDN＝∠BDM,∴△BMD≌△CND,∴DM＝DN⑶DM＝DN.（二）平移与旋转知识相结合例7．如图7－1，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CˊDˊEˊ叠放在一起（点C与Cˊ重合）．（1）操作：固定△ABC，将△CˊDˊEˊ绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于点F，如图7－2．探究：在图7－2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；（2）操作：将图7－2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，如图7－3．探究：设△PQR移动的时间为x s，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x 之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（3）操作：固定图7－1中△CˊDˊEˊ，将△ABC移动，使顶点C落在CˊEˊ的中点，边BC交DˊEˊ于点M，边A C与DˊEˊ交于点N，设∠A C Cˊ=α（30°<α<90°），如图7－4．探究：在图7－4中，线段CˊN·EˊM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出CˊN·EˊM的值；如果有变化，请说明理由．（07河北省）分析：（1）△CˊDˊEˊ绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，即可知△BCE≌△ACD；（2）由特殊角∠QTC=∠TCQ=30°可知QT=CQ=x．所以△QSC面积能用x表示。

△PQR与△AFC重叠部分的面积为y应为△PQR的面积与△QSC面积之差。

（3）线段CˊN、EˊM在△EˊM C与△CCˊN中，只需这两个三角形相似即可。

解：（1）BE=AD．证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=∠60°．CA=CB，CE=CD，∴∠BCE=∠ACD．∴△BCE≌△ACD．∴BE = AD．（也可以用旋转的方法证明BE = AD）；（2）设RQ与AC交于点T，RP与AC交于点S，在△QTC中，∵∠TCQ=30°，∠RQT=60°，∴∠QTC=30°．∴∠QTC=∠TCQ．∴QT=CQ=x．∴RT=3－x．∵∠RTS+∠R=90°，∴∠RST=90°．∴y=－（0≤x≤3）；（3）CˊN·EˊM不变．证明：∵∠AC Cˊ=60°，∴∠MC Eˊ+∠NCCˊ=120°．∵∠CN Cˊ +∠NCCˊ=120°，∴∠MC Eˊ=∠CN Cˊ．∵∠ Eˊ=∠ Cˊ，∴△EˊM C∽△CCˊN．∴．∴CˊN·EˊM= CˊC·EˊC=．（三）平移与旋转、轴对称三种变换相结合例8．（2007浙江义乌）如图8－1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图8－2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图8－3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图8－3至图8－6中统一用F表示）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。