东北育才学校刘春杨

东北育才学校刘春杨

沈阳市英才学校郑玉伟

图形与变换是新课程标准明确规定的重要内容之一,有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文试就旋转变换思想在中考数学试题中的应用加以说明。

★、关于旋转变换知识归纳：

1．定义:在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。旋转变换分为全等变换和相似变换。

2．旋转的三个基本要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.

3．基本特征：

（1）图形上的每个点同时都按相同方式转动相同的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线所成的夹角都是旋转角，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；

（2）旋转中心在旋转过程中始终保持不动，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；

（3）旋转不改变图形的大小和形状（即旋转前后的两个图形是全等图形），只是位置发生了变化.

★应用情况

常见的题型有填空、选择、作图、综合题等。常结合平移、轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用。解这类题要求考生具备扎实数学的基本功,较强的观察力,丰富的想象力及综合分析问题的能力,解题时要切实把握几何图形运动过程,并注意运动过程中特殊位置,在"动"中求"静",在"静"中探求"动"的一般规律.抓住图形旋转前后哪些是不变的量，哪些是变化的量。现就07年全国各省市中考试题中出现的一些典型试题加以说明。

一、四边形作旋转

（一）正方形作旋转

例1．（07年台州市）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形

，边与交于点（如图1）．试问线段与线段相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

分析：（1）由已知正方形绕着点，按顺

时针方向旋

转得到正方形，所以可得；

（2）要证明线段与线段相等只需证明这两条线段所在的两个三角形

是否全等即可；或证明⊿GHB是否为等腰三角形也可以。

解：．

证法1：连结，

四边形，都是正方形．

．由题意知，又．

，．

证法2：连结．

四边形都是正方形，

．

由题意知．．

．．

例2．（2007四川资阳市）如图2-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

(1) 求证：BP=DP；

(2) 如图2-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

分析：⑴在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP..⑵当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立. 不是总成立 .

⑶连接BE、DF，则BE与DF始终相等.

在图2-1中，可证四边形PECF为正方形，同时可证△PEC≌△PFC . 从而有

BE=DF .

略解：⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.

解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.

⑵ 不是总成立 .

当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.

⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图2-1中，可证四边形PECF为正方形，

在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC . 从而有BE=DF .

（二）梯形作旋转

例3．（2007湖北孝感）如图3－1，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左

平移6个单位长度得到梯形.

（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形；

（2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转90°

得到梯形，请你画出梯形．

分析：根据平移的两要素（方向、距离）、旋转三要素准确画图即可。

图3－1 图3－2

二、三角形作旋转

（一）直接运用旋转知识解题

例题4．（07年泰安市）如图4，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转至，点的坐标为（0，4）．

（1）求点的坐标；

（2）求过，，三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点，使以为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）本题平面直角坐标系中求点的坐标可以求出线段A’B’、OB’的长；

绕点按逆时针方向旋转至，所以A`B`＝AB、OB`=OB;而中，，，

所以可求。（2）由，，三点坐标可直接求出抛物线解析式。（3）因为

三点皆可能为直角顶点，所以应分三种情况讨论。

解：（1）过点作垂直于轴，垂足为则四边形为矩形

在中，

点的坐标为

（2）∵C（0,4）在抛物线上，

A（4,0），，在抛物线上

解之得

所求解析式为．

（3）①若以点为直角顶点，由于，点在抛物线上，则点

为满足条件的点．

②若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为

或，经计算知；此两点不在抛物线上．

③若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为

或，经计算知；此两点也不在抛物线上．

综上述在抛物线上只有一点使为等腰直角三角形．

例题5．（07年德阳市）如图5，把一副三角板如图5－1放置，其中

，，∠D＝30°，斜边AB=6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图5－2．这时AB与相交于点

，与AB相交于点F．（1）求的度数；（2）求线段的长．

（3）若把三角形绕着点C顺时针再旋转得，这时点B 在的内部、外部、还是边上？证明你的判断．

分析：（1）考虑外角知识=∠1+∠B即可；（2）考虑特殊三角形边角关系即可；（3）通过计算得到CB′，然后判断CB`与CB大小即可。

解：（1），，，

．又，

．

（2）连结．

，，

又，．又，，

，，．

又，．

在中，．

（3）点在内部．

理由如下：设（或延长线）交于点．

，在中，，

又，即，点在内部．

例题6．（07年临沂市）如图6－1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。

(1)在图6－1中，DE交AB于M，DF交BC于N。

①证明DM＝DN；

②在这一旋转过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；

(2)继续旋转至如图6－2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

(3)继续旋转至如图6－3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明。

分析：本题三个问题只要证明△BMD≌△CND即可。

解：⑴①证明:连接DB.在Rt△ABC中，AB＝BC,AD＝DC.

∴DB＝DC＝AD,∠BDC＝90°，

方法一:∴∠ABD＝∠C＝45°.

∵∠MDB＋∠BDN＝∠CDN＋∠BDN＝90°,

∴∠MDB＝∠NDC,∴△BMD≌△CND,∴DM＝DN.

方法二:∴∠A＝∠DBN＝45°.

∵∠ADM＋∠MDB＝∠BDN＋∠MDB＝90°,

∴∠ADM＝∠BDN,∴△ADM≌△BDN,∴DM＝DN

②四边形DMBN的面积不发生变化，由①知△BMD≌△CND,

∴,

∴

⑵DM＝DN仍然成立,

证明:连结DB.在Rt△ABC中，AB＝BC,AD＝DC.

∴DB＝DC,∠BDC＝90°，∴∠DCB＝∠DBC＝45°,∴∠DBM＝∠DCN＝135°.

∵∠NDC＋∠CDM＝∠BDM＋∠CDM＝90°,∴∠CDN＝

∠BDM,∴△BMD≌△CND,∴DM＝DN

⑶DM＝DN.

（二）平移与旋转知识相结合

例7．如图7－1，是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和CˊDˊEˊ叠放在一起（点C与Cˊ重合）．

（1）操作：固定△ABC，将△CˊDˊEˊ绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于点F，如图7－2．

探究：在图7－2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；（2）操作：将图7－2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，如图7－3．

探究：设△PQR移动的时间为x s，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x 之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（3）操作：固定图7－1中△CˊDˊEˊ，将△ABC移动，使顶点C落在CˊEˊ的中点，边BC交DˊEˊ于点M，边A C与DˊEˊ交于点N，设∠A C Cˊ=α（30°<α<90°），如图7－4．

探究：在图7－4中，线段CˊN·EˊM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出CˊN·EˊM的值；如果有变化，请说明理由．（07河北省）

分析：（1）△CˊDˊEˊ绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，即可知△BCE≌△ACD；（2）由特殊角∠QTC=∠TCQ=30°可知QT=CQ=x．所以△QSC面积能用x表示。△PQR与△AFC重叠部分的面积为y应为△PQR的面积与△QSC面积之差。

（3）线段CˊN、EˊM在△EˊM C与△CCˊN中，只需这两个三角形相似即可。解：（1）BE=AD．

证明：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，

∴∠ACB=∠DCE=∠60°．CA=CB，CE=CD，∴∠BCE=∠ACD．

∴△BCE≌△ACD．∴BE = AD．（也可以用旋转的方法证明BE = AD）；（2）设RQ与AC交于点T，RP与AC交于点S，在△QTC中，

∵∠TCQ=30°，∠RQT=60°，∴∠QTC=30°．

∴∠QTC=∠TCQ．∴QT=CQ=x．∴RT=3－x．∵∠RTS+∠R=90°，

∴∠RST=90°．∴y=－（0≤x≤3）；

（3）CˊN·EˊM不变．

证明：∵∠AC Cˊ=60°，∴∠MC Eˊ+∠NCCˊ=120°．

∵∠CN Cˊ +∠NCCˊ=120°，∴∠MC Eˊ=∠CN Cˊ．

∵∠ Eˊ=∠ Cˊ，∴△EˊM C∽△CCˊN．

∴．∴CˊN·EˊM= CˊC·EˊC=．

（三）平移与旋转、轴对称三种变换相结合

例8．（2007浙江义乌）如图8－1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图8－2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图8－3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图8－3至图8－6中统一用F表示）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。

（1）将图8－3中的△ABF沿BD向右平移到图8－4的位置，使点B与点F 重合，请求出平移的距离；

（2）将图8－3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图8－5的位置，A1F

交DE于点G，请你求出线段FG的长度；

（3）将图8－3中的△ABF沿直线AF翻折到图8－6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH

分析：（1）图形平移的距离就是线段BC的长；

（2）△ABF绕点F顺时针方向旋转30°后知∠FA＝∠B1FA ＝30°,可知△GFD 是直角三角形；

（3）只需证明AH、DH所在的两个三角形全等即可。

解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长

又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30，

∴BC=5cm，∴平移的距离为5cm．

（2）∵∠FA＝30°，∴∠，∠D=30°．∴∠．

在Rt△EFD中，ED=10 cm，∵FD=，∴FG＝cm。

（3）△AHE与△中，∵，

∵FD＝FA，所以EF＝FB＝FB1，∴，即AE＝D．

又∵，∴△≌△（AAS），∴AH=DH

（四）旋转相似变换

例题9．（07年南京市）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为

，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角．

（1）填空：

①如图9－1，将以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°，得到，这个旋转相似变换记为A（）；

②如图9－2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换

，得到，则段的长为；

（2）如图9－3，分别以锐角三角形的三边，，为边向外作正方形，，，点，，分别是这三个正方形的对角线交点，

试分别利用与，与之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段与之间的关系．

分析：理解旋转相似变换的有关概念是解决本题的关键。

解：解：（1）①2， 60°；②2；

（2）经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段；

经过旋转相似变换，得到，此时，线段变为线段AO．

，，，．

三、角作旋转

例10．（07年佳木斯）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC ＝120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图10－1），易证AE+CF ＝EF．

当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图10－2和图9－3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

分析：判断线段AE+CF＝EF是否成立可用用截长或补短法进行探究。

解：图10－2成立，图10－3不成立．

证明图10－2．如图10－4。

延长DC至点K，使CK＝AK，连接BK，

则，

，

，，，

，，

，，，

即．图10－3不成立，

的关系是．

四、直线作旋转

例11．（2007江西省）在同一平面直角坐

标系中有6个点：A（1,1）,B（-3，-1），

C（-3，1），D（-2，-2），E（-2，-3），

F（0，-4）．

（1）画出的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系；

（2）若将直线沿轴向上平移，当它经过点D时，设此时的直线为．

①判断直线与⊙P的位置关系，并说明理由；

②再将直线绕点D按顺时针方向旋转，当它经过点C时，设此时的直线为．求

直线与⊙P的劣弧CD围成的图形的面积（结果保留π）．

分析：（1）判断点D与⊙P的位置关系，只需求出PD的长与⊙P的半径进行比

较即可；（2）①判断直线与⊙P的位置关系，首先看点D是否在⊙P上，若在

⊙P上则只需；若不在⊙P上则过点P作PM⊥证明PM=即可；（3）所求面积为扇形DPC与三角形DPC的面积之差。

解：（1）所画⊙P如图所示，由图可知⊙P的半径为，而．点D在⊙P上．

（2）①直线向上平移1个单位经过点，且经过点，

，，．

．则，．

直线与⊙P相切．

②，，．

．，．

直线与劣弧围成的图形的面积为．

五、线段作旋转

例题12．（07年乐山市）如图12，在直角坐标系中，已知点的坐标为，

将线段按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转45°，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（为正整数）

（1）求点的坐标；

（2）求的面积；

（3）我们规定：把点（）

的横坐标、纵坐标都取绝对值后得到的新坐标

称之为点的“绝对坐标”．

根据图中点的分布规律，请你猜想点的“绝对坐标”，并写出来．

分析：（1）根据旋转角度可知在轴的负半轴，点到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍；所以可求此点坐标；

（2）由可求的面积；

（3）旋转8次之后回到轴正半轴，在这8次中，点分别落在坐标象限的平分线上或轴或轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，所以要分点P在象限的平分线上、轴上、轴上三种情况讨论。

解：（1）根据旋转规律，点落在轴的负半轴，而点到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2倍，故其坐标为(0,-64)

（2）由已知可得，，设，则

又

，

（3）由题意知，旋转次之后回到轴正半轴，在这次中，点分别落在坐标象限的平分线上或轴或轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点的坐标可分三类情况：

令旋转次数为

①当或时（其中为自然数），点落在轴上，此时，点的绝对坐标为；

②当或或或时（其中为自然数），点落在各象限的平分线上，此时，点的绝对坐标为

③当或时（其中为自然数），点落在轴上，此时，点的绝对坐标为．