2015年东北育才学校分流考试数学试题及答案
辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次阶段考试数学(理)试题
2014—2015学年度上学期第一阶段考试高二数学科（理科）试卷答题时间：120分钟满分：150分命题人：高二数学备课组使用时间：10月15日一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.平面内有一长度为4的线段，动点满足，则的取值范围是A．B. C. D.2.以下命题正确的个数为①命题“若”的否命题为“若”；②命题“若则”的逆命题为真命题；③命题“”的否定是“”；④“”是“”的充分不必要条件.A．1 B.2 C.3 D.43.设为坐标原点，点坐标为，若满足不等式组：，则的最大值为A. 12B. 8C. 6D. 44．已知命题p：x∈R，使sin x=；命题q：x∈R，都有x2+x+1>0.给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是假命题；③命题“”是真命题；④命题“”是假命题；其中正确的是A．②③B．②④C．③④D．①②③5.方程表示椭圆，则的取值范围A. B.C. D.6. a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0和a2x2＋b2x＋c2<0的解集分别为集合M和N，那么“”是“M＝N”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件7.各项均为实数的等比数列{a n }前n项之和记为,若, , 则等于A．150 B．-200 C．150或-200 D．-50或4008. 已知x,不等式恒成立,则实数a的取值范围为A．B．C．D．9. 给定正整数按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第行）只有一个数.例如时数表如图所示，则当时最后一行的数是A．B．C．D．10. 设等差数列｛｝{ }的前n 项和为，，若，则=A. B. C. D.11.设点是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是A. B. C. D.12.已知为正实数，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.设分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使且，则椭圆的离心率为14.设数列满足，则.15.已知正数满足，则最小值是______16.已知在平面直角坐标系下，点分别为轴和轴上的两个动点，满足，点为线段的中点，已知点，，则的最小值为______三、解答题:本大题共6小题，共70分.17.(本小题满分10分)设有两个命题：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；函数f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数．若命题为真，为假，则实数a的取值范围是多少？18.（本小题满分12分）已知数列的前n项和．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设为数列的前n项和，求19.（本小题满分12分）在中，.(Ⅰ)求重心G的轨迹方程(Ⅱ)设P为（1）中所求轨迹上任意一点，求的最小值.20.（本小题满分12分）东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏。
辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含答案
辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一下学期开学考试数学试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分） 1．集合A =｛0，1,2｝，B ={}12x x -<<，则A B =（ ）A.｛0｝ B ．｛1｝ C ．｛0，1｝ D ．｛0，1,2｝2．不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-，则b a +的值是（ ） A ．10 B ．－14C ．14D ．－103．已知幂函数()αf x kx =),(R R k ∈∈α的图像过点1(2，则α+k ＝（ ）A ．12B ．1C ．32D ．24．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是（ ）A.x ＋2y －1＝0B.2x ＋y －1＝0C.2x ＋y －3＝0D.x ＋2y －3＝05．方程20142log 21-=xx 的实数根的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．不确定6．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（ ）A.6+6+C.6+7．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ． 1+2C ．221+ D ．1+228．已知()()log 2a f x ax =-)10(≠>a a 且在[]1,0上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,1 B ．()1,0 C ．()2,0 D ．[)+∞,29．已知三个互不重合的平面α,β,γ，且a =βα ，b =γα ，c =γβ . 给出 下列命题：①,a b a c ⊥⊥，则b c ⊥；②p b a = ，则p c a = ；③若,a b a c ⊥⊥， 则αγ⊥；④若b a //，则c a //. 其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为（ ） A ．)0,(-∞ B ． ()+∞,0 C ．)1,(-∞ D ．()+∞,111．函数|}2|,2min{)(-=x x x f ，其中⎩⎨⎧>≤=ba b ba ab a ,,},min{，若动直线m y =与函数)(x f y =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3，则321x x x ++的取值范围是（ ）A ．()324,0-B ．()326,2-C ．()13,2+D ．()328,4-12．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，cby ax cby ax ++++=2211δ．有四个判断：①若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；②若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；③存在实数δ，使点N 在 直线l 上；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交． 上述判断中，正确的是（ ）A. ①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 点（2，3，4）关于平面xOz 的对称点为 ．14．圆心在直线2x +y ＝0上，且与直线x +y －1＝0切于点（2，－ 1）的圆的方程是 .15．在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中 m 、n ∈N *，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，k ∈Z ，则k = .16．对于四面体ABCD ，以下说法中，正确的序号为 . ①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ； ②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1； ④若以A 为端点的三条棱两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心； ⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17．（本题满分10分）已知函数)1(log )(2-=x x f 的定义域为集合A ，函数x x g )21()(=，)01(≤≤-x 的值域为集合B .（1）求B A ；（2）若集合{}12-≤≤=a x a x C ，且C B C = ，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ，O 为AD 中点，M 是棱PC 上的点， BC AD 2=． （1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱PC 的中点，求证：//PA 平面BMO .19. （本题满分12分） 如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求证：//AC 平面BEF ； （3）求四面体BDEF 的体积.20．（本题满分12分） 已知函数(32)1xf x -=- ([0,2])x ∈，函数3)2()(+-=x f xg .（1）求函数()y f x =与()y g x =的解析式,并求出(),()f x g x 的定义域； （2）设22()[()]()h x g x g x =+，试求函数()y h x =的最值.21.（本题满分12分）已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线022:1=--y x l 相切. （1）求直线0534:2=+-y x l 被圆C 所截得的弦AB 的长；（2）过点G (1,3)作两条与圆C 相切的直线，切点分别为M ,N ,求直线MN 的方程；CD F E（3）若与直线1l 垂直的直线l 与圆C 交于不同的两点P ，Q ，且POQ ∠为钝角，求直线l 纵截距的取值范围．22.（本题满分12分）已知函数)1)1((log )(2++-=x a ax x f a . （1）求函数)(x f 的定义域；（2）若对任意),2[+∞∈x 恒有0)(>x f ，试确定a 的取值范围.高一数学试题参考答案1-5：CBADB 6-10：ABACC 11-12：DB13、（2，-3,4） 14、(x －1)2＋(y+2)2=2 15、0 16、①②④18. 略19. 证明：（1）证：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，90ADE ∠=，所以DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥.因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，所以AC ⊥平面BDE .…4分（2）设AC BD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12DE . 因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ， 从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //.因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF .……8分（ 3 ）四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143.……12分20．解 （1）设32xt =-∈（t [-1,7],则3log (t 2)x =+, 于是有3()log (t 2)1f t =+-，[1,7]t ∈- ∴3()log (2)1f x x =+-([1,7]x ∈-)， (4)分根据题意得3()(2)3log 2g x f x x =-+=+又由721≤-≤-x 得91≤≤x ∴2log )(3+=x x g ([1,9]x ∈)………6分 （2）∵3()log 2,[1,9]g x x x =+∈∴要使函数22()[()]()h x g x g x =+有意义，必须21919x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩∴13x ≤≤，………………………8分∴222223333()[()]()(log 2)2log (log )6log 6h x g x g x x x x x =+=+++=++ (13x ≤≤)………………………10分设x t 3log =,则66)(2++=t t x h ()332-+=t )10(≤≤t 是()1,0上增函数,∴0=t 时min )(x h =6,1=t 时13)(max =x h ………………………12分 ∴函数()y h x =的最大值为13，最小值为6. ………12分21. .解（1）由题意得，圆心（0,0）到直线1l :0x y --=的距离为圆的半径，r=2,所以圆C 的标准方程224x y +=（1）……1分 所以圆心到直线2l 的距离d=1……2分所以AB =……3分。
辽宁沈阳东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次段考理数学卷(解析版)
辽宁沈阳东北育才学校2014-2015学年高二上学期第一次段考理数学卷（解析版）一、选择题1．平面内有一长度为4的线段AB ，动点P 满足6||||=+PB PA ，则||PA 的取值范围是 A ．]5,1[ B ．]6,1[ C ．]5,2[ D ．]6,2[【答案】A 【解析】试题分析：由椭圆的定义可将题目条件转化为动点P 在以A 、B 为焦点、长轴等于6的椭圆上，且3,2a c ==，又根据椭圆的性质知PA 的最小值为1a c -=，最大值为5a c +=，所以正确选项为A ．考点：①椭圆的定义和性质；②数形结合的思想． 2．以下命题正确的个数为①命题“若21,1x x >>则”的否命题为“若21,1x x ≤≤则”； ②命题“若,αβ>则tan tan αβ>”的逆命题为真命题；③命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++≥都有”；④“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：命题的否命题分别否定命题的条件和结论，①正确；命题“若αβ>则tan tan αβ>”的逆命题为“若tan tan αβ>，则αβ>”，当αβ、处于不同单调区间上时显然为假命题，②错误；特称命题和全称命题的否定，③正确；()()22021021x x x x x x +->⇒+->⇒<->或，④正确，所以正确选项为C ．考点：①简易逻辑；②命题的真假判断．3．设O 为坐标原点，点M 坐标为()2,1，若(,)N x y 满足不等式组：43021201x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则OM ON 的最大值为A ．12B ．8C ．6D ．4【答案】A 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，如下图所示：因为(2,1)(,)2OM ON x y x y ⋅=⋅=+，故可设设2,z x y =+则当直线2z x y =+经过交点A (1,10)时，z 取得最大值，最大值为12，所以正确选项为A ．考点：①简单线性规划的应用；②向量的数量积运算． 4．已知命题p ：∃x ∈R ，使sinx=25；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2+x+1>0．给出下列结论：①命题“q p ∧”是真命题； ②命题“q p ⌝∨⌝”是假命题； ③命题“q p ∨⌝”是真命题； ④命题“q p ⌝∧”是假命题；其中正确的是A ．②③B ．②④C ．③④D ．①②③ 【答案】C 【解析】试题分析：命题p 中，sin 122x =>=，超出了正弦函数的值域[]1,1-，显然不存在这样的x 值，p 为假命题；命题q 中，二次项系数10>且0∆<，显然为真命题；所以p ⌝为真命题，q ⌝为假命题，由复合命题的真假判断规则得③④正确，所以正确选项为C ． 考点：①复合命题的真假判断；②正弦函数的性质；③一元二次不等式的解法． 5．方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则θ的取值范围 A ．)22,2(πππ+k kB ．)2,(πππ+k kC ．)62,2(πππ+k kD ．(2,2)(2,2)k Z 662k k k k πππππππ+⋃++∈【答案】D【解析】试题分析：方程1cos 2sin 22=+θθy x 表示椭圆，则必须满足的条件为：sin 20,cos 0θθ>>，且sin 2cos θθ≠解不等式：sin 20cos 0θθ>⎧⎨>⎩，解得：(2,2)2k k πθππ∈+，由于26k πθπ≠+，(2,2)(2,2)662k k k k πππθππππ∈+++ Z k ∈，故正确选项D ．考点：①椭圆的简单性质；②三角函数不等式．6．a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1<0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2<0的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b ca b c ==”是“M ＝N ” 的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】D 【解析】 试题分析：若“1112220a b c a b c ==<”时，则不等式21110a x b x c ++<⇔22220a x b x c ++>，则“M N ≠”，即“111222a b c a b c ==”是“M N =”的不充分条件； 但当“M N ==∅”，如：210x x ++<和220x x ++<，“111222a b c a b c ==”不成立， 即“111222a b c a b c ==”是“M N =”的不必要条件； 故“111222a b c a b c ==”是“M N =”的既不充分也不必要条件，所以正确选项为D ． 考点：①必要条件、充分条件的判断；②不等式的基本性质．7．各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为n S ,若1010S =, 3070S =, 则40S 等于 A ．150 B ．-200 C ．150或 -200 D ．-50或400 【答案】A 【解析】试题分析：这类题的处理通常就是用求和公式将条件转化为1a 和q 的方程组，当用求和公式一定要注意对1q =的检验．若1q =，由1010S =可得303070S =≠，故公比1q ≠，1011030130(1)101(1)701a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪∴⎨-⎪==⎪-⎩①② ②/①可得301020101171q q q q-=++=-，解得102q =，或103q =-， 等比数列{}n a 的各项均为实数，102q ∴=，代回（1）可得1101a q=-- 404140(1)10(12)1501a q S q-∴==-⨯-=-，故正确选项为A ．考点：①等比数列的前n 项和公式；②方程思想．8．已知x (]1,∞-∈,不等式()04212>⋅-++x x a a 恒成立,则实数a 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-41,2 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41, C ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,21 D ．(]6,∞-【答案】C【解析】 试题分析： 设2xt =，则22222111()0()1()1()t a a t a a t t a a t t a a t t⎛⎫++->⇒->--⇒-<+⇒-<+ ⎪⎝⎭恒成立，由(,1]x ∈-∞得11(0,2],2t t ⎡⎫∈⇒∈+∞⎪⎢⎣⎭，此时问题可转化为求211t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值问题，因为2111f t t t⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭开口向上，对称轴为112t =-，所以1f t ⎛⎫ ⎪⎝⎭在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，故min 11324f f t ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()()22313443021230|422a a a a a a a a ⎧⎫-<⇒--<⇒+-<⇒-<<⎨⎬⎩⎭， 所以正确选项为C ．考点：①不等式恒成立问题；②换元法；③等价转化思想．9．给定正整数(2)n n ≥按下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1,2,3,,n ，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n 行）只有一个数．例如6n =时数表如图所示，则当2007n =时最后一行的数是A ．20072512⨯B ．200620072⨯C ．20082512⨯D ．200520072⨯【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，观察图表中每一行的第一个数，依次为1、3、8、20、48、…，结合数列的知识，可得变化的规律：()2,n k k k N =≥∈时，最后一行的数是2(1)2k k -+⨯，可得正确选项为C ．考点：观察归纳推理能力．10．设等差数列｛n a ｝{ n b }的前n 项和为n S ，n T ，若1n n S nT n =+ ，则 57a b = A ．910 B ．914 C ．1314 D ．1311【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列{}n a 和{}n b 的公差分别为1d 和2d ，则111112S a T b ==，即112b a =， 由2112122223S a d T b d +==+得112232a d d =-①，同理311312333334S a d T b d +==+得112243a d d =-② 由①②联解得112d a =，12d d =．故11511712114492+6614d d a a d b b d d d ++===+，所以正确选项为B ． 考点：①等差数列的通项公式及前n 项和公式；②方程思想．11．设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是A ．21 B ． 22 C ．23D ．41【解析】试题分析：如下图所示设21F PF ∆的内切圆半径为r ，根据内心的性质，有111||2IPF S PF r ∆=⋅，221||2IPF S PF r ∆=⋅，12121||2PF F S F F r ∆=⋅． 12122IPF IPF IF F S S S ∆∆∆+=，即1212111||||2||222PF r PF r F F r ⋅+⋅=⨯⋅1211||||2||PF PF F F ∴+=故椭圆的离心率1212||212||||2F F c c e a a PF PF ====+，所以正确选项为A ． 考点：①三角形内切圆的性质；②椭圆的定义和性质． 12．已知z y x ,,为正实数，则222z y x yzxy +++的最大值为A ．32 B ．22 C ．54 D ．532 【答案】 【解析】试题分析：由所求代数式的结构分析，应根据基本不等式222a b ab +…着手解题，难点在于需将222x y z ++化为222211()()22x y y z +++，而2212x y +，2212y z +，于是2222222()()22xy yz xy yz x y z x y y z ++==+++++…，当且仅当2x z y ==时，等号成立，故正确选项B ． 考点：基本不等式的灵活应用．13．设12F F ，分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若椭圆上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则椭圆的离心率为 ．【答案】4【解析】试题分析：根据椭圆的定义a AF AF 2||||21=+,||321AF AF =，∴2||2a AF =，23||1a AF =， 1290F AF ∠=︒,∴勾股定理得 222)2()2()23c a a =+（，化简得2285c a =，即2258c a =，所以离心率c e a ===考点：①椭圆的定义和性质；②勾股定理． 14．设数列{}n a 满足1231231,4,9,,4,5,...n n n n a a a a a a a n ---====+-=，则=2014a ．【答案】8052【解析】 试题分析：()()()123n n n n a a a a ---=+-，()()()123n n n n a a a a ---∴-=-，∴20142013201220112010200921...413a a a a a a a a -=-=-==-=-=，即：偶数项－奇数项＝3，且20132012201120102009200832...945a a a a a a a a -=-=-==-=-=，即：奇数项－偶数项＝5，∴201420133a a -=，201320125a a -=, 201220113a a -= 201120105a a -=,………………，433a a -=，325a a -=， 213a a -=，将以上各式累加得：20041201431007510068051805118052a a a -=⨯+⨯=⇒=+=． 考点：①数列的递推公式；②累加法．15．已知正数c b a ,,满足5262+=+++bc ac ab a ，则c b a 23++最小值是______．【答案】【解析】试题分析：由已知()()()()26a ab bc ac a a b c a b a b a c +++=+++=++=+①2⨯得：()()2212a b a c ++=+=∴()()3222a b c a b a c ++=+++≥=．考点：①基本不等式；②等价变形的构造思想．16．已知在平面直角坐标系下，点B A ,分别为x 轴和y 轴上的两个动点，满足10||=AB ，点M 为线段AB 的中点，已知点)0,10(P ，)3,6(A ，则||||21AM PM +的最小值为______． 【答案】 【解析】试题分析：试题有误，无法给出解析和答案． 考点： 三、解答题 17．（本小题满分10分）设有两个命题：:p 关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立；:q 函数f （x ）＝－（4－2a ）x在（－∞，＋∞）上是减函数．若命题p q ∨为真，p q ∧为假，则实数a 的取值范围是多少？ 【答案】(]3,2,22⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：解决本题只需分别求出命题p 和命题q 为真时a 的取值范围，然后将两者的交集去掉，即将使两者同时为真的a 值去掉，剩下的部分即为所求．试题解析：当命题p 为真时，命题中一元二次不等式对应方程的判别式(){}222241441604|22a a a a a ∆=-⨯⨯=-<⇒<⇒-<<,令{}|22P a a =-<<；当命题q 为真时，根据指数型函数的单调性分析知其底数3342123|22a a a a a ⎧⎫->⇒<⇒<⇒<⎨⎬⎩⎭， 令3|2Q a a ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，将集合P 、Ｑ在数轴上表示如下：由上图可知，当(],2a ∈-∞-时，命题p 为假，命题q 为真，当3,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，命题p 为真，命题q 为假所以当命题p q ∨为真，p q ∧为假时，实数a 的取值范围是(]3,2,22⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭． 考点：①命题与简易逻辑；②集合；③不等式和指数型函数；④简易逻辑与集合间关系的内在联系．18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和 ,3,2,1,4232=+⋅-=n a S n n n ． （Ⅰ）求列数}{n a 列的通项公式；（Ⅱ）设n T 为数列}4{-n S 的前n 项和，求⋅n T【答案】（Ⅰ） 122(31),n N*n n n n a b n -==-∈；（Ⅱ） 12(37)14,*n n T n n N +=-+∈． 【解析】试题分析：（Ⅰ）本题已知n s 的表达式，而且是唯一的条件，所以切入口非11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩莫属，但在具体的求解过程中需注意观察并正确构造辅助数列方可顺利解题；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论结合已知条件不难得出42(34),n N*n n S n -=-∈，显然符合错位相减法的特征，则n T 可求．试题解析：（Ⅰ）当1n =时，1111222a S a a ==-⇒=， 当2≥n 时，1--=n n n S S a ，11232--⨯+=n n n a a ，于是232211+=--n n n n a a ，令n n n a b 2=，则数列}{nb 是首项11=b 、公差为23的等差数列，故213-=n b n ， ∴122(31),n N*n n n n a b n -==-∈；（Ⅱ）由1232442(34),n N*2(31)nn n nn n n S a S n a n -⎧=-⋅+⎪⇒-=-∈⎨=-⎪⎩， ∴()()()123421122252823102372342n n nn T n n n --=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯ ……①①2⨯得：()()()2345112122252823102372342n n n n T n n n -+=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯ ……② ①－②得：()123421112323232323232342n n n n n T n --+-=-⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯--⨯，∴()()()2111321223422(37)14,*12n n n nn T n T n n N -++⨯--=-+--⨯⇒=-+∈-．考点：①n a 与n s 的关系；②错位相减法；③辅助数列的构造和应用． 19．（本小题满分12分）在ABC∆中，(5,)(5,0),9B A B AC 、、边上的中线长之和为． （Ⅰ）求ABC ∆重心G 的轨迹方程（Ⅱ）设P 为（1）中所求轨迹上任意一点，求cos BPC ∠的最小值．【答案】（Ⅰ）22194x y +=； （Ⅱ）19-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）因为AB 、AC 边上的中线长为定值9，由重心G 的性质,知2963GB GC +=⨯=，即动点G 到两定点B 、C 的距离之和为定值6，且62BC >=，所以G 点轨迹符合椭圆轨迹定义，根据椭圆定义相关性质易求得G 点轨迹方程；（Ⅱ）据已知，点P 在椭圆上，由椭圆定义可得6PB PC +=（定值），BC =，由余弦定理可得cos BPC ∠的表达式，结合相关等价变形和基本不等式可得所求． 试题解析：（Ⅰ）设AB AC 、的中点分别为M N 、（如下图所示），则据题意()229633GB GC BM CN +=+=⨯=,即动点G 到两定点B 、C 的距离之和为定值6，6BC >=,∴G 点轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，∴据题意可设椭圆方程为()22221,0x y a b a b+=>>，则26a =，2c =,即3,a c =，根据椭圆的相关性质得2222234b a c =-=-=，所以G 点的轨迹方程为22194x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P 在椭圆上（如上图所示），由椭圆定义可得6PB PC +=（定值） ，BC =，由余弦定理可得()222222206202cos 222PB PC PB PC PB PC BC PB PC BPC PB PC PB PC PB PC+-⋅-+---⋅∠===⋅⋅⋅1612PB PC=-⋅，显然当PB PC ⋅取得最大值时cos BPC ∠最小，63922PB PC PB PC +≤==⇒⋅≤，即PB PC ⋅的最大值为9，所以cos BPC ∠的最小值为1681112999-=-=-⨯． 考点：①椭圆的定义和性质；②椭圆的标准方程；③基本不等式；④最值求解的基本思想．20．（本小题满分12分）东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0．5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一翻（即增加1倍），游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案．（Ⅰ）设闯过n *(n 12)n N ≤∈且关后三种奖励方案获得的货币依次为,,n n n A B C 试分别求出,,n n n A B C 的表达式；（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应该如何选择奖励方案．【答案】（Ⅰ）()40,12,*n A n n n N =≤∈，()222,12,*n B n n n n N =+≤∈，()112,12,*2n n C n n N -=-≤∈；（Ⅱ）当19(*)n n N ≤≤∈时选择第一种方案，当()1012*n n N ≤≤∈时选择第三种方案． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）据题意，第一种奖励方案构成首项为40常数列；第二种奖励方案构成首项为4，公差为4的等差数列；第三种奖励方案构成首项为12，公比为2的等比数列；正确应用等差、等比数列的前n 项和公式不难得出所求；（Ⅱ）首先令12n =，得出三种奖励方案的最高奖额，然后根据所得大小关系列出不等式并解出相关n 的取值范围，得出具体选择方案．试题解析：（Ⅰ）据题意，第一种奖励方案是首项为40的常数列，所以()40,12,*n A n n n N =≤∈；第二种奖励方案构成首项为4，公差为4的等差数列,所以由等差数列的前n 项和公式得：()()214422,12,*2n n n B n n n n n N -=+⨯=+≤∈；第三种奖励方案构成首项为12，公比为2的等比数列，所以由等比数列的前n 项和公式得： ()()()1112112212,12,*1222n n n n C n n N --==-=-≤∈-；（Ⅱ）令12n =则124012480A =⨯=，212212212312B =⨯+⨯=，1112122047.52C =-=， ∴由()2240222380238038n n A B n n n n n n n n >⇒>+⇒-<⇒-<⇒<， 1124092n n n C A n n ->⇒->⇒>， 所以在12关内，第二种方案没有选择的价值，能过10关及以上选第三种方案，否则选第一种方案，即当19(*)n n N ≤≤∈时选择第一种方案，当()1012*n n N ≤≤∈时选择第三种方案． 考点：①等差、等比数列的定义和前n 和公式；②数列知识在解决实际问题中的运用；③不等式在方案决策中的应用．21．（本小题满分12分）数列{}n a 中，已知11a =，2n ≥时，11122333n n n a a --=+-．数列{}n b 满足：1*3(1)()n n n b a n N -=+∈．（Ⅰ）证明：{}n b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数,m n ，使得1331m n m n S m S m +-<-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(,)m n ；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析，()2212,*n b n n n N =+-=∈；（Ⅱ） (1,1),(2,1),(2,2)． 【解析】试题分析：（Ⅰ）本题的落脚点在{}n b 上，所以首先从条件1*3(1)()n n n b a n N -=+∈的特征入手，里面有因式(1)n a +，提示我们可以考虑在条件11122333n n n a a --=+-中构造(1)n a +，从而使条件特征显现出，成为解题的突破口；（Ⅱ）充分利用（Ⅰ）中的结论并结合已知求出1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项，从而求得n s ，将之代入题设中的不等式，通过一系列推理、化简、变形即可得出所求，变形过程应特别注意不等号两边的结构相似性． 试题解析：（Ⅰ）当2n ≥时， 由1211111122121(1)3(1)3(1)233333n n n n n n n n n n a a a a a a -------=+-⇒+=++⇒+=++， 1*3(1)()n n n b a n N -=+∈，即2n ≥时，1122n n n n b b b b --=+⇒-=，又()()1111311112b a -=+=⨯+=，∴数列{}n b 是首项为2，公差为2的等差数列，由等差数列的通项公式得：()2212,*n b n n n N =+-=∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，11123(1)23n n n n n a b a n n --+=+=⇒=，所以12(1)133(1)313n n n S -==--， 则111111323331111(3)313333n n n n nn n nm S m S m m m m --+----==-=--------，由13113131m n m mn S m S m +-<=--++，得212111(3)3131(3)3131n m n m m m -<-⇒>--+--+， *(3)310,,1,2n m m N m -∴-∈=∴>当1m =时，2112314n n >⇒=⋅-；当2m =时，211,23110nn >⇒=- 综上，存在符合条件的所有有序实数对(,)m n 为：(1,1),(2,1),(2,2)．考点：①根据递推公式，构造性求解数列通项；②等差数列的定义和通项公式；③等比数列的前n 项和公式；④不等式的基本性质；⑤变形、运算、比较的能力和技巧．22．（本小题满分12分）已知椭圆116222=+y a x ，离心率为53． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过4>a 的椭圆的右焦点F 任作一条斜率为k （0≠k ）的直线交椭圆于A ，B 两点，问在F 右侧是否存在一点D )0,(m ，连AD 、BD 分别交直线325=x 于M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好过F ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）2212516x y +=或2225125616x y +=；（Ⅱ）5m =． 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的定义及其,,,a b c e 间的基本关系易求得“a ”值（不一定是定义中的a ），从而得到椭圆的方程，求解时注意分焦点在x 轴和y 轴上两种情况进行讨论；（Ⅱ）本题属于解析几何的综合性题型，解题的关键在于将“形”的特征用“数”的形式定量地刻画出，由与点D 有直接关系的A B 、、M 、N 四点着手，通过共线关系找到彼此的内在联系和数量关系；其次通过直径所对圆周角是直角构造向量垂直也是解决本题的一个关键所在，是对已知条件的深层次的挖掘；在些基础上，充分运用方程思想和精确的运算及推理不难得出所求．试题解析：（Ⅰ）当焦点在x 轴上时，由2222221616161625332555a c a c a a c c aa ⎧⎧-=-=⎪⎪⇒⇒=⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2212516x y +=．当焦点在y 轴上时，由22222161625631225455a c a c a c c ⎧⎧-==-⎪⎪⇒⇒=⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，故所求椭圆方程为2225125616x y +=． 综上所述，所求椭圆方程为2212516x y +=或2225125616x y +=． （Ⅱ）如图所示：设直线AB 的方程为()()3,0y k x k =-≠，()()1122342525,,,,M ,,,33A x y B x y y N y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则由()()222222316515025400012516y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，根据韦达定理（根与系数的关系）得：21221501625k x x k +=-，21222254001625k x x k -=+，∴由()()()()2112121222232563316253y k x k y y k x x k y k x =-⎧-⎪⇒=--=⎨+=-⎪⎩ …… ① M D A 、、三点共线，即//MD DA ,且325,3MD m y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,DA x m y =-,∴()()()1311313252533y m y x m y m y m x -⎛⎫--=-⇒= ⎪-⎝⎭,同理可得()()2423253y m y m x -=-, ∴()()()21234123259m y y y y m x m x -=-- ……②根所题意,2MFN π∠=（直径所对圆周角），即0FM FN FM FN ⊥⇔⋅=，∴233434416,y 31625603916,3FM y y y y FN y ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎛⎫⇒+=⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩……③ 由①、②、③得：()()()()()22222123252562561164000916259m k k m m x m x k --⨯=-⇒+-=--+， 210k +>，∴由21640005m m -=⇒=±，点D 在()3,0F 的右侧，∴3m >，5m =．∴存在满足条件的D 点，且5m =．考点：①椭圆的方程和性质；②直线方程；③向量共线和垂直的动用；④根下系数的关系；⑤数形结合思想；⑥方程思想；⑦推理和运算能力．。
辽宁省沈阳市东北育才学校14—15学年上学期高一第一次阶段考试数学(附答案) (1)
辽宁省沈阳市东北育才学校2014-2015学年高一上学期第一次阶段考试数学试题一、选择题1.若集合{}0123A =,,,，{}124B =,,，则集合AB =A.{}01234,,,,B.{}1234,,,C.{}12,D.{}0 2.若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是 A.直线与平面平行 B.直线与平面相交C.直线上至少有一个点在平面内D.直线上有无数多个点都在平面外3.如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P α∉，PB α⊥，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC AC ⊥，则ABC ∆为 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定4.若l 、m 、n 是互不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中正确的是 A.若αβ⊥，l α⊂，n β⊂，则n l ⊥ B.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C.若l n ⊥，m n ⊥，则//l n D.若l α⊥，//l β，则αβ⊥5.正方体与其外接球的表面积之比为 A.3:π B.2:π C.3:π D.6:π9.已知平面α⊥平面β，l αβ=，A α∈，B β∈，AC l ⊥，垂足为C ，BD l ⊥，垂足为D （点C ，D 不重合），若AC BD >，则 A.AD BC >，ABC BAD ∠>∠B.AD BC >，ABC BAD ∠<∠αβCDlA BC.AD BC <，ABC BAD ∠>∠D.AD BC <，ABC BAD ∠<∠10.已知正三棱锥P ABC -M ，N 分别为PA ，AB 的中点. 若MN CM ⊥，则球心到平面ABC 的距离为1 11.如图，设平面α平面EF β=，AB α⊥，CD α⊥，垂足分别为B ，D ，如果再增加一个条件，就可以推出BD EF ⊥. 现有：①AC β⊥；②//AC EF ；③AC 与CD 在β内的射影 在同一条直线上. 那么上述三个条件中能成为增加条件的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个12.若四面体的各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积不可能是．．．．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图，平面////αβγ，直线l 、m 分别与α、β、γ相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F . 若13AB BC =，20DF =，则EF = . 14.在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个球，这个球与圆柱的侧 面及两个底面都相切，相传这个图形表达了阿基米德最引以自豪的发现. 记圆柱的体积是 球的体积的m 倍，圆柱的表面积是球表面积的n 倍，则m 与n 的大小关系是 . 15.水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是 .16.已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}22|280A x x ax a =--≤. （Ⅰ）当1a =时，求集合R C A ；（Ⅱ）若0a >，且(1,1)A -⊆，求实数a 的取值范围.βαAEFBDCαβγlmABC D EF18.（本题满分12分）如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，PA AD ⊥ ，且2PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//BC 平面EFG ； （Ⅱ）求三棱锥A EFG -的体积.19.（本题满分12分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 为AD 中点，F 为11B C 中点. （Ⅰ）求证:1//A F 平面1ECC ；（Ⅱ）在CD 上是否存在一点G ，使BG ⊥平面1ECC ？若存在，请确定点G 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.20.（本题满分12分）已知m 为常数，函数2()12xxm f x m -=+⋅为奇函数.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若0m >，试判断()f x 的单调性（不需证明）；（Ⅲ）当0m >时，若存在[2,2]x ∈-，使得()(2)0x f e x k f +-+≤能成立，求实数k 的最大值．21.（本题满分12分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的A1A点，且//DE BC . 将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）当点D 在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．22.（本题满分12分）对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”．（Ⅰ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 注：函数1y x x=+在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） CDADB ABCAC CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.15 14.m n = 15.3 16.2a <三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）解：（Ⅰ）当1=a 时，解不等式0822≤--x x ，得42≤≤-x …………………3分∴{}|4R C A x x =>或x<-2 ………………………………………4分（Ⅱ）∵22280x ax a --≤，∴0)2)(4(≤+-a x a x又∵0a > ∴24a x a -≤≤∴[]2,4A a a =- ……………………………………………7分 又∵()1,1A -⊆ ∴1214aa -≥-⎧⎨≤⎩…………………………………………9分解得21≥a ，故实数a 的取值范围是1[,)2+∞ …………………………………10分18.（本题满分12分）解：（Ⅰ）∵E ，F 分别是线段PA ，PD 的中点∴//EF AD……………………2分又∵ABCD 为正方形，∴//BC AD ∴//BC EF……………………4分又∵BC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG∴//BC 平面EFG ………………………………………………6分（Ⅱ）∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CD AD ⊥∴CD ⊥平面PAD ，即GD ⊥平面AEF ……………………………………8分 又∵//EF AD ，PA AD ⊥，∴EF AE ⊥ ……………………………………10分 又∵112AE EF AD ===，112CD CD ==∴13A EFG G AEF AEF V V S CD --∆==⨯⨯=111111326⨯⨯⨯⨯= …………………12分 19.（本题满分12分）（Ⅱ）在CD 上存在一点G ,使BG ⊥平面1ECC取CD 中点G ，连结BG ……………………………………………7分 在正方形ABCD 中，DE GC =，CD BC =，ADC BCD ∠=∠ ∴CDE BCG ∆≅∆ ∴ECD GBC ∠=∠ ∵90CGB GBC ∠+∠=︒ ∴90CGB DCE ∠+∠=︒∴BG EC ⊥ ……………………………………………10分 ∵ABCD BG 平面⊂且1CC BG ⊥,1EC CC C =∴BG ⊥平面1ECC .故在CD 上存在中点G ，使得BG ⊥平面1ECC …………………………12分 20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由()()0f x f x -+=得2201212x xx xm m m m ----+=+⋅+⋅ 即2120212x xxxm m m m ⋅--+=++⋅ ∴(21)(12)(2)(2)0x x x x m m m m ⋅-+⋅+-+= ∴22(1)(21)0x m -+=∴21m =，故1m =± …………………………4分（Ⅱ）若0m >，则1m =此时122()11212x x xf x -==-++在R 上单调递增减 …………………………6分 （Ⅲ）∵()f x 为奇函数∴()(2)0x f e x k f +-+≤即()(2)(2)x f e x k f f +-≤-=- 由（Ⅱ）知()f x 在区间[2,2]-上单调递减∴2x e x k +-≥-即2xk e x ≤++ …………………………9分令()2x g x e x =++，则()g x 在区间[2,2]-上为增函数∴[2,2]x ∈-时，()g x 的最大值为2(2)4g e =+ …………………………11分∴24k e ≤+，故k 的最大值为24e + …………………………12分21.（本题满分12分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，90C ∠=，//DE BC∴AD DE ⊥∴1A D DE ⊥，又1A D CD ⊥，CDDE D =∴1A D ⊥平面BCDE 由BC ⊂平面BCDE ∴1A D BC ⊥ ∴BC CD ⊥， CDBC C =∴BC ⊥平面1A DC …………………………6分（Ⅱ）设DC x =，则16A D x =-由（Ⅱ）可知，1ACB ∆，1A DC ∆均为直角三角形1A B =1A B =当3x =时，1A B 的最小值是即当D 为AC 中点时，1A B的长度最小，最小值为…………………12分22.（本题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22x x m m -+=--即222210x x m +⋅+=在区间[1,1]-内有解 令2x t =，∵[1,1]x ∈- ∴1[,2]2t ∈则2210t mt ++=在区间1[,2]2内有解 …………………………………3分 令2()21g t t mt =++，则(0)10g =>由15()024(2)440g m g m ⎧=+≥⎪⎨⎪=+≤⎩或244012215()024(2)440m m g m g m ⎧∆=-≥⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪=+≥⎪⎪=+≥⎩…………………………………5分得514m -≤≤-或1m =- 即514m -≤≤- …………………………………6分 或解：依题意，22x x m m -+=--即222x x m -+=-在区间[1,1]-内有解令2x t =，∵[1,1]x ∈- ∴1[,2]2t ∈则12t m t +=-在区间1[,2]2内有解 …………………………………3分 ∵1t t +在区间1[,1]2上单调递减，在区间[1,2]上单调递增∴15[2,]2t t +∈ …………………………………………5分 ∴52[2,]2m -∈，故514m -≤≤- …………………………………6分 （Ⅱ）若12()423xx f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”则()()f x f x -=-即2442(22)260xxx x m m --+-++-=令22x x t -=+，则2442xxt -=++，故2442x x t -+=-，2t ≥∴222280t mt m -+-=在区间[2,)+∞内有解 ……………………8分令22()228h t t mt m =-+-（2t ≥）则有2(2)2440h m m =--≤或22244(28)02 (2)2440 m m m h m m ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪=-->⎩……………10分解得11m ≤≤+1m <≤综上，1m ≤≤………………………………………12分。
辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高二数学下学期第一阶段考试(期中)试题 文
2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若17(,),2i a bi a b R i i+=+∈-是虚数单位，则乘积ab 的值是 A.15- B.3 C.3- D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函 数3()f x x =的极值点.以上推理中A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++= 其中正确命题的序号是( )A.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x ax f ππsin )(-=，且2)1()1(lim 0=-+→hf h f h ，则a 的值为 A.2- B.2 C.π2 D.π2-6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ） A ．都不大于2- B ．都不小于2- C ．至少有一个不大于2- D ．至少有一个不小于2-7．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性 回归方程可能是（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．若1322i ω=-+,则等于421ωω++=( ) A ．1 B ．13i -+ C ．33i + D ．010.若1x >，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况11.设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（ ） A ．8M ≥ B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．108M ≤< 12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<x f x e 的解集为A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.4(,)-∞eD.4(,)+∞e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是．14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，AC =2,AD =3,则∠CAD 的弧度数为.15.参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____.16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径222a b r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R =．三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l0分)如图，,,,A B C D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若11,32EC ED EB EA ==，求DC AB的值； （Ⅱ）若2EF FA FB =⋅，证明：//EF CD ．18.(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A 等（优秀），在[60，80）的学生可取得B 等（良好），在[40，60）的学生可取得C 等（合格），在不到40分的学生只能取得D 等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ） 请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计男生 a=12 b=女生 c= d=34合计 n=100附：．P （k 2≥k 0） 0.150.10 0.05 0.01 k 02.072 2.7063.841 6.63519．(本小题满分l2分)设函数()|21||4|f x x x =+--．（1）解不等式()0f x >；（2）若()3|4|f x x m +->对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．20．(本小题满分l2分)设函数2()f x ax bx c =++且(1)2a f =-，322.a c b >> （1）试用反证法证明：0a >（2）证明：33.4b a -<<-21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线1C 的方程是1ρ=，将1C 向上平移1个单位得到曲线2C ．（Ⅰ）求曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线1C 的切线交曲线2C 于不同两点,M N ，切点为T ，求||||TM TN ⋅的取值范围．22．(本小题满分l2分)已知函数1()ln (0,)f x a x a a R x=+≠∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围．2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试数学（文科）试卷答题时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若17(,),2i a bi a b R i i+=+∈-是虚数单位，则乘积ab 的值是 C A.15- B.3 C.3- D.52．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是 函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以，0x =是函 数3()f x x =的极值点.以上推理中 AA ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3．给出下列命题(1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++= 其中正确命题的序号是( )CA.(1)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(4)4．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）DA ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-5．已知函数x a x f ππsin )(-=，且2)1()1(lim 0=-+→h f h f h ，则a 的值为 B A.2- B.2 C.π2 D.π2-6．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ）c A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-7．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分别为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，则y 与x 的线性回归方程可能是 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．21y x =+D ．1y x =-解析：A 线性回归直线一定过样本中心点()2.5,3.5，故选A ．8. 设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．若12ω=-+,则等于421ωω++=( )DA ．1B ．1-+C ．3D ．010.若1x >，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（ ）B A ．16 B ．8 C ．4 D ．非上述情况11.设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有（ ）A A ．8M ≥ B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．108M ≤< 12.已知定义在R 上的可导函数()=y f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且(1)y f x =+为偶函数，(2)1=f ，则不等式()<xf x e 的解集为 B A.(,0)-∞ B.(0,)+∞ C.4(,)-∞e D.4(,)+∞e 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若复数i m m m m )3()65(22-++-是纯虚数，则实数m 的值是．2 14.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =2，AC 和AD 是⊙O 的两条弦，AC =2,AD =3,则∠CAD 的弧度数为. 15.512π15.参数方程()2()t t t t x e e t y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为_____.)2(116422≥=-x y x 16.在Rt ABC ∆中，若090,,C AC b BC a ∠===，则ABC ∆外接圆半径22a b r +=．运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为c b a ,,，则其外接球的半径R =．222a b c ++ 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (本小题满分l0分)如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若EF 2=FA •FB ，证明：EF ∥CD ．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B∴△EDC∽△EBA，可得，∴，即∴（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，∴，又∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，又∵A，B，C，D四点共圆，∴∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．18(本小题满分l2分)某校高二年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，该校组织了一次满分为100分的数学学业水平模拟考试，根据研究，在正式的学业水平考试中，本次成绩在[80，100]的学生可取得A等（优秀），在[60，80）的学生可取得B等（良好），在[40，60）的学生可取得C等（合格），在不到40分的学生只能取得D等（不合格），为研究这次考试成绩优秀是否与性别有关，现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的成绩按从低到高分成[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]七组加以统计，绘制成频率分布直方图，如图是该频率分布直方图．（Ⅰ）估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数；（Ⅱ）请你根据已知条件将下列2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”？数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=女生c= d=34合计n=100附：．P（k2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.01k0 2.072 2.706 3.841 6.635解：（Ⅰ）抽取的100名学生中，本次考试成绩不合格的有x人，根据题意得x=100×[1﹣10×（0.006+0.012×2+0.018+0.024+0.026）]=2．…（2分）据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中，成绩不合格的人数为（人）．…（4分）（Ⅱ）根据已知条件得2×2列联表如下：数学成绩优秀数学成绩不优秀合计男生a=12 b=48 60女生c=6 d=34 40合计18 82 n=100 …（10分）∵，所以，没有90%的把握认为“该校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”．…（12分）19．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x﹣4|＞m对一切实数x均成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）当x≥4时f（x）=2x+1﹣（x﹣4）=x+5＞0得x＞﹣5，所以，x≥4时，不等式成立．当时，f（x）=2x+1+x﹣4=3x﹣3＞0，得x＞1，所以，1＜x＜4时，不等式成立．当时，f（x）=﹣x﹣5＞0，得x＜﹣5，所以，x＜﹣5成立综上，原不等式的解集为：{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）f（x）+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣（2x﹣8）|=9，当且仅当﹣≤x≤4时，取等号，所以，f（x）+3|x﹣4|的最小值为9，故m＜9．20．(本小题满分l2分)设函数f（x）=ax2+bx+c且f（1）=﹣，3a＞2c＞2b．（1）试用反证法证明：a＞0（2）证明：﹣3＜．【解答】证明：（1）假设a≤0，∵3a＞2c＞2b，∴3a≤0，2c＜0＜，2b＜0，将上述不等式相加得3a+2c+2b＜0，∵f（1）=﹣，∴3a+2c+2b=0，这与3a+2c+2b＜0矛盾，∴假设不成立，∴a＞0；（2）∵f（1）=a+b+c=﹣，∴c=﹣a﹣b∴3a＞2c=﹣3a﹣2b，∴3a＞﹣b，∵2c＞2b，∴﹣3a＞4b；∵a＞0，∴﹣3＜＜﹣．21．(本小题满分l2分)在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T，求|TM|•|TN|的取值范围．【解答】解：（I）曲线C1的方程是ρ=1，即ρ2=1，化为x2+y2=1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2：x2+（y﹣1）2=1，展开为x2+y2﹣2y=0．则曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ=0，即ρ=2sinθ．（II）设T（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]．切线的参数方程为：（t为参数），代入C2的方程化为：t2+2t[cos（θ﹣α）﹣sinα]+1﹣2sinθ=0，∴t1t2=1﹣2sinθ，∴|TM|•|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ|∈[0，1]，∴|TM|•|TN|的取值范围是[0，1]．22．(本小题满分l2分)已知函数f（x）=+alnx（a≠0，a∈R）（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（I）因为，（2分）当a=1，，令f'（x）=0，得x=1，（3分）又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以x=1时，f（x）的极小值为1．（5分）f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；（6分）（II）因为，且a≠0，令f'（x）=0，得到，若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，其充要条件是f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0即可．（7分）（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，所以，f（x）在区间[1，e]上单调递减，故f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得，即（9分）（2）当a＞0时，①若，则f'（x）≤0对x∈[1，e]成立，所以f（x）在区间[1，e]上单调递减，所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为，显然，f（x）在区间[1，e]上的最小值小于0不成立（11分）②若，即1＞时，则有xf'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗所以f（x）在区间[1，e]上的最小值为，由，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；当0＜＜1，即a＞1，即有f（x）在[1，e]递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣符合题意．（14分）…。
辽宁省沈阳市东北育才学校2015-2016学年高一上学期第一次统一作业数学试题
东北育才高中部高一年级第一次统一作业一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|2},{(,)|4},S x y x y T x y x y =+==-=那么集合S T =A.{3,1}-B.(3,1)-C.3,1x y ==-D.{(3,1)}-2. 已知b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==:,,,是从A 到B 的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f 下的象是A .3B .4C .5D .63.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②x x x f -+-=23)(是函数；③函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线；④函数x x x f -⋅+=11)(与21x y -=的定义域相同.其中真命题有A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知])3,1[(log 2)(3∈+=x x x f ，则函数)()]([22x f x f y +=的值域A.]437,6[ B.]13,6[ C.]12,6[ D.]18,6[ 5.已知函数1)(2+=x x f 的定义域为[]b a ,)(b a <，值域为[]5,1，则在平面直角坐标系内，点),(b a 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为A.8B.6C.4D.26.设函数=≠=-+-)(,,2)23()32()(22x f b a x x bf x af x f 则且满足A ．ba x - B.b a b a x ++-3 C.b a b a x ++-13 D.b a x b a ++-3 7．若定义域为b a bx ax x f a a -++=+-2)(]1,12[22的函数是偶函数，则点),(b a 的轨迹是A ．一个点B ．两个点C ．线段D ．直线8．已知⎩⎨⎧∈+-∈+=]1,0[1)0,1[1)(2x x x x x f ，则下列函数的图象错误．．的是 1 2 x -1 1 x -1 1 x -1 1 x y 2 1 O y21Oy 21 O y2 1 O闭中每一个关于乘法是封法是封闭中有且只有一个关于乘是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中至少有一个关于乘法则下列结论恒成立的是有有且集的两个不相交的非空子是若关于数的乘法是封闭的则称有如果的非空子集是整数集设V D.T, V T, C.V B.T, V T, A.:.,,,,,,,.,,.,,,,.9V xyz V z y x T abc T c b a Z V T Z V T S S ab S b a Z S ∈∈∀∈∈∀=∈∈∀10.已知函数()f x 的定义域为D ，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤， 则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个 条件：①(0)0f =；②1()()32x f f x =；③(1)2()f x f x -=-．则11()()38f f += A. 1 B. 32 C. 2 D.5211.对于实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]208.1,3-=-=π，定义函数[]x x x f -=)(，给定下列命题①函数)(x f 的最大值为1；②函数)(x f 的最小值为0；③函数21)()(-=x f x G 有无数个零点；④函数)(x f 是增函数.其中正确的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]（[x]表示不大于x 的最大整数）可以表示为（A ）y ＝[10x ] （B ）y ＝[310x +] （C ）y ＝[410x +] （D ）y ＝[510x +] 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)10f -=，则(2)f 等于 14.关于x 的方程 (k -2)x 2-(3k+6)x+6k=0有两个负根，则k 的取值范围是 15.若22log ()y x ax a =---在区间(,13)-∞-上是增函数，则a 的取值范围是16.若,,3x y R x y xy +∈++=则x y +的最小值是__________．三、解答题：（本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设集合}4232/1{≤≤=-x x A ，{}012322<--+-=m m mx x x B .(1)当Z x ∈时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B=φ，求m 的取值范围；(3)若B A ⊇，求m 的取值范围.18.函数f （x ）的定义域为D={x|x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）.（1）求f （1）的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）如果f （4）=1，f （3x+1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.参考答案1-12 D ABA CB B D AB B B13-16 26- ， 052<≤-k ， [223,2]- ， 217. 解：化简集合A={}52≤≤-x x ，集合B 可写为{}0)12)(1(<--+-=m x m x x B(1){}5,4,3,2,1,0,1,2,--=∴∈A Z x ,即A 中含有8个元素，∴A 的非空真子集数为 254228=-（个）.(1)显然只有当m-1=2m+1即m=--2时，B=φ.(2)当B=φ即m=-2时，A B ⊆=φ；当B φ≠即2-≠m 时（ⅰ）当m<-2 时，B =(2m+1,m-1),要A B ⊆只要⎩⎨⎧≤≤-⇒≤--≥+62351212m m m ，所以m 的值不存在； （ⅱ）当m>-2 时,B=（m-1,2m+1）,要A B ⊆ 只要⎩⎨⎧≤≤-⇒≤+-≥-2151221m m m . 综合，知m 的取值范围是：m=-2或.21≤≤-m18. （1）解：令x 1=x 2=1，有f （1×1）=f （1）+f （1），解得f （1）=0.（2）证明：令x 1=x 2=－1，有f ［（－1）×（－1）］=f （－1）+f （－1）.解得f （－1）=0.令x 1=－1，x 2=x ，有f （－x ）=f （－1）+f （x ），∴f （－x ）=f （x ）.∴f （x ）为偶函数.（3）解：f （4×4）=f （4）+f （4）=2，f （16×4）=f （16）+f （4）=3.∴f （3x+1）+f （2x －6）≤3即f ［（3x+1）（2x －6）］≤f （64）.（*）∵f （x ）在（0，+∞）上是增函数，∴（*）等价于不等式组⎩⎨⎧≤-+>-+64)62)(13(,0)62)(13(x x x x 或⎩⎨⎧≤-+-<-+,64)62)(13(,0)62)(13(x x x x或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--<>537,313x x x 或或⎪⎩⎪⎨⎧∈<<-.,331R x x∴3＜x ≤5或－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3. ∴x 的取值范围为{x|－37≤x ＜－31或－31＜x ＜3或3＜x ≤5}.。
辽宁省东北育才学校2015-2016学年高二下学期第二阶段考试数学(文)试题 含答案
2015—2016学年度下学期高二第二次阶段测试数学（文科）试卷答题时间:120分钟 满分:150分 命题人:杨冠男，刘芷欣第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1。
已知集合B A x xx B x xx A 则},02|{},034|{2≤-=>+-=等于( ）A ．}21|{<<x xB ．}321|{><<x x x 或C ．}10|{<≤x xD ．}310|{><≤x x x 或 2。
下列命题中,真命题是（ ） A ．,20xx R ∀∈>B ．1,lg 0x x ∃><C ．1,02xx R ⎛⎫∃∈< ⎪⎝⎭D ．110,log0x R x ∀∈<3。
函数20.4log(34)y x x =-++的值域是（ ）．A ．(0,2]-B ．[2,)-+∞C ．(,2]-∞-D ．[2,)+∞ 4。
下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是 A ．1y x= B ．xy e -= C ．21y x =-+ D ．lg ||y x =5。
“22a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6． 下列说法正确．．的是 A ．命题",0"xx R e∀∈>的否定是",0"x x R e ∃∈>。
B ．命题 “已知,,x y R ∈若3,x y +≠则2x ≠或1y ≠"是真命题 。
C ．“22xx ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立"⇔2min max "(2)()x x ax +≥在[1,2]x ∈上恒成立”。
D ．命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题.7．记函数212131)(23+-=x xx f 在()+∞,0的值域a x x g M ++=2)1()(,在()+∞∞-,的值域为N ,若M N ⊆,则实数a 的取值范围是( ）A ．21≥aB ．21≤aC ．31≥aD ．31≤a 8．定义在实数集R 上的函数()f x 满足()()20f x f x ++=，(4)()f x f x -=。
数学理卷·2015届辽宁省东北育才学校、省实验中学、大连二十高(新疆部)三校高二下学期期末联考(2014.06)
【试卷综析】试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。
整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问题、解决问题能力的考查。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，每题四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.3i 等于( ) A. -3i B ．－32 i C ． i D ．－i【知识点】复数代数形式的乘除运算．【答案解析】A 解析 ：解：==﹣3i ．故答案选：A ．【思路点拨】利用复数的运算法则即可得出． 2．用数学归纳法证明1＋a ＋2a ＋…＋1n a +＝-211n a a+--(a ≠1，n ∈N *)，在验证n ＝1成立时，左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋2aD ．1＋a ＋2a +4a 【知识点】数学归纳法．【答案解析】C 解析 ：解：当n=1时，易知左边=1+a+a 2， 故答案选C【思路点拨】在验证n=1时，左端计算所得的项．只需把n=1代入等式左边即可得到答案． 3 在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，那么2K 的一个可能取值为( )A ．6.635B ．5.024C ．7.897D ．3.841【知识点】独立性检验．【答案解析】C 解析 ：解：∵计算出P （Χ2≥6.635）≈0.01， 这说明两件事情无关的可能性不足1%，即判断吸烟与患肺炎有关，合理的程度约为99%以上，由此可得C 正确． 故答案选：C ．【思路点拨】同临界值表进行比较，得到假设两件事情无关不合理的程度约为99%，即无关的可能性不足1%，由临界值表可得答案．【典型总结】本题是一个独立性检验，熟练掌握临界值表及独立性检验的思想方法是解题的关键．4 在极坐标系中，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，点M （2，6π）的直角坐标是（ ）A ．（2，1）B ．，1）C ．（1）D ．（1,2）【知识点】极坐标刻画点的位置；简单曲线的极坐标方程．【答案解析】B 解析 ：解：根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcos θ、y=ρsin θ， 可得点M （2，）的直角坐标为（，1），故答案选：B ．【思路点拨】根据直角坐标和极坐标的互化公式x=ρcosθ、y=ρsinθ，把点M （2，）化为直角坐标．5.在一个投掷硬币的游戏中，把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( )A.12B.14C.16D.18【知识点】条件概率与独立事件．【答案解析】A 解析 ：解：由题意知本题是一个条件概率， 第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，∴P （B|A ）=故答案选A ．【思路点拨】本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，代入条件概率的概率公式得到结果．【典型总结】本题解题的关键是看出事件AB 同时发生的概率，正确使用条件概率的公式． 6．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D.353【知识点】定积分在求面积中的应用．【答案解析】C 解析 ：解：直线y=2x 与抛物线y=3﹣x 2解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2） 抛物线y=3﹣x 2与x 轴负半轴交点（﹣，0）设阴影部分面积为s ，则==所以阴影部分的面积为 ，故答案选：C ．【思路点拨】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．7 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A ．12种B ．18种C ．24种D ．48种【知识点】排列、组合及简单计数问题．【答案解析】C 解析 ：解：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得总的方法种数为：=24故答案选C【思路点拨】分两大步：把甲、乙看作1个元素和戊全排列，调整甲、乙，共有种方法，再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的3个空位种，有种方法，由分步计算原理可得答案．8.81(3)x x+(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项为第( )项A ．4B ．5C ．6D ．7 【知识点】二项式定理的应用．【答案解析】B 解析 ：解：由于81(3)x x+（n ∈N +）的展开式的通项公式为8821881)33(r r n r r rr r T xC x C x +==⋅﹣﹣﹣（）， 令8﹣2r=0，则r=4，∴81(3)x x+（n ∈N +）的展开式中含有常数项为第5项． 故答案选：B ．【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，即可求得结论．9. 口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，则n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【知识点】等可能事件的概率． 【答案解析】C 解析 ：解：P （X=2）=即7n 2﹣55n+42=0，即（7n ﹣6）（n ﹣7）=0．因为n ∈N *，所以n=7． 故答案选：C ．【思路点拨】x=2 说明第一次取出的是红球，第二次取出的是白球，取球方法数为A 31•A N 1，所有的取球方法数23n A +．10 有四辆不同特警车准备进驻四个编号为1,2,3,4的人群聚集地，其中有一个地方没有特警车的方法共________种．A ．144 B.182 C.106 D.170【知识点】排列、组合及简单计数问题．【答案解析】A 解析 ：解：由题意，四辆不同特警车准备进驻四个编号为1，2，3，4的人群聚集地，其中有一个地方没有特警车，说明必须恰有一个地方有2辆特警车，再从四辆不同特警车中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有C 42A 43=144种不同的放法． 故答案选：A【思路点拨】要保证恰好有一个地方没有特警车，则必须恰有一个地方有2辆特警车．先选两个元素作为一组再排列，再从四辆不同特警车中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果【典型总结】本题的考点是排列、组合的实际应用，主要考查分步计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.11直线的参数方程为0sin 501cos50x t y t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ (t 为参数)，则直线的倾斜角为( )A ．040B ．050C ．0140D ．0130 【知识点】直线的倾斜角．【答案解析】C 解析 ：解：由直线的参数方程为（t 为参数），可得，∴α=1400，故答案选：C ．【思路点拨】利用直线斜率的计算公式、正切函数的诱导公式即可得出． 12. 已知函数()f x ＝2x x ⋅，则下列结论正确的是( )A ．当x ＝1ln2时()f x 取最大值B ．当x ＝1ln2时()f x 取最小值C ．当x ＝－1ln2时()f x 取最大值D ．当x ＝－1ln2时()f x 取最小值【知识点】利用导数求最值. 【答案解析】D 解析 ：解：()()2,()21ln 2xx f x x f x x '=⋅∴=+，11()0,()0ln 2ln 2f x x f x x ''>⇒>-<⇒<-，故当x ＝1ln 2-时()f x 取最小值 故答案选:D.【思路点拨】先对原函数求导，借助导数与单调性的关系判断出最值.卷II二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共20分）13 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；概率的基本性质．【答案解析】0.8 解析 ：解：∵ξ服从正态分布N （1，σ2），ξ在（0，1）内的概率为0.4， 由正态分布的对称性可知ξ在（1，2）内的取值概率也为0.4， ∴P （0＜ξ＜2）=P （0＜ξ＜1）+P （1＜ξ＜2）=0.4+0.4=0.8 故答案为：0.8【思路点拨】根据变量符合正态分布和ξ在（0，1）内的概率为0.4，由正态分布的对称性可知ξ在（1，2）内的取值概率也为0.4，根据互斥事件的概率得到要求的区间上的概率． 14 复数z 满足方程(1)z i --+＝4，那么复数z 在复平面内对应的点P 的轨迹方程____________【知识点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【答案解析】22(1)(1)16x y ++-=解析 ：解：设z=x+yi ，则由|z ﹣（﹣1+i ）|=4得|（x+1）+（y ﹣1）i|=4， 即，则（x+1）2+（y ﹣1）2=16， 故答案为：22(1)(1)16x y ++-=.【思路点拨】根据复数模长的公式，建立方程即可得到结论． 15下列五个命题①任何两个变量都具有相关关系 ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系 ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究 正确命题的序号为____________．【知识点】命题的真假判断与应用．【答案解析】③④⑤解析 ：解：①任何两个变量不一定具有相关关系，故①错； ②圆的周长与该圆的半径是函数关系，而不是具有相关关系，故②错； ③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系，故③正确； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的，故④正确；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究，故⑤正确．故答案为：③④⑤【思路点拨】客观现象之间存在的互相依存关系叫相关关系，全称为统计相关关系．有如下两个特点：1．现象之间确实存在着数量上的依存关系．2．现象之间数量上的关系是不确定、不严格的依存关系． 根据相关关系的定义与回归分析的统计意义进行判断．16 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
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2015年东北育才学校分流考试数学试题及答案一、选择题1. 实数0.3π中是无理数的有（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2. 某几何组合体的主视图和左视图为同一视图，如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）3. 实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A.ac>bcB.-a-c>-b-cC.-a<-b<-cD.|a-b|=a-b4. 为了响应国家“节约用水”的号召，在东北育才学校某班级中，随机调查6名同学的家庭一年用水量（单位：吨），记录如下：10、9、8、9、9、12，则这组数据的平均数和中位数是分别是（ ） A.9.5；9 B.9.5；8.5 C.9；9.5 D.9.5；105. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交边AD 于点E ，且BE=12，CE=5，则点A 到BC 的距离是（ ）A. 125B.4C. 6013D. 6076. 关于x 的方程x 1x 2a a=233--+的解大于33，则实数a 的取值范围是（ ） A.a>2 B.a>3 C.a<2 D.a<37. 如图，点C 、D 在以AB 为直径的⊙O 上，且CD 平分∠ACB ，若AB=6，∠CBA=15°，则CD 的长是（ ）A. 8. 如图，在Rt △ABC 中，BC=a 、AB=c ，CD 为斜边上的高，DE ⊥AC ，设△ADE 、△CDB 、△ABC 的周长分别为P 1、P 2、P ，则当12P P P+取得最大值时，sinA=（ ）A.12B.23 D.349. 如图，点A 在函数1y x =的图像上，B C （，是利用性质“函数1y x =的图像上任意一点A 满足求下列问题：作∠BAC 的平分线AE ，过B 作AE 的垂线交AE 于F ，已知当点A 在函数1y x=的图像上运动时，则点F 总在（ ）上运动。
A.直线B.双曲线C.抛物线D.圆10. 已知关于x 的方程x|x|-2x+c=0，下面四个结论：①当c=0时，方程有3个解②当c=1时，方程有2个解③方程至少有1个解④方程可以有4个解A.①④B.②③C.①③D.②④二、填空题11. 02sin601π+︒+-） .12. 从长度分别为2、4、6、7的四个线段中随机抽取三条，它们能构成三角形的概率是 .13. 已知关于x 的方程x 2-（m+2）x+m 2+1=0的两个实数根的平方和为5，则实数m 的取值是 .14. 在正方形ABCD 和正方形CEFZG 中，点D 在CG 上，BC=1、CE=3，H 是AF 的中点，则线段CH 的长是 .15. 关于x 、y 的方程组222x y =3k 1x 2y =2⎧+-⎪⎨+-⎪⎩的解满足x-2y 2>-4，则实数k 的取值范围为 .16. 将实数1111248、、、，按下图所示方式排列，若用（m ，n ），表示第m 排从左向右第n 个数，则（5，4）与（11，7）表示的两数之积是 .17. 如图，点A 、B 为直线y=x 上的两点，过A 、B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线1y=x x（>0）于C 、D 两点，若2BD=5AC ，则224OC OD 25-的值为 .18. 如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE=125°，∠B=∠E=90°，AB=BC ，AE=DE ，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ，则△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数为 .19. 对于实数υ、ν定义一种运算“*”：υ*ν=υν+ν，函数y=[（a+1）x]*x ，其函数图像与直线1y 4=-有两个不同的交点，则满足条件的实数a 的取值范围是 .20. 如图，在矩形ABCD 中，，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，；连结BH 并延长交CD 于点F ，连结DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③AB=HF ；④BC-CF=2HE ；⑤BH=HF 。
其中正确的序号有 .三、解答题 21. 如图，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，延长线段AB 至点D ，使DB=AB ，连接CD ，以CD 为直角边作等腰三角形CDE ，其中∠DCE=90°，连接BE ，若AC=3㎝，求BE 的长。
22.当a 为何值时，关于x 的方程a x 2x x x +=（-1）无解？ 23. 如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在x 轴上，反比例函数k y=x x（>0）经过边OB 的中点C 和AE 中点D 。
已知等边△OAB 的边长为8.（1）求反比例函数的解析式；（2）求等边△AFE的周长。
24. 如图，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，CD=AD，分别延长CD，BA相交与点E，且，若BC=6，求⊙O的半径。
25. 如图，甲船以每小时位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西方向30°的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向B2处，此时两船相距航行多少海里？26. 若分别以△ABC的AC，BC两边为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG，则称这两个正方形为外展双叶正方形。
（1）发现：如图1，当∠C=90°时，△ABC与△DCF的面积 .（请在横线上填写“相等”或“不等”）（2）引申：如果∠C≠90°时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给证明；若不成立，请说明理由；（3）运用：如图3，分别以△ABC的三边为边向外侧做的正方形ACDE，BCFG和ABMN，则称这三个正方形为外展叶正方形。
已知△ABC中，AC=4、BC=5，运用（2）中的结论，当∠ACB为何值时，图中阴影面积和有最大值？并求出最大值。
（4）拓展：如图4，分别以平行四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、BCHG、CDJI、DALK 若平行四边形ABCD的周长为20，∠DAB=60°，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由。
27. 设t是实数,二次函数y=2x2+3tx-t的图像与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0）（1）求证：2x22-3tx1+3t>0；（2）若A，B两点之间的距离不超过3t1，求t的最大值。
2-0），B（0），C（0，-3）三点，线段BC与抛物28. 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（线的对称轴ι相交与点D，设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。
（1）求该抛物线的解析式（2）设Q是平面内一点,若以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等,求出所有点Q的坐标；（3）若满足（2）中条件的点Q均在抛物线y=9（x-t）2-7外（不含点Q在抛物线上），求点t的取值范围。
数学试卷答案一、选择题1.C2.D3.B4.A5.C6.B7.C8.A9.D 10.C二、填空题11.12. 1 213.115.3k12-<≤-16. 1 417. 42 2518.110°19.a<0且a≠-120.①②④⑤三、解答题21.若AC=BC=3㎝∴∵AD=BE，∵DB=AB=∴BE=2⨯故答案为：22.解：方程两边同乘x（x-1）得：a（x-1）=x+2，整理得：（a-1）x=2+a，（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=0或1，当x=0时，2+a=0，即a=-2；当x=1时，a-1=2+a，无解，即当a=1或-2时原方程无解．23.（1）过C作CM⊥OA△OAB为边长为8的等边三角形，C为OB中点OC=4，∠BOA=60°在Rt△OCM中，CM=OC·sin60°=OM=OC·cos60°=2，C（2，代入反比例解析式得：k=则反比例解析式为x>0）（2）过点D 作DH ⊥AF ，垂足为点H ，设AH=a （a ＞0）．在Rt △DAH 中，∵∠DAH=60°，∴∠ADH=30°．∴AD=2AH=2a ，25. 解：连结A 1B 2，如图，A 1A 2=20=60 ∵∠A 1A 2B 2=60°，A 1A 2=A 2B 2= ，∴△A 1A 2B2为等边三角形，∴A 1B 2=A 2A 1B 2=60°，∵∠1=30°，∴∠B 1A 1B 2=180°-30°-60°=90°，在Rt △B 1A 1B 2中，B 1B 2= =∴乙船航行的速度= 3/时）答：乙船每小时航行26. （1）证明：在△ABC 与△DFC 中，∵AC DC ACB DCF BC FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABC ≌△DFC ．∴△ABC 与△DFC 的面积相等；（2）解：成立．理由如下：如图，延长BC 到点P ，过点A 作AP ⊥BP 于点P ；过点D 作DQ ⊥FC 于点Q ． ∴∠APC=∠DQC=90°．∵四边形ACDE ，BCFG 均为正方形，∴AC=CD ，BC=CF ，∠ACP+∠PCD=90°，∠DCQ+∠PCD=90°，∴∠ACP=∠DCQ ．∴，△APC ≌△DQC （AAS ），∴AP=DQ ．又∵S △ABC =12BC •AP ，S △DFC = 12FC •DQ ， ∴S △ABC =S △DFC ；（3）30；（4）27.（1）解：∵二次函数y=2x 2+3tx-t 的图象与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0）． ∴令y=0，得2x 2+3tx-t=0，∴△=（3t ）2+8t=9t 2+8t ＞0，根据根与系数的关系有，x 1+x 2= 3t 2- ，x 1x 2=t 2- （1）x 2是2x 2+3tx-t=0的一根，∴2x 22+3tx 2-t=0，∴2x 22-3tx 1+3t=2x 22+3tx 2-t-3tx 1-3tx 2+3t+t ，=-3t （x 1+x 2）+4t=-3t ×3t 2-（）+4t = 1t t 22（9+8）>0 即：2x 22-3tx 1+3t ＞0；（2））∵二次函数y=2x 2+3tx-t 的图象与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0）． ∴AB 2=（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2 =23t 92t=t 2t 24++2（-） ∵A ，B 两点之间的距离不超3t 12- ∴AB≤23t 12-，且AB>0, ∴AB 2≤23t 12-， ∴2293t 2t t 142+≤- ∴1t 5≤ ∴t 的最大值为1528.（1）21y x 33---（2）（-12），（-4），（0，7）（3）t t <>百时教育名校题库2016年10月。